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MATLAB几种数值积分之比较

具体参数的意义我这里不详细说明，大家可以看帮助系统，我们这里只是讨论各大函数的区别比较和注意

一、Z = trapz(X,Y,dim)

梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使用梯形公式进行积分

例1 计算int(sin(x),0,pi)

%by dynamic

>>x=0:pi/100:2*pi;

>>y=sin(x);

>>z=trapz(x,y)%或者说使用z = pi/100*trapz(y)

z =

1.0300e-017

>>z = pi/100*trapz(y)

二、[q,fcnt]= quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)

自适应simpson公式数值积分，适用于精度要求低，被积函数平滑性较差的数值积分

注意事项：

1.被积函数fun必须是函数句柄

2.积分限[a,b]必须是有限的，因此不能为inf

3.p1为其他需要传递的参数，一般是数值

可能警告：

1.'Minimum step size reached'

意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当，无法继续计算了。原因可能是有不可积的奇点2.'Maximum function count exceeded'

意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点

3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。

例2 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]

%by dynamic

>>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);

>>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%或者使用quad(F,0,2,[],[],5)效果是一样的，只是前者使用的函数嵌套

Q =

-0.4605

>>quad(F,0,2,[],[],5)

ans =

-0.4605

三、[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,tol,trace,p1,p2...)

自适应Lobatto数值积分，适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分

注意事项：

同quad

可能警告：

同quad

例3 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]

%by dynamic

>>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);

>>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%或者Q = quadl(@(x)F(x,5),0,2)

Q =

-0.4605

四、[q,errbnd] = quadgk(fun,a,b,param1,val1,param2,val2,...)

自适应Gauss-Kronrod数值积分，适用于高精度和震荡数值积分，支持无穷区间，并且能够处理端点包含奇点的情况，同时还支持沿着不连续函数积分，复数域线性路径的围道积分

法

注意事项：

1.积分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必须快速衰减

2.被积函数在端点可以有奇点，如果区间内部有奇点，将以奇点区间划分成多个，也就是说奇点只能出现在端点上

3.被积函数可以剧烈震荡

4.可以计算不连续积分，此时需要用到'Waypoints'参数，'Waypoints'中的点必须严格单调

5.可以计算围道积分，此时需要用到'Waypoints'参数，并且为复数，各点之间使用直线连接

6.param,val为函数的其它控制参数，比如上面的'waypoints'就是，具体看帮助

出现错误：

1.'Reached the limit on the maximum number of intervals in use'

2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'

例4 计算有奇点积分int(exp(x)*log(x),0,1)

%by dynamic

>>F=@(x)exp(x).*log(x);%奇点必须在端点上，否则请先进行区间划分

>>Q = quadgk(F,0,1)

Q =

-1.3179

例5 计算半无限震荡积分int(x^5*exp(-x)*sin(x),0,inf)

%by dynamic

>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

>>fplot(F,[0,100])%绘图，看看函数的图形

>>[q,errbnd] = quadgk(F,0,inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-12)%积分限中可以有inf，但必须快速收敛

q =

-15.0000

errbnd =

9.4386e-009

例6 计算不连续积分，积分函数为f(x)=x^5*exp(-x)*sin(x)，但是人为定义f(2)=1000，f(5)=-100，积分区间为[1 10]

%by dynamic

>>F=@(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

>>[q,errbnd] = quadgk(F,1,10,'Waypoints',[2 5])%显然2，5为间断点

q =

-10.9408

errbnd =

3.2296e-014

例7 计算围道积分，在复数域内，积分函数1/(2*z-1)，积分路径为由[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i]围成的矩形边框

%by dynamic

>>Waypoints=[-1-i 1-i 1+i -1+i -1-i];

>>plot(Waypoints);%绘制积分路径

>>xlabel('Real axis');ylabel('Image axis');axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5]);grid on;

>>Q = quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',[1-i,1+i,-1+i])%注意各点间使用直线连接

ans =

0.0000 + 3.1416i

>> quadgk(@(z)1./(2*z - 1),-1-i,-1-i,'Waypoints',Waypoints)%使用这个的效果也是一样的，

就是说始末点可以随便包不包含在Waypoints中

ans =

0.0000 + 3.1416i

五、[Q,fcnt] = quadv(fun,a,b,tol,trace)

