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幂指函数的性质及应用

摘要

幂指函数是一类重要的函数，但在教材中涉及幂指函数的内容非常有限，系统的研究幂指函数的性质及应用是非常有必要的。本文先利用微积分的相关知识论述幂指函数的分析性质；再用这些性质研究两个特殊的幂指函数；最后探讨幂指函数的性质在求极限、导数、微分和积分等问题中的应用。

关键词:幂指函数；极限；导数；微分；积分

Abstract

Exponential function is a kind of important function, but the content of the exponential function involved in the teaching material is very limited, the exponential function of the nature of the research and application of system is very necessary. This paper, using relevant knowledge of calculus, first analysis the power properties; With these two special properties research of exponential function; Finally discusses the nature of the exponential function limit, derivative, differential and integral application problems.

Key words: Power exponent function; Limit; Derivative; Differential; Integral

1 引言 (1)

2 预备知识 (1)

3 幂指函数的性质 (3)

3.1 极限性质 (3)

3.2 导数性质 (6)

3.3 微分性质 (8)

3.4 积分性质 (9)

4 幂指函数性质的应用 (9)

4.1 在研究特殊幂指函数中的应用 (9)

4.2 在解题中的应用 (11)

4.2.1求极限 (11)

4.2.2 求导数 (13)

4.2.3 求微分 (14)

4.2.4 求积分 (14)

5 结论 (15)

致谢 ..................................................................................... 错误！未定义书签。参考文献 (15)

幂指函数的性质及应用

1 引言

在数学发展的历史进程中，数学概念的发展对数学的发展起至关重要的作用，而函数概念的发展更是数学概念发展不可缺少的一部分。回顾函数概念被世界各个研究者不断的精化、丰富，是一件令人十分惊喜的事，它不仅让人更深刻的了解数学的专业知识，也让世人感受到数学文化的博大精深，对数学有了更多的好奇和兴趣。数学函数分类精准，而幂指函数就是所有函数中的一种，它是函数概念不断被精化提炼的结晶。它既不是幂函数，也不是指数函数，但它却兼有两者的特点。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。它的产生更进一步说明了数学函数的发展和进步。

幂指函数是一类重要的函数，它的一些知识在其他教材、资料以及近年来研究生入学考试中经常出现，但是在我们所学过的数学分析教材中涉及的内容又非常有限，仅给出幂指函数的一些定义和求导公式。所以对它对进一步的了解和探讨是非常有必要的。由于幂指函数的独特性，在其求极限、导数、微分和积分等问题时显得比较复杂。本文将主要讨论幂指函数的几个分析性质，并利用幂指函数的性质来解决一些问题，使问题化繁为简。

2 预备知识

由于幂指函数问题在高等数学学习过程中比较容易出错，是学生学习的一个难点，为此我们有必要对幂指函数做进一步研究。为了更容易理解本文所涉及到的定义、定理及引理，下文将这些知识先做一个交代，并对于比较难以理解的定理、引理做进一步的证明。这些定义、定理和引理对研究幂指函数的极限性质、导数性质、微分性质、积分性质将起到一定的作用。

定义1 设两个函数()f x 和()g x 的定义域为D ，形如()()(()0)g x f x f x >的函数，称为定义在区域D 上的幂指函数。

引理1 若()0

lim x x f x a →=，()u g 在a 点连续，则

()()()

()0

lim ()lim x x x x g f x g f x g a →→==.

注此引理对-∞→+∞→→→-

+x x x x x x ,,,00，以及∞→x 都成立.

引理2 设在0x x =的领域内()f x 和()g x 连续，且()0f x >，当0x x →时，

()()~g x x ?,则有[]

[]

()

lim ()lim ()g x x x x x x f x f x ?→→=

引理3[1] 设在0x x =的领域内()f x 和()g x 连续，且()0>x f ，当0x x →时，

()()~f x x β则有

[]

()

[]

()

lim ()lim ()g x g x x x x x f x x β→→=

证明因为当0x x →时，()()~f x x β，即0

()

lim 1()

x x f x x β→=. 又因为()()

()()

ln lim lim g x g x f x x x x x f x e

????

→→=???

