(甘志国)介绍18道日本高考数学题
介绍18道日本高考数学题
甘志国(已发表于 数学教学，2015(9)：39-45)
日本与中国虽同处亚洲，但在数学研究水平上却领先中国很远.
1920年，从高木贞治(Takagi Teiji ，1875-1960)解决了“克罗内克青春之梦”猜想开始，日本走上了现代数学的世界舞台.国人熟知的日本数学家有陈建功(1893-1971)的老师藤原松三郎(Matsusaburo Fujiwara ，1881-1946)和苏步青(1902-2003)的老师洼田忠彦(Tadahiko Kubota ，1885-1952).而后小平邦彦(Kunihiko Kodaira ，1915-1997)、广中平祏(Heisuke Hironaka ，1931- )与森重文(Mori Shigefumi ，1951- )相继荣获菲尔茨奖.许多学者都认为21世纪的日本，将会成为世界的数学中心之一.
我们与其羡慕日本的数学成就，倒不如借鉴一下他们的中学数学教育.日本大学入学考试分两次进行，第一次为全国统一考试，第二次为各大学自主招生考试.这一规定从1979年实施至今.日本的大学入学考试的难度与中国相比有过之而无不及.特别是像东京大学和早稻田大学这样的著名大学，其入学竞争之惨烈是外人无法想象的.
东义博主编的《300个日本高考数学题》(哈尔滨工业大学出版社，2012年)涵盖了日本高中数学教科书《数学I 》的全部基础知识(共9部分)，书中的高考题全部是选择题或填空题，但选择题并不是中国数学选择题的“四选一”模式，而是“多选多”.下面从中精选出26道日本高考数学题供读者欣赏，这对中国考生的高考(包括大学自主招生)是有所裨益的. 1 数、式的计算
题1 (1)10进制的数365如用2进制表示则是)(1a 位数，第五位数字是)(1b .又2进制的数1011用10进制表示，则是)(11d c .
(2)计算下列用7进制表示的数，在( )内填入适当的数值：
)7(11)7()7(2)(1546423b a =+；
)7(11)7()7()(361542d c =÷余)7(11)(f e .
答案 (1)11091111 d c b a (2)33
1303111111 f e d c b a
题2 设35-的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 的值是)(1a ，??
? ??
+-33312b b a 的值是)(1b .
答案
11
32a b
解 由可得32,3-==b a .所以
41
=+
b
b
243454131541233
333=?+-=??? ?
?
++??? ??+-=??? ??+-b b b b b b a
评注 题1是p 进制问题，这种问题在中国高考中也出现过，比如2014年高考天津卷文、理倒数第二题就是此内容.题2对于中国考生来说已经是竞赛题了，也是考查恒等变换、
整体代换的好题目. 2 方程、不等式
题3 1+2i 是实系数三次方程02
3
=+++c bx ax x 的根，又知这个方程与方程
0)4(323=--++b x b x x 仅有一个公共根，求它们的公共根和实系数c b a ,,的值，且把公
共根按从小到大的顺序记.
(1)当公共根是(11b a )时，则)(),(),(11111g f c e d b c a ===； (2)当公共根是(11b a )时，则)(),(),(1111f c e b d c a ===； (3)当公共根是(1a )时，则)(),(),(11111f e c d b c b a ===. 答案 (1)525351111111L L L L L L L g f e d c b a -- (2)5311111111 f e d c b a -- (3)5731111111 f e d c b a --
解 由1+2i 是实系数三次方程02
3
=+++c bx ax x 的根及实系数多项式的虚根成对出现知，可设
)i 21)(i 21)((23+----=+++x x x c bx ax x α
得 ααα5)52()2(2
3
2
3
-+++-=+++x x x c bx ax x
ααα5,52,2-=+=--=c b a
又 )4)(1()4(32
2
3
b x x x b x b x x ++-=--++
因为题中的两个一元三次方程仅有一个公共根，所以这个公共根不可能是虚根(因为“虚根成对出现”)，所以公共根是α.
当1=α时，得5,7,3-==-=c b a .还得方程02
3
=+++c bx ax x 的根为
i 21,i 21,1-+；方程0)4(323=--++b x b x x 的根为i 32,i 32,1--+-.
当1≠α时，得042
=++b αα.又52+=αb ，所以5,1--=α.
当1-=α时，得5,3,1==-=c b a .还得方程02
3
=+++c bx ax x 的根为
i 21,i 21,1-+-；方程0)4(323=--++b x b x x 的根为3,1,1--.
当5-=α时，得25,5,3=-==c b a .还得方程02
3
=+++c bx ax x 的根为
i 21,i 21,5-+-；方程0)4(323=--++b x b x x 的根为5,1,1-.
题4 求正整数c b a ,,，使得)(c b a c b a abc ≤≤++=. 若2≥a ，得c c b a abc c 34≤++=≤，这不可能！所以1=a . 得1
21),2(1-+
=≤≤++=b c c b c b bc . 所以1-b 是2的正约数，得2,11=-b ，…可求得)3,2,1(),,(=c b a .
