2014新北师大八下第四章 因式分解教案

第四章因式分解

1．因式分解

总体说明

因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．

教学目标是：

1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．

2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．

3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。

4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．

情感与态度：

培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。重点：因式分解的概念

难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：复习回顾，比较探究（数→形→式）概念，引出概念（确认概念属性），类比练习，反馈练习，小结

第一环节复习回顾：

活动内容：下题简便运算怎样进行

问题1：736×95+736×52，-2.67× 132+25×2.67+7×2.67

设计意图：

观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。

第二环节比较探究：

活动内容：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)

∴993-99能被99整除

(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交

流。

小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）

= 99（99+1）（99-1）

= 99×98×100

所以993-99能被100整除

活动目的：

以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。

想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？

（2）请你说明小明每一步的依据。

（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？

与同学交流。

（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）

小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。

可以了解: 993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.

将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?

学生探究发现：用a 表示任意一个大于1的整数，则：

①你能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？

②这样变形是为了达到什么样的目的？

活动目的：从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出)1()1(3+??-=-a a a a a ，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。 议一议：

)()())(()(11111223+??-=-+?=-?=-?=-a a a a a a a a a a a a a

经历从分解因数到分解因式的类比过程。探究概念本质属性。

第三环节：引出概念：

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

第四环节：类比练习

活动内容：

计算下列式子：

（1）3x(x -1)= ；

（2）m(a+b-1)= ；

（3）（m+4）(m -4)= ；

（4）（y -3）2= ；

根据上面的算式填空：

（1）3x 2-3x = ；

（2）ma+mb-m= ;

（3）m 2-16= ；

（4）y 2-6y +9= ．

思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明

活动目的：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．

第五环节 反馈练习

活动内容：

1、看谁连得准

x 2-y 2 . (x+3)2

9-25 x 2 y(x -y )

2x +6x+9 (3-5 x )(3+5 x )

xy -y 2 (x +y)(x -y )

2、下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a +3）(a -3)= a 2-9

（2）m 2-4=( m +2)( m -2)

（3）a 2-b 2+1=( a +b)( a -b )+1

（4）2πR +2πr =2π（R +r ）

第六环节 ：小结

活动内容：（1）你能说说什么是分解因式吗？

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

（2）应该怎样认识“因式分解”？

分解因式与整式乘法是互逆过程.

分解因式要注意以下几点:

1.分解的对象必须是多项式.

2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.

3.要分解到不能分解为止.

活动目的：回顾、总结、提高知识的系统性。

巩固练习：课本第94页习题2.1第3，4,5题

活动目的：通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概念的本质属性加深对新概念的掌握。

四、教学反思

2．提公因式法（一）

教学目标是：

1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。

2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。

3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。

教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。

教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：温故知新——想一想——议一议——试一试——做一做——想一想——反馈练习．

第一环节 温故知新

活动内容：计算：28

59851585?+??-采用什么方法？依据是什么？ 活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。

第二环节 想一想

活动内容：

多项式 ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式 3x 2+x 呢？多项式mb 2+nb –b 呢？ 结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．

活动目的：在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式．

第三环节 议一议 活动内容：

多项式2x 2+6x 3中各项的公因式是什么？那多项式2x 2y+6x 3y 2中各项的公因式是什么？ 结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；

（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．

活动目的：公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x 2y+6x 3y 2中各项的公因式只是多了含字母y 的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x 2y+6x 3y 2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力

具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件，培养学生的初步归纳能力．

第四环节 试一试

活动内容：

将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：

（1）ab+ac （2）x 2+4x （3）mb 2+nb –b

如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

活动目的：

让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．

第五环节做一做

活动内容：将下列多项式进行分解因式：

（1）3x+3x（2）7x3–212x（3）8a3b2–12ab3c+ab （4）–24x3+12x2－28x

先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。最后学生归纳：提取公因式的步骤：

（1）找公因式；（2）提公因式．

易出现的问题：（1）第二题只提出7x作为公因式

（2）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；

（3）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．

教师提醒：（1）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；

（2）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；

（3）如果多项式的首项为“–”时，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；

（4）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．

活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．第六环节：想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？

活动目的：通过学生的回顾与思考，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。

第七环节：反馈练习

活动内容：1、找出下列各多项式的公因式：

（1）4x+8y （2）am+an （3）48mn–24m2n3（4）a2b–2ab2+ab

2.把下列各式因式分解：（随堂练习）

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过查缺补漏强化学生确定公因式的方法及提公因式法的步骤，能熟练地利用提公因式法分解因式。

四、教学反思

2．提公因式法（二） 教学目标

1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项 的公因式。

2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。

3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。

四、教学重难点

教学重点:用提公因式法把多项式分解因式

教学难点:探索多项式因式分解方法的过程

五、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：回顾与思考——例题讲解——做一做——例题讲解——反馈练习——问题解决——小结思考．

第一环节 回顾与思考：复习提公因式法及注意事项

活动内容：把下列各式因式分解： 把下列各式分解因式：

(1)

mn mn 282+ (2) ab b a 52-+9b (3) ma ma ma 126323-+- (4) x x x 84223-+-

活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。

第二环节 探索新知（ 例题讲解）

活动内容：因式分解：（1）a （x –3）+2b （x –3） （2）()()2

211+++x y x y 活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x –3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x –3），而第二题公因式是y(x+1),并能顺利地进行因式分解． 第三环节 练一练

1、x(a+b)+y(a+b)

2、3a(x-y)-(x-y)

3、6(p+q)2-12(q+p)

4、a(m-2)+b(2-m)