矢量化自适应simpson数值积分

注意事项：

1.该函将quad函数矢量化了，就是一次可以计算多个积分

2.所有的要求完全与quad相同

例8 计算下面积分，分别计算n=1,2...,5时的5个积分值，被积函数1/(n+x)，积分限为[0,1]

%by dynamic

>>for k = 1:5, Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);end;Qs

Qs =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

>>F=@(x,n)1./((1:n)+x);%定义被积函数

>>quadv(@(x)F(x,5),0,1)%我们可以完全使用quadv函数替换上面循环语句的，建议使用后者

ans =

0.6931 0.4055 0.2877 0.2231 0.1823

六、q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)

矩形区域二重数值积分，一般区域二重积分参见NIT(数值积分工具箱)的quad2dggen函数例9 计算下面二重积分

%by dynamic

>>F = @(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);

>Q = dblquad(F,pi,2*pi,0,pi)

Q =

-9.8696

七、q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)

长方体区域三重数值积分，注意此时没有一般区域的三重积分

例10 计算下面三重积分

%by dynamic

>>F = @(x,y,z)y*sin(x)+z*cos(x);

>>Q = triplequad(F,0,pi,0,1,-1,1)

Q =

2.0000

八、超维长方体区域多重积分

quadndg：NIT工具箱函数，可以解决多重超维长方体边界的定积分问题，但没有现成的一般积分区域求解函数

下面总结下：

(1)quad：采用自适应变步长simpson方法，速度和精度都是最差的，建议不要使用

(2)quad8：使用8阶Newton-Cotes算法，精度和速度均优于quad，但在目前版本下已被取消

(3)quadl：采用lobbato算法，精度和速度均较好，建议全部使用该函数

(4)quadg：NIT(数值积分)工具箱函数，效率最高，但该工具箱需要另外下载

(5)quadv：quad的矢量化函数，可以同时计算多个积分

(6)quadgk：很有用的函数，功能在Matlab中最强大

(7)quad2dggen：一般区域二重积分，效率很好，需要NIT支持

(8)dblquad：长方形区域二重积分

(9)triplequadL：长方体区域三重积分

(10)quadndg：超维长方体区域积分，需要NIT支持

数值积分算法与MATLAB实现陈悦5133201讲解

东北大学秦皇岛分校数值计算课程设计报告数值积分算法及MATLAB实现学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号5133201 姓名陈悦指导教师姜玉山张建波成绩教师评语：指导教师签字： 2015年07月14日

1 绪论数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值检索方其理论与软件的实现.而数值分析主要研究数值计算. 现科学技术的发展与进步提出了越来越多的复杂的数值计算问题，这些问题的圆满解决已远人工手算所能胜任，必须依靠电子计算机快速准确的数据处理能力.这种用计算机处理数值问题的方法，成为科学计算.今天，科学计算的应用范围非常广泛，天气预报、工程设计、流体计算、经济规划和预测以及国防尖端的一些科研项目，如核武器的研制、导弹和火箭的发射等，始终是科学计算最为活跃的领域. 1.1 数值积分介绍数值积分是数值分析的重要环节，实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系. 求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解.由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题.对微积分学做出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了这个分支的理论基础. 构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式.特别在节点分布等距的情形称为牛顿-科特斯公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式.但它们的精度较差.龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式(Rhomberg Integration).当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分.数值积分还是微分方程数值解法的重要依据.许多重要公式都可以用数值积分方程导出.现探讨数值积分算法以及运用MATLAB软件的具体实现

【数学建模学习】Matlab的数值积分

Matlab 的数值积分问题（１）求和命令sum 调用格式. 如果x 是向量,则sum(x) 给出x 的各个元素的累加和;如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例3.1 调用命令sum 求向量x 的各个元素的累加和。解:输入 x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; sum(x) 得到 ans=55 例3.2 调用命令sum 求矩阵x 的各列元素的累加和。解:输入 x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x) 得到 ans=12 15 18 2．定积分的概念. 定积分是一个积分和的极限. 例如取x e x f =)(,求定积分?10dx e x 的近似值。积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间, x=linspace(0,1,21); 选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值. y=exp(x); 取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来. y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 s1=1.6757 s1可作为定积分?10dx e x 的近似值。若选取右端点: y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 s2=1.7616 s2也可以作为定积分?10dx e x 的近似值。下面我们画出图象. plot(x,y);hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')