用同样的方法可求得满足)(d c b a d c b a abcd ≤≤≤+++=的正整数d c b a ,,,的值分别是)(),(),(),(1111d c b a .
答案 42111111 d c b a
注 请读者求出不定方程),2(212121n n n x x x n x x x x x x ≤≤≤≥+++= 的正整数解),,,,(21n x x x n .
题5 当
∈>>--q p q p p
q q p ,;1(1
2,12N *)都是整数时，求q p ,的值. 设
∈=-=-n m n p
q m q p ,(12,12Z )，解得 mn
b q mn a p -=-=
4)
(,4)(11
由1>>q p ，得04),()(11>->mn b a ，所以
3)(),(11≤≤>-mn d c n m
所以 ))(),(()),(),((),(1111h g f e n m =
根据上式，得
))(),((),(11j i q p =
从下面的答案中选取适当的代号记入上面的( )内(且设11g e <)： ①1 ②2 ③3 ④4 ⑤5 ⑥n +1 ⑦m +1 ⑧n +2 ⑨m +2 ⑩0
答案
111a b c ⑨⑧⑩ 11d e ①② 1
1
1
1
1
f g h i j ①③①⑤③
解 设
∈=-=-n m n p
q m q p ,(1
2,12Z )，解得 mn
n
q mn m p -+=-+=
42,42
由1>>q p ，得∈n m ,N *，所以
14242>-+>-+mn n
mn m
n m mn +>+>-22,04
所以3,1≤≥>mn n m .得)1,3(),1,2(),(=n m ，再得)3,5(),(=q p .
评注 方程问题主要涉及实数、复数范围内解多项式方程(包括高次)，不等式问题主要涉及不等式的基本性质、均值不等式等，也包括用放缩法解不定方程.但前者在中国的高考题中几乎都是空白. 3 平面图形和方程
题6 (1)点),(y x 关于直线022=+-y x 对称的点的坐标是
???
? ??++++)()()()(,)()()()(1111111111j i y h g x f e d c y b x a (2)直线02=--y x 关于直线022=+-y x 对称的直线方程是
0)()()(11111=++e d y c b x a
答案
(1)583454431111111111 j i h g f e d c b a --
(2)227111111 e d c b a -
题7 下面的(1)~(7)是叙述用平面α切正方体得到的切口图形F 的各种情形的.试把
(1)~(7)中真命题的题号集中起来，集中在一起题号从下面的①~⑩中挑选.
(1)F 不是钝角三角形；
(2)若F 是四边形，则F 有一组对边平行；
(3)若α只含正方体的一个顶点，则F 的顶点是奇数个； (4)适当地选定α的位置，可使F 是有对称轴的五边形； (5)适当地选定α的位置，可使F 是七边形； (6)若切口是三角形，则面积最大的是正三角形； (7)若切口是矩形，则面积最大的是正方形.
①(1),(3),(7) ②(1),(4),(6) ③(2),(5),(7) ④(3),(4),(6) ⑤(1),(2),(3),(5) ⑥(1),(2),(4),(6) ⑦(1),(4),(5),(6) ⑧(2),(3),(4),(7) ⑨(3),(5),(6),(7) ⑩①~⑨全不对 答案 ⑥
评注 题7是一个经典问题——正方体的种种截面.2013年高考安徽卷文、理第15题就是这种问题. 4 向量
题8 如图1所示，把重为20N 的物体用绳子挂在B A ,两点处，若
?=∠?=∠120,150BOC AOC ，则作用在OA 上的力是)()(111c b a N ，作用在OB 上的力
是)(11e d N.
图1
答案 0130111111 e d c b a 解 先介绍拉米定理.
图2
在图2中，设向量γβα>=<>=<>=<===b a a c c b c AE b AC a AD ,,,,,,,,，若
0=++c b a (由平面向量基本定理知，c b a ,,共面)且c b a ,,两两不共线，则
γ
β
α
sin sin sin c b a =
=
在图2中以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系后用分析法可证.下面再用正弦定理给出一种证明：
如图2所示，作c BA =，所以a b c CB =+-=)(.
在ABC ?中，还可得γπβπαπ-=∠-=∠-=∠CAB ABC BAC ,,.由正弦定理，得
)
sin()
sin()
sin(γπβπαπ-=
-=
-c b a
即欲证成立.
由拉米定理容易求得答案：
有
?
=
?
=
?
90sin 20
150sin 120sin OB OA
，所以)N (10),N (310==OB OA .
评注 数理结合、与著名定理相联系是本题的显著特点.后者在中国的高考题中也有体现：可见笔者发表于《数学教学》2009年第11期第46-48页的文章《湖北高考数学卷与世界名题相通》.
5 映射、简单的函数
题9 集合g f f f A ,,,},4,3,2,1{321=都是A 到A 上的一一映射. (1)21,f f 见下表，若g f f 12=，完成关于g 的表：
x
1 2 3 4 )(1x f
4
3
1
2
x
1 2 3 4 )(2x f
2
4
1
3
x
1 2 3 4
)(x g
)(1a )(1b )(1c )(1d
(2)若3f 用下面的两个表来表示，求表中的d c b a ,,,
x
1 2 3 4
)(3x f
a b c d
x
a
b
c
d
)(1x f
3 4 1 2
)(),(),(),(1111d d c c b b a a ====或)(),(),(),(1111h d g c f b e a ====(且11e a >).