做一做

活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：

（1）2–a = （a –2）

（2）y –x = （x –y ）

（3）b+a = （a+b ）

（4）（b –a ）2= （a –b ）2

（5）–m –n = （m+n ）

（6）–s 2+t 2= （s 2–t 2）

活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．

此时由学生归纳所得规律：

（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；

（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；

（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添

上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．

第四环节 例题讲解

活动内容：将下列各式因式分解：

（1）a （x –y ）+b （y –x ） （2）3（m –n ）3–6（n –m ）2

活动目的：

有了前面所得规律，学生易观察到多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；再把相同的多项式作为公因式提取出来．进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．

第五环节 反馈练习

活动内容：

2、把下列各式因式分解：

（1）x （a+b ）+y （a+b ） （2）3a （x –y ）–（x –y ）

（3）6（p+q ）2–12（q+p ） （4）a （m –2）+b （2–m ）

（5）2（y –x ）2+3（x –y ） （6）mn （m –n ）–m （n –m ）2

活动目的：学生对于符号问题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．

第六环节 问题解决：

活动内容：某大学有三块草坪，第一块草坪面积为()22m b a +，第二块草坪面积为 ()2m b a a +，第三块草坪面积为()2bm b a +，求这三块草坪的总面积。

活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．

第七环节 小结思考

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？

活动目的：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，掌握类比等数学思想方法．

通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解． 作业练习：课本第98页习题4．3第1，2题．

六、教学反思

3．公式法（一）

教学目标为：

1．知识与技能：

（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；

（2）会用平方差公式进行因式分解；

（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解

2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．

3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

三、教学过程分析

本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础——能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结．

第一环节 复习回顾

活动内容：填空：

（1）（x+5）（x –5） = ；

（2）（3x+y ）（3x –y ）= ；

（3）（3m +2n ）（3m –2n ）= ．

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．

注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

第二环节 探究新知

活动内容：谈谈你的感受。

结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。 活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。

注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。

活动内容：

说一说 找特征

))((22b a b a b a -+=-

(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）

★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。

(2) 公式右边:（是分解因式的结果）

.____________________49_;____________________9__;

____________________2522222=-=-=-n m y x x

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试 写一写

下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？

如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。

活动目的：让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习。

注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。

第三环节 范例学习

活动内容：例1把下列各式因式分解：

（1）25–16x 2 （2）9a 2–24

1b 活动目的：教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例。

注意事项: 使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．

第四环节 落实基础

活动内容：

1、判断正误：

（1）x 2+y 2=（x+y ）(x –y ) ( )

（2）x 2–y 2=（x+y ）(x –y ) ( )

（3）–x 2+y 2=–（x +y ）(x –y ) ( )

（4）–x 2–y 2=–（x+y ）(x –y ) ( )

2、把下列各式因式分解：

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：落实基础此环节的练习设置均比较基础，就作为全体学生完成的目标．最后一题分解因式强调分解需彻底。

第五环节 能力提升

活动内容：例2把下列各式因式分解：

2

49)1(x +-22

241)2(z y x -2212125.0)3(p

q -1

)4(4-p 2

)2(4)1(n m --

活动目的：进一步让学生理解平方差公式中的a 、b 不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。

注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。

第六环节 巩固练习

教学内容：

1.把下列各式分解因式：

2.简便计算

活动目的：本课时设置的第二个练习反馈环节，旨在训练学生对整体换元思想的实际应用能力。

注意事项：在教师的引导下，规范书写步骤，避免在化简过程中出现不必要的错误． 第七环节 联系拓广

教学内容：

例3、如图，在一块边长为a 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b 的

正方形．用a 与b 表示剩余部分的面积，并求当a =3.6，b =0.8时的面积．

问题解决：如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm 和r cm ，

求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm 呢？

活动目的：本课时的第3个例题讲解环节，旨在对因式分解进行实际应用问

题讲解，同时设计了一道同类的同心圆面积的求解进而了解学生掌握情况。

注意事项：在实际应用中，部分学生对于例题因式分解的实际应用不能理解，

他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．

第八环节 自主小结

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

注意事项：学生认识到了以下事实：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a 与b 既可以是单项式，又可以是多项式；

课后作业：完成课本习题

教学设计反思

2

2)()(9)2(n m n m --+2

394)3(xy x

-

3．公式法（二）

教学目标为：

1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．

2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。

3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——联系拓广——自主小结．

第一环节复习回顾

活动内容：

活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．

注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．

第二环节学习新知

活动内容：

活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如222b ab a +±的多项式称为完全平方式．

注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

第三环节 落实基础

活动内容：

1．判别下列各式是不是完全平方式．

2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．

结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；

完全平方式可以进行因式分解，

a 2–2a

b +b 2=（a –b ）2 a 2+2ab +b 2=（a+b ）2

活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．

注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．

第四环节 范例学习

2222222222(1)(2)2(3)2(4)2(5)2x y x xy y x xy y x xy y x xy y +++-++--+-；

；；；

．

()()()()()22222222421_____249______3_____414_____452_____x y a b x y a b x x y ++++-+++++；；；

；．

活动内容：

例1．把下列各式因式分解：

活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；

（2）让学生理解在完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示单项式，也可以表示多

项式．

注意事项：灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。

活动内容：

例2．把下列各式因式分解：

活动目的：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．

注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.