()()

lim ln g x x x

f x e

→????= ()()

x f x g x x e

ln lim 0

→=

而()()()()()()00lim ln lim ln x x x x f x g x f x g x x x ββ→→??

??? ()()()()0

lim ln ln x x f x g x x x ββ→??=+????

()()

()()()0

lim ln

lim ln x x x x f x g x g x x x ββ→→=+ ()()0

lim ln x x g x x β→=

代入原式，得：

()()

lim ln ln lim lim lim x x g x x g x g x g x x x x x x x x f x e

e x βββ→→→→??===?????

???

??.

引理4 （等价无穷小代换定理）设()()x f x f 1~，()()()01~x x x g x g →，且

()

()()()0

1101lim

(,0x x f x B g x g x x g x →=在附近不为）

，则()()0lim x x f x g x →=()()011

lim x x f x B g x →=. 注（1）此引理可以等价地描述为设()()x f x f 1~，()()()01~x x x g x g →，

其中()()x g x g 1,在0x 附近不为0，则

1）如果0

11()lim

()x x f x g x →存在，则0()lim ()x x f x g x →也存在，且()()=→x g x f x x 0lim ()()x g x f x x 110lim →.

2）如果()()∞=→x g x f x x 110

lim

，则()()

∞=→x g x f x x 0lim . （2）此引理说明等价代换不改变极限的存在性和极限值. 引理5

[]

2 设()()001>>x f x f ，均为某变化过程中的无穷小。若

()()x f x f 1~()0x x →，则

()()

x f x f 1ln 1~ln 1()0x x →.

3 幂指函数的性质

3.1 极限性质

对于幂指函数的极限问题，可以把()()lnf()()(f()0)g x g x x f x e x =>式的极限

()lim ()g x f x 转化为lim ()ln ()g x f x ，

即0?∞型，视具体情况转化为0

型、∞∞型和1∞型，因此有

定理1[7] 幂指函数()()(()0)g x f x f x >的极限[]

()

lim ()g x x x f x →（()0f x >）存在

的充要条件为极限0

lim ()ln ()x x g x f x →存在，且当0

l i m

()l n ()x x g x f x A →=时，[]

()

lim ()g x A x x f x e →=。

注1 若极限值型如A e 时，A 为实数并可取,,+∞-∞并且,0e e +∞-∞=+∞= 下面即对幂指函数的极限类型进行讨论：

情形1[]3（0

型）当()lim ()g x f x 为00型时，lim ()lnf()g x x =()lim 1ln ()g x f x 为

00型，若11()~g (),f()~f ()g x x x x ,且()lim

1ln ()

g x B f x =，则由引理5知

111~ln ()ln ()

f x f x ，所以lim ()ln ()

g x f x =()

lim

1ln ()g x f x 为00。又由定理1可得()[]

()

x g x x e x f =→0

lim 。于是有

引理6（等价无穷小代换）假设1()0()0f x f x >>，和()g x ，1()g x 均为某变化过程中的无穷小。若11()~g (),f()~f ()g x x x x ，并且1()1lim ()g x f x =A,则有

()lim ()g x f x =A 。

引理6表明：()lim ()g x f x =A 时，()lim ()g x f x 中的()f x ,()g x 均可由无穷等价无穷小1()f x ，1()g x 代换。由于无穷小与自身等价，所以有以下推论

推论 1 假设()()001>>x f x f ，和()g x 均为某变化过程中的无穷小。若

1f()~f ()x x ，并且()1

lim ()g x f x =A ，则有()

lim ()g x f x =A 。推论 2 假设()f x >0，和()g x ，1()g x 均为某变化过程中的无穷小。若

1()~g ()

g x x ，并且1()lim ()g x f x =A ，则有()lim ()g x f x =A 。推论1和推论2表明：()1lim ()g x f x =A 或1()lim ()g x f x =A 时，可对()lim ()g x f x 中的部分等价无穷代换。

情形2[]3（∞

∞型）当幂指函数()()g x f x （()0f x >）极限类型为∞∞型时，

可以表示为()

1lim ()g x f x ??

????

，其中()f x ，()g x 为某变化过程中的无穷小。

因()

1lim ()g x f x ??????

=()1lim ()g x f x ??????