答案 (1)24311111 d c b a (2)3214143211111111 h g f e d c b a
6 指数函数、对数函数
题10 已知使10101710-
?
??x
成立的最小整数44=x ，由此知下面的两个结论成立：
(1)
)
(10
1017lg )(101111d c b a <
<(且( )内的数是最佳答案)； (2)使4
101017>??
? ??y
成立的最小整数)(11b a y =.
答案 (1)34441111 d c b a (2)8111 b a
解 (1)由10101710-
??
? ??<10171010
，所以
44
10
43
1017101017??? ??<
10
1017lg 4410<< (2)由4
101017>??? ??y
得10
17lg 4>y ，再由(1)的结论得
6.171044410
17lg 4104342.17=?<
=
所以使4
101017>??
? ??y
成立的最小整数18=y .
题11 1000
2
是)(111c b a 位数，它的最高位数字是)(1d ，个位数字是)(1e (可用
30103.02lg =).
答案 (1)6120311111 e d c b a
解 因为30103.010001000
10102,03.3012lg 10002
lg ?===，所以10002是302位数.
因为100
10
3
221024100010<=<=，所以210
103
.0<<，得10002的最高位数字是1.
数列{}
n 2的个位数字是以4为周期出现的，所以可得1000
2
的个位数字是6.
题12 就y x a ,,的式子1log log )log 3(2))(log 1(log 2322
32+++--=x y a x y x P ，
回答下面的两个问题：1a 从I 中选，11,c b 从II 中选.
(1)当0=a 时，若当x 在[1,2]内变化时，0>P 恒成立，则常数y 的取值范围是)(1a ，
)(),(11c B b A ==.
(2)若对于不等于2的全部正实数x ，使满足0=P 的y 恒存在，则实数a 的取值范围是
)(1a ，)(),(11c B b A ==.
I 组 设0,0>>B A .
①x A < ②x A ≤ ③B x A << ④B x A <≤ ⑤B x A ≤< ⑥B x A ≤≤ ⑦B x A <<- ⑧B x A <≤- ⑨B x A ≤<- ⑩B x A ≤≤-
II 组 ①1
3- ②3
23
-
③3
13
-
④313 ⑤3
23 ⑥2
32
-
⑦1
2- ⑧2
12
-
⑨2
12 ⑩
2
32
答案 (1)1
11a b c ③①④ (2) 1a ⑩ 1a ⑩ 1a ⑩
解 设Y y X x ==32log ,log ，得
(1))10(1)16(16)1(2
22≤≤+-+-=++--=X Y X Y Y X XY Y X P .
设)(X f P =，得题意即(0)0(1)0
f f >??>?，解得1
311
1,333Y y -<<<<.
(2)01)3(2)1(2
=+++--=X Y a X Y X P .2≠x 即1≠X ，所以题意即
0168)1)(1()3(4
222≥+++=+--+=?a aX X X X a X y
因为上式在1≠X 时恒成立，所以
084
2≤-=?a x
(若0x ?>，则有无限个X 使0y ?<)，得2222≤≤-a .
评注 题10考查了近似计算，因涉及整数，所以难度较大.题11中的“最高位数字”问题难度较大.题12第(2)问是一道靓题，较通常的用判别式法解决恒成立问题更进了一步. 7 三角函数
题13 已知三点??? ??<≤???? ????? ??
-??? ?
?-??? ??-
πππ125032cos ,32sin ),0,2(,0,21t t t P B A .若ABP ?的面积不小于
38
5
，则t 的取值范围是ππ)(,)(,121121b t a t t t t ==≤≤.当2t t =时，π)(1c OPB =∠，这里点O 是坐标原点.现在，当t 在],[21t t 上变化时，线段BP 经过的图形
的面积是π)(1d .
①π ②
2π ③3π ④4π ⑤6π ⑥8π ⑦10π ⑧12
π 答案 ⑤②④⑧ 1111d c b a 解 由π1250<≤t ，得2323πππ<-≤-t ，所以032cos >??? ?
?
-πt ，即点P 在x 轴的上方.所以
412,38532cos 2521πππ≤≤≥??? ?
?
-?=
?t t S ABP 所以4
,12
21π
π
=
=
t t .
当
4
2π
=
=t t 时，
2332c o s ,2132s i n =
??? ??
-=??? ??-ππt t ，所以
2
,22222π
=
∠==+OPB OB BP OP .
又1=OP ，所以点P 在单位圆上.
当21,t t t =时，点P
分别为???
?
?????? ??-23,21,23,2121P P .
图3
可得线段BP 经过的图形是图3中的阴影部分，其面积与扇形21P OP 的面积相等，都等于
6
π. 题14 平面上有四点Q P B A ,,,，其中B A ,是定点，3=AB .点Q P ,是满足
1===QB PQ AP 的动点.又设PQB APB ??,的面积分别是T S ,.
(1)2
2
T S +的取值范围是???
?