第五环节 随堂练习

活动内容：

1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的a 、b 各表示什么？

2、把下列各式因式分解： （1）m 2–12mn +36n 2 （2）16a 4+24a 2b 2+9b 4 (3）–2xy –x 2–y 2 （4）4–12（x –y ）+9（x –y )2

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：当完全平方公式中的a 与b 表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．

第六环节 联系拓广

活动内容：

1. 用简便方法计算：222003200340102005+?-

2.将142+x 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？

3.一天,小明在纸上写了一个算式为4x 2 +8x+11,并对小刚说:“无论x 取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”

活动目的：题1考察学生灵活应用能力，需要学生有一定的数感将20034010?-拆成200320052??-的形式，从而利用完全平方公式进行简便运算。题2是一道开放题旨在考察229124)2(b ab a +-4914)1(2++x x 9)(6))(3(2++-+n m n m 2

2)())(2(2)2)(4(n m n m m n n m +++---xy y x 44)2(22+--22363)1(ay axy ax ++22222

22(1)69(2)14(3)24(4)441(5)14(6)4129x x a x x x x m m y xy x -++-++-+--+；

；；；

；．

学生的分类讨论思想。题3难道较大，对学有余力的孩子可以适当引导学习。

注意事项：这3道习题的设置均有一定的难度，无需要求所有学生都能掌握，按学生自身能力分层学习即可。

第七环节自主小结

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

注意事项：学生认识到了以下事实：

课后作业：完成课后习题；

拓展作业：两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？

四、教学设计反思

回顾与思考

教学目标是：

1．知识与技能：

（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；

（2）提高学生因式分解的基本运算技能；

（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．

2．过程与方法：

（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．

3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳

——能力提升――活学活用——永攀高峰．

第一环节 知识回顾

活动内容：1、举例说明什么是分解因式。

2、分解因式与整式乘法有什么关系？

3、分解因式常用的方法有哪些？

4、试着画出本章的知识结构图。

活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．

注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．

第二环节 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）

活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解

例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。

A. B. C. D. 活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．

注意事项：引导学生说出相应的理由．

活动内容：

知识点二：利用提公因式法分解因式

例2.把下列各式分解因式

⑴ ⑵

知识点三：利用公式法分解因式

例3.把下列各式分解因式

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练；)11(1))(()21(4414

)3(43222

22x x x y x y x y x x x x y y y y -=--+=--=+---=--mn

mn n m 1892722-+-2

3)1(2)1(4-+-b b b 2

2)()(n m n m --+4932++x x 25

)(10)(2++-+y x y x ab b a 8)2(2+-

（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算．

注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。

第三环节 小试牛刀

活动内容：练一练：把下列各式分解因式

（1）（a 2+4）2–16a 2

（2） 活动目的： 连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。

注意事项：区分两个公式法分解因式。

第四环节 总结归纳

活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式

例4.把下列各式分解因式

⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 活动目的： 考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和方法。

注意事项：先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。

活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值

例5.利用分解因式计算：

⑴ ⑵ ⑶（–2）101+（–2）100

例6．已知 ，求 的值。 例7.已知x +y =1，求222

121y xy x ++的值． 例8.计算下列各式：

你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式： 活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，例5考察分别考察运用公式法和提公因式法的应用，例6、例7考察分解因式后的整体代入求值，例8由特殊到一般鼓励学生自主发现规律特征，找到解决问题的方法。总之，应用因式分解来解决实际问题不失为一个有效的办法．

注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．

4

4222y x y x --x

x 43-)

1()1(2)1(2222-+-+-y y x y x )

1(4)(2-+-+b a b a xz

z y x 449222++-2002199819992?-222

)119899(100++0232=-+x x x x x 46223-+.__________)411)(311)(211)(3(_________;)3

11)(211)(2(________;2

11)1(222222=---=--=-).11)...(1011)(911)...(411)(311)(211(222222n ------

第五环节 能力提升

活动内容：知识点六：分解因式的实际应用

例9.如图，在一个半径为R 的圆形钢板上，冲去半径为r 的四个小圆．

（1）用代数式表示剩余部分的面积；

（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．

活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的

应用能力，提高解决问题的能力．

注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对

于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入．

第六环节 活学活用

活动内容：练一练

1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm ，它们的面积相差960cm

2.求这两个正方形的边长。

2.当x 取何值时，x 2+2x+1取得最小值？

3.当k 取何值时，100 x 2-kxy+49y 2是一个完全平方式？

活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；第2、3题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第三题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案。 注意事项：注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全平方式的意义。

第七环节： 永攀高峰

活动内容：例10.利用分解因式说明： 能被120整除。 练一练： 可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。

活动目的： 利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲解，学生效仿学习。

注意事项： 练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。、、\

课后练习：完成课后习题。

四、教学设计反思

1248-1275

25-

【精品】北师大版因式分解练习题

因式分解 1、选择题 1、代数式a3b2－ａ2b3, a3b4＋ａ4b3,a4b2－ａ2b4的公因式是（） A、a3b2 B、a2b2 C、a2b3 D、a3b3 2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式应当为（） A、5a－10b B、5a＋10b C 、5(x－ｙ) D、y－ｘ 3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，结果是（） A、－4m(2m2－3m) B、－4m(2m2＋3m－１) C、－4m(2m2－3m－１) D、－2m(4m2－6m＋２) 4、把多项式－2x4－4x2分解因式，其结果是（） A、2(－ｘ4－2x2) B、－2(x4＋2x2) C、－ｘ2(2x2＋4) D、－2x2(x2＋2) 5、（－2）1998＋（－2）1999等于（） A、－２1998 B、２1998 C、－２1999 D、21999 6、把16－ｘ4分解因式，其结果是（） A、(2－x)4 B、(4＋ｘ2)( 4－ｘ2) C、(4＋ｘ2)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)3(2－x) 7、把ａ4－2a2b2＋ｂ4分解因式，结果是（） A、ａ2(a2－2b2)＋ｂ4 B、(a2－ｂ2)2 C、(a－b)4 D、(a＋ b)2(a－b)2 8、把多项式2x2－2x＋分解因式，其结果是（） A、(2x－)2 B、2(x－)2 C、(x－)2 D、 (x－１)2 9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则 k的值是（） A、±4 B、±2 C、3 D、4或2 10、－（2x－y）(2x＋ｙ)是下列哪个多项式分解因式的结果（） A、4x2－ｙ2 B、4x2＋ｙ2 C、－4x2－ｙ2 D、－4x2＋ｙ2 11、用分组分解法把分解因式，正确的分组方法是：（）