end 如果选取右端点,则可画出图象. for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],'b') hold on end plot(x,y,'r') 在上边的语句中,for … end 是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill 命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充. 可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算。 syms k n s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n); limit(s,n,inf) 得结果 ans=exp(1)-1 3．计算定积分例3.6 计算?10dx e x . 解:输入命令: syms x; int(exp(x),0,1) 得结果 ans=exp(1)-1. 这与我们上面的运算结果是一致的. ⒈ 由给定数据进行梯形求积假设已经建立起向量T N T N y y y y x x x x ],,,[,],,,[2121 ==，则可用以下语句进行梯形求积： sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 MATLAB 提供的trapz()函数也可直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为 S=trapz(x,y) [例1-6-17] 试用梯形法求出),0(π∈x 区间内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积分值。 [求解] >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]; x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 >> S1=trapz(x1,y) [例1-6-18] 用定步长方法求解积分?2 /30)15cos(πdx x 。 [求解] 鉴于求解区域内被积函数有很强的振荡，可先用下述语句绘制被积函数的曲线。 >> x=[0:0.01:3*pi/2,3*pi/2]; y=cos(15*x); plot(x,y) 采用不同的步距，可分别得到积分近似结果。 >> syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % 求理论值 >> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]

matlab数值微积分与方程数值求解

电子一班王申江实验九数值微积分与方程数值求解一、实验目的 1、掌握求数值导数和数值积分的方法 2、掌握代数方程数值求解的方法 3、掌握常微分方程数值求解的方法二、实验内容 1、求函数在指定点的数值导数。 () 23 2 123,1,2,3 026 x x x f x x x x x == >>syms x >>f=[x x^2 x^3;1 2*x 3*x^2;0 2 6*x]; >>F=det(f) F=2*x^3 >>h=0.1 >>x=[0:h:4]; >>f=2*x^3; >>[dy,dx]=diff_ctr(f,h,1); >>y1=dy(dx==1) y1=6.0000 >>y2=dy(dx==2)

y2=24.0000 >>y3=dy(dx==3) y3=54.0000 2、用数值方法求定积分。（1） 210I π =?的近似值 a=inline('sqrt(cos(t.^2)+4*sin((2*t).^2)+1)'); I=quadl(a,0,2*pi) I = 6.7992 + 3.1526i （2）()1 202ln 11x I dx x +=+? b=inline('log(1+x)./(1+x.^2)'); I=quadl(b,0,1) I = 0.2722 3、分别用3种不同的数值方法解线性方程组。 6525494133422139211 x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-??-+-=??++-=??-+=? A=[6,5,-2,5;9,-1,4,-1;3,4,2,-2;3,-9,0,2]; b=[-4,13,1,11]'; x=A\b

数值积分的matlab实现

实验10 数值积分实验目的： 1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。实验内容：积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分?1 0 d sin x x x 。这时我们一般考虑用数值方法计算其近似值，称为数值积分。 10.1 数值微分简介设函数()y f x =在* x 可导，则其导数为 h x f h x f x f h ) ()(lim )(**0* -+='→ （10.1）如果函数()y f x =以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值 h x f h x f x f ) ()()(*** -+≈' （10.2）表 10-1 一般的，步长h 越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数()y f x =在 *x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似代替微商。常用的差商公式为： 000()() ()2f x h f x h f x h +--'≈ （10.3） h y y y x f 243)(2 100-+-≈ ' （10.4）

