质点运动学(2)
第二章 质点运动学
运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程
一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r
表示。
1、 位置矢量
定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r
++=??
k j i
,?,?分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点
的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++=
=
位矢的方向（用方向余弦表示）：
r
z
r y r x ===
γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程
由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r
= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r
)()()()(++=
质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹
质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f
[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R r
sin cos +=，求其轨迹。 解：由已知，
t
R y t R x sin cos == ，则轨迹方程：2
22R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程
1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r
?表示。 )()(t r t t r r
-?+=?
位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r
)()()()()(?+?+?=-?+=?
注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=?≠?
2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ?表示。
注意：质点的路程是标量，一般情况下，同一时间间隔内的路程和位移的大小并不相等。 无限小位移时：dl r d =
§2.2 瞬时速度矢量和瞬时加速度矢量
一、平均速度与瞬时速度 1、平均速度
t
t r t t r t r v ?-?+=??=)
()( 定义：质点的位移与发生这段位移的时间间隔之比，即位矢对时间的平均变化率。
注：平均速度仅能提供一段时间内位置变动的方向和平均快慢，却不能精细地描述质点在每一时刻的运动及快慢。 2、瞬时速度
0→?t 时，将平均速度取极限即可：
dt r d t r v v t t
=??==→?→?00lim lim
其大小：dt
r d t r v v t
=
??==→?0lim ，称为瞬时速率，表示质点在该瞬时运动的快慢； 其方向：沿轨迹质点所在处的切线并指向质点前进的方向。
瞬时速度简称速度。
瞬时速度在直角坐标系中的正交分解式：k v j v i v v z y x
++=
k dt
dz j dt dy i dt dx dt r d v
++==
则：dt
dz v dt dy v dt dx v z y x ===,, 若已知z y x v v v ,,的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下：
大小： 2
22z y x v v v v ++=
方向：v
v
v v v v z v y v x v ===γβαcos ,cos ,cos
3、平均速率
t
l v ??=
注意：平均速率并不是平均速度的大小，仅当质点在直线上沿固定方向运动时，平均速率才等于平均速度的大小。
二、平均加速度与瞬时加速度 1、平均加速度
t
t v t t v t v a ?-?+=??=)
()( 定义：质点的速度增量与发生这一增量的时间间隔之比，即速度矢量对
时间的平均变化率。
2、瞬时加速度
0→?t 时，将平均加速度取极限即可：
2200l i m l i m dt
r d dt v d t v a a t t
==??==→?→? 其大小：dt
v d t v a a t
=
??==→?0lim ，表示速率在该瞬时变化的快慢； 其方向：沿速度矢端曲线的切线并指向与t 增加相应的方向。
瞬时加速度简称加速度。
加速度在直角坐标系中的正交分解式：k a j a i a a z y x
++=
k dt z d j dt y d i dt x d k dt dv j dt dv i dt dv dt v d a z y x
222222++=++==
则：222222,,dt
z
d dt dv a dt y d dt dv a dt x d dt dv a z z y y x x ====== 若已知z y x a a a ,,的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下：
大小： 2
22z y x a a a a ++=
方向：a
a
a a a a z a y a x a ===γβαcos ,cos ,cos
§2.3 质点的直线运动-从坐标到速度加速度
一、运动学方程
1、坐标系的选择：研究直线运动，最好选择只含一个坐标轴的坐标系。比如：Ox 、Oy 、Oz ，其原点位于参考系的参考点上，坐标系与质点轨迹重合。
2、运动学方程：设坐标系为Ox
i t x t r r
)()(==
由于坐标系与质点轨迹重合，位矢的矢端与坐标x 一一对应，则将方程写成： )(t x x =
比如：t t x e x x t t x t cos 5sin ,,25203+==+-=- 3、位移：12,x x x i x r -=??=?
x ? 的大小反映了位置变动的多少。
二、速度和加速度
1、速度： i v i dt
dx dt r d v x ===
讨论：当,0>x v 质点运动方向与x 轴正向相同；
当,0 22,dt x d a i a i dt dv dt v d a x x x ==== 讨论：x a 的正负不能决定质点是加速还是减速运动； 当x x v a 与同号时，质点做加速运动； 当x x v a 与反号时，质点做减速运动。 三、匀速直线运动和变速直线运动 1、 匀速直线运动：c v x = （c 为恒量）； t v x x x +=0 质点在任意相等的时间内通过的位移相等 2、匀变速直线运动： c a x =（c 为恒量） t a v v x x x +=0 例如竖直上抛、自由落体运动等 例题：将真空长直管沿铅直方向放置。自其中O 点向上抛小球又落至原处所用的时间为2T 。在小球运动过程中经过比O 点高H 处。小球离开H 处至又回到H 处所用时间为1T 。现测得1T 、2T 和H ，试决定重力加速度g 。 解：将小球视为质点，建立以O 为原点铅直向上的坐标系O-y ，如图，测2T 时，质点初始坐标为 00=y ，设其初速度为20v v y =。因小球O 时终坐标亦为0=y ，有 22222 100gT T v - += 同理，设测1T 时小球经H 向上的速度为10v v y =，又有 21112 1gT T v H H - += 小球自H 高处落至O ，有 gH v v 22 12 2=- 从上面三式消掉1v 和2v ，即得 2 1 2 28T T H g -= §2.4 质点的直线运动-从加速度到速度和坐标 一、从速度到运动学方程和位移 1、由 dt dx v x = ，则x 是x v 的一个原函数，若已知速度)(t v x ，可通过不定积分求的与之对应的愿函数： c t x dt dt dx dt t v x x +===??)()(， c 为任意常数 2、如再给出0t t =时，0x x =的条件，则)(,)(0000t x x c c t x x x -=?+== 3、由定积分知识：dt t v t x t x t t x ?=-0 )()()(0 dt t v x x t t x ?+ =0)(0 只要给定位置坐标的初始条件，便可根据质点的速度唯一地确定质点的运动学方程。 