12.数列
数列的概念与简单表示
知识要点1：数列的概念
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…。数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项。
2.数列的分类：
（1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列；
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列。
（2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
（3）按照任何一项的绝对值是否小于某一正数来分： 有界数列和无界数列。
3、数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵如果一个数列有通项公式，在形式上可以不唯一。
【典型例题】
例1.判断下列各组元素是否能构成数列
（1）7,5,3,3,,1,1,3x -- （2）无理数 （3）正有理数 （4）,1,1,1,1,1,1---…… 例2.下列叙述正确的是（ ）
A 、数列1,3,5,7和数列1,3,7,5是同一数列
B 、同一个数在一个数列中可以重复出现
C 、数列1,3,5,7可以表示为}7,5,3,1{
D 、数列0,2,4,6,8……可记为}2{n
例3.根据数列的前几项，写出下列各数列的通项公式
（1）,7
2,114,21,54…… （2）,15,10,6,3,1……
（3）,24,15,8,3,0……
（4）,3333.0,333
.0,33.0,3.0--……
例4.（1）数列,26
25,1716,109,54……的通项公式是 （2）若数列}{n a 的通项公式是2)3(log 22-+=n a n ，则3log 2是该数列的第 项 例5.对任意函数D x x f ∈),(
①输入数据D x ∈0，经数列发生器输出)(01x f x =；②若D x ?1，则数列发生器结束工作；若D x ∈1，则将1x 反馈回输入端，再输出)(12x f x =，并以此
规律继续下去。现定义124)(+-=
x x x f 。 （1）若输入65490=x ，并由数列发生器产生数列}{n x ，请写出数列}{n x 的所有项 （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据0x 的值
（*）（3）若输入0x 时产生的无穷数列}{n x 满足：对任意的正整数n ，均有1+ 知识要点2：数列和函数 1. 数列可以看成是一个定义域为正整数集N * （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 【典型例题】 例1. 已知数列}{n a 是递增数列，且)(*2N n n n a n ∈+=λ，求实数λ的取值范围。 例2.在数列}{n a 中，*,1110)1(N n n a n n ∈?? ? ???+=，（1）求证：数列先递增，后递减（2）求数列的最大项。 例3.已知函数x x x f --=22)(，数列{}n a 满足)(log 2n a f =n 2-。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）讨论数列{}n a 的单调性，并证明你的结论。 知识要点3：递推数列 1.数列的第n 项n a 与它前面相邻的一项1-n a （或者相邻的几项）之间满足的关系式叫做数列的递推公式，通过给出数列的某几项和递推公式求出数列的方法称为递推法，这样的数列也叫递推数列。 【典型例题】 例1.（1）有一数列1,}{1=a a n ，由递推公式n n n a a a +=+221，则=n a （2）已知数列}{n a 满足133,011+-= =+n n n a a a a ，则=2007a 例2.根据下列条件，求数列的通项公式 （1）已知21=a ，41-=+n n a a 求n a ； （2）已知21=a ，n n a n n a 11+= + 求n a 。 例3.数列}{n a 中，11=a ，对所有的2≥n ，都有221n a a a n =???，求通项公式n a 。 例4. 数列}{n a 中，11=a ，且对任意*N n ∈都满足n n n na a a += +11，求通项公式n a 。 例5.某人上一段有11级的楼梯，如果一步可以上1级，也可以上2级，则他共有多少种不同的上楼梯方法？ 知识要点4：数列的n S 1.数列}{n a 的前n 项之和，常用n S 表示.n n a a a S +???++=21 n S 与通项n a 的基本关系是：n a =???--1 1n n S S S ).2(),1(≥=n n 【典型例题】 例1.已知下列数列}{n a 的前n 项之和n S 的公式，求出数列的通项公式。 （1）n n S n 232-= （2）23-=n n S 例2. 已知数列}{n a 的前n 项之和)2(2≥=n a n S n n ，且11=a ，求数列的通项公式。 例3. 数列}{n a 的前n 项之和为n S ，若11=a ，且满足)2(3 11≥= +n S a n n ，求数列的通项公式。 例4.已知数列}{n a 满足)2()1(32321+?+=+???+++n n na a a a n ，求通项公式n a 。 思考题：若数列}{n a 的前n 项之和为n S ，且对任意* N n ∈，都满足1=+n n S a ，求数列的通项公式。