h y y y x f n n n n 234)(12+-≈ '-- （10.5）其误差均为2 ()O h ，称为统称三点公式。 10.2 数值微分的MATLAB 实现 MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) 其中x 是n 维数组，dx 为1n -维数组[]21321,, ,n x x x x x x ---,这样基于两点的数值导数可通过指令diff(x)/h 实现。对于三点公式，读者可参考例1的M 函数文件diff3.m 。例1 用三点公式计算()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值，()f x 的值由下表给解：建立三点公式的M 函数文件diff3.m 如下： function f=diff3(x,y) n=length(x);h=x(2)-x(1); f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h); for j=2:n-1 f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h); end f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h); 在MATLAB 指令窗中输入指令： x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y) 运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。对于高阶导数，MATLAB 提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下： step1：对给定数据点（x,y ），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp ，供后面ppval 等指令使用。其中，pp 是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。 step2：对于上面所求的数据向量pp ，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp 。 step3：对各个分段多项式pp 的系数，利用函数ppval 生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp 生成相应的导数分段多项式 step4：将待求点xx 代入此导数多项式，即得样条导数值。上述过程可建立M 函数文件ppd.m 实现如下： function dy=ppd(pp) [breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);

matlab实现数值分析插值及积分

Matlab实现数值分析插值及积分摘要：数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：=+。其中Aitken插值计算的结果图如下：对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为： 0.6932 其中复化梯形公式计算的结果图如下：

问题重述问题一：已知列表函数表格 1 分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算。问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分，使精度小于5。问题解决问题一：插值方法对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。一、拉格朗日插值法：拉格朗日插值多项式如下：首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数 )(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子 )())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成： )())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+- 利用1)(=i i x l 得：

数值积分用matlab实现

数值积分用m a t l a b实现

东北大学秦皇岛分校数值计算课程设计报告数值积分及Matlab实现学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号5133117 姓名楚文玉指导教师张建波姜玉山成绩教师评语：指导教师签字： 2015年07月14日

1 绪论在科研计算中，经常会碰到一些很难用公式定理直接求出精确解的积分问题，对于这类问题，我们一般转化为数值积分问题，用计算机来实现求解问题． 1.1 课题的背景对于定积分()b a f x dx ?在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式()()()b a I f x dx F b F a ==-?可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数() f x 不易求出或非常复杂．被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如 2 sin (),x x f x e x -= 等；有的函数()f x 的原函数()F x 存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式．因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的．另外，许多实际问题中的被积函数()f x 往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值．因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算．而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值．微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一．随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域．现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有着很重要的意义．国内外众多学者在数值积分应用领域也提出了许多新方法．在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等．通过这个课题的研究，我们将会更好地掌握运用数值积分算法求出特殊积分函数的定积分的一些基本方法、理论基础；并且通过Matlab 软件编程的实现，应用于实际生活中． 1.2 课题的主要内容框架

数值积分的算法比较及其MATLAB实现

编号：审定成绩：重庆邮电大学毕业设计（论文）设计（论文）题目：数值积分算法与MATLAB实现学院名称：数理学院学生姓名：专业：数学与应用数学班级：学号：指导教师：答辩组负责人：填表时间：年月重庆邮电大学教务处制

摘要在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件

ABSTRACT When the solution of the definite integral of some function values，because the original function is very complex and difficult to find the elementary function expression, the integral is difficult to accurately calculate, only managed to find the approximate value, and the case is small that allows to direct interface with the Newton - Leibniz formula to calculate the definite integral. Numerical integration is an effective method to solve such problems. The numerical integration is an important branch of numerical analysis; therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail some important numerical integration methods. This paper has introduced detail the Newton - Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss - Legendre quadrature formula. In addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the computer, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and comparison to various quadrature formulas calculation error. 【Key words】Numerical integration Newton-Cotes quadrature formula High-precision quadrature formula Matlab software

matlab求定积分之实例说明

一、符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为： int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分； int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分； int(s,v,a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下： >>syms x y z %定义符号变量 >>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式 NORMINV(probability,mean,standard_dev) Probability 正态分布的概率值。 Mean 分布的算术平均值。 Standard_dev 分布的标准偏差。 F2 = 1610027357/6563700-6072064/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解 >>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解 VF2 = 224.92153573331143159790710032805 二、数值积分 1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)?法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。 2.数值积分的实现方法基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 基于变步长、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法，MATLAB给出了quadl函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quadl('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积

数值积分算法与MATLAB实现

数值积分算法与MATLAB实现本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！摘要：在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件

前言对于定积分，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数不易求出或非常复杂。被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如等；有的函数的原函数存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式。因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值。因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算。而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值。微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节。数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一，也是应用数学研究的重点。随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域。现在，数值积分在计算

