当1-=t 即1=x 时，级数
∑∞
=++-1
1
1
21
)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数
∑∞
=+-1
1
21
)1(n n
n 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。
高等数学（下册）考试试卷（二）参考答案
一、1、1； 2、-1/6； 3、
?
?
??
+20
2
/42
22
/),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy ； 4、
)0(3
2
f '； 5、π8-； 6、)(2z y x ++； 7、02=-'+''y y y ； 8、0；
二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、C ； 三、1、函数)ln(22z y x u ++
=在点A （1，0，1）处可微，且 )
1,0,1(2
2
1z
y x x u A ++=
??2/1=；
01)
1,0,1(2
22
2
=+?
++=
??z y y z
y x y u A ；
2/11)
1,0,1(2
22
2
=+?
++=
??z
y z z
y x z
u A
而),1,2,2(-==所以)3
1
,32,32(-=
,故在A 点沿=方向导数为：
=
??A
l
u A
x
u ??αcos ?+
A
y
u ??βcos ?+A
z
u ??γcos ?
.2/131
21)32(03221=?+-?+?=
2、由?????=--==-+--='0)24(0)1()4(22
y x x f xy y x xy f y
x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且4)1,2(=f ， 又0)0,(,0),0(==x f y f
而当0,0,6≥≥=+y x y x 时，)60(122),(2
3
≤≤-=x x x y x f
令0)122(2
3
='-x x 得4,021==x x
于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f
),(y x f ∴在D 上的最大值为4)1,2(=f ，最小值为.64)2,4(-=f
四、1、Ω的联立不等式组为??
?
??--≤≤-≤≤≤≤Ωy x z x y x 10101
0:
所以?
?
?
---++++=
10
10
10
3
)1(x y x z y x dz
dy dx I
??--++=
x dy y x dx 10210
]41)1(1[21 ?-=--+=
1016
5
2ln 21)4311(21dx x x 2、在柱面坐标系中 ?
??+=π
θ20
002
2
)]([)(t
h
rdz r f z dr d t F ?+=t
dr r h r r hf 032]3
1
)([2π
所以
]31)([232t h t t hf dt dF +=π]3
1
)([222h t f ht +=π 五、1、连接→
OA ，由Green 公式得：
?
?
?
-+=OA
OA
L
I ?
?
-=+OA
OA
L
??
=
≥≤+++-0
,220)cos cos (y ax y x x
x Green dxdy m y e y e 公式
28
1
a m π= 2、作辅助曲面???≤+=∑2
221:a
y x a z ，上侧，则由Gauss 公式得：
??∑
=
I +??
∑1
??∑-1
=
????∑∑+∑-1
1
=
???
??≤≤≤+≤+-
++a
z z y x a y x dxdy a
dxdydz z y x 0,2
2222
22)(2
=?
??≤+-a z y x a
zdxdy dz
4
2
222
π
40
432
12
a a dz z a
πππ-=-=?
六、由题意得：)()(2)(32x xe x x x
???''=+-'
即x
xe
x x x 2)(2)(3)(=+'-''???
特征方程0232
=+-r r ，特征根2,121==r r
对应齐次方程的通解为：x
x
e
c e c y 221+=
又因为2=λ是特征根。故其特解可设为：x
e
B Ax x y 2*
)(+=
代入方程并整理得：1,2
1-==B A
即 x e x x y 2*
)2(2
1
-=
故所求函数为：x x
x
e x x e c e c x 2221)2(2
1
)(-+
+=?
高等数学同济版（下册）考试试卷（三）参考答案
一、1、2
22
2z x z y xe
ye -； 2、5； 3、
?
?
?
------11
1110
22
22),,(x x y x dz z y x f dy dx ；
4、325);
0,0(a f π、； 6、?????+
Ω?Ω
++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R
y Q x P )(
， Gauss 公式； 7、C Bx Ax ++2 8、0≤P 。
二、1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于dt t x f dx t x f dy t x ),(),('+'=，0='+'+'dt F dy F dx F t y x 由上两式消去dt ，即得：
y t t x t t x F f F F f F f dx dy '
'+''
'-'?'=
四、设),(y x 为椭圆442
2=+y x 上任一点，则该点到直线0632=-+y x 的距离为
13
326y
x d --=
；令)44()326(2
22-++--=y x y x L λ，于是由：
???
??=-+==+---==+---=0
4408)326(60
2)326(42
2y x L y y x L x y x L y x λλλ 得条件驻点：)5
3
,58(),53,58(),53,58(),53,38(4321----M M M M
依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中13
13
13
3261
min =
--=
M y
x d 即为所求。 五、曲线?????=++=y
y x y
x z 22222在yoz 面上的
投影为??
