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第三讲容斥问题

写在前面的话——

容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除，也叫“容斥原理”。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。

若A 、B 、C 三部分的数量，其中C 为A 、B 的重复部分，则图中的数量就等于A+B-C

这类问题看起来很复杂，但如果利用上图的方法来解决，就很清楚地表示出题目中条件与条件，条件与问题之间的关系，这种图可以用圆圈来表示，也可以用线段图来表示，只要能把它们之间的相互关系表示清楚即可。

基础篇

1、四年级有122名学生参加键球和跳绳测试，每人至少有一样的测试结果是优，其中键球测试得优的有65人，跳绳测试得优的有87人，问键球和跳绳测试都行优的有多少人？

2、四一班有45个学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有35人，语文数学两种课外书都借的有多少人？

3、某大学数学系有500个学生选修了法语或俄语，其中选法语的有350人，法语和俄语都选修的有150人，那么选修俄语的有多少人？

4、体育课组织了军棋和跳棋的比赛。参加军棋比赛的有12人，参加跳棋比赛的有10人，既参加了军棋比赛又参加了跳棋比赛的有2人，一共有多少人参加了这节课的棋类比赛？

5、在一次运动会中，某班参加田赛的有18人，参加径赛的有16人，既参加田赛和又参加径赛的有7人，没有参加比赛的有21人，那么这个班共有学生多少人？

6、其校有600名学生，数学竞赛参加者共362名，作文竞赛参加者共402名，其中这两科都参加的有292名，那么这两科都没有参加的人数是多少？

7、一次数学课上老师出了两道题，结果全班有25人做对第一题，有18人做错第二题，有10人全对，那么两题做错的有多少人？

8、某旅游团有37人，其中会讲日语的有16人，会讲英语的有10人，既会讲日语又会讲英语的有5人，问日语和英语都不会的有几人？

9、五年级一班在期未考试中，数学得100分的有10人，自然得100分的有12人，这两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人，那么五年级一班有学生多少人？ C B

A A

提高篇

1、学校买来一批书，全部发给四年级学生，其中得科技书的同学有47人，得文艺书的同学有33人，而科技书和文艺书都的有18人，求四年级有学生多少人？

2、其校六年级有180人参加毕业考试，其中语文得优秀有110人，数学得优秀的有120人，两科都得优秀的78人，两科都没得优秀的有多少人？

3、实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球（篮球、足球、排球）的与否。结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。篮球和排球都喜欢的多少人？

作业：

1、六一儿童节学校组织书画作品展，四年级有25人的书法作品参展，有20人的绘画作品参展，其中5人的书法作品和绘画作品都展览。四年级有多少人书画作品参加了这次展览？

2、一个班有52人，班主任问：“谁做完了语文作业？请举手！”有32人举手。又问：“谁做完了数学作业？请举手！”有35人。最后说：“谁语文、数学作业都没做完？”有8人举手。这个班语文、数学作业都做完的有多少人？

3、某校有600名学生，数学竞赛参加者共362名，作文竞赛参加者共402名，其中这两科都参加的有292名，那么这两科都没有参加的人数是多少？

第31讲容斥原理

第31讲容斥原理例题与方法例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？例4 在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？思考与练习 1．某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。问：两样都不爱好的有多少人？ 2．分母是105的最简真分数共有多少个？ 3．一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。问：两项都精通的人占白分之几？ 4．在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？ 5．在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？ 6．在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？ 7．64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人？ 8．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？

第十四讲最不利原则教学设计

第十四讲最不利原则在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、余数的妙用、可能性分析等），确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。例1、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 “最不利”的情况是什么呢？那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10个球。由例1看出，最不利原则就是从“极端糟糕”的情况考虑问题。如果例1的问题是“最少摸出几个球就可能有4个球颜色相同”，那么我们就可以根据最有利的情况回答“4个”。现在的问题是“要保证有4个小球的颜色相同”，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况分析问题。