因式分解的四种方法(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：因式分解的定义是什么？里面有几个关键词，分别是什么？ 问题2：因式分解有几种方法，分别是什么？ 问题3：提公因式法需要注意哪些要点？ 问题4：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________． 问题5：当多项式的项数比较多时常考虑__________法． 问题6：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？ 问题7：是因式分解吗？为什么？ 因式分解的四种方法（北师版） 一、单选题(共20道，每道5分) 1.下列选项中，从左到右的变形是分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式的定义 2.将分解因式时，应提取的公因式是( ) A.a2 B.a

C.ax D.ay 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 3.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 4.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 5.下列选项中，能用完全平方公式分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 6.下列选项中，能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 7.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 8.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

(完整)北师大版八年级数学经典因式分解练习题100道

1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)212.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 214．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30

17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25 21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49

33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121 43.）8－2x244.）x2－x＋14 45.）9x2－30x＋25 46.）－20x2＋9x＋20 47.）12x2－29x＋15 48.）36x2＋39x＋9

2014年北京师范大学博士入学英语试题与答案详解

北京师范大学 2014 年 3 月考博英语真题与答案详解 第一部分：试题 Part I ：Reading Comprehension Directions: There are six passages in this part. Each of the passages is followed by five questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the best one and mark your answer on the ANSER SHEET. Passage 1 Taken together, income, occupation, and education are good measures of people?s social standing. Using a layered model of stratification, most sociologists describe the class system in the United States as divided into several classes: upper, upper middle, middle, lower middle, and lower class. Each class is defined by characteristics such as income, occupational prestige, and educational attainment. The different groups are arrayed along a continuum with those with the most money, education, and prestige at the top and those with the least at the bottom. In the United States, the upper class owns the major share of corporate and personal wealth; it includes those who have held wealth for generations as well as those who have recently become rich. Only a very small proportion of people actually constitute the upper class, but they control vast amounts of wealth and power in the United States. They exercise enormous control throughout society. Most of their wealth is inherited. Despite social myths to the contrary, the best predictor of future wealth is the family into which you are born. Each year, the business magazine Forbes publishes a list of the “Forbes 400”-the four hundred wealthiest families and individuals in the country. Of all the wealth represented on the Forbes 400 list, more than half is inherited. Those on the list who could be called “self-made” were not typically of modest origins; most inherited significant assets (Forbes, 1997; Sklar and Collins, 1997). Those in the upper class with newly acquired wealth are known as the nouveau niche. Although they may have vast amounts of money, they are often not accepted

2020年北师大版 《因式分解》 知识点总结

因式分解 4.1 因式分解 PPT ---8页 1、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 例如，a3－a ＝ a (a ＋1)(a －1)， am ＋bm ＋cm ＝m(a ＋b ＋c)，x2＋2x ＋l ＝(x ＋1)2都是因式分解。因式分解也可称为分解因式. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( ) A ．a2＋1＝a(a ＋ 1 a ) B ．(x ＋1)(x －1)＝x2－1 C ．a2＋a －5＝(a －2)(a ＋3)＋1 D ．x2y ＋xy2＝xy(x ＋y) 2、整式乘法与因式分解的关系： 整式乘法与因式分解：一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形． 即：多项式 整式乘积． 即：几个整式相乘 一个多项式 因式分解整式乘法垐垐垎噲垐垐整式乘法因式分解垐垐垎噲垐垐

4.2.1 公因式----PPT 1、公因式的定义：（3页） 一个多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式. 2、怎样确定多项式各项的公因式？（6页） 系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂； 习题：指出下列多项式各项的公因式： (1)3a2y－3ya＋6y；(2) 4 9 xy3－ 8 27x3y2； (3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3； (4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b. 3、找准公因式要“五看”，即： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体， 不要拆开； 五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负．(4)－24x3＋12x2－28x＝－( 24x3－12x2＋28x) ＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)＝－4x(6x2－3x＋7).

北京师范大学 2014年010文学院 拟录取硕士 研究生名单公示

1/16 【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌官方网站：https://www.wendangku.net/doc/c14513863.html, 1 北京师范大学 2014年010文学院拟录取硕士研究生名单公示 录取专业 姓名 考生编号初试总分复试成绩总成 绩备注 030304民俗学林*100274100270511-270270推荐免试 030304民俗学刘**100274100270512-188188推荐免试 030304民俗学叶**100274219100004408223631030304民俗学陈*100274219100006380227607030304民俗学付**100274219100011390273663030304民俗学张**100274219100023398234632030304民俗学李**100274219100027416242658030304民俗学刘**100274219100029394237631030304民俗学陈*100274219100030362227589030304民俗学黄**100274219100037 352260612专项计划 040102课程与教学 论 贾** 100274100270513-256256推荐免试040102课程与教学 论 刘* 100274100270514-232232推荐免试040102课程与教学 论 谭* 100274100270515-210210推荐免试040102课程与教学 论 迟* 100274101650516-240240推荐免试 040102课程与教学 论 李** 100274219100045379246625040102课程与教学 论 任* 100274219100069379261640040102课程与教学 论 王* 100274219100078360231591040102课程与教学 论 刘** 100274289101145284240524专项计划 045103学科教学 （语文） 张* 100274100270568-8383专项计划（免费师 范毕业生） 045103学科教学 （语文） 倪** 100274100270570-8585专项计划（免费师范毕业生） 045103学科教学 （语文） 次*** 100274100270571-81 81 专项计划（免费师范毕业生）