利用Matlab实现Romberg数值积分算法----系统建模与仿真结课作业

利用Matlab 实现Romberg 数值积分算法一、内容摘要针对于某些多项式积分，利用Newton —Leibniz 积分公式求解时有困难，可以采用数值积分的方法，求解指定精度的近似解，本文利用Matlab 中的.m 文件编写了复化梯形公式与Romberg 的数值积分算法的程序，求解多项式的数值积分，比较两者的收敛速度。二、数值积分公式 1.复化梯形公式求解数值积分的基础是将区间一等分时的Newton —Cotes 求积公式: I =(x)[f(a)f(b)]2 b a b a f dx -≈ +? 其几何意义是，利用区间端点的函数值、与端点构成的梯形面积来近似(x)f 在区间[a,b]上的积分值，截断误差为： 3" (b a)()12 f η-- (a,b)η∈ 具有一次的代数精度，很明显，这样的近似求解精度很难满足计算的要求，因而，可以采用将积分区间不停地对分，当区间足够小的时候，利用梯形公式求解每一个小区间的积分近似值，然后将所有的区间加起来，作为被求函数的积分，可以根据计算精度的要求，划分对分的区间个数，得到复化梯形公式： I =1 1 (b a)(b a) (x)dx [f(a)f(b)2(a )]2n b a k k f f n n -=--≈+++∑? 其截断误差为：

2" (b a)h ()12 R f η--= (a,b)η∈ 2.Romberg 数值积分算法使用复化的梯形公式计算的数值积分，其收敛速度比减慢，为此，采用Romberg 数值积分。其思想主要是，根据I 的近似值2n T 加上I 与2n T 的近似误差，作为新的I 的近视，反复迭代，求出满足计算精度的近似解。用2n T 近似I 所产生的误差可用下式进行估算： 12221 ()3 n n n I T T T -?=-=- 新的I 的近似值： 122 n n j T T -=?+ j =（0 1 2 ….） Romberg 数值积分算法计算顺序 i=0 (1) 002T i=1 (2) 102T (3) 012T i=2 (4) 202T (5) 112T (6) 022T i=3 (7) 302T (8) 212T (9) 122T (10) 032T i=4 (11) 402T (12) 312T (13) 222T (14) 132T … … … … 其中，第一列是二阶收敛的，第二列是四阶收敛的，第三列是六阶收敛的，第四列是八阶收敛的，即Romberg 序列。

Matlab数值积分与数值微分

M a t l a b数值积分与数值微分 Matlab数值积分 1.一重数值积分的实现方法变步长辛普森法、高斯-克朗罗德法、梯形积分法 1.1变步长辛普森法 Matlab提供了quad函数和quadl函数用于实现变步长辛普森法求数值积分.调用格式为: [I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace) [I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace) Fname是函数文件名，a,b分别为积分下限、积分上限； tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，非0则展开，默认不展开. 返回值I为积分数值；n为调用函数的次数. --------------------------------------------------------------------- 例如：求 ∫e0.5x sin(x+π )dx 3π 的值. 先建立函数文件 fesin.m function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调用quad函数

[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10) I= 0.9008 n= 365 --------------------------------------------------------------------- 例如：分别用quad函数和quadl函数求积分 ∫e0.5x sin(x+π 6 )dx 3π 的近似值，比较函数调用的次数. 先建立函数文件 fesin.m function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6)); formatlong [I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10) I= n= 198 [I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10) I= n= 365 --------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调用原函数的次数比quad少，并且比quad函数求得的数值解更精确. 1.2高斯-克朗罗德法

Matlab的数值积分

Matlab的数值积分问题（１）求和命令sum调用格式. 如果x是向量,则sum(x) 给出x的各个元素的累加和;如果x是矩阵,则sum(x)是一个元素为x的每列列和的行向量. 例3.1 调用命令sum 求向量x的各个元素的累加和。解:输入 x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; sum(x) 得到 ans=55 例3.2 调用命令sum 求矩阵x的各列元素的累加和。解:输入 x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x) 得到 ans=12 15 18 2．定积分的概念. 定积分是一个积分和的极限. 例如取x e x f= ) (,求定积分?1 dx e x的近似值。积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间, x=linspace(0,1,21); 选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值. y=exp(x); 取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来. y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 s1=1.6757 s1可作为定积分?1 dx e x的近似值。若选取右端点: y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 s2=1.7616 s2也可以作为定积分?1 dx e x的近似值。下面我们画出图象. plot(x,y);hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')

