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高考数学大题训练30

高考数学大题训练30 1.(本小题满分16分)

(A)(四星高中学生做)

已知椭圆E:

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>

高考数学大题训练30

上任意一点到两焦点距离之和为

高考数学大题训练30

,离心率为

,左、右焦点分别为

12

,F F,点P是右准线上任意一点,过

高考数学大题训练30

高考数学大题训练30

高考数学大题训练30

高考数学大题训练30

交椭圆于Q点.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)证明:直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值;

(3)点P的纵坐标为3,过P作动直线与椭圆交于两个

不同点M、N,在线段MN上取点H,满足

MP MH

PN HN

=,

试证明点H恒在一定直线上.

19.解:(1)由题,a=

c

a

=从而得1

c=,b=

所以椭圆E:22

1

32

x y

+=……………………………………………………………………… 4分

(2)设()0

3,

P y,()

11

,

Q x y,

因为

22

PF F Q

⊥,所以

22

001

1

11

1

212(1)

QF PF

y y y

y

k k

x x

=?==-

--

所以

101

2(1)

y y x

-=-

又因为

2

10110

1

2

1111

33

PQ OQ

y y y y y

y

k k

x x x x

--

?=?=

--

2

21

1

2(1)

3

x

y=-代入化简得

2

3

PQ OQ

k k?=-……10分

(3)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点

1122

(,),(,)

M x y N x y,点(,)

H x y,

则22

11

236

x y

+=,22

22

236

x y

+=.

MP MH

PN HN

=,∴设

MP MH

PN HN

λ

==,则,

MP PN MH NH

λλ

=-=

u u u r u u u r u u u u r u u u u r

1122

(3,3)(3,3)

x y x y

λ

--=---,

1122

(,)(,)

x x y y x x y y

λ

--=--

整理得1212

3,

11

x x x x

x

λλ

λλ

-+

==

-+

,1212

3,

11

y y y y

y

λλ

λλ

-+

==

-+

∴从而

222222

1212

22

3,3

11

x x y y

x y

λλ

λλ

--

==

--

第19题图

∴22222222222

1212112222

223323(23)

69611x x y y x y x y x y λλλλλ

-+-+-++===--, 所以点H 恒在直线2320x y +-=上. (16)

2(B )(三星高中及普通高中学生做)

已知椭圆E :22

221(0)x y a b a b

+=>>

上任意一点到两焦点距离之和为

,离心率为

高考数学大题训练30

高考数学大题训练30

,左、右焦点分别为12,F F ,点P 是右准线上任意一点,过2F 作直线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点.

(1)求椭圆E 的标准方程;

(2)证明:直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值; (3)证明:直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点.

解:(1)(2)同(A ) (3)由(2)知,直线PQ 的方程为()111123x y y x x y -=-

-,即111

22

3x y x y y =-+, 由22

111132223x y x y x y y ?+=????=-+??

得22221111(32)121890y x x x x y +-+-=,化简得:221120x x x x -+=, 解得0x x =,所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.……………………………………… 16分

3.(本小题满分16分) (A )(四星高中学生做)

设函数()x a x f ln =,()2

12

g x x =

. (1)记()()()h x f x g x =-,若4a =,求()x h 的单调递增区间;

(2)记()g x '为()x g 的导函数,若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解,求实数a 的取值范围;

(3)若在[]1,e 上存在一点0x ,使得()()()

00001

()f x f x g x g x ''->+'成立,求a 的取值

范围.

解:(1)当4a =时,()4ln f x x =,此时()2

14ln 2

h x x x =-

由()'4

0h x x x

=

->得22x -<<, 又0>x ,则02x <<.所以()x h 的单调递增区间为()0,2. (4)

(2)不等式()()()()x g x a x g x f -+≤+32'

即为()2

2132ln x x a x x a -

+≤+, 则()x x x x a -≥-2

2

1ln ,由[]e x ,1∈知0ln >-x x ,因而x x x

x a ln 212

--≥,设

x

x x

x y ln 2

12

--=, 由()()()22'ln 2111ln 1x x x x x x x x y -??? ??-??? ??----=

()()2

ln ln 1211x x x x x -?