=()1lim ()g x f x ，其中()

lim ()g x f x 为00型，由引理6可得相应的平行引理7。

引理7（等价无穷小代换）假设1()0()0f x f x >>，和()g x ，1()g x 均为某变化过程中的无穷小。

若11()~g (),f()~f ()g x x x x ，并且1()

11lim ()g x f x ??

????

=A ，则有()

1lim ()g x f x ??

????

=A 。

情形3[]3（1∞型）幂指函数()()g x f x ()()g x f x （()0f x >）极限类型为1∞型时，可表示为[]

1()

lim 1()g x f x +，其中(),g()0f x x ≠为某变化过程中的无穷小，因

ln 1()~()f x f x +，故由()

(

)l n f

(()(f ()0)g x g x x f x e x =

>和推论2可得

[]

()

lim 1()g x f x +=[]ln 1()lim

()

f x

g x e

+=()

lim

()

f x

g x e

。类似引理6的推导方法，可将引理4推广到

幂指函数的1∞型中去，即有引理6的平行引理8。

引理8（等价无穷小代数）设1()0()0f x f x >>，和()x g ，均为某变化过程中的无穷小。若11()~g (),f()~f ()g x x x x ，且11()

lim

()

f x

g x =B 其中1()0g x ≠，则[]

()

lim 1()B g x f x e +=。1f()~f ()x x

注2 因条件11()

lim ()

f x

g x =B 与[]11

()1lim 1()B g x f x e +=等价，所以

[]

11()

1lim 1()g x f x B +=时，[]

1()

lim 1()g x f x +=B 。

情形4[]3（幂指型不定式）假设()f x ，1()f x 和()g x ，1()g x 均为某变化过程中的无穷小，

分别用()

lim ()

g x f x ()()0f x >，()

1lim ()g x f x ??????

()()0f x >，[]

()

lim 1()g x f x +来

表示幂指函数00型，∞

∞

型，1∞型极限，并且由引理1可得

定理2 若0

lim ()0x x f x m →=>，0

lim ()x x g x n →=，

则()()

()()

00lim lim lim x x g x g x n

x x x x f x m f x →→→??

==???

?????

证明利用引理1证明设()0f x m =，()0g x n =则

()()0

0lim x x f x f x →=，()()0

0lim x x g x g x →=，()()ln g x f x 在0x 连续.

所以()()

()

()()

000lim 0lim lim x x g x g x g x n

x x x x f x f x m f x →→→??

===???

?????

注3 此定理对00,,,x x x x x x +-

→→→+∞→-∞，以及x →∞都成立.

定理3(洛必达法则) 设()f x 和()x g 均为某变化过程中的无穷小，且()f x 和()x g 可微。

（i ）对于幂指不定式00型，∞∞型，，若[]ln ()lim 1g()f x A x '='

??????，

则()lim ()g x f x =A e ，()

lim ()g x A e f x -??=????

；

（ii ）对于幂指函数不定式1∞

型，若()

lim ()

f x

g x =A ，则有[]1

()lim 1()g x f x +=A e 。

3.2 导数性质

对于幂指函数()()g x y f x =（()0f x >），在高等数学学习过程中涉及最多的就是求导问题。在我们所学过的数学分析教材中一般使用的是求对数的求导方法，但学生常常会把幂指函数和幂函数、指数函数混淆，因此在求导时经常会使用幂函数或指数函数的求导公式来计算幂指函数问题，导致得到错误的计算结果。为此，本文将给出四种方法，即指数函数求导法、取对数求导法、多元函数微分法、叠加法来加深对求导的认识，避免犯错。

1、指数函数求导法

定理4[]4 设()x f 和()x g 均可微，那么幂指函数y =()()

()()0>x f x f x g 的导数

等于将()

()

()()0g x y f x f x =>视为幂函数求导与将()()()()

0g x

y f x f x =>视为

指数函数求导的和.即()

()

()()()()

[ln ]()

g x g x y f x g x f x f x f x '''=+

. 证明

'y =()()

()()()()()()ln ln ln g x g x f x g x f x f x e e g x f x '''????==??????

又

()()()

()

x g x f x g x f e =ln ，()()()()()()

()ln ln g x g x f x g x f x f x f x '''=+????.