例2、口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出n个，为保证这n 个小球至少有5个同色，n的最小值是多少？分析与解：与例1类似，也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此所求的最小值是12。例3、一排椅子只有15个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？分析与解：将15个座位顺次编为1～15号。如果2号位、5号位已有人就座，那么就座1号位、3号位、4号位、6号位的人就必然与2号位或5号位的人相邻。根据这一想法，让2号位、5号位、8号位、11号位、14号位都有人就座，也就是说，预先让这5个座位有人就座，那么乐乐无论坐在哪个座位，必将与已就座的人相邻。因此所求的答案为5人。例4、一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解：从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。共要试验 9＋8＋7＋…＋2＋1＝45（次）。所以，最少试验45次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配。

六年级数学专题详解容斥原理

容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。

我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩ B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 159320 1816 1412 1086 42 B A

最不利原则习题精选

最不利原则习题精选 1.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？ 2.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：（1）至少要取多少根才能保证三种颜色都取到？（2）至少要取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？（3）至少要取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？ 3.袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出多少个球，才能保证有3个球是同一颜色的？ 4.一只鱼缸里有很多条鱼，共有5个品种。问：至少捞出多少条鱼，才能保证有5条品种相同的鱼？ 5、有10件绿色衣服，6件白色衣服，7件红色衣服，2件蓝色衣服，问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两种颜色是相同的？ 6、有10件绿色衣服，6件白色衣服，7件红色衣服，2件蓝色衣服，问至少取多少件才能保证取出的衣服至少有两件颜色是不同的？ 7、口袋中有10种不同的珠子各100个，要想保证从袋中摸出三种不同颜色的珠子，并且每种至少10个，那么至少要摸出多少个珠子？ 8、口袋中有8个白球，5个黄球，15个黑球。让你闭着眼睛从口袋中摸球，至少取出（）个球，才能保证取出的球中有黑球。 9、袋中有红、白、蓝、黑四种颜色的球，从袋中任意取出若干个球。问：至少要取出（）个球，才能保证有三个球是同一种颜色的。 10、某袋内装有70只球，其中20只是红球，20只是绿球，20只是黄球，其余是黑球和白球。为确保取出的球中至少包含有10只同色的球，问：至少必须从袋中取出（）个球。 11、黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少取（）根才能保证达到要求。 12、一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和其中的8把锁，要保证将这8把钥匙都配上锁，至少需要试验（）次。

初一数学竞赛系列讲座容斥原理

初一数学竞赛系列讲座容斥原理集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理一、知识要点 1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。二、例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：

最不利原则的讲解

第十二讲最不利原则在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、余数的妙用、可能性分析等），确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。 1. 红桃、黑桃各2张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出张。 2．红桃、黑桃各5张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出张。 3．红桃、黑桃各4张，要保证从中摸出3张同色的，至少要摸出张。 [解答]两种颜色的扑克，要摸出两张同色的，至少都要摸出3张，就能保证有两个扑克同色，在每种扑克数量足够多的情况下，与扑克的数量多少没有关系。摸出3张同色的，最不利的情形是先各摸出红、黑2张，再摸出1张，就肯定有3张同色的。 1、3张； 2、3张； 3、5张。 [例1]灰太狼抓住了懒羊羊。聪明的喜羊羊决定去营救懒羊羊。他对灰太狼说：“我知道你很聪明，那你有胆量和我比一下么？如果你赢了的话，那么我也愿意被你吃掉；如果你输了，请把懒羊羊放掉。题目很简单，就是随意把1和2分别填入下面立方体的格子中，使每个面上的4个数的和都不一样”灰太狼不假思索答应了。请问谁赢了？为什么？【解析】随意填1，2，那么每个面上4个格子的4个数的和最小为4，最大为8；4到8，共有5个数。而立方体有6个面。一定有相同的和。【例2】120名少先队员选举大队长，有甲、乙、丙三个候选人，每个少先队员只能选他们之中一个人，不能弃权。若前100票中，甲得45票，乙得35票，甲要当选至少还要（）张选票。【解答】丙已得20票.后面的20票即使全给丙不影响甲当选。最不利的情况是20票都给了乙。为了避免这种情况发生，甲还需得6票，就能保证当选。【例3】某小学四年级的学生身高（都按整数厘米计算），最矮的是138厘米，最高的是160厘米。如果任意从这些学生中选出若干人，那么至少要选出多少人，才能保证有5人的身高相同？【解析】138-160中共有22+1个数（植树问题的应用）；最不利的情况是每一个厘米数都有4人。因此保证有5人身高相同，需要选23×4+1=93人。【例4】皮夹里有2元，3元，4元的邮票各10张，现在要寄一封12元邮资的信，不用眼睛看，从皮夹里抽出若干张邮票，为了保证从抽出的邮票中一定能凑出12元的邮票组合来，那么至少要抽出（）张邮票。【解析】先分析最有利的情况，取出4元3张；最不利的情况可能是取出2元6张；但这是最不利的情况吗？