????-)()(,)()()()(111111f e d c b a ；
(2)当2
2T S +最大时，)
()(cos 11b a A =
，从而)(12
c PB =. 答案 (1)
874332111111 f e d c b a
(2)363111 c b a
解 (1)如图4所示，由余弦定理得
Q A PB cos 211cos 32312-+=-+=
1cos 3cos -=A Q
图4
所以2
2
2
2
2
63cos 2387sin 21sin 23???
?
??--==??? ??+????
??=+A Q A T S . 因为1c os 0≤≤A ，所以当且仅当6
3cos =
A 时，87)(m a x 2
2=+T S ；当且仅当
1cos =A 时，4
3
32)(min 22-=
+T S . (2)由(1)的解答可得答案.
评注 中国高考的三角大题通常是在解答题的头两题位置，所以大多较简单.而从上面两道三角题可以看出，日本高考三角大题的难度明显高于中国.
8 排列、组合、概率
题15 由凸)6(≥n n 边形的顶点连成的三角形中：
(1)与n 边形只共一条边的有)()()(112
1c n b n a +-个；
(2)与n 边形只共两条边的有)()(11b n a +个； (3)与n 边形不共边的有
))())((()
(1
111c n b n n a --个. 答案 (1)041111 c b a (2)0111 b a (3)546111 c b a 解 (1))4(-n n ；(2)n ；(3))5)(4(6
1
)4(C 3
--=
---n n n n n n n . 题16 在一个大水槽里有相同数量的鳝鱼和鲢鱼.顾客要求尽快抓住两条鳝鱼.并且一次只抓一条，约定只看准鳝鱼去抓一条须用1分30秒，不管鳝鱼或鲢鱼随手就抓一条须用30秒.鳝鱼和鲢鱼混在一起，数量很多，所以随手就抓，抓到的是鳝鱼的概率总是
2
1. (1)随手就抓，这样反复进行两次，求下面事件的概率. (i)两条都是鳝鱼的概率是
)
()
(11b a ； (ii)鳝鱼和鲢鱼各一条的概率是
)
()
(11d c . (2)随手就抓，反复进行三次时恰好抓住两条鳝鱼的概率是
)
()
(11b a . (3)随手就抓，抓到两条鳝鱼用的时间和只看准鳝鱼去抓也抓到两条所用的时间相等的概率是
)
()
(111c b a . (4)随手就抓，抓到两条鳝鱼用的时间小于只看准鳝鱼去抓也抓到两条所用的时间相等的概率是
)
()
(1111d c b a . 答案
(1)21411111 d c b a
(2)4111 b a
(3)465111 c b a (4)1
111
1316a b c d
解 (1)(i)
412121=?；(ii)2
12121C 12=??. (2)请注意题目中的“顾客要求尽快抓住两条鳝鱼”，所以“三次时恰好抓住两条鳝鱼”
有两种情形(鳝鱼、鲢鱼、鳝鱼)，(鲢鱼、鳝鱼、鳝鱼)，所以答案为41
21213
3=??
? ??+??? ??.
(3)只看准鳝鱼去抓也抓到两条所用的时间是3分钟.在这段时间内，随手就抓能进行6
次，应当是前5次抓到1次鳝鱼4次鲢鱼且第6次抓到的也是鳝鱼，所以答案为
64
5212121C 4
15
=????? ???.
(4)由题设得，“随手就抓，抓到两条鳝鱼”共四种情形：抓2次均抓到鳝鱼，概率是22
1
；抓3次才抓到两条鳝鱼(即最后一次要抓到鳝鱼)，概率是
32
2
；抓4次才抓到两条鳝鱼，概率是423；抓5次才抓到两条鳝鱼，概率是52
4
.所以所求概率是1613242322215432=+++(《300
个日本高考数学题》第218页给出的答案“64
57
”不对).
评注 从这两道题来看，在排列、组合、概率方面，日本与中国的高考题难度相近. 9 集合、逻辑
题17 在下列条件中，哪些是使b a <成立的充要条件？哪些是使b a <成立的充分不必要条件？哪些是使b a <成立的必要不充分条件？哪些是使b a <成立的既不充分又不必要条件？
(1)0>?x ，使b x a <+； (2)0>?x ，使b x a ≤+； (3)0≥?x ，使b x a <+； (4)0≥?x ，使b x a ≤+； (5)0>?x ，有x b a +<； (6)0>?x ，有x b a +≤； (7)0≥?x ，有x b a +<； (8)0≥?x ，有x b a +≤； (9)a x
①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件 ④既不充分又不必要条件
答案 (1)① (2)① (3)① (4)③ (5)③ (6)③ (7)① (8)③ (9)③ (10)③ (11)① (12)③
题18 在调查某高中毕业生报考大学的情况，其结果如下： (a)报考A 大学的人，就不报考B 大学； (b)报考B 大学的人，也报考D 大学； (c)报考C 大学的人，就不报考D 大学； (d)不报考C 大学的人，就报考B 大学.
从以上调查的结果，判断在这所高中的毕业生中下面的情况正确与否，正确的记①，不正确的记②.