∴()

()

()()()(x)

[ln ](x)

g x g y f x g x f x f x f '''=+

. 2、多元函数微分法

从多元函数微分法的角度出发，根据多元复合函数的微分法则求导。令(),y s u x y x ==，而中间变量,x y 依赖于同一个变量t ，即()x f t =，()y g t =。根据二元复合函数的微分公式

..ds u dx u dy dt x dt y dt ??=+??有()1()x ln .y y ds

yx f t x g t dt

-''=+ =()[]

()[]

()1

()

()()ln ().g ()g t g t g t f t f t f t f t t -''+=()()

()[

()()ln ()]()

g t g t f t f t g t f t f t ''+ 3、取对数求导法先在等式()

()

()()0g x y f x f x =>的两边取对数，有ln ()ln ()y g x f x =。再利

用隐函数求导法在两边同时对自变量x 求导，有

1()()()ln ()()

g x f x y g x f x y f x '''=+。在等式左边，注意到y 是x 的函数，要应用复合函数的求导法则，然后从等式中解出导数y '，并带回y ，便可得到最终结果．

证明对()

()

()()0g x y f x f x =>两边取对数得

ln ()ln ()y g x f x =两边再对x 求导得

y y

=()ln ()g x f x ，故有[]

()()

()()ln g x x

y f x g x f x ''=???? ，即[]()()()()[()ln ()]()

g x g x f x y f x g x f x f x '''=+。 4 叠加法

幂指函数求导时，将幂指函数分别视为指数函数和幂函数的求导，再把两个求导结果相加。即先将幂指函数()()

()()0g x y f x f x =>视为指数函数，利用指数

函数a y x =的导数公式ln x y a a '=，

有()[()]g x f x '=()()g x f x ln ()g ()f x x '()()0f x > （1）再将幂指函数()

()

()()0g x y f x f x =>视为幂函数，利用幂函数a

y x

=的导数

公式1a y ax -'=，有(x)[(x)]g f '=()1()()()g x g x f x f x -'()()0f x >（2）

然后由（1）、（2）叠加，即得到如下结论：

()[()]g x f x '=()1()()()g x g x f x f x -'+()()g x f x ln ()g ()f x x ' （3）也就得到以下的定理5.

定理5 幂指函数的导数是将幂指函数分别视为指数函数、幂函数的导数的叠加。即()[()]g x f x '=()1()()()g x g x f x f x -'+()()g x f x ln ()g ()f x x '

3.3 微分性质

幂指函数的微分性质是高等数学学习中的一个重要知识点，求一元幂指函数的微分是一个难点，也是一个容易错的知识点。因此下面我们先建立一个求一元幂指函数的一阶微分的一般公式，再将它推广到二阶甚至是n 阶的情形。

定理6 一元幂指函数()()

()()0>=x f x f y x g （其中()()x g x f ,均为可微函数）

的微分公式为：()

()

()()[]dx x f x g x f dy x g /ln =

证明： ()()

()()()()()()/

/ln g x g x g x dy d f x f x dx f x g x f x dx ????===??????

????? 定理6的结论可以推广到二阶以及n 阶微分的情形，推广情形请见下面

()()

()()()

(){

}

222

ln ln g x d y f x g x f x g x f x dx '''=+????????()

()

()()()

()()()()(){

}

333

ln 3ln ln ln g x d y f x g x f x g x f x g x f x g x f x dx '''''''=++???????????????? ............

()()

()(){

}

()

11ln n g x n n d y f x g x f x dx ++'=??????

证明 ()

()

()()2()(ln )g x d y d dy d f x g x f x dx '==????

()()()()()()()

(){}

ln ln g x g x g x f x d f x f x d g x f x dx ''????=+????????????

()

()()()()()()()()()22

ln ln g x g x g x f x f x dx f x g x f x dx ''''????=+????????????()

()

()()()

(){

}

22ln ln g x f x g x f x g x f x dx '''=+???????? 3.4 积分性质

幂指函数的积分性质在高等数学的学习中并没有做过多具体的研究，只是在一些考研习题中可能涉及到。对于幂指函数积分性质是幂指函数学习中的一个难点。本文将对幂指函数的积分性质做进一步的分析，加以练习理解，这样对幂指函数的研究才能更加的完整和全面。

由定理5可得()()

()()()()()()()()1ln g x g x g x f x f x g x f x g x f x f x -'??''=+?