容斥原理问题

容斥原理问题——基础学习一、解答题

2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（） A．13 B．22 C．33 D．41 【答案】B 【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B= A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。【结束】 3、两个集合容斥原理例2：五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？（） A． 30 B．35 C．57 D．65 【答案】A

【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。【结束】 4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41 【答案】C 【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B ={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B- A∩B=24+17-8=33。【结束】 5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有36-33=3人。【结束】

五年级数学培优：容斥问题

五年级数学培优：容斥问题１、甲乙两数的和是125，乙丙两数的和是143，丙丁两数的和是136，求甲、丁两数的和。２、将边长分别为3厘米和4厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上（如图），两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？ 3 厘 1.5厘米米 4 厘米３、一个生产车间，上半月完成全月计划的53，下半月完成全月计划的7 4，这个车间本月份完成的任务超过了全月计划的几分之几？４、五（7）班有57名学生，订阅《小学生数学报》的有14人，订阅《海安日报·教育专刊》的有9人，这两种报纸都订的有6人。①订阅两种报纸的总人数是多少？②全班两种报纸都没订的有多少人？５、五⑻班学生中，会骑车的有38人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有6人，已知全班两样都不会的有8人，求全班共多少人？

６、从期末成绩统计表上可以看出：数学成绩在90分以上的有25人，语文成绩在90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，求两科都在90分以上的人数。７、A、B两地相距90千米，甲、乙两人驾车从A、B两地同时相向开出。甲每小时行40千米，乙每小时行50千米，相遇后他们继续向前行驶，甲、乙两人分别穿过B、A两地，他们共行3小时后停下来，这时，甲、乙两人相距多少千米？８、在300名同学中，能唱歌的有180人，善跳舞的有98人，其中能歌善舞的有50人，那么不能唱歌又不会跳舞的有多少人？９、在前1000个自然数中，能被5或13整除的数有多少个？ 10、学校运动会上，参加田赛的有120名男生、80名女生，参加径赛的有120名女生、80 名男生，已知全校共有260名学生参加了运动会，其中有70名男生田赛和径赛都参加了，那么只参加田赛而没有参加径赛的女生有多少人？

(完整版)第四讲最不利原则

四年级数学思维训练之最不利原则20161106 在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 1.着眼于极端情形； 2.分析推理——确定最值； 3.枚举比较——确定最值； 4.估计并构造。常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解答：如果碰巧，可能你一次取出的4个小球的颜色都相同。但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。因此，为了“保证至少有4个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 “最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕”、从“运气最差”的角度来考虑问题。什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？那就是题目中出现要“保证……”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。通过上面分析，列式为：例2一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？分析与解：从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。通过上面分析，列式为：例3在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？