?=≤≤=0
)
0(22x z y y
z
于是所割下部分在yoz 面上的投影域为：
?????≤≤≤≤y
z y D yz 2020:， y
由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 σd z
x
y x A yz
D ??
??+??+=22)()(
12
x
??
??
=-=-=yz
D y y
y dz dy y
y dydz 21
20
2
2
82222
六、将∑分为上半部分2
2
11:y x z --=∑和下半部分2
2
21:y x z ---=∑， 21,∑∑在面xoy 上的投影域都为：,0,0,1:22≥≥≤+y x y x D xy 于是：
????
∑--=1
221dxdy y x xyzdxdy xy
D
15
11cos sin 2
1
22=
?-?=
?
?ρρρθθρθπ
d d 极坐标
；
????∑=
----=
2
15
1))(1(2
2dxdy y x xy xyzdxdy xy
D ， ????
∑∑+=
∴2
1
I =
15
2 七、因为
x x d x df 2sin 1)
(cos )
(cos ==，即x x f 2sin 1)(cos +='
所以2
2)(x x f -=' c x x x f +-
=∴3
3
12)( 八、)1ln()1ln()]1)(1ln[()(2
2
x x x x x f +++=++=
又]1,1(,)1()1ln(1
1-∈-=+∑∞
=-u u n u n n
n ∴∑∑∞
=∞=---∈-+-=11
211]1,1(,)1()1()(n n n n n n x x n x n x f ∑∞
=--∈+-=1
1]1,1(),1()1(n n n
n x x x n
高等数学同济版（下册）期末考试试卷（四）
八、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）
1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=
．
2、设ln()z x xy =，则32
z
x y
?=?? ．
3、曲面2
2
9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数
在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则
()L
x y ds +=? ．
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．
九、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
1、求曲线222222
2393x y z z x y
?++=?
?=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2
2
22z x y =+及2
2
6z x y =--所围成的立体体积．
3、判定级数
1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x
z f xy y y
=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????． 5、计算曲面积分
,dS z ∑
??其中∑是球面2222
x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 十、（本题满分9分）
抛物面2
2
z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
十一、 （本题满分10分）
计算曲线积分
(sin )(cos )x x L
e y m dx e y mx dy -+-?
，
其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22
(0)x y ax a +=>．
十二、 （本题满分10分）
求幂级数1
3n
n n x n ∞
=?∑的收敛域及和函数．
十三、 （本题满分10分）
计算曲面积分332
223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=
++-??， 其中∑为曲面2
2
1(0)z x y z =--≥的上侧．
十四、 （本题满分6分）
设()f x 为连续函数，(0)f a =，222
()[()]t
F t z f x y z dv Ω=+++???，其中t Ω
是由曲面
z
与z = 30
()
lim t F t t
+
→．
高等数学同济版（下册）期末考试试卷（四）
一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21
y
-
；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5
、二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
1、解：方程两边对x 求导，得323dy
dz y z x dx dx dy dz y z x
dx
dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =-
，74dz x dx z =…………..【4】 该曲线在
()1,1,2-处的切向量为571
(1,,)(8,10,7).488T == (5)
故所求的切线方程为1128107
x y z -+-== (6)
同济六版高等数学(下)知识点整理
第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A高等数学同济第七版7版下册习题全解
第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (
A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "
9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A高等数学同济版(下册)期末考四套试题与答案
高等数学同济版（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin ππ ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
(完整版)高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑ ∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→? y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（ ）
高等数学复习提纲同济大学下册
高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程
解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??