北师大版数学八下因式分解教案

第四章因式分解 4.1 分解因式 备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月 教学目标: 知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。 过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。 情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。 教学重难点： 探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。 教学过程： 创设情景，导出问题： 首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。 章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。 993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 探索交流，概括概念： 想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。 小明是这样做的：

（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？ （2）993-99还能被哪些正整数整除。 答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。 （2）还能被98，99，49，11等正整数整除。 归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。 议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。 做一做：计算下列各式： （1）（m+4）（m-4）= ; （2）（y-3）2= ； （3）3x（x-1）= ； （4）m（a+b+c）= . 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x=（）（） （2）m2-16=（）（）

最新2014年北师大版二年级数学(上)期末试卷

2014年北师大版二年级数学（上）期末试卷 江西省九江市庐山区九纤学校龚玉华 一、口算下列各题（20分） 6×5＝ 36÷4＝ 26＋34＝ 100－38＝ 4÷4＝ 23－8＝ 24÷6＝ 7×1＝ 0×5＝ 12÷3＝ 30÷5＝ 35－7＝ 9×7＝ 7＋45＝ 90－5＝ 18÷9＝ 16＋27＝ 3×9＝ 8×6＝ 2×8＝ 二、用竖式计算下列各题（12分） 37+46-54＝ 81-32-27＝ 42-34+57＝ 100-46-38＝ 三、填空（28分，除注明外，其余每空1分） 1、把口诀补充完整。（3分） 三七（）五（）四十（）十六 七（）五十六一六（）（）二十四 2、 加法算式（），乘法算式（），读作：（ )，3、一块黑板大约长4（）一本故事书的价钱15（）

一条黄约30（）爸爸的身高大约是1（）75（） 4、2＋2＋2＋2＝□×□ 7＋7＋7＝□×□ 4×3＝□＋□＋□ 5、在○里填上“＞”“＜”或“＝”。（3分） 50角○6元3元8角○23角 4米○400厘米 7×8＋7○9×7 12÷3＋9○4×6 30厘米○1米6、（）里最大能填几？（3分） （）×4＜29 34＞5×（） 7×（）＜30 83＞9×（）（）×8＜55 60＞（）×9 （）×6＜38 3×（）＜28 7、7米的8倍是（）米，12是（）的6倍，36是4的（）倍。 8、两个乘数都是7，它们的积是（）； 除数是8，被除数是（），它们的商是7。 9、有36朵花，每人6朵，可以分给（）人；如果平均分给9 人，平均每人（）朵。 10、写出4道商是8的算式（2分） __________ _________ _________ _________ 四、量一量，画一画（5分） 1、下面的线段有多长，请量一量 2、请画出一条比9厘米短3厘米的线段。

2014年北师大版七年级上2

2014年北师大版七年级上2.10科学记数法课件+课时作业含答案解析 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(2012?广东中考)地球半径约为6 400 000米,用科学记数法表示为() A.0.64×107 B.6.4×106 C.64×105 D.640×104 2.(2012?赤峰中考)我们虽然把地球称为“水球”,但可利用的淡水资源匮乏.我国淡水总量仅约为899 000亿米3,用科学记数法表示这个数为() A.0.899×106 B.8.99×105 C.8.99×104 D.89.9×104 3.若将科学记数法表示的数2.468×109还原,则其结果含0的个数是() A.9个 B.8个 C.7个 D.6个 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.(2012?泉州中考)光的速度大约是300 000 000米/秒,将300 000 000用科学记数法表示为. 5.(201 2?毕节中考)据探测,我市煤炭储量大,煤质好,分布广,探测储量达364.7亿吨,占贵州省探明储量的45%,号称“江南煤海”.将数据“364.7亿”用科学记数法表示为_________. 6.据科学家测算,用1吨废纸造出的再生好纸相当于0.3亩～0 .4亩森林木材的造纸量.某市2012年大约有6.7×104名初中毕业生,每名毕业生离校时大约有12千克废纸,若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸,则至少可使森林免遭砍伐_________亩. 三、解答题(共26分) 7.(8分)在一次水灾中大约有100万人的生活受到影响,灾情持续30天,请推断:大约需要准备多少顶帐篷?多少千克粮食?一顶帐篷可住4人,每人每天食用粮食0.5千克.(用科学记数法表示) 8.(8分)中国是一个缺水的国家,节约用水是每一个公民应具有的美德,也是应当遵守的准则. (1)如果按每人一天需水2千克计算,那么100万人一天约需水多少千克? (2)调查一下你家每天的用水量,我国现有人口约13亿,若每人每天节约10克水,一天节约的水够你家用多长时间? 【拓展延伸】 9.(10分)太阳是炽热巨大的气体星球,正以每秒400万吨的速度失去重量.太阳的直径约为140万千米,而地球的半径约为6378千米.请将上述三个数据用科学记数法表示,然后计算: (1)在一年内太阳要失去多少万吨重量? (2)在太阳的直径上能摆放多少个地球? 答案解析 1.【解析】选B.6 400 000=6.4×1 000 000=6.4×106. 2.【解析】选B.899 000=8.99×105. 3.【解析】选D.2.468×109=2 468 000 000,其结果含0的个数是6个. 4.【解析】300 000 000=3×108. 答案：3×108 5.【解析】将364.7亿=36 470 000 000用科学记数法表示为3.647×1010. 答案：3.647×1010 6.【解析】12×6.7×104÷1 000×0.3=241.2(亩). 答案：241.2 7.【解析】1 000 000÷4=250 000=2.5×105(顶), 1 000 00 0×0.5×30=1.5×107(千克). 答:大约需要2.5×105顶帐篷,1.5×107千克粮食. 8.【解析】(1)100万=106,100万人一天需水106×2=2×106(千克). (2)我家每天用水量约为400千克=4.0×102千克,13亿=1.3×109,10克=0.01千克,所以13亿人每天节约用水