对这

个等式两边进行积分，有()()

()()ln g x f x g x f x dx '????

?()()C x f x g +=．这样就能得到幂指函数的积分定理如下：

定理7 若()()x g x f ,均为可微函数，且()0>x f ，则：

()

()()()()()()()

ln g x g x g x f x g x f x f x dx f x C f x ??''+=+??

，其中C 为任意常数. 证明因为()()x g x f ,均为可微函数，且()0>x f . 所以()

()

()()()()()ln g x g x f x g x f x f x dx f x ??''+????

?()()()()ln g x f x g x f x dx '=????? ()

()

)(x g x f d ?=()

()

C x f x g += 其中C 为任意常数.

4 幂指函数性质的应用

4.1 在研究特殊幂指函数中的应用

例1 研究函数x y x =的性质。

解：（1）定义域：显然(0,)x ∈+∞。

（2）奇偶性：因为定义域是0x >，所以无奇偶性可言。

（3）单调性：由定理5，y '=(1ln )x x x +。令0y '=，得1x e =。当1

0x e

时，0y '<，函数单调递减；当1

x e

>时，0y '>，函数单调递增。

（4）极值：在1

x e

=处，函数取得极小值1

10.6922e

e ??≈ ???。

（5）凹凸性：21(1ln )0x x y x x x -''=++>，所以函数是下凹的。

用几何画板画出函数的图像如图1所示。

图1

例2 研究函数1x

y x =的性质. 解：（1）定义域：显然(0,)x ∈+∞。

（2）奇偶性：因为定义域是0x >，所以无奇偶性可言。

（3）水平渐近线：1

1ln 1lim

ln lim

lim

lim 1x x x x x x

x x x x x e

→+∞→+∞→+∞→+∞

====，所以1y =为水

平渐近线。

（4）单调性：由定理5，12

1ln x

x y x x -??'= ???

。令0y '=，得x e =。当0x e <<时，0y '>，函数单调递增；当x e >时，0y '<，函数单调递减。

x y

（5）极值：在x e =处，函数取得极大值1 1.445e

e ≈。

（6）凹凸性：2

1ln (1ln )2x

x x x x x y x x x x ----??''=+= ???

142

(ln )(22)ln 31x

x x x x -??+--+??。令0y ''=，得0.5819

x ≈或 4.3678x ≈。当00.5819x <<时，0y ''>，函数下凹；当0.5819 4.3678x <<时，0y ''<，函数上

凸；当 4.3678x >时，0y ''>，函数下凹。

（7）拐点：函数有两个拐点(0.5819,0.3944)和(4.3678,1.4015)。用几何画板画出函数的图像如图2所示。

图2

4.2 在解题中的应用

幂指函数在高等数学所出现的例题和习题都非常的少，但在考研中却又经常涉及到，所以对幂指函数的题型进行研究是非常有必要的。本文将主要用幂指函数的性质来解决所碰到的幂指函数的题型，从而做一个归纳总结，使学习者对幂指函数的题型有一个解决的方向。 4.2.1 求极限

例3 求ln(1)

0lim(sin )

ααα++→ （00

型）的极限。解：0α+→时，sin ~,ln(1)~αααα+，∴ln(1)

0lim(sin )ααα+

+→=0

lim ααα+→，又O

0ln ()lim

1()

f g ααα→+=0ln lim 1ααα→+=1

0lim ααα--→+-=0lim ()αα→+-=0，所以洛必达法则得原式=0e =1 例4 求1

ln 0

lim (cot )

αα+→ （0∞型）的极限。

解：0α+→时，

tan ~αα，∴1ln 0

lim (cot )

αα+→=1ln 01lim ()tan ααα+→=1ln 01lim ()ααα

+→=0ln lim 1ln e e αα

→--=

例5 求211lim 1n

n n n →∞

++ ???（1∞型）的极限。

解：因为211lim 1n

n n n →∞

++ ???

=1>0,所以由定理1有：

122111lim 1lim 1n n n

n n n n n n n ++→∞→∞?

?+??????++=+ ? ?

?????

lim

1121lim 1n n n n n n n e e n →∞++→∞?

?+????=+== ?

????????

例6 （2004年考研） 2

0lim cos 2x x x x →??