高等数学同济版下册期末考试题和答案解析四套
高等数学（下册）期末考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、z = )0()(log 22>+a y x a 的定义域为D=。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )122（。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ）y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 222y u y x u x ??+??等于（） （A ）y x + ；（B ）x ；(C)y ；(D)0。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（） （A ）4 ? ??2 20 1 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2sin π π??θdr r d d ；
高等数学同济第七版7版(下册)习题全解
数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/+r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ? 3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr+ jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh
尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A高等数学第六版下册复习题 同济版
2011-2012-2《大学数学一》综合练习 一﹑填空题： 1. 已知 )2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(C B A ，则AB j AC Pr =___________。 2. 从点)1,1,2(--P 到一个平面π引垂线，垂足为)5,2,0(M ,则平面π的方程为___________________。 3. 过原点且平行于直线? ? ?=--=-1523 4z y x z x 的直线方程为_____________________。 4. 将曲线2 20 x z x y ?=? =?绕轴旋转一周，所得曲面方程为____________________。 5. 函数z=arcsin(2x)+ 2 224ln(1) x y x y ---的定义域____________________. 6. (,)(0,1) 42 lim 3x y xy xy →+-= 。 7. 函数y x y x z +-+=2222的极小值是 . 8. 函数u =22x xy y -+在点（-1，1）沿方向e = 1 {2,1}5 的方向导数_________. 9. 曲线τ：x=2 sin a t ,y =sin cos b t t ， z =2 cos c t 对应于t= 4 π 的点处的切线的一个切向量为____________,该点处的法平面方程为________________。 10. 将二次积分2 1 2 20 ()x x dx f x y dy +??化为极坐标下的二次积分的表达式为 . 11. ??? ? -+--+2 1 2 1 2 ),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 交换积分次序后为 . 12. 曲线积分 ds z y x L ?++2221的值为 ，其中L 为曲线222 1,0x y z z ++==. 13. 若曲线积分412 4(4)(65)L x xy dx x y y dy λλ-++-? 在xoy 平面内与路径无关，则λ= . 14. 设L 为有向曲线2 214x y +=的正向，则(2)(3)L x y dx x y dy -++=? . 15. 设∑是球面：222 4x y z ++=，则曲面积分 ??∑++dS z y x )(222 = . 16. 设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径为3，则幂级数11 )1(-∞=-∑n n n x na 的收敛区间为 .
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第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
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第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证：
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第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→
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第八章 测验题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积a b →→ ?= (). (A) 1；(B)-1； (C)0；(D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a →及b → 的位置关系是(). 共面；(B)共线； (C) 垂直；(D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有() ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥面；面面面 5、2 ()αβ→ → ±=() (A)2 2 αβ→→±；(B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+；(D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠，则平面(). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 0A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线(). (A) 过原点；(B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴；(D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是(). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 x y z ?+=? =?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=；(B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=；(D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 .
高等数学复习提纲同济大学下册
高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(1?0??1)且平行于向量a ?(2?1?1)和b ?(1??1?0)?试求这平面方程? 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x ?1)?(y ?0)?3(z ?1)?0?即x ?y ?3z ?4?0? 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(2?0??3)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程? 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量?即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 ?16(x ?2)?14(y ?0)?11(z ?3)?0? 即16x ?14y ?11z ?65?0? 例题：求过点(3?1??2)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程?
解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1?(5?2?1)垂直?因为点(3?1??2)和(4??3?0)都在所求的平面上?所以所求平面的法线向量与向量s 2?(4??3?0)?(3?1??2)?(1??4?2)也是垂直的?因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x ?3)?9(y ?1)?22(z ?2)?0? 即8x ?9y ?22z ?59?0? 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 2?5x 绕x 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2?z 2?5x ? 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2?z 2?9绕z 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2?y 2?z 2?9? 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??=? 例题：设z ?u 2ln v ?而y x u =?v ?3x ?2y ?求x z ???y z ??? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=?? 31ln 22?+?=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=?
高等数学(同济第七版下)课后习题及解答
1.设u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用a ，b ，c 表示2u -3v . 解2u -3v =2（a -b +2c ）-3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1，设四边形ABCD 中AC 与BD 交于M ，已知 AM =MC ，MB DM . 故 DC DM MC MB AM AB . 即DC AB //且｜AB |=|DC |，因此四边形 ABCD 是平行四边形． 3.把△ABC 的BC 边五等分，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点A 连接.试以AB =c,BC =a 表向量 A D 1,A D 2,A D 3,A D 4 .证 如图8-2，根据题意知 5 11 BD a, 5 12 1D D a, 5 13 2D D a, 5 14 3D D a, 故A D 1=-（ 1BD AB ）=-5 1 a-c
A D 2=-（2BD A B ）=-52 a-c A D 3=-（3BD A B ）=-53 a-c A D 4 =-（4BD AB ）=-5 4 a-c. 4.已知两点M 1（0，1，2）和M 2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量 21M M 及-221M M . 解 21M M =（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）. -221M M =-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）. 5.求平行于向量a =（6，7，-6）的单位向量. 解向量a 的单位向量为 a a ，故平行向量a 的单位向量为 a a = 11 1（6，7，-6）= 11 6,117,116， 其中 11)6(7 6 2 2 2 a . 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （2，3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3，1）. 解A 点在第四卦限，B 点在第五卦限，C 点在第八卦限，D 点在第三卦限. 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （3，4，0）， B （0，4，3）， C （3，0，0）， D （0，