(1)报考D 大学的人也报考A 大学；
(2)没有同时报考C B ,两所大学的同学； (3)有同时报考D C ,两所大学的同学； (4)报考D B ,两所大学的同学一样多； (5)报考A 大学的人也报考C 大学.
答案 (1)② (2)① (3)② (4)① (5)①
答案 把报考D C B A ,,,大学的同学的集合分别记为D C B A ,,,，又记=U {该校高中毕业生}.
由(a)得B C A U ?；由(b)得D B ?，由(c)得D C C U ?即C C D U ?，由(d)得B C C U ?. 所以D B C C D U ???，得D B C C B C A U U ==?,.作出韦恩图后可得答案. 评注 题17的诸问很好地考查了“四种条件”及“全称量词与存在量词”.题18是考查集合运算及其应用的好题，有趣味性且贴近考生实际.
2017上海高考数学试题(完整Word版含解析)
2017上海高考数学试题(完整Word版含解析)
2017年上海市高考数学试卷 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B = 2. 若排列数6 654m P =??，则m = 3. 不等式1 1x x ->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等 于 5. 已知复数z 满足30z z +=，则||z = 6. 设双曲线 22 2 19x y b -=(0)b >的焦点为1 F 、2 F ，P 为该 双曲线上的一点，若1 ||5PF =，则2 ||PF = 7. 如图，以长方体111 1 ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原 点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1 DB 的坐标为(4,3,2)， 则1 AC 的坐标为 8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1 ()y f x -=， 若31,0 ()(),0 x x g x f x x ?-≤?=? >?? 为 奇函数，则1 ()2f x -=的解为 9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x =-；③ 3 y x =； ④ 12 y x =. 从中任选2个，则事 件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点” 的概率为 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2 n a n =，* n ∈N ，{}n b 的项
A. 等于12- B. 等于0 C. 等于12 D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项 2n x an bn c =++，* n ∈N ，则“存在* k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件 是（ ） A. 0 a ≥ B. 0 b ≤ C. c = D. 20 a b c -+= 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1 364 x y C +=和 22 2:1 9 y C x +=. P 为1 C 上的动 点，Q 为2 C 上的动点，w 是OP OQ ?的最大值. 记 {(,)|P Q P Ω=在1 C 上，Q 在2 C 上，且}OP OQ w ?=，则Ω中元 素个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 三. 解答题（本大题共 5题，共
2010-2019年高考数学真题专项分类练习-集合
集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4
数学学科地位及其在高考中的作用
数学学科地位及其在高考中的作用数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、从而形成广泛的理论，并进行广泛应用的过程。它是一门思维的科学，是培养理性思维的重要载体，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表达、运算推理、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的数量关系和数学模式做出思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。 数学是人们生活、劳动、学习必不可少的工具，是科学的原动力、是理工学科的基础。数学的发展与人类文化、经济、科技的发展都有着千丝万缕的关系，在人类文明的发展中起着非常重要的作用。数学推动了重大的科学技术进步，当代与未来的发展都要倚重数学的发展。数学可以用来开发人的智力，培养人的思维能力，挖掘人的内在潜力，提高人的分析问题和解决问题的能力，提高人们在处理日常工作中的条理性。通过数学学习，领略数学文化，接受数学精神、数学思想和数学方法的熏陶，提高思维能力，锻炼意志品质，并把它们迁移到学习工作和生活的各个领域中去。数学不仅是自然科学的基础也是高科技的基础，数学的发展正在迅速改变着科学的面貌，另外，数学教育在人才培养中有重要的地位和不可替代的作用。 20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计
算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简洁的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。 数学教育的重要性，不仅仅体现在数学知识与方法的广泛运用上，更重要的是它对人的素质的影响。数学的风采和魅力在于它是我们理解、认知世界的钥匙，数学已经渗透到整个社会生活的各个层面。数学的价值体现在数学不仅等于拥有打开知识大门的钥匙，还能透过数学来探索人生的其他可能性。数学可以帮助人们更好的认识自然和人类社会，更好的适应社会生活，理解周围世界。 优秀的数学教育是一种对人的理性的思维品格和思辨能力的培养，是聪明智慧的启迪和潜在能动性与创造力的开发，其价值是远非一般的专业技术教育所能相提并论的。它对一个人、一个学校乃至一个国家的影响是非常巨大的。数学文化的积淀是人一生享用不尽的宝贵精神财富。数学文化具有比数学知识体系更为丰富和深邃的文化内涵，数学文化是对数学知识技能、能力和素质等概念的高度概括。日本数学家米山国藏认为，学生进入社会后，如果没有什么机会应用，
2020年上海市高考数学试卷-含详细解析
2020年上海市高考数学试卷 副标题 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( ) A. a 2+b 2≤2ab B. a 2+b 2≥?2ab C. a +b ≥2√|ab| D. a 2+b 2≤?2ab 2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( ) A. { x =1+3t y =?1?4t B. {x =1?4t y =?1+3t C. {x =1?3t y =?1+4t D. {x =1+4t y =1?3t 3. 在棱长为10的正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( ) A. AA 1B 1B B. BB 1C 1C C. CC 1D 1D D. ABCD 4. 命题 p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)
2017年上海市复旦附中高考数学模拟试卷(5月份)(解析版)
2017年市复旦附中高考数学模拟试卷（5月份） 一.填空题 1．函数f（x）=lnx+的定义域为． 2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为． 4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是．5．盒中有3分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一记下后放回，再随机抽取一记下，则两次抽取的卡片中至少有一个为偶数的概率为． 6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f （x）在区间上单调递减，则m的最小值为． 7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为． 8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是． 9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是．10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则?的值为．
11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ． 12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是． 二.选择题 13．直线（t为参数）的倾角是（） A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2 14．“x＞0，y＞0”是“”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（） A．B．C．2+D．1+ 16．对数列{a n}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣ 2+…+λk a n成立，其中n∈N *，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列；
2016年上海市高考理科数学试题及答案
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=?? +=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.