- ??

?。

解：0x →时，cos 1x →，

∴21

20lim cos 2x x x x →??- ???=21

20lim 12x x x →??- ???

0ln(1)2

lim x x x e →-

)2lim

x x x e

→-

=12

e -

这是一题有关1∞型的求极限题型，幂指函数极限的1∞

型可表示为

[]1()

lim 1()g x f x +，其中(),g ()0f x x

≠。解题时可将[]1

()

lim 1()g x f x +转化为

[]l n 1()l i m

()

f x

g x e

+=()lim

()

f x

g x e

，就可轻易解决。在遇到其他题型时，也可应用幂指函数的极

限性质解决。

例7 （2013年考研）已知极限0

arctan lim

x x x

c x

→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（）

A. 12,2k c ==-

B. 1

2,2

k c == C. 13,3k c ==- D. 13,3k c ==

答案（D ）

解：用洛必达法则

2221121

000011arctan 1111lim lim lim lim (1)k k k k x x x x x x x x x c k x kx kx x x ---→→→→--+-+====+

因此112,k c k -==，即13,3k c ==

4.2.2 求导数

例8 设[]1

ln(1)x

y x =+，求y '。

解：根据定理5，可以将幂指函数y 分别看成指数函数、幂函数求导，再相加。

y '=[][][][]11

111ln(1)ln(1)ln(1)ln ln(1)()x x x x x x x x

-''+++++ =[][][]11

2111ln(1)ln(1)ln ln(1)1x

x x x x x x x

-+-+++ =()[][][]11

211ln(1)ln(1)ln ln(1)1x x x x x x x x

-+-+++

例9 设()()

sin cos ,2x y

u x y x y +=+，求

。解：令()2f x x y =+，()sin cos g x x y =+，则()(,)()g x u x y f x =。由微分公式可得

=(x)()()[

()()ln ()]()g g x f x f x g x f x f x ''+ ()sin cos ''

sin cosy 2(2x y)(sin cos )ln(2y)2x y

x x y x y x x y +??+=+++++??

+??

()

sin cos 2(sin cos )2cos ln(2y)2x y

x y x y x x x y +??

+=+++??+??

。例10 设y =2x

x x ??

?+??

，求y '。

解：两边取对数得ln ln 2x y x x =+，两边再对x 求导得y y '='

ln 2x

x x x ?

???+??，故有ln 22x x x x y x x x '????'= ???++????，即2[ln ]222x

x x x y x x x ??'=+ ?+++??

。

例8运用的是叠加法，例9运用的是多元函数微分法，叠加法可以根据定理5；解决多元微分法可以根据微分公式

=(t)()(t)[

()g ()ln ()]()g g t f f t t f t f t '''+；例10运用的是取对数求导法，运用取对数求导法时可以先在两边取对数，再利用隐函数求导法两边求导；也可以运用指数函数求导法，一般是应用定理5.

4.2.3 求微分

例12 设()20x y x x =>，求231,,,,n dy d y d y d y +L . 解：由定理6得：

()()222ln 21ln x x dy x x x dx x x dx '==+

()()2222222

12ln 2ln 4ln 8ln 4x x d y x x x x x dx x x x dx x ??

??'''=+=+++ ???????

()()()()3

3232ln 32ln 2ln 2ln x d y x x x x x x x x x dx ??'''''''=++????

()()()()3

232ln 232ln 22ln 22ln 2x x x x x x dx ??'''=++++++????

()()323262ln 28ln 1x

x x x dx x x ??'??

??=++++ ???????

()()323226

-2ln 28ln 1x x x x dx x x ??=++++????

............

()

()()

()

()()()()

()1212221{2ln 2ln 2ln 2!

n n n n x x x n n d y x x x n x x x x x x --+-''''''=++

()()

()

1212ln }n x n x x x dx ++++L .

解决一元幂指函数一阶、二阶及多阶微分时，可以应用微分的定理6及其推广公式。

4.2.4 求积分

下面例题是利用定理7求积分的公式：

()

()()()()()()()/ln g x g x

g x f x g x f x f x dx f x C f x ??'+=+????

