圆锥体的表面积

66圆锥体的表面积

怎样求扇形的弧长.如果已知扇形的半径r和圆心角n°，就可以求得圆心角所对的

弧长，设弧长为f，即有

反过来，可以根据这个弧长f和扇形的半径r，求扇形的圆心角n，即

有了这个关系，我们就可以讨论求圆锥体的表面积了.我们可以像展开圆柱体一样展开圆锥体的表面.把一个圆锥体的表面展开是一个扇形和一个底圆。显然，圆锥体的表面积就是底面圆面积与侧面扇形面积的和.其实，需要解决的关键问题是如何求得侧面的扇形面积.

根据需要，我们先来介绍一个新的名称.我们把从圆锥的顶点到底面圆周上任何一点的线段叫做圆锥的母线（注意与圆锥的高的区别）.从上图中可以看出，侧面扇形的半径正好等于圆锥的母线长，那么，要想求得侧面扇形面积，还必须找到这个扇形的圆心角有多少度，这是从原来的圆锥体上无法直接量出来的.怎么办？请大家注意到图中的这样一个事实：侧面扇形的弧线，在展开前原本与底面圆周相连接的，那么，展开后，这条弧线长不就正好等于底面圆的周长吗？（底面圆的周长可以根据底面圆的半径求出），而由这条弧线长和母线长（展开后侧面扇形的半径）又可

以求得侧面扇形的圆心角的度数，最后侧面扇形的面积就可以求出来了.这样，求侧面扇形面积的思路可以概括为：

第一步，求出底面圆的周长，就得到侧面扇形的弧线长；

第二步，由弧线长和母线长求出侧面扇形的圆心角的度数；

第三步，求出侧面扇形的面积.

用侧面扇形的面积加上底面圆的面积就是圆锥体的表面积.

下面就请读者按照上面的思路完成一个来计算圆锥体表面积的例子.

如右图.

（1）侧面扇形的弧长（底面圆的周长）：____. （2）侧面扇形的圆心角：_____.

（3）侧面扇形的面积：______. （4）底面圆的面积：_______.（5）圆锥体的表面积：______.

最后，再请读者按照上面的思路，用字母换算，导出圆锥体的表面积计算公式.

设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，求侧面积S.

【规律】母线长为1，底面半径为r的圆锥体的表面积是：

或写成

S表=πr（l+r）.

【练习】

1.求下面各圆锥体的侧面积.

（1）底面半径是1厘米，母线长是2厘米；（2）底面半径是0.3分米，母线长是1.2分米；

（3）底面直径是80毫米，母线长是100毫米；（4）底面圆周长是12.56厘米，母线长是10厘米.

2.求下面各圆锥体的表面积.

（1）底面半径是0.5分米，母线长是1分米；（2）底面直径是15厘米，母线长是20厘米；

（3）底面圆周长是28.26毫米，母线长是5毫米.

3.用一张圆心角是120°，半径是6分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型.问这

个圆锥体的底面圆的半径有多大？