高中数学知识点专题

第一章初高中数学衔接，基本数学思想入门专题一二次方程 1 专题二二次函数 2 专题三因式、分式、乘方、根式 3 专题四平面几何中的三角形 4 专题五平面几何中的圆 5 专题六巧用方程与函数的数学思想6 专题七巧用数形结合的数学思想 7 专题八巧用分类讨论的数学思想 8 专题九巧用等价变换的数学思想 9 第二章集合、函数专题一集合的概念及其子集 1 专题二解一次、二次、高次不等式 2 专题三解分式不等式，解简单的绝对值不等式 3 专题四集合的交、并、补运算 4 专题五临时定义的集合题 5 专题六函数的表示法及其抽象函数 6 专题七函数的单调性和奇偶性 7 专题八指数与指数函数 8 专题九对数与对数函数 9 专题十反函数专题十一幂函数，分式函数y=k/x与y=ax+b/cx+a 10 专题十二对勾函数g（x）=ax+b/x 11 专题十三绝对值函数 12 专题十四函数的零点与方程的图象解法 13 专题十五函数图象的轴对称、中心对称及迭代式 14 专题十六函数的最值，最值的函数 15 第三章立体几何初步专题一几何体的结构 16 专题二三视图，直观图 17 专题三几何体的表（侧）面积与体积 18 专题四空间点、直线、平面之间的位置关系 19 专题五直线、平面的平行问题 20 专题六直线、平面的垂直问题 21 专题七将平面图折翻为立体图 22 专题八几何体的拼接与分割 23 专题九四面体的外接平行六面体 24 专题十多球问题 25 专题十一体积法 26 第四章平面解析几何初步专题一直线的倾斜角与斜率 27 专题二直线的方程 28 专题三直线交点坐标与三类距离公式 29 专题四平面区域 30 专题五线性规划 31 专题六圆的方程 32 专题七直线与圆、圆与圆的位置关系 33 专题八解析法 34 第五章算法初步，统计。概率专题一根据程序框图计算输出结果 35 专题二根据题意完善程序框图 36 专题三随机抽样，样本的频率分布 37 专题四样本数据的众数、中位数、平均数、标准差 38 专题五随机事件的概率，古典概率 39 专题六几何概率模型 40 第六章三角函数，解三角形专题一任意角的度量，扇形的弧长和面积 41 专题二三角函数定义，三角函数线 42 专题三同角基本公式，诱导公式 43 专题四三角函数的图象与性质 44 专题五三角函数图象的平移与伸缩变换 45 专题六和、差、倍角的三角函数公式 46 专题七正、余弦的降次增倍公式 47 专题八三角函数式的计算、化简与证明 48 专题九正弦定理、余弦定理 49 专题十解三角形 50 专题十一根据三角函数值求角 51 专题十二三角函数的有界性|Asinθ+Bcosθ|≤√A2+B2 52 专题十三三角法 53 第七章平面向量专题一平面向量的概念及其线性运算 54 专题二平面向量的基本定理 55 专题三平面向量的坐标运算 56 专题四平面向量的数量积 57 专题五三角形背景中的向量表示 58 专题六向量法 59 第八章数列专题一数列的概念 60 专题二等差数列及其前n项和 61 专题三等比数列及其前咒项和 62 专题四递推数列通项公式的常用求法 63 专题五分式递推数列 64 专题六数列求和 65

容斥原理(二)

才子教育小学奥数系列容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。（人）答：只有两次达到优秀的有11人。例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。

才子教育小学奥数系列方法一：（人）方法二：（人）答：共有10个小朋友去了冷饮店。例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。（人）答：只参加跑和投掷两项的有3人。例4. 某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析与解：根据已知条件画出图。

不该后悔的行测最不利原则问题

不该后悔的行测最不利原则问题中公教育研究与辅导专家李毅不管是参加还是没有参加过公职考试的同学，在做行测题目的时候都会感觉“时间紧、题量大”，所以在做题的过程中可能会选择性的放弃一些题目，而往往放弃的一般都是数量关系。如果你们看到了数量关系中的类型题、简单题，你们一定会很后悔放弃了这些题目。而最不利原则问题恰恰就是这类让大家感到后悔的题目。今天中公教育带大家来了解下这类题目。首先，带着大家来看看最不利原则说的是什么问题。比如说，一副扑克牌，现在每次从中抽一张出来，问至少抽几张能抽到大王，有同学会说，如果我运气好到爆，我拿一张就拿出来了，可以，没毛病。但如果至少要抽几张才能保证一定能抽到大王，现在要保证“抽到大王”这件事一定发生，那么就不能考虑运气的存在了，那怎么样才能一定抽到大王，那当然是把所有不是大王的牌都抽出来之后唯一剩下的就是大王了，那闭着眼睛也都能抽到大王。所以，我们可以发现，什么样的问题属于最不利原则的问题，就从问法出发，它的问法也比较固定，就是“至少······才能保证/一定······” 那么最不利原则问题怎么解呢，其实从“最不利”这三个字就能看出来，就是要找最不利也就是最倒霉的情况，经历了九九八十一难，终于苦尽甘来，再努力一次就取得真经。也就是说最不利原则的解题原则就是：最不利情况数+1。可能有些同学觉得不好记，那么，交给大家一个容易记忆的办法。最不利原则解题思路： ①找到保证要完成什么事，目标：把他气死。 ②“气死”之后+1即为答案至于怎么“气死”：想要什么别给什么；想要N，先给（达到）N-1；不需要的东西统统都给。知道了解题思路，那么咱们来做几道题来看看大家的学习效果。例1.一个袋内有100个球，其中有红球28个、绿球20个、黄球12个、蓝球20个、