【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版
教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑：__________________ 时间：__________________
一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
2018年高考理科数学推理与证明100题(含答案解析)
2018年高考理科数学推理与证明100题（含答案解析） 一、选择题（本题共30道小题，每小题0分，共0分） 1. ．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知： （1）甲与乙不是邻居； （2）乙的房号比丁小； （3）丙住的房是双数； （4）甲的房号比戊大3． 根据上述条件，丁住的房号是（）． A．2号B．3号C．4号 D．5号 2. 用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（） A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 3. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”． 该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为（） A．2017×22016B．2017×22014C．2016×22017D．2016×22018 4. 定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的
“均倒数”为，又，则=（ ） A ． B ． C ． D ． 5. 观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n ∈N *）个等式应为（ ） A ．9（n+1）+n=10n+9 B ．9（n ﹣1）+n=10n ﹣9 C ．9n+（n ﹣1）=10n ﹣1 D ．9（n ﹣1）+（n ﹣1）=10n ﹣10 6. 一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ） A ．81π B ．16π C ． D ． 7. 有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（ ） A ．（4，2，2，2） B ．（9，0，1，0） C ．（8，0，1，1） D ．（7，0，1， 2） 8. 用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ） A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的 9. 某计算器有两个数据输入口M 1，M 2一个数据输出口N ，当M 1，M 2分别输入正整数1时，输出口N 输出2，当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2时，N 的输出是n ；当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2+1时，N 的输出是n+5；当M 1输入正整数m 1+1，MM 2输入正整数m 2时，N 的输出是n+4．则当M 1输入60，M 2输入50时，N 的输出是（ ） A ．494 B ．492 C ．485 D ．483 10.
上海市2021届高考数学考点全归纳
2021上海高考数学考点笔记大全 1．上海高考数学重难点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。 难点：函数、数列、圆锥曲线。 2．上海高考数学考点： （1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。 （2）不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。 （3）函数：函数的定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。 （4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、万能公式、辅助角公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、反三角函数、最 简三角方程。 （5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、坐标运算、数量积、三角形“四心”及其应用。 （6）数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。 ⑺直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、直线与圆的位置关系。 （8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。 （9）立体几何与空间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何体的三视图与直观图、几何体的表面积与体积、空间向量。 （10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。 （11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中位数、众数、频率分布直方图。 （12）复数：复数的概念与运算、复数的平方根与立方根计算、实系数一元二次方程。 （13）矩阵与行列式初步：二元线性方程组、矩阵的基本运算、二阶行列式、三阶行列式、对角线法则、余子式与代数余子式。 （14）算法初步：流程图、算法语句、条件语句、循环语句。
2017年上海市高考数学模拟试卷-Word版含解析
2017年上海市高考数学模拟试卷 、填空题(本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分) 1 ?计算: 2 ?设函数f (x)二五的反函数是fT (X),则fT ( 4) 3. 已知复数二.K：乜(i为虚数单位)，则| z| = ______ . 4. 函数f (x)=sinx+Vs p cosx,若存在锐角B满足f ( 0) =2,贝U 0= _____ . 5. 已知球的半径为R,若球面上两点A, B的球面距离为」，则这两点A, B 间的距离为 6. ________________________________________________________________ 若(2+x) n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256,贝U正整数n= _______ . 7. 设k为常数，且-、-三：——-、「?！*,则用k表示sin2 a勺式子为sin2 a三_ . 2 * —.—. 8. 设椭圆丄「, ?二：的两个焦点为Fi, F2, M是椭圆上任一动点，贝U 11 .-1! -的 取值范围为—. 9. 在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,若-J- ：;i.. , sinC=2 sinB,则A角大小为—. 10. ____________________________________________________________ 设f (x) =lgx,若f (1 - a)- f (a)> 0,则实数a的取值范围为___________________ . 11. __________________________________________________________ 已知数列｛a n｝满足：a1=1, a n+1+a n= (=) n, n€ N*，贝则二［匸严= __________ . 12. 已知△ ABC的面积为360,点P是三角形所在平面内一点，且则厶PAB的面积为 二、选择题(本大题满分20分) 13. 已知集合A={x| x>- 1}，贝U下列选项正确的是( ) 15.图中曲线的方程可以是( )
上海高考数学真题及答案
2018年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1．（4分）（2018?上海）行列式的值为18 ． 【考点】OM：二阶行列式的定义． 【专题】11 ：计算题；49 ：综合法；5R ：矩阵和变换． 【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可． 【解答】解：行列式=4×5﹣2×1=18． 故答案为：18． 【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查． 2．（4分）（2018?上海）双曲线﹣y2=1的渐近线方程为±． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11 ：计算题． 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=± ∴双曲线的渐近线方程为y=± 故答案为：y=± 【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 3．（4分）（2018?上海）在（1+x）7的二项展开式中，x2项的系数为21 （结果用数值表示）． 【考点】DA：二项式定理． 【专题】38 ：对应思想；4O：定义法；5P ：二项式定理．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x2的系数． 【解答】解：二项式（1+x）7展开式的通项公式为 =?x r， T r+1 令r=2，得展开式中x2的系数为=21． 故答案为：21． 【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题． （x+a）．若f（x）的反函数的图4．（4分）（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=1og 2 象经过点（3，1），则a= 7 ． 【考点】4R：反函数． 【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用． （x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og 2 【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og （x+a）． 2 f（x）的反函数的图象经过点（3，1）， ∴函数f（x）=1og （x+a）的图象经过点（1，3）， 2 ∴log （1+a）=3， 2 解得a=7． 故答案为：7． 【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．（4分）（2018?上海）已知复数z满足（1+i）z=1﹣7i（i是虚数单位），则|z|= 5 ．【考点】A8：复数的模． 【专题】38 ：对应思想；4A ：数学模型法；5N ：数系的扩充和复数． 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【解答】解：由（1+i）z=1﹣7i， 得， 则|z|=． 故答案为：5． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