4、位移：dt t v x x x t t x ?= -=?0 )(0，与初始条件无关。 二、从加速度到速度和运动学方程 1、由 dt dv a x x = ， c t v dt t a v x x x +==?)()(，c 为任意常数 给定：0t t =时，x x v v 0=的条件，则)(00t v v c x x -=? ?+=-+=t t x x x x x x dt t a v t v t v v v 0 )()]()([000 2、只要给出位置坐标的初始条件，即可求出运动学方程。 例题：已知质点做直线运动，其加速度随时间的变化规律为： )/(4100)(2 2 s m t t a -= 初始条件：0,0000===x v t x 时， 解：建坐标O-x 沿质点运动方向，圆点在质点初始时所在的点， H 则， 30 2 03 4100)4100(0)(0t t dt t dt t a v v t t t x x x -=-+=+ =?? 42 0303 150)34100(0)(0t t dt t t dt t v x x t t t x -=-+=+=?? §2.5平面直角坐标系 ? 抛体运动 一、平面直角坐标系 质点的平面运动是指质点在平面上的曲线运动（包括直线运动）。 1运动方程：作平面运动的质点的运动学方程在平面直角坐标系中的表示为： j t y i t x t r r )()()(+== 由上式可知：平面运动状况需要由两个独立标量函数)(t x 和)(t y 决定。 2 速度： j dt dy i dt dx dt r d v +== 即：dt dy v dt dx v y x ==, 若已知y x v v ,的大小则瞬时速度的大小和方向可表示如下： 大小： 2 2y x v v v += 方向：v v v v y v x v ==βαcos ,cos v α和v β为速度矢量的方向角。 3加速度： j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 则：,22dt x d dt dv a x x == 22dt y d dt dv a y y == 若已知y x a a ,的大小，则瞬时速度的大小和方向可表示如下： 大小： 2 2y x a a a += 方向： a a a a y a x a == βαcos ,cos 4若给出质点平面运动的速度和质点位置的初始条件： 0t t =时，00,y y x x ==，y y x x v v v v 00,== dt v y y dt v x x t t y t t x ??+=+=0 00 dt a v v dt a v v t t y y y t t x x x ??+=+=0 000 例题：已知质点作平面运动的加速度： t B a t A a y x sin cos -=-= ，0,0≠≠≠A B A 初始条件：0t t =时，0,00==y A x ，B v v y x ==00,0 解： t A tdt A dt t a v v t t t x x x sin cos )(0 00 -=-=+=?? t B tdt B B dt t a v v t t t y y y cos sin )(0 00 =-=+=?? t B t d t A A dt t v x x t t t x cos sin )(0 00 =-=+=?? t B t d t B dt t v y y t t t y sin cos )(0 00 ==+=?? 得到： t A x cos = t B y sin = 所以：1 2 2=??? ??+??? ??B y A x 二、抛体运动 将质点以和水平面成某一角度的初速度抛出去，若不考虑空气阻力，质点作抛体运动。 1、建坐标：以抛出点为原点，建0-xy 坐标系 初速度为0v ，与x 轴之间的夹角为α。 选择抛出时为计时起点，则 2002 1sin cos gt t v y t v x -?=?=αα 位矢：)2 1sin (cos 200gt t v i t v j y i x r -?+?=+=αα 轨迹方程： 2 2 2 0cos 2x v g xtg y α α- =， 此方程代表抛物线。 2、“矢量法”讨论： 将抛体运动视为沿初速度方向的匀速直线运动和自 x 由落体运动的合运动： 2 02121t g t v r r r +=+= t g v dt r d v +==0 §2.6自然坐标?切向和法向加速度 一、自然坐标 1、如图所示，沿质点运动轨迹建立一弯曲的坐标轴，选择轨迹上一点O ’为“原点”，用由原点O ’至质点所在位置的弧长S 作为质点位置坐标，若轨迹限于平面内，弧长S 叫做平面自然坐标。 S 的正方向：沿坐标增加的方向（人为规定），S 可正可负。 2、质点的运动学方程： )(t S S = 3、利用自然坐标对矢量进行正交分解： 沿切线方向： 切向单位矢量：沿曲线切线且指向自然坐标S 增加的方 向为单位矢量，通常用τ 表示。 沿法线方向： 法向单位矢量：沿曲线切向且指向曲线凹侧的单位矢量，用n 表示。 A 点的n 和τ如图所示 。 注意：任何矢量都可向n 和τ方向作正交分解。另外，n 和τ不是恒矢量，虽然大小时时刻刻都是1， 但它们的方向通常随质点位置的改变而变化。 二、速度 法向和切向加速度 1、 速度： 由速度的定义：t r v t ??=→? 0lim ，当0→?t 时，r ?的方向趋于位移起点处的切线，r ?的大小趋于对 应的弧长 。如图所示：0→?t 时，τ s r ?→?，s ?可正可负，r ?的大小趋于对应的弧长 。 则： ττ dt ds t s t r v t t =??=??=→?→?00lim lim 令 dt ds v =τ 为速度在切向单位矢量方向的投影， ττ v v =，可见，速度只有切向投影，不存在法向分量。 注意：τv 不同于速率 ：τv 可正可负，而速率 仅大于零。 由0>dt ，S 增加的方向与τ 方向一致，若0>ds ， 0>τv ，即质点沿 τ 方向运动； 若0 0<τv ，即质点逆τ 方向运动。 2、自然坐标中的加速度 （1）对圆周运动的讨论 BC v v v =-=?12 在AC 上截取AD=AB ， 所以21v v DC BD BC v ?+?=+==? 若速度只有方向改变而大小不变， BD v =? ，所以 1v ?是由速度的方向改变 而引起的变化量。 若速度只有大小改变而方向不变，DC v =? ，即2v ?是由速度的大小改变而引起的变化量； 根据定义： t v t v t v a t t t ??+??=??=→?→?→?20100lim lim lim 1）由 α=∠=∠=====?AOB BAC R OB OA v v v BD v ,,,211 故 R v AB v =?1 则 R v t AB R v t v a t t n 2 01 0lim lim = ?=??=→?→? 式中v 是质点在A 处的速率。 结论：作变速圆周运动的质点具有沿法向单位矢量方向的加速度为法向加速度，是由于质点速度的方向变化而产生的。 质点沿圆弧自A 运动至B 的快慢有时用角速率表示： t t ??=→?θω0lim R R v a R t R v n t 22 0,lim ωωθ===??=→?则： 2）由 ττ v v = ττττττ'→→?'== 时，0,,2211t v v v v 则 dt dv t v a t ττ=??=→?20 lim 结论：作变速圆周运动的质点有一个沿切向单位矢量方向的加速度为切向加速度，是由于质点速度的大 1 1 小变化而产生的。 注意： ①dt dv dt dv 与 τ的意义不同，后者反映速率的变化率，前者因dt 总为正，τa 与τdv 符号一致。 ② τa 与τv 符号相同时，加速运动；符号相反，减速运动。 总加速度： τ τττ dt dv n R v a n a a n +=+=2 2 2τ a a a n += （2）对一般平面曲线运动的讨论 曲率圆和曲率半径：在曲线轨迹上任取三点，这三点可以决定一个圆，若两侧的点无限靠近中间的A 点，则他们所决定的圆讲无限接近于一个极限圆，叫做曲线在A 点的曲率圆。曲率圆的半径ρ叫做曲线在该点的曲率半径。 质点作一般平面曲线运动时，质点的轨迹可以看作由无穷多个圆的局部组合而成。于是，把圆周运动加速度公式中的R 换成曲率半径ρ，就可以适用于一般曲线运动。 τρτρτττ 2222dt s d n v dt dv n v a n a a n +=+=+= 讨论：①τa 是由速度大小变化而产生的，若0=τa ，则做匀速率运动。 