组合数学6章作业答案

第6章容斥原理及应用 6.7 练习题 3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。解：∵100001002=,9261213=,10648223= ∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数又∵409646=，1562556= ∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数计算：10000-100-21+4=9883 ∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个 □ 4、确定多重集{}d c b a S ????=5,4,34，的12-组合的个数。解：设T ：{}d c b a S ?∞?∞?∞?∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合 2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合 4A ：d 的个数大于5的12-组合要求的是： 4321A A A A ??? = T )(4321A A A A +++- )(434232413121A A A A A A A A A A A A ?+?+?+?+?+?+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ??+??+??+??- )(4321A A A A ???+ T =??? ? ??-+121412=455 1A =???? ??-+7147=120 2A =???? ??-+8148=165 3A =???? ??-+7147=120 4A =??? ? ??-+6146=84

21A A ?=???? ??-+3143=20 31A A ?=???? ??-+2142=10 41A A ?=???? ??-+1141=4 32A A ?=???? ??-+3143=20 42A A ?=???? ??-+2142=10 43A A ?=???? ??-+1141=4 321A A A ??=421A A A ??=431A A A ??=432A A A ??=4321A A A A ???=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34 ∴多重集{}d c b a S ????=5,4,34，的12-组合的个数是34 □ 9、确定方程 204321=+++x x x x 满足 611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x 的整数解的个数。解：设 116x y -=， 227x y -=， 338x y -=， 446x y -= 则原方程等价于确定方程 74321=+++y y y y 满足 501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y 的整数解的个数。设S ：74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合 1A ：74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A ：74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合 3A ：74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A ：74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合若j i ≠，则?=?j i A A ,那么要求的是：

六年级~9容斥原理

(一) 容斥原理包含与排除问题也叫重叠问题，它实际上是一种集合方面的问题。解答这类问题的主要根据是容斥原理 1.容斥原理一：设A 、B 是两类有重叠部分的量（如图）. 如果A 对应的量为a , B 对应的量为b , A 与B 重叠部分对应的量为ab,那么这两类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a +b —ab. 2.容斥原理二：设A,B,C 是三类有重叠的部分的量，如果A 对应的量为a ，B 对应的量为b ,C 对应的量为c , A 与B 重叠部分对应的量为ab. B 与C 重叠部分对应的置为bc,C 与A 重叠部分对应的量为ca,A 、B 、C 三部分重叠部分对应的量为abc,那么，这三类量的总量可以用下面的公式计算：总量=a + b + c —ab-bc-ca+abc 例1:在1到500的全部自然数中，不是7的倍数，也不是9的倍数的数共有多少个？例2：六年级一班有45名同学，每人都参加体育训练班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，游泳、篮球都报者有12人。问三项都报者有多少人？例3：某校六年级二班有49人参加数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加；语文小组有10人参加，老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。

例4某班同学参加升学考试.得满分人数如下:数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多是多少人？最少是多少人？例5：向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的5 3，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余的不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的3 1多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？例6 李老师出了两道数学题，全班40人中，第一题有30人做对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人。 (1)第2题对第1题不对有几个人？ (2)两题都不対的有几人？【练习】 1.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，会打乒乓球又会打羽毛球的有7人。不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问，仅会打羽毛球的有多少人？

第6讲容斥原理

第六讲容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。 A ∩ B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3，根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}，由题意知|A |=25，|B |=21。 A ∪ B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}，由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |，所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。答：两科都在90分以上的有8人。画图分析一下： 15 9320 18 16141210 8 642B A

六年级奥数专题容斥原理

十七容斥原理(1) 年级班姓名得分一、填空题 1.一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人. 2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米. 3.在1~100的自然数中,是5的倍数或是7的倍数的数有个. 4.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人. 5.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有人. 6.在1至10000中不能被5或7整除的数共有个. 7.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有个. 8.某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人. 9.分母是1001的最简真分数有个. 10.在100个学生中,音乐爱好者有56人,体育爱好者有75人,那么既爱好音乐,又爱好体育的人最少有人,最多有人 . 6