??

??-+-=,

且当()e x ,1∈时01>-x ,0ln 12

1

>-+x x ,

从而,0'

>y .由不等式有解,知2

1min -=≥y a ……………………… 10分

(3)不等式()()()'

'000'

01()f x f

x g x g x ->+

等价于0000

1

ln a a x x x x ->+, 整理为000

1ln 0a

x a x x +-+<,设1()ln a m x x a x x +=-+,则由题意可知只需在],1[e 上

x ,使得

0()0m x <.2'

222

1(1)(1)(1)

()1a a x ax a x a x m x x x x x +--+--+=--=

=, 因为,0>x 所以,01>+x 令,01=--a x 得

a x +=1.………………………………………… 12分

①若11a +≤,即0a ≤时,令(1)20m a =+<,解得2a <-. ②若e a ≤+<11,即10-≤

(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<,即)1ln(11a a a +<++,所以

)1ln(1

1+<++a a

a 考察式子t t t ln 1

1

<-+,因为e t ≤<1,所以左端大于1,而右端小于1,所以不成立

③当e a >+1,即1->e a 时,()m x 在],1[e 上单调递减,只需()0m e <,得21

1

e a e +>-,

又因为0121112<--=-+--e e e e e ,所以,21

1

e a e +>

-. 综上所述,2a <-或21

1

e a e +>

-.………………………………………………………………… 16分

4(B )(三星高中及普通高中学生做) 设函数()x a x f ln =,()2

12

g x x =

. (1)记()()()h x f x g x =-,若4a =,求()x h 的单调递增区间;

(2)记()g x '为()x g 的导函数,若不等式()()()()23f x g x a x g x '+≤+-在[]e x ,1∈上有解,求实数a 的取值范围;

(3)若1a =,对任意的120x x >>,不等式()()()()121122m g x g x x f x x f x ->-????恒成立.求()1,≤∈m Z m m 的值. 解:(1)(2)同(A )

(3)当1=a ,()x x f ln =.由()()()()121122m g x g x x f x x f x ->-???? 恒

()()()()

222111x f x x mg x f x x mg ->-恒成立,设

()()0ln 2

2

>-=

x x x x m x t . 由题意知021>>x x ,故当0>x 时函数()x t 单调递增,则()01ln '

≥--=x mx x t 恒成立,

因此,x x m 1ln +≥恒成立,记x x y 1ln +=,由()2

'ln x

x

x y -=, 知函数在()1,0上单调递增,在()+∞,1上单调递减, 则()()11max ==h x h ,所以1≥m ,

又1,≤∈m Z m ,所以1=m .…………… 16分

5. (本题满分16分)

在函数()lg f x x =的图象上有三点A B C 、、,横坐标依次是1,,1(2)m m m m -+>.

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(1)试比较(1)(1)f m f m -++与2()f m 的大小; (2)求ABC ?的面积()S g m =的值域.

解:(1)(1)lg(1)lg(1)f m f m m m -++=-++2lg(1)m =-,

22()lg f m m =2lg(1)m >-,所以(1)(1)f m f m -++2(

f m <(2)111111()ABB A CBB C CAA C S

g m S S S ==+-

111

[lg(1)lg ][lg(1)lg ][lg(1)lg(1)]2222m m m m m m =-++++--++?…8分 21lg 2(1)(1)

m S m m =-+………………12分

222111lg lg(1)2121

m m m ==+--,………………14分 因为2m >时,S 单调递减,所以14

0lg 23

S <<.………………16分

6. (本题满分16分)

已知函数322()39(0)f x x ax a x a =--≠. (1)当1a =时,解不等式()0f x >;

(2)若方程'()f x =212ln 69x ax a a ---在[1,2]恰好有两个相异的实根,求实数a 的取

值范围(注:ln20.69≈);

(3)当0a >时,若()f x 在[0,2]的最大值为()h a ,求()h a 的表达式.