是由速度方向变化而产生的，若 ，则做直线运动。 ②τa 与 同方向。 时，0>τa ， τa 与 同向； 时，0<τa ， τa 与 反向。 例题1：汽车在半径为200米圆弧形公路上刹车,刹车开始阶段的运动学方程为3 2.020t t s -= (长度:m,时间:s)，求t=1s 时的加速度。 解：由ττττ dt dv n R v a n a a n +=+=2 )/(6.0202s m t dt ds v -== τ t=1s 时 则 222 2 /88.1/200 )6.020(s m s m r v a n =-==τ 2/2.12.1s m t dt dv a -=-== τ τ 22 2/23.2s m a a a n =+= τ 5667.1-== τ αa a tg n 例题2：低速迫击炮弹以发射角45o发射，起初速率 s m v /900=。在于发射点同一水平面上落地。不计 空气阻力，求炮弹在最高点和落地点其运动轨迹的曲率。 解：将炮弹时为质点，不计空气阻力，它做抛体运动，其运动的速度和加速度为： j gt v i v v )sin (cos 00-+=αα j g g a -== 1）在最高点：i v v gt v v y ααcos 0sin 00=?=-= 以抛出点为坐标原点，沿抛物线建自然坐标，以质点运动方向为正方向，在最高点，切向单位矢i 与τ 同向，法向单位矢j n 与反向。由 g v a n ==ρ 2 则：m m g v g v 3.4138 .9)2290() cos (2 2 2=? === αρ 2）在落地点：τ 0v v = m m v g a n 11692 28.990)45cos(22 =? = '?= -=ρρ §2.8伽利略变换 同一运动，对于不同的参考系，可以得到不同的结论。不同的参考系中对运动描述不同，研究各描述之间的关系是这节的主要内容。 一、伽利略变换 如图所示，建立直角坐标O 系和O ′系，O ′系相对于 O 系作匀速直线运动。p 为被研究的运动质点。 两参考系的坐标轴始终保持平行。 o r ' 表示O ′在O 系中的位矢； r ' 表示质点 p 在O ′系中的位矢； r 表示质点 p 在O 系中的位矢。 则：o o r r r r r r ''-='+'= 则, 在直角坐标系中的分量形式：（设O ′系以0v 沿x 轴方向运动） t t z z y y t v x x ='='='-='0 称这种自O 系到O ′系的时空变换关系即为伽利略变换。 其逆变换为： t t z z y y t v x x ' ='=' =-'=0 自O ′系到O 系的时空变换。 二、伽利略变换所蕴含的时空观 1、关于同时性 设在O 系中观测得二事件均于t 时刻发生，两者可在同一地点或不同地点。 在O ′系中观测该二事件发生的时刻分别是' '21t t 和，由伽利略变换可知： 2211,t t t t ='='即：'='21t t 即: O ′系中，二事件也是同时发生的。即同时性是绝对的。 2、 关于时间间隔 设：O 系中，二事件分别于1t 和2t 时刻相继发生，O ′系中，测得二事件发生的时刻' '21t t 和 由伽利略变换： 2211,t t t t ='=' 即：2121t t t t -=' -' 即：两参考系中观测到两事件的时间间隔相同。 也可以说：在伽俐略变换下，时间间隔是绝对的。 3、关于杆的长度 在O ′系中放一杆与轴平行，相对于 O ′系静止，但相对于 O 系运动。用在O 和 O ′系中同一参考系校准过的尺测量杆的长度。 ' -'='?12x x x 表示在O ′系中测的杆长。 O 系中的尺子相对于O 系静止，但杆相对于O ′系运动，尺子和杆的两端分别对齐，设坐标是 和 ，若测量是同时的，则 12x x x -=? 表示在O 系中测的杆长。 由伽俐略变换可知： x x x x x x vt x x vt x x ?='?-=' -'-=' -=' 12122211 即：在彼此作匀速运动的参考系中测量杆的长度，测量结果相同。 注：杆沿运动方向的长度与杆静止时相同。 总之，在伽俐略变换下，时间测量和空间测量均与参考系的运动状态无关。时间和空间也不相互联系，这就是经典力学的时空观（有时也称作牛顿的绝对时空观）。 三、伽利略速度变换关系 由坐标关系： o r r r '+'= 相对 牵连绝对v v v dt r d dt r d dt r d o +=?'+ =' 即：绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和，此即为伽利略速度变换关系 例题：如图，甲舰自北向南以速率1v 行驶，乙舰自南向北以速率2v 行驶，两舰联线和航线垂直时，乙舰向甲舰发射炮弹，发射速率为0v ，求发射方向与航线所成的夹角。 解：运动质点：炮弹；基本参考系：乙舰；运动参考系：甲舰 由甲乙弹甲弹乙v v v += 021,v v v v v =+=弹乙甲乙 所以：2212 0)(v v v v +-= 弹甲 则： 0 2 1cos v v v += α 四、加速度对伽利略变换为不变量 由速度变换 相对牵连绝对v v v += 两端对时间求导数，因为牵连v 为恒矢量，则： 相对绝对a a = 即：加速度对伽利略变换保持不变。 第1章 质点运动学 一、基本要求 1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义； 2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程； 3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。 二、基本内容 （一）本章重点和难点： 重点：掌握质点运动方程的物理意义及利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。 难点：将矢量运算方法及微积分法应用于运动学解题。（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试请用箭头形式表示） （二）知识网络结构图： ? ?? ?? ? ?? ?? ? ??? ??? ?????? ?? ??相对运动 总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移 位矢基本物理量,,,,:)(,, （三）容易混淆的概念： 1.瞬时速度和平均速度 瞬时速度（简称速度），对应于某时刻的速度，是质点位置矢量随时间的变化率，用求导法；平均速度是质点的位移除以时间，对应的是某个时间段内的速度平均值，不用求导法。 2. 瞬时加速度和平均加速度 瞬时加速度（简称加速度），对应于某时刻的加速度，是质点速度矢量随时间的变化率，用求导法；平均加速度是质点的速度增量除以时间，对应的是某个时间段内加速度的平均值，不用求导法。 3.质点运动方程、参数方程和轨迹方程 质点运动方程（即位矢方程），是质点位置矢量对时间的函数；参数方程是质点运动方程的分量式；而轨迹方程则是从参数方程中消去t 得到的，反映质点运动的轨迹特点。 4．绝对速度、相对速度和牵连速度 绝对速度是质点相对于静止参照系的速度；相对速度是质点相对于运动参照系的速度；牵连速度是运动参照系相对于静止参照系的速度。 （四）主要内容： 1．质点的位矢、位移、运动方程 （1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r )()()()(++=（描述质点运动的空间位置与时间的关系式） （2）位矢（r ）：k z j y i x r ++= 第二章 质点运动学 思考题 2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？ 答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。 2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？ 答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。 2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？ 答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t 时刻的 瞬时速度等于t 至t+△t 时间内平均速度t /r ?? ，当△t →0时的极 限，即 dt r d t r lim v 0t = ??