2014年北师大教育学740考研真题

2014年北师大教育学740考研真题 北京师范大学 2014 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题(回忆版) 院(系、所)：教育学部 科目代码:740 科目名称：教育学基础综合 （所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效） 随着越来越多的人加入考研大军，研究生就业问题近年来也成为热点话题。官方发布的研究生总体就业率高达95%以上，但有的专业首次就业率甚至低至5.56%。究竟什么才是真实的情况，也许永远也无法知道，但多几个渠道了解信息，或许能在作决定时提供帮助。 七成高校研究生就业率超95％ 凯程考研以"专业、负责、创新、分享"的办学理念，突出"高命中率、强时效性、全面一条龙服务"的特色，成为考研学子选择专业课辅导的首选。10年来已有千余位考生在凯程的帮助下顺利考取全国著名高校，引发业界强烈关注。 名词解释： 第一题，教育的相对独立性 第二题，教学策略 第三题，生活教育 第四题，东林书院 第五题，问卷调查 第六题，教育实验的外在效度 第七题，永恒主义教育思想 第八题，最近发展区 简答 1、哲学取向的教学论有什么特点？ 2、用社会学理论分析学生失范行为。 3、裴斯泰洛奇“要素教育论”的基本主张。 4、举例说明观察法的运行过程。 论述 1、近十年来，我国新课程改革在理论和实践上有那些突破？ 2、论述黄炎培职业教育思想的主要内容，并对其进行评价。 3、小明反应：能正确回答问题，但总是说自己是猜的； 小红反应：主动让老师帮自己检查作业，因为有一次自己作业全对，老师表扬了自己。学习积极，但不愿意尝试那些较为复杂和课后不考的难题。 小军反应：喜欢看课外书，想找到自己感兴趣的内容，对布置的作业不感兴趣。成绩不理想，认为考80 分就可以了。 小亮反应：根本没带练习册，不愿意学习，也不在乎，只想着下课赶紧回家。 （1）用心理学的动机理论分析学生的反应。

因式分解的四种基本方法(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：提公因式法需要注意哪些要点？ 问题2：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________． 问题3：当多项式的项数比较多时常考虑__________法． 问题4：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？ 问题5：是因式分解吗？为什么？ 因式分解的四种基本方法（北师版） 一、单选题(共9道，每道11分) 1.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法 2.下列选项中，能用公式法分解因式的是( ) A. B. C. D.

答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 3.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法 4.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法 5.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法 6.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法 7.把分解因式，结果正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法 8.下列分解因式正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

2013-2014年北师大版七年级数学上册期末试卷及答案

图 1 2013-2014学年七年级数学上期期末考试试题 一. 填空题（每小题4分，共36分） 1、一个数的绝对值是4，则这个数是 数轴上与原点的距离为5的 数是 2、—2x 与3x —1互为相反数，则=x 。 3、如图1，是某一个几何体的俯视图，主视图、左视图，则这个几何体是 4、已知x=3是方程ax-6=a+10的解， 则a=_____________ 5、已知0)1(32=-++b a ，则=+b a 3 。 6、买一个篮球需要m 元，买一个排球需要n 元，则买4个篮球和5个排球 共需要 元。 7、北京时间2007年10月24日，“嫦娥一号”从西昌卫星发射中心成功发射。它在离月球表面200公里高度的极月圆轨道绕月球飞行工作，它距离地球最近处有38.44万公里。用科学记数法表示38.44万公里= 公里。 8、右图是根据某市1999年至2003年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计图可得：．增长幅度最是 年，比它的前一年增加 亿元 9、如右图所示, ∠AOB 是平角, ∠AOC=300 , ∠BOD=600, OM 、ON 分别是∠AOC、∠BOD 的平 分线,∠MON 等于_____________. 图 二. 选择题（每小题3分，共30分） 10.下列计算结果为负值的是 （ ） 100 80 60 40 20 1999 2000 2001 2002 2003 年份/年 工业生产总产值/亿元

A.（-3）÷（-2） B. 0×（-7） C. 1-9 D. -7-（-10） 11. 5的相反数和绝对值分别是（） A. -5；-5 B. -5；5 C. 5；-5 D. 5；5 12. 一款新型的太阳能热水器进价2000元，标价3000元，若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则售货员出售此商品最低可打（） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 13. 下列运算，结果正确的是（） A. 2ab-2ba=0 B. 3xy-4xy=-1 C. 2a2+3a2=6a2 D. 2x3+3x3=5x6 14. 小红家的冰箱冷藏室温度是3℃，冷冻室的温度是-1℃，则她家的冰箱冷 藏室比冷冻室温度高（） A. 2℃ B. -2℃ C. 4℃ D. -4℃ 15. 下列方程的变形中正确 ．．的是（） A. 由x+5=6x－7得x－6x=7－5 B. 由－2(x－1)=3得－2x－2=3 C. 由 3 1 0.7 x- =得 1030 10 7 x- = D. 由 13 93 22 x x +=--得2x=－12 16. 将下左图直角三角形ABC绕直角边A C旋转一周，所得几何体从正面是 （） A B C D 17. 下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18. 若一个角的补角等于它的余角的3倍，则这个角为（） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°