详解Matlab求积分的各种方法

详解Matlab求积分地各种方法一、符号积分符号积分由函数int来实现.该函数地一般调用格式为： int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示地默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分； int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分； int(s,v,a,b)：求定积分运算.a,b分别表示定积分地下限和上限.该函数求被积函数在区间[a,b]上地定积分.a和b可以是两个具体地数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf).当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果.当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分.当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数. 例：式 F2 = 1. 2. 其中取tol=0.001.trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0.返回参数I即定积分值，n为被积函数地调用次数. 例：求函数'exp(-x*x)地定积分，积分下限为0，积分上限为1. >>fun=inline('exp(-x.*x)','x'); %用内联函数定义被积函数fname >>Isim=quad(fun,0,1) %辛普生法 Isim = 0.746824180726425 IL=quadl(fun,0,1) %牛顿－柯特斯法

IL = 0.746824133988447 三、梯形法求向量积分 trapz(x,y)—梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X地积分(向量形式，数值方法). >>d=0.001; >>x=0:d:1; >>S=d*trapz(exp(-x.^2)) S= 0.7468 或： S =

2019年数值积分的matlab实现

实验10 数值积分实验目的： 1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。实验内容：积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所sinx 1?xd这时我们一般考虑用数值方法计算其如不定积分。以仍然得不到积分的精确值，x0 近似值，称为数值积分。10.1 数值微分简介 *x)f(x?y在设函数可导，则其导数为**)x?f(x(?h)f*?lim?(xf)）（10.1 h0h?y?f(x)以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得如果函数其近似值 **)(fx?h)f(x?*??xf)( 10.2）（h表 10-1 x ……n hy?f(x)在（10.2）式右端项的分子称为函数一般的，步长越小，所得结果越精确。**xx的差分，所以右端项又称为差商。的差分，分母称为自变量在数值微分即用差商近似代替微商。常用的差商公式为： f(x?h)?f(x?h)?00?(x)f（10.3 ） 02h?3y?4y?y?210?)(fx（10.4）0h2． y?4y?3y?nn?2n?1?x)f(（10.5）n2h2)hO(，称为统称三点公式。其误差均为10.2 数值微分的MATLAB实现 MATLAB提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) ??nx?,xxx,x?,x?1?n,这样基于两点的数值导dx维数组，为其中x是维数组132n21数可通过指令diff(x)/h实现。对于三点公式，读者可参考例1的M函数文件diff3.m。 x?f()(xx)y?f的值由下表给用三点公式计算处的导数值，在1.0,1.2,1.41例出。 1.0 1.1 1.2 1.3 1.40.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736

Matlab积分函数

一.相关函数: %符号积分 int(f,v) int(f,v,a,b) %数值积分 trapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的积分 cumtrapz(x,y)%梯形法沿列方向求函数Y关于自变量X的累计积分 quad(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Simpson法计算积分 quad1(fun,a,b,tol)%采用递推自适应Lobatto法求数值积分 dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%二重(闭型)数值积分指令triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol)%三重(闭型)数值积分指令二.示例: 例1:计算f(t)=exp(-t^2)在[0,1]上的定积分本例演示:计算定积分常用方法 >>symsx int(exp(-x^2),0,1) ans= 1/2*erf(1)*pi^(1/2) %erf为误差函数 >>vpa(int(exp(-x^2),0,1)) ans= .7468241328124270 >>d=0.001;x=0:d:1;d*trapz(exp(-x.^2)) ans= 0.7468 >>quad('exp(-x.^2)',0,1,1e-8) ans= 0.7468 例2:计算f(t)=1/log(t)在[0,x],01^-处为负无穷本例演示:用特殊函数表示的积分结果,如何用mfun指令（1） symstx ft=1/log(t); sx=int(ft,t,0,x) sx=

数值积分用matlab实现

东北大学秦皇岛分校数值计算课程设计报告数值积分及Matlab实现学院数学与统计学院专信息与计算科学业学 5133117 号姓楚文玉名指导教张建波姜玉山师成绩教师评语：

指导教师签字：2015年07月14日