=→?。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。 2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 答： ,dt dv t v lim a x x 0 t x =??=→?加速度与速度同号时，就是说,0a ,0v 0a ,0v x x x x <<>>或以0a ,0v x x >>为例， 速度为正表示速度的方向与x 轴正向相同，加速度为正表示速度的 增量为正， t t ?+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。 同理可说明 ,0a ,0v x x <<质点作加速运动。 质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。例如初速度为x 0v ，加速度为 t 6a x -=，速度为 2 0t 0x 0x t 2 1t 6v dt )t 6(v v -+=-+=?， ,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。 2.5设质点直线运动时瞬时加速度=x a 常量，试证明在任意相等的 时间间隔内的平均加速度相等。 答：平均加速度 121 x 2x x t t v v a --= 由瞬时加速度 , dt a dv ,dt a dv ,dt dv a 2 1 2 x 1 x t t x v v x x x x x ??=== 得， 121x 2x x t t v v a --=，=x a 常量，即121 x 2x x t t v v a --= 为常 量。 2.6在参照系一定的条件下，质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系的选择有关？ 答：有关。 例子，以地面为参照系，研究物体的自由下落。 质点运动学1 一、选择题 1、 分别以r 、s 、υ 和a 表示质点运动的位矢、路程、速度和加速度，下列表 述中正确的是 A 、r r ?=? B 、υ==dt ds dt r d C 、dt d a υ= D 、υ=dt dr [ B ] 2、 一质点沿Y 轴运动，其运动学方程为324t t y -=， 0=t 时质点位于坐标原 点，当质点返回原点时，其速度和加速度分别为 A 、116-?s m ，216-?s m B 、116-?-s m ，216-?s m C 、116-?-s m ，216-?-s m D 、116-?s m ，216-?-s m [ C ] 3、已知质点的运动方程为：θθcos cos 2Bt At x +=，θθsin sin 2Bt At y +=，式中 θ、、B A 均为恒量，且0>A ，0>B ，则质点的运动为： A ．一般曲线运动； B ．圆周运动； C ．椭圆运动； D ．直线运动； （ D ） [分析] 质点的运动方程为 22 cos cos sin sin x At Bt y At Bt θθ θθ?=+?=+? 由此可知 θtan =x y ， 即 ()x y θtan = 由于=θ恒量，所以上述轨道方程为直线方程。 又 ()()???+=+=θθ sin cos Bt A v Bt A v y x 22 ???====恒量恒量 θθsin cos B a B a y x 22 由于0>A ，0>B ，显然v 与a 同号，故质点作匀加速直线运动。 4、质点在平面内运动，位矢为)(t r ，若保持0=dt dr ，则质点的运动是 A 、匀速直线运动 B 、 变速直线运动 第1章 质点运动学 习题及答案 1．｜r ?｜与r ? 有无不同t d d r 和dr dt 有无不同 t d d v 和dv dt 有无不同其不同在哪里试举例说明． 解: ｜r ?｜与r ? 不同. ｜r ?｜表示质点运动位移的大小,而r ?则表示质点运动时其径向长度的增量;t d d r 和dr dt 不同. t d d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt 则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. t d d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt 则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动 解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动. 3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心. 4．一物体做直线运动，运动方程为23 62x t t =-，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。 解: 由于: 23 2621261212x(t )t t dx v(t )t t dt dv a(t )t dt =-==-==- 所以:（1）第二秒内的平均速度: 1(2)(1)4()21 x x v ms --==- （2）第三秒末的速度: 21 (3)1236318()v ms -=?-?=- （3）第一秒末的加速度: 2(1)121210()a ms -=-?= 第1章 质点运动学 一、选择题 1. 一物体在位置1的矢径是 r 1, 速度是 v 1． 经?t 秒后到达位置2，其矢径是 r 2, 速度 是 v 2．则在?t 时间内的平均速度是 [ ] (A) )(2112v v - (B) )(2112v v + (C) t r r ?-1 2 (D) t r r ?+12 2. 一物体在位置1的速度是 v 1, 加速度是 a 1．经?t 秒后到达位置2，其速度是 v 2, 加速度是 a 2．则在?t 时间内的平均加速度是 [ ] (A) )(1 12v v -?t (B) )(112v v +?t (C) )(2112a a - (D) )(2 112a a + 3. 关于加速度的物理意义, 下列说法正确的是 [ ] (A) 加速度是描述物体运动快慢的物理量 (B) 加速度是描述物体位移变化率的物理量 (C) 加速度是描述物体速度变化的物理量 (D) 加速度是描述物体速度变化率的物理量 4．运动方程表示质点的运动规律, 运动方程的特点是 [ ] (A) 绝对的, 与参考系的选择无关 (B) 只适用于惯性系 (C) 坐标系选定后, 方程的形式是唯一的 (D) 参考系改变, 方程的形式不一定改变 5. 竖直上抛的物体, 在t 1秒末时到达某一高度, t 2秒末再次通过该处，则该处的高度是 [ ] (A) 212 1t gt (B) )(2121t t g + (C) 2 21)(2 1t t g + (D) )(2 112t t g - 6. 一质点作曲线运动, 任一时刻的矢径为 r , 速度为 v , 则在?t 时间内 [ ] (A) v v ?=? (B) 平均速度为??r t (C) r r ?=? (D) 平均速度为 t r ?? 7. 一质点作抛体运动, 忽略空气阻力, 在运动过程中, 该质点的 t d d v 和t d d v 的变化情 T 1-1-1图 T 1-1-2图 第二章质点运动学 习题解答 2.1.1质点的运动学方程为 (1)；(2) 求质点的运动轨迹并用图表示。 解: （1） 则 轨迹为 y =5 的直线 （2 ） 则轨迹为 2.1.2质点运动学方程为(1).求质点轨迹。（2）求自t= -1至t= 1质点的位移。 解： （1） z=2 则xy=1 z=2即为轨迹 z=2 平面上的双曲线 （2）t=-1时， z=2 t=1时，，， 则位移 2.1.3质点的运动学方程为。 (1)求质点的轨迹。（2）求自t=0至t=1质点的位移。 解： （1） 轨迹为 （2）时 时 则 大小 方向与x轴夹角为26o36′ 2.2.1雷达站于某瞬时测得飞机位置为，度。 0.75S 后测得, 度,、均在铅直平面内。求飞机瞬时 速率的近似值和飞行方向(α角)。 解： 瞬时速率 飞行方向：由, 2.2.2一小圆柱体沿岸抛物线轨道运动,抛物线轨道为(长度:mm)。