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近世代数中结合律、交换律及同态的应用

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近世代数中结合律、交换律及同态的应用

作者:吴双权

来源:《读书文摘(下半月)》2017年第04期

摘要:在近世代数的主要研究对象是所谓代数系统,即带有运算的集合。近世代数在数

学的其他分支和自然科学的许多领域里都有很重要的应用,而在近世代数中,结合律、交换律以及同态是一个重要的概念。本文探讨了同态和代数运算中结合律的应用以及交换律成立的简便方法。

关键词:结合律;交换律;同态

定义:一个[A×B到D]的映射叫做一个[A×B到D]的代数运算。

例题:[A={3},B={2},D={对,错}]

0:(3.2)→对3[°]2是一个[A×B到D]的代数运算。

定义:假如[°]是[A×A到A]的代数运算,我们就说,集合[A]对于代数运算[°]来说是闭的,也说,[°]是[A]的代数运算或二元运算。

定义:设[°]是集合[A]的一个代数运算,如果[?a,b,c∈A]都有[a°b°c=a°(b°c)],则称[°]满足结合律。

定义:假如对于[A]的n(n≥2)个固定的元[a1,a2,…,an]来说,所有的[π

(a1°a2°…°an)]都相等,我们就把由这些步骤可以得到的唯一的结果,用[a1°a2°…°an]来表示。

定理:假如一个集合[A]的代数运算[°]满足结合律,那么对于[A]的任意n(n≥2)个元

[a1,a2,…,an]来说,所有的[π(a1°a2°…°an)]都相等;因此符号[a1°a2°…°an]也就总有意义。

例题:结合律是否成立?

思路:考虑[(x°y)°z]和[x°(y°z)],共有54个,比较繁琐

因为[a°x=x,x°a=x]所以[x,y,z]取[a]的话等式成立,只需考虑[x,y,z]取[b,c]情况

即可。

定义:一个[A×A到D]的代数运算[°]适合交换律,如果[?a,b∈A]都有[a°b=b°a]。