，（C 为任意常数）来解决。例13 求下列不定积分

（1）(1ln )d x x x x +? (2)(1ln )d x x x x x x ++? 解：（1）(1ln )d x x x x +?=(ln )x x x x dx '?=1x x c +（1c 是常数）

（2）(1ln )d x x x x x x ++?=11(1ln )x x x x +++?dx =11

(ln )x x x x x

+++?dx

=()()()1[1ln 1ln ]x x x x x x +''+++?dx =1[ln (1)]x x x x +'+?dx =()1x x +'?dx =1x x ++C （C 为任意常数）

5 结论

本文主要讨论了幂指函数极限、导数、微分和积分的一些性质,了解这些性质有利于我们对幂指函数这一类特殊的函数进行更进一步的学习与研究。本文在研究幂指函数的性质的同时，我们通过列举一些具体的例子来计算幂指函数的极限，导数，微分以及积分，以加深对性质的理解。由于近年还有涉及幂指函数的一些考研题，所以在此一并做了一些探讨，对于以后的考研学生可能会有一些帮助。特别是利用幂指函数的性质来讨论两个特殊的幂指函数，这样做能加深对幂指函数的学习，让我们对幂指函数的掌握更加全面和深刻。

参考文献

[1] 复旦大学数学系.数学分析（上册）[M].第二版.北京：高等教育出版社，2007. [2] 冯变英.幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨[J].运城学院学报，2006（5）. [3] 王莉萍.幂指函数函数几个性质的研究[J].湖北广播电视大学学报，2007（8）：155-156.

[4] 王莉萍，刘红卫，董方亮.幂指函数微积分的几种方法[J].湖北广播电视大学学报，2009（12）：156-157.

[5] 李照勤.关于两个重要的幂指型复合函数探讨[J].河北职业技术学院学报，2005（1）.

作者：胡鸿敏

幂函数的概念及其性质测试题(含答案)

幂函数的概念及其性质一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③；

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；

过点（1，0），即当x =1，y =0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数，在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。【例题选讲】例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小：（1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =．例4、设函数f （x ）＝x 3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ．（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．

函数的性质专题教案

函数专题（二）函数的性质（一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义：设函数的定义域为，区间如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值设函数的定义域为如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。 ★热点考点题型探析考点1 函数的单调性【例】试用函数单调性的定义判断函数2 ()1 f x x = -在区间（1，+∞）上的单调性. 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =

考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|y x =-；（2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y = 2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，且其图像关于x=1对称，那么 f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 考点3 函数的最值【例】求函数253 32,[,]22 y x x x =--∈-的最大值和最小值：

幂函数及其性质教案

幂函数及其性质专题一、幂函数的定义? 一般地，形如y x α=（x ∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数．【思考】幂函数与指数函数有何不同？本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．【例】１．下列函数:①31 x y =；②23-=x y ；③24x x y +=；④32x y =,其中幂函数的个数为( ） 2.若函数22)5(x k k y --=是幂函数,则实数ｋ的值是（） 3.已知点)33,3 3 ( 在幂函数ｆ(x ）的图像上,则f(x)的表达式是? 4．当()+∞∈,0x 时,幂函数()3521----=m x m m y 为减函数，则实数m 的值为？二、函数的图像和性质（1）y x = （2）1 2 y x = （3）2y x = （４)1y x -= （5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像,可以看出:

【例】已知幂函数ｆ(x)的图像过点 ( ) 2,2，幂函数 g(x ）的图像过点?? ? ??41,2，(1)求f （x)，g （x)的解析式；(２)当ｘ为何值时:①f(x)>g （x ）;②ｆ(x)＝g （x)；③f(x)＜g （ｘ）【变式】若点 ( ) 2,2改为()8,2，探求f(x)与g （x ）中较小的一个的单调性及奇偶性。【规律小结】 (1)求幂函数解析式的步骤为以下几点:①设出幂函数的一般形式ｙ＝x α(α为常数); ②根据已知条件求出α的值(待定系数法）； ③定出幂函数的解析式． (2)作直线x=ｔ，t ∈(1，＋∞)与幂函数的各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的. 【幂函数性质】 (１)单调性:①所有的幂函数在(0，+∞）都有定义，并且图象都过点(1，１); ②0>a 时,幂函数的图象都通过原点，并且在[0，＋∞]上，是增函数 ③0