第一次观察到圆柱体在x=249米处,经过时间2ms后圆柱体移到x=234米处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解：由轨迹方程， ， ,， 瞬时速度的方向： 2.2.3一人在北京音乐厅内听音乐,离演奏者17米，另一人在广州听同一演秦的转播,广州离北京2320km,收听者离收音机2米,问谁先听到声音?声速为340m/s。电磁波的传播速率为30万km/s。 解： 在广州的听众先听到。 2.2.5火车进入弯道时减速,最初列车向北以90km/h.速率行驶,3min后以70km/h速率向北偏西30度方向行驶.求列车的平均加求速度。 解： 方向：（正南 偏西） 2.2.6 (1) ,R为正常数.求（1）t=0,π/2时的速度和加速度。 (2).求t=0,1时的速度和加速度.(写出正交分解式)。 解：由 （1） t = 0 时， 质点运动学 1.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为（其中a、ｂ为常量）,则该质点作 ( ) Ａ.匀速直线运动． B.变速直线运动. C.抛物线运动． Ｄ.一般曲线运动． 答案:Ｂ 2对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： ( ） Ａ.切向加速度必不为零． B．法向加速度必不为零（拐点处除外)． C．由于速度沿切线方向，法向分速度必为零,因此法向加速度必为零. Ｄ．若物体作匀速率运动,其总加速度必为零． E.若物体的加速度为恒矢量,它一定作匀变速率运动． 答案：B 3.一个质点在做匀速率圆周运动时（） Ａ.切向加速度改变,法向加速度也改变. B.切向加速度不变,法向加速度改变． Ｃ.切向加速度不变，法向加速度也不变. D.切向加速度改变，法向加速度不变． 答案:B ４.｛ 一质点沿ｘ方向运动，其加速度随时间变化关系为 a=3+2t(ＳＩ), 如果初始时质点的速度v 0为5 m/s,则当t为3s时，质点的速度 ｖ=_＿_________＿_____. ｝ 答案:2３m/ｓ 5.{ 一辆作匀加速直线运动的汽车,在6s内通过相隔60 m远的两点,已知汽车经过第二点时的速率为１5m/s,则(1)汽车通过第一点时的速率v１=_＿__＿____＿＿___＿___＿; (2）汽车的加速度a=__＿_＿___＿__＿___＿__＿_____＿＿_. } 答案:5.00 m／s|１.６7 ｍ/ｓ２ 6.{ 一质点作半径为０．1 m的圆周运动,其角位置的运动学方程为: （SI) 则其切向加速度为=_＿_＿_____＿___________． } 答案:０.１ｍ/s2 7.｛ 试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况： （１);__＿___＿___＿_____＿＿＿＿___＿________＿_ (２）,a n=0；＿____＿_＿__________＿_______________ aｔ、a n分别表示切向加速度和法向加速度。 } 答案:变速率曲线运动|变速率直线运动 第二章质点运动学（习题） 2.1.1 质点的运动学方程为 求质点轨迹并用图表示。 解:① . 轨迹方程为 y=5 ② 消去时间参量 t 得： 2.1.2 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=-1 至 t=1 质点的位移。 解;① 消去 t 得轨迹： xy=1,z=2 ② , , 2.1.3 质点运动学方程为，（ 1 ） . 求质点的轨迹；（ 2 ） . 求自 t=0 至t=1 质点的位移。 解:① . 消去 t 得轨迹方程 ② 2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为 ， 0.75s 后测得 均在铅直平面内。求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。 解 : 代入数值得： 利用正弦定理可解出 2.2.2 一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为 （长度 mm ）。第一次观察到圆柱体在 x=249mm 处，经过时间 2ms 后圆柱体移到 x=234mm 处。求圆柱体瞬时速度的近似值。 解: 2.2.3 一人在北京音乐厅内听音乐，离演奏者 17m 。另一人在广州听同一演奏的转播，广州离北京2320km ，收听者离收音机 2m ，问谁先听到声音？声速为 340m/s, 电磁波传播的速度为。 解 : 在广州的人先听到声音。 2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音 747 飞机自北京不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。 解 : 2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以 90km/h 速率行驶， 3min 后以 70km/h 速率向北 偏西方向行驶。求列车的平均加速度。 解， 第一章 __________ 学号 ____________《大学物理Ⅰ》答题纸姓名 第一章质点运动学 : 选择题一. B时，=0曲线如图所示，如tx轴作直线运动，其v?t ］1、[基础训练2]一质点沿［则t=4.5 s时，质点在x轴上的位置为质点位于坐标原点，(m/s)v (B) 2m．(A) 5m． (D) ?2 m．(C) 0． 5 m. (E) ?2v-t轴上的位置即为这段时间内【提示】质点在 x12.54.5(s)t图曲线下的面积的代数和。O43211?s4.5 ?)2(m1?2?2?2?(2?1)?x?vdt?(1?2.5)?0 D v r a表示[］2、基础训练4] 质点作曲线运动，表示速度，［表示位置矢量， a表示切向加速度分量，下列表达式中，加速度，s表示路程，t v?dtd t?adr/d v/，(2) ， (1) a?d v/dt v t?ds/d ，(3) (4) ．t(4)(1)、是对的．(B) 只有(2)、(4)是对的．(A) 只有只有(3)是对 的．(D) (C) 只有(2)是对的．v dds v??a即可判断。【提示】根据定义式，t tdd t A。1 km两个码头，相距5] 一条河在某一段直线岸边同侧有A、［B ］3、[基础训练4 返回。甲划船前去，船相对河水的速度为，再立即由B甲、乙两人需要从码头A到码头B，则到B．如河水流速为2 km/h, 方向从Akm/h；而乙沿岸步行，步行速度也为4 km/h 甲和乙同时回到A．A．(B) (A) 甲比乙晚10分钟回到A．(D) 甲比乙早2分钟回到A．甲 ???? 比乙早(C) 10分钟回到21km1km 【提示】甲：；) (?h??t?t?t AA?甲BB?3/2hkm/hkm424??11km?22t?t?t?t??(h)乙：；B乙AA?B?AB?24hkm/1?tt??10 (min)?t? (h)∴乙甲6 B 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为[自测提高2]］4、 第1章质点运动学（复习指南) 一、基本要求 掌握参考系、坐标系、质点、运动方程与轨迹方程得概念，合理选择运动参考系并建立直角坐标系,理解将运动对象视为质点得条件、 掌握位矢、位移、速度、加速度得概念;能借助直角坐标系计算质点在平面内运动时得位移、平均速度、速度与加速度、会计算相关物理量得大小与方向、 二、基本内容 １.位置矢量(位矢） 位置矢量表示质点任意时刻在空间得位置,用从坐标原点向质点所在点所引得一条有向线段，用表示．得端点表示任意时刻质点得空间位置.同时表示任意时刻质点离坐标原点得距离及质点位置相对坐标轴得方位.位矢就是描述质点运动状态得物理量之一.对应注意: (１）瞬时性:质点运动时，其位矢就是随时间变化得,即.此式即矢量形式得质点运动方程. (2)相对性:用描述质点位置时，对同一质点在同一时刻得位置,在不同坐标系中可以就是不相同得．它表示了得相对性,也反映了运动描述得相对性. (3）矢量性:为矢量，它有大小，有方向,服从几何加法.在平面直角坐标系系中 位矢与x轴夹角正切值 ? 质点做平面运动得运动方程分量式:,． 平面运动轨迹方程就是将运动方程中得时间参数消去,只含有坐标得运动方程、 ２.位移 得大小?. 注意区分:(1)与,前者表示质点位置变化,就是矢量，同时反映位置变化得大小与方位.后者就是标量,反映从质点位置到坐标原点得距离得变化．(2)与,表示时间内质点通过得路程,就是标量.只有当质点沿直线某一方向前进时两者大小相同，或时,. 3．