高考数学集合专项知识点总结
高考数学集合专项知识点总结为了帮助大家能够对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇数学集合专项知识点，希望可以帮助到大家! 一．知识归纳： 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则A B(或A B); 2)真子集：A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或，且) 3)交集：A∩B={x| x∈A且x∈B} 4)并集：A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)补集：CUA={x| x A但x∈U} 注意：①? A，若A≠?，则? A ; ②若，，则; ③若且，则A=B(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB; ④A∩CuB = 空集CuA B;⑤CuA∪B=I A B。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A; ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n 个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 二．例题讲解： 【例1】已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z}，则M,N,P满足关系 A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M 分析一：从判断元素的共性与区别入手。
高考数学专题 程序框图
2020最新程序框图 A 卷 一、选择题 1．(2018·华南师大附中一模)已知流程图如图所示，该程序运行后，若输出的a的值为16，则循环体的判断框内①处应填() A．2 B．3C．4 D．5 2．(2017·湖北八校第二次联考)如图程序中，输入x＝ln 2，y＝log32，z＝1 2，则输出的结果 为() A．x B．y C．z D．无法确定3．(2018·合肥调研)执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为()
A．9 B．19 C．33 D．51 4．如图给出的是计算1 2＋ 1 4＋ 1 6＋…＋ 1 20的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是 () A．i>10? B．i<10? C．i>20? D．i<20? 5．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入() A．A>1000和n＝n＋1B．A>1000和n＝n＋2 C．A≤1000和n＝n＋1D．A≤1000和n＝n＋2 6．(2017·全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝()
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．执行如图所示的程序框图，若输出的x ∈[0,1]，则输入的x 的取值范围为( ) A ．??????0，34 B ．???? ?? 34，1 C ．???? ??1，54 D ．???? ?? 54，32 8．(2018·湖北重点中学高三起点考试) 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a ，n ，ξ的值分别为8,2,0.5，每次运算都精确到小数点后两位，则输出的结果为( ) A ．2.81 B ．2.82 C ．2.83 D ．2.84
2020年上海市高考数学试卷
2020年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5分） 1．已知集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝{2，4，5}，则A ∩B ＝_____________． 2．计算：1 31lim -+∞→n n n ＝__________． 3．已知复数z ＝1?2i （i 为虚数单位），则|z|＝___________． 4．已知函数f （x ）＝x 3，f 1-（x ）是f （x ）的反函数，则f 1-（x ）＝_________． 5．已知x 、y 满足?? ???≥≤-+≥-+003202y y x y x ，则z ＝y ?2x 的最大值为_____________． 6．已知行列式0 0321d c b a ＝6，则d c b a ＝______________． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab ＝___________． 8．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1＋a 10＝a 9，则10 921a a a a +++ ＝______． 9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有____________种安排情况． 10．已知椭圆C ：42x ＋3 2 y ＝1的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q ′，且满足PQ ⊥FQ ′，求直线l 的方程是_________________________． 11．设a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f （x ）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x 0∈R ，f （x 0）的值为x 0或x 20； （2）关于x 的方程f （x ）＝a 无实数解， 则a 的取值范围是_______________． 12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，…，k b （k ∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足|1a ?2a |＝1，且|i a ?j b |∈{1，2}（其中i ＝1，2，j ＝1，2，…，k ），则k 的最大值是__________． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是（ ） A 、a 2＋b 2≤2ab B 、a 2＋b 2≥?2ab C 、a ＋b ≥2||ab D 、a 2＋b 2≤?2ab 14．已知直线方程3x ＋4y ＋1＝0的一个参数方程可以是（ ）
上海市2019年高考数学模拟试卷(含解析)
2018-2019学年上海市高考数学模拟试卷 一.填空题 1．函数f（x）=lnx+的定义域为． 2．若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a= ．3．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为． 4．若方程x2+x+p=0有两个虚根α、β，且|α﹣β|=3，则实数p的值是． 5．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为． 6．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到的函数y=f（x）在 区间上单调递减，则m的最小值为． 7．若的展开式中含有常数项，则当正整数n取得最小值时，常数项的值为． 8．若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是． 9．若实数x，y满足不等式组则z=|x|+2y的最大值是． 10．如图，在△ABC中，AB=AC=3，cos∠BAC=， =2，则?的值为．
11．已知f（x）=的最大值和最小值分别是M和m，则M+m= ．12．已知四数a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1．将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q的取值集合是． 二.选择题 13．直线（t为参数）的倾角是（） A．B．arctan（﹣2）C．D．π﹣arctan2 14．“x＞0，y＞0”是“”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（） A．B．C．2+D．1+ 16．对数列{a n}，如果?k∈N*及λ1，λ2，…，λk∈R，使a n+k=λ1a n+k﹣1+λ2a n+k﹣2+…+λk a n 成立，其中n∈N*，则称{a n}为k阶递归数列．给出下列三个结论： ①若{a n}是等比数列，则{a n}为1阶递归数列； ②若{a n}是等差数列，则{a n}为2阶递归数列； ③若数列{a n}的通项公式为，则{a n}为3阶递归数列． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 三.简答题