解(1)当1a =时,32()390f x x x x =-->,2(39)0x x x -->,解得

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0x <<或32

x +>

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.………………………2分 (2)由'2()12ln 69f x x ax a a =---得212ln 3a x x =-,令2()12ln 3m x x x =-,则

'12()6m x x x =

-,当'12

()60m x x x

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=-=时,x =.……………4分 当x ∈时,'()0m x >,此时()m x 递增;当2]x ∈时,'()0m x <,此时()m x 递减;所以max ()6(ln 21)m x g ==-,…………6分

(第18题图)

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又因为(1)3m =-,(2)12(ln 21)3m =-<-,所以当[1,2]x ∈时,

'2()12ln 69m x x ax a a =---恰好有两个相异的实根实数a 的取值范围为

36(ln 21)a -≤<-.……………8分

(3)'22()369f x x ax a =--,令'()0f x =得1x a =-,23x a =.……………10分 当2

3

a ≥时,在[0,2]x ∈上'()0f x <,所以()f x 在[0,2]上递减,所以()(0)0h a f ==; 当2

03

a <<

时,在[0,3]a 上'()0f x <,所以()f x 在[0,3]a 上递减;在[3,2]a 上'()0f x >,所以()f x 在[3,2]a 上递增;'()0f x <在[0,3]a 上递减,2(2)18128f a a =--+,

(0)0f =,

(注:以上可简化) 当(2)0f =

时,解得a =

或a .

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当0a <<

时,2()18128h a a a =--+;

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2

3

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a <<时,()0h a =.………………………14分

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所以20()18128,0a h a a a a ?≥??=??--+<

,.………………………16分

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7. (本题满分16分)

已知函数2

()2ln f x x x a x =++.

(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;

(2)若函数()f x 在区间(0,2]上恒为单调函数,求实数a 的取值范围; (3)当1t ≥时,不等式(32)3()6f t f t --≥恒成立,求实数a 的取值范围.

24.'

()22a

f x x x =++

. (1)所以,'

()4f x a =+,因为(1)3f =,

所以,过点(1,(1))f 的切线方程为3(4)(1)y a x -=+-. ………………………4分

(2)当'

()220a f x x x

=++≥在(0,2]恒成立时,()f x 在区间(0,2]上恒为单调增.

即2220x x a ++≥,所以222a x x -≤+,而2

22x x +在(0,2]上最小值为0,

所以,0a -≤,即0a ≥. 当'()220a

f x x x

=++

≤在(0,2]恒成立时,()f x 在区间(0,2]上恒为单调减. 即2220x x a ++≤,所以222a x x -≥+,而222x x +在(0,2]上最小值为12, 所以,12a -≥,即12a ≤-.

所以,实数a 的取值范围是0a ≥或12a ≤-. …………………………10分 (3)令()(32)[3()6]h t f t f t =---(1)t ≥,

注意到(1)0h =,所求问题转化为()(1)h t h ≥对任意的[1,)t ∈+∞恒成立. 又()3[(32)()]6(1)[2](32)

a

h t f t f t t t t '''=--=---(1)t ≥,1t ≥,(32)1t t -≥.

1°当2a ≤时,20(32)

a

t t -

≥-,()0h t '≥(等号不恒成立)

, ∴()h t 在[1,)+∞上为增函数,()(1)h t h ≥对任意的[1,)t ∈+∞恒成立.

2°当2a >

时,2

36(1)(6(1)(64)

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33()(32)

(32)

t t t t t t a h t t t t t ----'==

--,

1<<

t ∈时,()0h t '<,()h t

在上为

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减函数,

于是()(1)0h t h <=,不合题意,舍去.