速度 定义，在直角坐标系中 得方向:在直线运动中,表示沿坐标轴正向运动,表示沿坐标轴负向运动． 在曲线运动中,沿曲线上各点切线,指向质点前进得一方. 第二章质点运动学 思考题 质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动质点沿直线运动，其 位置矢量是否一定方向不变答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动, 质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。 若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运 动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。 “瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确如何正 确表述瞬时速度的定义我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测 量瞬时速度 答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t时刻的瞬时速度等于t至t+ △ t时间内平均速度r / t，当△ t-0时的极限，即卩 r dr v lim t 0t dt。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高 的精确度。 试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动； 加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动, 质点速度逐渐增加但加速度却在减小 V x 0,a x 0或 V x Oa 0,以 V x 0,a x 0 为例， 速度为正表示速度 的方向与 x 轴正向相同，加速度为正表示速度的 增量为正，t t 时刻的速度 大于t 时刻的速度，质点作加速运动, 同理可说明 V x , a x 0 ,质点作加速运动。 质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在 的。例如初速度为V 0x ，加速度为 a x 6 t ，速度为 t 1 2 V x v °x (6 t)dt v 。6t 2t t 6 时， a x , V x ,速度逐渐增加。 设质点直线运动时瞬时加速度 a x 间隔内的平均加速度相等。 常量，试证明在任意相等的时间 a x lim 丄 d- 答： 七0 t dt '加速度与速度同号时，就是说 第二章 质点运动学 思考题 2、1质点位置矢量方向不变,质点就是否作直线运动？质点沿直线运动,其位置矢量就是否一定方向不变？ 答:质点位置矢量方向不变,质点沿直线运动。质点沿直线运动,质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。 2、2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变,质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？ 答:质点的速度矢量的方向不变仅大小改变,质点作变速率直线运动;速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。 2、3“瞬时速度就就是很短时间内的平均速度”这一说法就是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们就是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？ 答:“瞬时速度就就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义就是质点在t 时 刻的瞬时速度等于t 至t+△t 时间内平均速度t /r ??ρ ,当△t →0时 的极限,即 dt r d t r lim v 0t ρρρ = ??=→?。很难直接测量,在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度,随着技术的进步,测量可以达到很高的精确度。 2、4试就质点直线运动论证:加速度与速度同号时,质点作加速运动;加速度与速度反号时,作减速运动。就是否可能存在这样的直线运动,质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 答: ,dt dv t v lim a x x 0 t x =??=→?加速度与速度同号时,就就是说,0a ,0v 0a ,0v x x x x <<>>或以0a ,0v x x >>为例, 速度为正表示速度的方向与x 轴正向相同,加速度为正表示速度的增量为正,t t ?+时刻的速度大于t 时刻的速度,质点作加速运动。同 理可说明 ,0a ,0v x x <<质点作加速运动。 质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小就是可能存在 一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的 运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 【提示】如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+，22dl dx l x dt dt =， dx l dl dl dt x dt x dt ==，0dl v dt =-， 2 2 0dx h x v i v i dt +==- 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=- 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。 ［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. 【提示】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和。 4.50 (1 2.5)22(21)122()s x vdt m = =+?÷-+?÷=? ［ D ］3、[基础训练4] 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1) a t = d /d v ， (2) v =t r d /d ， (3) d d /t =s v ， (4) t a t =d /d v ． (A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． 【提示】根据定义式d d t =s v ，d d t a t =v ，d d a a t ==v 即可判断。 ［ C ］4、[基础训练6]一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是 -12 第一章 质点运动学 一 选择题 1． 下列说法中，正确的是 （ ） A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度 B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率 C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零 D. 一物体具有沿x 轴正方向的加速度，其速度有可能沿x 轴的负方向 解：答案是D 。 2. 某质点作直线运动的运动方程为x =3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 （ ） A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 解：答案是D 3. 如图示，路灯距地面高为H ，行人身高为h ，若人以匀速v 背向路灯行走，则人头影子移动的速度u 为（ ） A. v H h H - B. v h H H - C. v H h D. v h H 解：答案是B 。 