2014年北京师范大学333教育综合真题及参考答案

北京师范大学2014年 1.教育 【答】从广义上说，凡是增进人们的知识和技能，影响人们思想品德的活动都是教育。狭义的教育是指专门的、有组织的教育，主要指学校教育，其含义是教育者根据一定社会或阶级的要求，有目的、有计刘、有组织地对受教育者身心施加影响，把他们培养成为一定社会或阶级所需要的人的活动。 2.苏湖教法 【答】苏湖教法也叫“分斋教学”，是北宋胡瑗在主持苏州、湖州州学时创立的一种新的教学制度，在“庆历兴学”时被用于太学的教学。胡璦在苏湖两州学任教期间，一反当时盛行的重视诗赋声律的学风，提倡经世致用的实学，主张“明体达用”，其内容是在学校内设立经义斋和治事斋，创行“分斋教学”制度。在胡璦的苏湖教法中，学生可以主治一科，兼学其他科，创立分科教学和学科的必修、选修制度，这在世界教育史上也是最早的。 3.进步主义教育 【答】19世纪末，进步教育运动崛起。以帕克的“昆西教学法”为起点，到20世纪50年代衰落。进步主义教育运动反思了传统教育，主张教育要以儿童为中心，尊重儿童的兴趣与需要、个性与自由，对美国乃至世界的教育产生了深远的影响，衰落的主要原因是过于强调儿童自由、忽视社会。1957年，《进步教育》杂志停办，标志着美国教育史上一个时代的结束。 4.赫尔巴特的教育目的论 答】在赫尔巴特的教育理论中，道德是教育的最高目的。赫尔巴特认为，教育所

要达到的基本目的可分为两种，即“可能的目的”和“必要的目的”。“可能的目的”是指与儿童未来所从事的与职业有关的目的，这个目的是要发展多方面的兴趣，使人的各种潜力得到和谐发展。“必要的目的”是指教育所要达到的最高和最为基本的目的，即道德，这个目的就是要养成内心自由、完善、仁慈正义和公平五种道德观念。 5.最近发展区(见2011年北京师范大学真题) 【答】最近发展区即实际的发展水平和潜在的发展水平之间的差距。前者指学生现有的身心成熟程度，后者指在成人的指导下或与更有能力的同伴合作时，能够获得的新的解决问题的能力。最近发展区为学生提供了发展的可能性，教和学的相互作用刺激了人的发展，社会和教育对人的发展起到主导作用。 6.奥苏伯尔的有意义接受学习 【答】所谓有意义学习，就是将符号所代表的新知识和学生认知结构中已有的适当观念建立起非人为的和实质性的联系。非人为的联系指这种联系不是任意的或人为强加的，而是新知识和原有的认知结构中的有关观念建立的某种合理的或逻辑基础上的联系；实质性联系指新旧知识之间的联系是非字面的，是建立在具有逻辑关系基础上的联系，是一种内在的联系。 1.简述德育的基本途径。 【答】德育的途径有直接的和间接的两种。 (1)直接的德育是开设专门的德育课程，系统地向学生传授道德知识和道德理论。 (2)间接的德育是在学科教学、学校与课程管理、辅助性服务工作和学校集体生活各个层面对学生进行道德渗透。①学科教学中唯一可行的道德渗透是德育； ②道德学习的核心是价值观或态度的学习；③教材对学生品德的影响也很重要。

2014年北师大版中考知识点总结：代数式

代数式 考点一、整式的有关概念 （3分） 1、代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式:只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313- 。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 考点二、多项式 （11分） 1、多项式: 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项:所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数）（n m a a m n n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6）),0(1);0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。

2014年北师大版一年级下册数学暑假作业

一、填空。 (1)10个一是( )，10个十是( )。 (2) ( )个十和( )个一合起来是25。 (3)89是由( )个十和( )个一组成的。 (4)个位是5的两位数有( )、( )、( )。 十位是5的两位数有( )、( )、( )。 (5)最大的两位数是( )，最小的两位数是( )。 (6)大于87小于93的数有( )。 (7)按照从1-100的顺序数数是，45后面第3个数是( )，59后面第4个是 ( )，72前面第5个数是( )。 二、看图写数。 三、比大小。 44 ○ 55 88 ○ 86 64 ○ 64 100 ○ 98 25< □ □ >69 四、在你认为合适的答案下面画“O ”或“ ” (1)饲养小组养白兔35只，养黑兔的只数比白兔多得多，黑兔可能有多少只？(画“O ”)，养灰兔的只数比白兔多一些，灰兔可能有多少只？(画“ ”) (2)小红体重35千克，小明的体重和小红差不多，小明的体重可能是多少千克？(画“O ”) 37 60 33 39只 25只 76只

(3)小强每分钟算12道题，小林每分钟算7道题，小刚比小强算得慢，但是比小林 快一些，小刚每分钟可能算几道题？(画“O”) 五、看图写话 下面哪一幅图是淘气看到的？(画“√”) 9 6 12

一、填空。 （1）大鱼比小鱼多3条，小鱼比大鱼（）3条。 （2）柏树比杨树多10棵，杨树比柏树少（）棵。 （3）乒乓球比羽毛球多20个，羽毛球比乒乓球（）。 （4）女生比男生多10人，（）比（）少（）人。 （5）小洁比小畅多得6面红旗，小畅再得（）面红旗，两人的红旗面数就同样多。 二、在（）内填上合适的数。 41＋（）＝45（）＋53＝58 61＋（）＝81（）－30＝25 56－（）＝53（）－15＝52 4＋7＝18－（）16－9＝14－（） 30－（）＝50－40（）＋2＝2＋40 60－（）＝7＋3 三、在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 38＋3068 42＋747 5665－10 70－2090 50＋1050＋120＋3040＋10 60－1050－790＋8890 四、看得数填出4道不同的算式。 20 ____ ____ ____ ____ ____ _____ _____ ___ 95 ____ ____ ____ ____ ____ _____ _____ ___ 五、找规律、填数。 六、应用题。 1、停车场有26辆，32辆，公共汽车比轿车少多少辆？ □○□=□（） 2、动物园里有 60只， 28只， 12只． ①小猴比大象少多少只？②孔雀比大象少几只？ □○□=□（）□○□=□（） ③小猴比孔雀多几只？④孔雀和小猴一共有多少只？