二、解答题 11.某进修班有50人,开甲、乙、丙三门进修课、选修甲这门课的有38人,选修乙这门课有的35人,选修丙这门课的有31人,兼选甲、乙两门课的有29人,兼选甲、丙两门课的有28人,兼选乙、丙两门课的有26人,甲、乙、丙三科均选的有24人.问三科均未选的人数? 12.求小于1001且与1001互质的所有自然数的和. 13.如图所示,A、B、C分别代表面积为8、9、11的三张不同形状的纸片,它们重叠放在一起盖住的面积是18,且A与B,B与C,C与A公共部分的面积分别是5、3、4,求A、B、C三个图形公共部分(阴影部分)的面积. 14.分母是385的最简真分数有多少个,并求这些真分数的和. ———————————————答案—————————————————————— 1. 26 从图中可以看出全班45人,借语文或数学课外读物的共39+32=71(人),超过全班人数71-45=26(人),这26人都借了语文、数学两种课外书。共45人

行测技巧：最不利原则巧解极值问题

行测技巧：最不利原则巧解极值问题行测技巧：最不利原则巧解极值问题最不利原则解题在行测考试中是高频考点之一，近几年的国考都有考查，甚至有些年份的国考测查了不止一道，可以说是近五年必考的一种题型。对于这种题型只要大家掌握了方法，加强练习，在考试中碰到了一定能得心应手。首先，在极值问题中出现“至少……才能保证一定……”这样的提问时，我们可以用最不利原则解题。“至少……才能保证一定……”考虑的是最坏的情况，如果最坏的情况都可以保证，那么任何一种情况都可以保证。而最坏的情况是让每一种情况刚好不能满足要求，再加一个就刚好满足要求，符合题意。例题：口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同? 解析：如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。 “最不利”的情况是什么呢?那就是我们摸出3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。这样摸出的9个球是“最不利”的情形。这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以回答应是最少摸出10个球。最不利原则解题就是要找到最坏情况，下面以试题进行讲解：试题：某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论

如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员? A.17 B.21 C.25 D.29 答案：C。解析：题干中问的是培训完全相同的情况，所以首先要明确参加培训的方式共有几种，这是个简单的组合问题，即每个人只能参加2个项目，有4个项目，所以每个人有C42=6种，问至少有多少个党员，这是运用最不利原则，则安排时应该尽可能平均，但是无论怎样安排，这6种培训方式各有4人选择为最差情况，再多一人，就必然有5名党员参加的培训完全相同，也就是4×6+1=25人，选C。试题：有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人专业相同? A.71 B.119 C.258 D.277 答案：C。解析：考虑最差的情况：软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源类找到工作的人数分别为69人、69人、69人、50人。此时再有任意1人即可保证一定有70名找到工作的人专业相同，即至少有69+69+69+50+1=258人，则选C。

第八讲容斥原理

第八讲容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。在并集的讨论中，已经知道，求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步从上面的和中减去交集的元素个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。例1 求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。分析与解：设I=｛1，2，3，…，19，20｝，A=｛I中2的倍数｝，B=｛I 中3的倍数｝。显然，题目要求计算并集|A∪B|的元素个数，即求|A∪B|。易知， A=｛2，4，6，…，18，20｝，共有10个元素，即|A|=10， B=｛3，6，9，12，15，18｝，共有6个元素，即|B|=6。 A∩B=｛I中既是2的倍数又是3的倍数｝ =｛6，12，18｝共有3个元素，即|A∩B|=3，所以 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| =10+6-3=13 答：所求的数共有13个。此题可直观地图示如下：图8-1中，A表示不超过20的正整数中2的倍数的集合。B表示不超过20的正整数中3的倍数的集合。在不超过20的正整数中既是2的倍数又是3的倍数的数有6，12，18，即A∩B中的数。例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上有38人。问两科都在90分以上的有多少人？（1985年初一迎春杯数学竞赛试题）解：设A=｛数学成绩90分以上的学生）， B=｛语文成绩90分以上的学生｝。