设人头影子到灯杆的距离为x ，则 H h x s x =-，s h H H x -=， v h H H t s h H H t x u -=-== d d d d 所以答案是B 。 4. 一质点的运动方程为j i r )()(t y t x +=，其中t 1时刻的位矢为j i r )()(111t y t x +=。问质点在t 1时刻的速率是 （ ） A. d d 1t r B. d d 1t r C. 1 d d t t t =r D. 1 22)d d ()d d ( t t t y t x =+ 解 根据速率的概念，它等于速度矢量的模。 本题答案为D 。 5. 一物体从某一确定高度以v 0的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为v t ，那么它的运动时间是 （ ） A. g 0 v v -t B. g 20v v -t C. g 2 02v v -t D. g 22 02v v -t 解：答案是C 。 灯 s 选择题3图 《大学物理AI 》作业 运动的描述 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、选择题 1．一质点沿x 轴作直线运动，其v ~ t 曲线如图所示。若t ＝0时质点位于坐标原点，则t ＝ s 时，质点在x 轴上的位置为 [ ] (A) 0 (B) 5 m (C) 2 m (D) －2 m (E) －5 m 解：因质点沿x 轴作直线运动，速度t x v d d = ， ??==?2 1 2 1 d d t t x x t v x x 所以在v ~ t 图中，曲线所包围的面积在数值上等于对应时间间隔内质点位移的大小。横轴以上面积为正，表示位移为正；横轴以下面积为负，表示位移为负。由上分析可得t ＝ s 时, 位移 ()()()m 21212 125.2121 =?+-?+= =?x x 选C 2．如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、 湖水静止，则小船的运动是 [ ] (A) 匀加速运动 (B) 匀减速运动 (C) 变加速运动 (D) 变减速运动 (E) 匀速直线运动 解：以水面和湖岸交点为坐标原点建立坐标系如图所示，且设定滑轮到湖面高度为h ，则 小船在任一位置绳长为 22x h l += 题意匀速率收绳有 022d d d d v t x x h x t l =+-= 故小船在任一位置速率为 x x h v t x 220d d +-= 小船在任一位置加速度为 32 220222d d x x h v t x a +-==，因加速度随小船位置变化，且与速度方向相同，故小船作变加速运动。 选C 3．一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,? 的端点处，其速度大小为 [ ] (A) t r d d (B) t r d d ? (C) t r d d ? (D) 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ) - 第一章 力和运动 （质点运动学） 一. 选择题: ［ B ］1、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时， 质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) 2 m ． (E) 5 m. (1 2.5)22(21)122()x m =+?÷-+?÷=提示： ［ C ］2、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖 中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边 x 米， 222l h x =+ 22dl dx l x dt dt = 22 dx l dl x h dl dt x dt x dt +== 0dl v dt =- 220dx h x v i v i dt x +==-r r r 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=-r r r r ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r ,? 的端点处, 其速度大小为 1 4.5432.52-112 t (s) v (m/s) v ? x o (A) t r d d (B) t r d d ? (C) t r d d ? (D) 2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 提示：22 , dx dy dx dy v i j v dt dt dt dt ??????=+ ∴=+ ? ? ???????r r v ［ B ］4、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2R /T , 2R/T ． (B) 0 , 2R /T (C) 0 , 0． (D) 2R /T , 0. 提示：平均速度大小：0r v t ?==?v r 平均速率：2s R v t T ?= =?π ［ B ］5、在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向单位矢用i ?、j ? 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 (A) 2i ?＋2j ?． (B) 2i ?＋2j ?． (C) －2i ?－2j ?． (D) 2i ?－2j ? ． 提示：2(2)B A B A v v v j i →→→=+=+-r r r r r 地地 ［ D ］6、某人骑自行车以速率v 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30o 方向 吹来，人感到风从哪个方向吹来 (A)北偏东30 (B)北偏西60 (C) 北偏东60 (D) 北偏西30 提示：根据v r 风对人=v r 风对地+v r 地对人，三者的关系如图所示：这是个等边三角形，∴人感到风从北偏西300方向吹来。 二. 填空题 v r 风对人 v r 地对人 v r 风对地 教学时数:10 教学目的与要求: （1）使学生牢固掌握即时速度和即时加速度的概念。 （2）要区分时刻与时间间隔以及位置坐标、位置矢量、位移和路等概念。 （3）要求掌握位移图线与速度图线，并能应用它们来计算位移及速度、加速度。 （4）要熟练掌握匀加速直线运动规律并能灵活运用，重点研究自由落体及竖直上抛运动。 （5）掌握好位移、速度及加速度的矢量性，能正确进行速度的合成分解。仅讲授动坐标系作平移的情况下的相对运动。 （6）要熟练掌握圆周运动及切向加速度、法向加速度的意义。 （7）通过抛体运动的学习，使学生对运动的独立性及运动的合成有明确的认识。 （8）在圆周运动基础上介绍一般曲线运动，但不作深入研究。 （9）熟练掌握在不同坐标系下，速度、加速度的表达形式。 教学重点: 参照系和坐标系；质点；时间和时刻,位置矢量，位移、速度、加速度；运动方程，运动迭加原理，切向加速度和法向加速度。角位移、角速度、角加速度；角量与线量的关系,相对运动. 教学难点: 运动方程, 相对运动 本章主要阅读文献资料: 顾建中编《力学教程》人民教育出版社 赵景员、王淑贤编《力学》人民教育出版社 漆安慎杜婵英《〈力学基础〉学习指导》高等教育出版社 质点运动学方程 一、质点的位置矢量与运动学方程 位置矢量的引入，例：研究某时刻直升飞机在空中的位置。 首先选择参考系如图：设地面上的某一点为参考点，飞机视为质点。 仅由飞机和参考点的距离并不能确定飞机的方位（飞机可以位 于以参考点为球心的球面上的任何位置），只有确定飞机的方位， 才能完全唯一的确定飞机的位置。 1．位置矢量的定义： 由参考点指向质点所在位置的矢量为质点的位置矢量，简称“位 矢”。如图中的，即是P点的位矢：通常用表示。 若建立如图所示的直角坐标系，令坐标原点和参考点重合，则有位矢的正交分量形式： （1） 上式中的称为位置坐标，即：位矢在坐标轴上的投影。 有上述定义可知：“位矢”可以描述质点的位置。同样：建立坐标系后的“位置坐标”也可以描述质点位置。 位矢的大小： 位矢的方向（用方向余弦表示）： 第二讲 运动 学 §2.1质点运动学的基本概念 2．1．