2018上海数学高考真题
2018年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.行列式4125 的值为。 2.双曲线2214 x y -=的渐近线方程为。 3.在（1+x ）7 的二项展开式中，x 2项的系数为。（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒?（），若f x （） 的反函数的图像经过点31（，），则a=。 5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣=。 6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=?，，则S 7=。 7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在 0+∞（，）上速减，则α=_____ 8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0）， E ， F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE · BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）
10.设等比数列{a n }的通项公式为a n =q ?+1（n ∈N *），前n 项和为S n 。若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数 222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ?? ???，、15Q q ??- ???，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ?、x ?、y ?、y ?满足：221x y +=??，221x y +=??，212x x y y +=??? ，则 的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（） （A ）2 2 （B ）2 3 （C ）2 5 （D ）4 2 14.已知a R ∈，则“1a ﹥”是“1a 1﹤”的（） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法
高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2.
上海市2019届高考数学模拟试卷(试题整合)
上海市2019学年度高考数学模拟试卷 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分， 否则一律得零分. 1.函数) 2(log 1 )(2-= x x f 的定义域为 2.复数z 满足i i z 1=i +1，则i z 31-+= 3.底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2 4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为 5.若非零向量,a b r r 满足32a b a b ==+r r r r ,则,a b r r 夹角的余弦值为_______ 6.已知圆O ：52 2=+y x ，直线l ：)2 0(1sin cos π θθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的 距离等于1的点的个数为k ，则k = 7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2 -=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 8.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+* ()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公 式为 9.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2 [,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________ 10.已知F 是抛物线4 2y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则 ABF ?的面积为 11.如图,已知树顶A 离地面 212 米，树上另一点B 离地面 112 米， 某人在离地面 32 米的C 处看此树，则该人离此树 米时， 看A 、B 的视角最大 第11题图
2014上海市高考文科数学(理)试题真题含答案(经典打印版)
1 A 1 P C B 2P 3 P A 1 P B 2 P 3 P 4P 5 P 6 P 7P 8 P 2014年上海市高考数学（理科）试题及答案 本试卷共23道试题;满分150分;考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是__________． 2、若复数12z i =+， 其中i 是虚数单位, 则1z z z ? ?+?= ?? ?___________． 3、若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22195 x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为_____． 4、设2, (,), (), [,).x x a f x x x a ∈-∞?=?∈+∞? 若(2)4f =, 则a 的取值范围为____________． 5、若实数x ， y 满足1xy =, 则2 2 2x y +的最小值为___________． 6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为____（结果用反三角函数值表示）． 7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是___． 8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a →∞ =++ +, 则q =___________． 9、若2 13 2 ()f x x x - =-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是___________． 10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续 3天的概率是________________（结果用最简分数表示）． 11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合2 2 {, }{, }a b a b =, 则a b +=___________． 12、设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0, 2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= ___ 13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为___________． 14、已知曲线:C x =直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得 0AP AQ +=, 则m 的取值范围为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）． 15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的 （ ）． (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, (1, 2, , 8)i P i =是上底 面上其余的八个点, 则(1 , 2, , 8)i AB AP i ?=的不同值的个数为 （ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 17、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组1122 1, 1a x b y a x b y +=??+=?的解的情况是 （ ）． (A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解 (D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解 18、设2(), 0,()1 , 0. x a x f x x a x x ?-≤? =?++>?? 若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 （ ）． (A) [1,2]- (B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2] 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤． 19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．
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