综上所述,实数a 的取值范围为(,2]-∞. …………………………………………16分

8. (本题满分14分)

已知函数()|1|f x a x +,a 是实数.

高考数学大题训练30

(1)若函数()f x 有零点,求a 的取值范围;(2)当1a =-时,求函数()f x 的值域.

.(1)函数()f x 的定义域为[0,)+∞.…………………1分

由函数()f x

|1|0a x +=有非负实数解,…………………2分

高考数学大题训练30

可得a =在[0,)x ∈+∞上有解,…………………3分

高考数学大题训练30

因为10x +≥,所以102,所以a 的取值范围是1

[,0]2

-. ………8分

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(2)当1a =-时,213

()|1|(1))24

f x x x =++=--,[0,)x ∈+∞,

函数()f x 的值域为3

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(,]4

-∞-. ………………14分

9.(本题满分16分)

工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8元.今年工厂第一次投入100万元的科技成本,并计划以后每年比上一年多投入100万元,预计产量每年递增10万只,投入n 次后,每只产品的固定成本为1

)(+=

n k n g (k

为常数,N n ∈).若产品销售价保持不变,第n 次投入后的年纯利润为)(n f 万元(年纯利润=年收入-年固定成本-年科技成本). ⑴求k 的值,并求出)(n f 的表达式;

⑵问从今年起,第几年纯利润最高?最高纯利润为多少万元? 解:(1)由题意当n =0时,g (0)=8,可得k =8.…………………………………2分 所以n n n n f 100)1

810)(10100()(-+-

+=,

即1

)10(801000)(++-

=n n n f ,N n ∈.……………………………………………8分

(2)由1

)10(801000)(++-

=n n n f )1

91(800001++

+-=n n

52092800001=?-≤,………………………………………………12分

当且仅当1+n 1

9+=

n ,即n =8时取等号,………………………………………14分

所以第8年工厂的纯利润最高,最高为520万元.……………………………………16分 10. (本题满分16分)

设二次函数)0()(2>++=a c bx ax x f ,方程0)(=-x x f 的两个根1x 、2x 满足a

x x 1021<<<. (1) 当x ∈(0,x 1)时,证明:x

(2) 设函数f (x)的图象关于直线x =x 0对称,证明:x 0<

2

1

x . 证明:(1)由于1x 、2x 是方程0)(=-x x f 的两个根,则))(()(21x x x x a x x f --=- 当),0(1x x ∈时,有210x x x <<<

∴ 0,021<-<-x x x x 又 0>a ∴ 0)(>-x x f 即x x f >)(

又由x x x x x a x f +--=))(()(21 得1211))(()(x x x x x x a x x f -+--=-)1)((21ax ax x x -+-= ∵ a

x x x 1

021<

<<< 又 0>a ∴ 01<-x x ,01122>->-+ax ax ax ∴ 0)(1<-x x f 即1)(x x f <综上所述,1)(x x f x <<. (2) ∵ x x x x x a x f +--=))(()(2121212)1(x ax x ax ax ax +-+-= ∴ 2

2211

1210x a ax a ax ax x =<-+=

变式训练4:设f(x)=3ax 22.0bx c a b c ++++=若,f(0)>0,f(1)>0, 求证:(1)a >0且-2<

b

a

<-1; (2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.

证明:(1)因为(0)0,(1)0f f >>,所以0,320c a b c >++>. 由条件0a b c ++=,消去b ,得0a c >>;

由条件0a b c ++=,消去c ,得0a b +<,20a b +>.故21b

a

-<

<-. (2)抛物线2

()32f x ax bx c =++的顶点坐标为2

3(,)33b ac b a a

--, 在21b a -<

<-的两边乘以13-,得12

333

b a <-<. 又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a

c ac

f a a

+--=-

< 所以方程()0f x =在区间(0,)3b a -

与(,1)3b

a

-内分别有一实根。 故方程()0f x =在(0,1)内有两个实根.