1、参照物和参照系 要准确确定质点的位置及其变化,必须事先选取另一个假定不动的物体作参照,这个被选的物体叫做参照物，为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标,构成坐标系， 通常选用直角坐标系O –xyz ,有时也采用极坐标系，平面直角坐标系一般有三种,一种是两轴沿水平竖直方向,另一是两轴沿平行与垂直斜面方向,第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）， 2．1．2、位矢 位移和路程 在直角坐标系中,质点的位置可用三个坐标x,y,z 表示,当质点运动时,它的坐标是时间的函数 x=X （t ） y=Y （t ） z=Z （t ） 这就是质点的运动方程， 质点的位置也可用从坐标原点O 指向质点 P （x 、y 、z ）的有向线段r 来表示，如图2-1-1所示, 也是描述质点在空间中位置的物理量， 的长度为质点到原点之间的距离,r 的方向由余弦 cos 、 cos 、 cos 决定,它们之间满足 1cos cos cos 222 当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间 图2-1-1 ) 2图2-1-2 而变,可表示为r =r (t)，在直角坐标系中,设分别为、、沿方向x 、y 、z 和单位矢量,则可表示为 t z t y t x t )()()()( 位矢与坐标原点的选择有关， 研究质点的运动,不仅要知道它的位置,还必须知道它的位置的变化情况,如果质点从空间一点),,(1111z y x P 运动到另一点),,(2222z y x P ,相应的位矢由1变到 2,其改变量为 z z y y x x r r )()()(12121212 称为质点的位移,如图2-1-2所示,位移是矢量,它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段，它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向，它与坐标原点的选择无关， 2．1．3、速度 平均速度 质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度 t s v 平均速度是矢量,其方向为与r 的方向相同，平均速度的大小,与所取的时间 间隔t 有关,因此须指明是哪一段时间（或哪一段位移）的平均速度， 瞬时速度 当t 为无限小量,即趋于零时,r 成为t 时刻的瞬时速度,简称速 度 t s v v t t 00 lim lim 瞬时速度是矢量,其方向在轨迹的切线方向， 瞬时速度的大小称为速率，速率是标量， 质点运动学 .选择题： : C ] 1、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中 的船向岸边运动?设该人以匀速率 v 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A)匀加速运动. (B)匀减速运动. (C)变加速运动. (D)变减速运动. (E)匀速直线运 动. 提示：如图建坐标系，设船离岸边 X 米, 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化 提示：质点在x 轴上的位置即为这段时间内V-t 图 曲线下的面积的代数和。 4 ?5s x 二 vdt = (1 2.5) 2 2-(2 1) 1 2=2(m) [D : 3、一运动质点在某瞬时位于矢径 r x, y 的端点处，其速度大小为 (A ) d r dt (C ) dr dt (B) (D) d r dt /f d x^Jdy ^2 认 dt 丿idt 丿 2l dl =2x dX dt dt dx I dl x 2 h 2 dl dl dt x dt x dt (A) 5m . (B) 2m. (C) 0 . (D) -2 m. (E) -5 m. I 2 二 h 2 x 2 , 二 _v 0 4 dx ? J h 2 + x 2 4 dt dx dt x :B : 2、一质点沿x 轴作直线运动，其 v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于 坐标原点，则t=4.5 s 时，质点在x 轴上的位 置为 :C :4、一飞机相对空气的速度 大小为 200 km/h,风速为56 km/h ，方向从 西向东.地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是 (A)南偏西16.3°; (B)北偏东16.3°; (C)向正南或向正北； (D)西偏北16.3° ; (E)东偏南16.3 提示：根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式 v 机，地=盒痊气+V 空气，地，可以画出三个速度 之间的矢量关系，女口图所示 v 机庄气=200m/s, V 空气地 =56m/s, v 机，地 =192m/s ，根据余弦定理, 2 2 2 200 =56 192 -2 56 192cos 二，解得 cos*0，所以二=「. 2 [C ] 5、某物体的运动规律为dv/dt =-kv 2 t ，式 中的k 为大于零的常量.当t= 0 时，初速为 V 0,则速度v 与时间 t 的函数关系是 (A) v 」kt 2 v °. (B) v 兰一 ■- kt 2 v 2 2 1 kt 2 1 1 kt 2 1 (C)- + (D) + 5 — v 2 v ° v 2 v° :dv /dt = -kv ，分离变量并积分, v 0 dv ' /曰 1 kt 2 1 2 二-ktdt ，得 =——亠一 v v 0 v 2 v ° :B : 6、在相对地面静止的坐标系内， A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船 沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向.今在 A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系 (x 、y 方向 单位矢用i 、j 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度(以 m/s 为单位)为 提示: dt dy 扌 dt j ， dx2 dy 2 ,dt dt (A) 2 i + 2 j . (B) -2i + 2 j (C) — 2i — 2 j . (D) 2 i — 2 j 第一章 质点运动学习题答案 1-1 质点做直线运动，运动方程为 2126x t t =- 其中t 以s 为单位，x 以m 为单位，求：(1)t ＝4s 时，质点的位置、速度和加速度；(2)质点通过原点时的速度；(3)质点速度为零时的位置；(4) 做出x -t 图、v -t 图、a -t 图. 解：(1) 根据直线运动情况下的定义，可得质点的位置、速度和加速度分别为 2 126x t t =- （1） 1212dx v t dt = =- （2） 2212d x a dt ==- （3） 当t ＝4s 时，代入数字得：48x =-m 36v =-m/s 12a =-m/s 2 （2）当质点通过原点时，x ＝0，代入运动方程得：2 126t t -＝0 解得：120,2t t ==，代入（2）式得： 112v =m/s 2v =－12m/s (3) 将0v =代入（2）式，得12120t -= 解得：1t =s 代入（1）式得：x =12m －6m=6m 1.2一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度. 解：（1） j t t i t r )432 1()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 j i r 5.081-= m j j r 4112+=m j j r r r 5.4312+=-=?m (3)∵ j i r j j r 1617,4540+=-=1质点运动学
力学第二章质点运动学思考题答案
1.质点运动学答案
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第二章 质点运动学
2.1质点运动学的基本概念
第一章质点运动学答案
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