完整版北师大版本八年级数学因式分解练习题附答案

北师大版本八年级数学因式分解练习题(附答案) 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则m12．若a=______，b=______；

2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．15．当m=______时，x 三、因式分解： 2；abc－ac)＋bc＋a(ab．2 ；q＋p－q)－(pm．1． 4433222322；2ab －a4．abc(ac＋bbc＋c＋)＋yxy ；3．x －2y －2x 22222＋2x(x－2)＋1；6．(x－－c)＋b2x)(c－a)＋c－(ab)；．5a (b 2222；4b 4ax＋8ab－8．x－12(y－x)z＋36z ；－7．(xy) ＋22＋＋2(ax＋by)(ay－(ax＋by)bx)(ay－bx)；9． 222222 (a－－－1)1)a10．(1－(b)(1－b；) 22222222；＋bc－．124a)b－(a ＋11．(x1)9(x－－1)；322313．ab－ac4ac＋－4a；y；n ．14x＋n 333＋；2n) ；y)(x15．＋＋125 (3m －．16(3m2n)＋ 3262622；1＋y)＋8(x．18 ；)x－(yy＋)y－(xx．17．333322；＋x3y＋4xy c)a－20－b．－c ；．19(a＋b＋242－8；＋2x 22．x 21．x＋18x－144；

4253－8x2x；24．x －23．－m＋18m －17； 852222－7x)－24＋10(x 26．(x；－7x) 216x ； x25．＋19x－ 222＋x－1)－＋x)(x2；28．(x －＋27．57(a＋1)6(a＋1)； 2222－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48； xx29．＋y－y 四、证明(求值)： 3322的值．b－2ab2b，求＋．已知1ab=0a－＋a ，一定是一个完全平方数．1．求证：四个连续自然数的积再加上2． 222222)．ad)=(a＋＋bd(ac3．证明：－bd))(c＋(bc＋ 222＋2ab－2bcc－2ac的值．，＋2c=3k－1，求ab＋＋，．已知4a=k＋3b=2k 22的值．n) ，求(m＋＋＋mx＋n=(x－3)(x4)x5．若 22－5x＋43y＋ay－24可以分解为两个一次因式a6．当为何值时，多项式x＋7xy的乘积． 22的大小．9y 为任意有理数，比较y6xy与x＋，．若7x 8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．

(完整版)北师大版八年级数学下册《因式分解》练习(含答案)

《分解因式》练习卷 一、选择题 1.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A.23()33a a b a ab +=+ B.2(2)(3)6a a a a +-=-- C.221(2)1x x x x -+=-+ D.22()()a b a b a b -=+- 2.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A.2x y - B.22x x + C.22x y + D.22x xy y -+ 3.把多项式(1)(1)(1)m m m +-+-提取公因式(1)m -后，余下的部分是（ ） A.1m + B.2m C.2 D.2m + 4.分解因式：24x -=（ ） A.2(4)x - B.2(2)x - C.(2)(2)x x +- D .(4)(4)x x +- 5.(3)(3)a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）. A.229a y + B. －229a y + C.229a y - D.－229a y - 6.若 4a b +=，则222a ab b ++的值是（ ） A.8 B.16 C.2 D.4 7.因式分解2a ab -，正确的结果是（ ） A.2(1)a b - B.(1)(1)a b b -+ C.2()a b - D.2(1)a b - 8.把多项式244x x -+分解因式的结果是（ ） A.2(2)x - B.(4)4x x -+ C.(2)(2)x x +- D.2(2)x + 9.若215(3)()x mx x x n +-=++，则m 的值为（ ） A.－5 B.5 C.－2 D.2 10.下列因式分解中，错误的是（ ） A. 219(13)(13)x x x -=+- B.2211 ()42a a a -+=- C.()mx my m x y -+=-+ D.()() ax ay bx by a b x y --+=--

2014年北师大版一年级语文下册知识点

一年级语文下册知识点 一、看拼音写词语归类 ji?rìhuān qìnɡchīfàn zhēnɡyuatuán yuán ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) huāduǒtǔpào jīn yúlìzhanɡɡazhǒnɡ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ɡu?nián xiǎo h?shēnɡhu?zhuǎzi shíjiān ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yípiàn qīnɡshuǐwǒjiāshùlín yìtiáo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kàn jiàn fānɡxiànɡlāshǒu xīn lǐbái yún ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kuài lapāi shǒu p?nɡyou n?nɡmín tián dì( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yìnɡzhào lǎo r?n ān quán shuōhuàɡào sù( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yílìzhǒnɡzi shēnɡyīn gǎn kuài chēzhàn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xīnɡxinɡɡēqǔzu?ɡōnɡpànɡhūhūbǎo hù( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ěr duo yīnɡɡāi mínɡzi tái jiēyùlán ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

zu?yazu?tiān jīn tiān rànɡkāi xīɡuā( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ran zhēn yícìpímáo xiězìnábǐ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hǎo r?n zhuān zu?sījīqǐng wùqìchē( ) ( ) ( ) ( ) ( ) shēn tǐran shíɡōnɡɡ?nɡmiàn bāo kǎchē( ) ( ) ( ) ( ) ( ) chēliàng kaw?n lǎo shīqǐnɡqiút?nɡxu?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xiào huàzhalǐjiǎnɡhuàměi tiān zhuàn d?nɡ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bàn tiān ɡu?lái yǔxuěxiǎnɡshēnɡyíchuàn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zhāo shǒu kōnɡqìyuán dīnɡyídìnɡqīcǎi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) jùdàsacǎi wánɡɡu?bùjiǔzúqiú( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wǎnɡshìlùmiàn ɡāo xìnɡshuōbɑbúyào ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xiánɡfǎzh?nɡdàdiào xiàzǔzhīhái yǒu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )