当前位置：文档库 › 高考数学压轴专题新备战高考《不等式》技巧及练习题附答案解析

高考数学压轴专题新备战高考《不等式》技巧及练习题附答案解析

新《不等式》专题

一、选择题

1．已知107700,0x y x y x y -+≥??

--≤??≥≥?

，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ?+>”为假命题，则实

数a 的取值范围是（） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞

C ．[1,)+∞

D ．[0,)+∞

【答案】A 【解析】【分析】

作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ?+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数

a 的取值范围.

【详解】

绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，

令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，

联立直线方程10770

x y x y -+=??--=?得点47,33A ??

???，所以2Z x y =+的最大值为5，

因为“(,),2x y R x y a ?∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ?+≤”为真命题，所以实数a

的取值范围是5a ≤，故选：A.

【点睛】

本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.

2．在平面直角坐标系中，不等式组20

{200

x y x y y +-≤-+≥≥，表示的平面区域的面积是（）

A ．2

B ．4

C ．22

D ．2

【答案】B 【解析】

试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC 及其内部．可得，A （2，0），B （0，2），C （-2，0），显然三角形ABC 的面积为

．故选B ．

考点：求不等式组表示的平面区域的面积．

3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )

甲乙每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)

A ．12万元

B ．16万元

C ．17万元

D ．18万元

【答案】D 【解析】【分析】

根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】

设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,

x y x y x y +≤??+≤?

?≥??≥?

目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，

可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,

3212,

x y x y +=??+=?得()2,3P ，则

max 324318z =?+?=（万元）.选D.

【点睛】

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

4．已知关于x 的不等式()()2

22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范

围是（） A ．()2,6

B ．()(),26,-∞+∞U

C ．(](),26,-∞?+∞

D ．[)2,6

【答案】D 【解析】【分析】

分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数

m 的取值范围.

【详解】

当20m -=时，即当2m =时，则有40>，该不等式恒成立，合乎题意；

当20m -≠时，则()()2

421620m m m ->????=---

，解得26m <<. 综上所述，实数m 的取值范围是[)2,6. 故选：D. 【点睛】

本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

5．设实数满足条件

则

的最大值为（） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】【分析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

，即

，表示直线在轴的截距加上1，

根据图像知，当时，且时，

有最大值为.

故选：.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.

6．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->

【答案】C 【解析】

【分析】

利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】

由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，

1b a e ==-，可排除A 、D 项；

取11,49a b =

=71

1812

b a ==，可排除B 项；因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的. 故选：C . 【点睛】

本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

7．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的

一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3x

f x =的两对“线性对称点”，则c

的最大值为（） A ．3log 4 B ．3log 41+

C ．

D ．3log 41-

【答案】D 【解析】【分析】

根据已知有333b c a b c a ++++=，可得1313

a b

+=+

-，只需求出3a b +的最小值，根据

333a b a b +=+，利用基本不等式，得到3a b +的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，a 与b 为函数()3x

f x =的“线性对称点”，

所以333a b a b +=+=≥ 故34a b +≥（当且仅当a b =时取等号）.

又+a b 与c 为函数()3x

f x =的“线性对称点，

所以333b c a b c a ++++=，

所以314

3131313

a b c

a b a b +++==+≤--，

从而c 的最大值为3log 41-. 故选:D. 【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，

正确求出c 的表达式是解题的关键，属于中档题.

8．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r

恒

成立，则实数t 的取值范围是（）.

．,??-∞?+∞ ? ?????

．?

+∞???? D

．?

+∞????

【答案】B 【解析】【分析】

根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0

因为ABC V 是边长为1的等边三角形，所以1

cos1202

AB BC ?=?=-u u u r u u u r ，

由||1k AB tBC +>u u u r u u u r 两边平方得2222()2()1k AB kt AB BC t BC +?+>u u u r u u u r u u u r u u u r

，

即2210k kt t -+->，构造函数2

()1f k k tk t =-+-，由题意，(

)

410t t ?--<=，

解得t <

或t >

. 故选：B. 【点睛】

本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.

9．若,x y 满足约束条件360,

60,1,x y x y y -+≥??

+-≤??≥?

则z x y =-的最小值为（）

A ．4

B ．0

C ．2-

D ．4-

【答案】D 【解析】【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】

由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥??

+-≤??≥?

所表示的可行域，如图所示，

目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，

又由360

1x y y -+=??=?

，解得(3,1)A -，

所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．

【点睛】

本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．

10．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞

C ．(,4]-∞

D ．[4,)+∞

【答案】C 【解析】

若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4

a x x

≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4

[4,5]x x

∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.

11．若0a >，0b >，23a b +=，则

a b

+的最小值为（）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．9

【答案】D 【解析】【分析】

把36a b +看成（36a b +）×1的形式，把“1”换成()1

23a b +，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．【详解】

∵3613a b +=（36

a b

+）（a +2b ）＝13(366b a

a b

++12)

≥

13=9 等号成立的条件为66b a

a b

=，即a=b=1时取等所以

a b +的最小值为9．故选：D ．【点睛】

本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，是基础题

12．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2

sin 2

A =.则ABC V 周长的取值范围为（）

A ．

B ．(4,

C ．4+

D ．(4+

【答案】C 【解析】【分析】

由2

sin 2

A A =及倍角公式可得23A π=，2sin a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】

由题意，2

2cos 112A A -=-，即cos 1A A =-，可化为

33A π??-= ???，即sin 3A π??-= ???

，因为0A π<<，所以33A ππ-=，

即23

A π

，2sin a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，

c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），

所

以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为2

12()b c bc b c bc =++=+-，所以

2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则4a b c ++≤+b c a +>，所以

2a b c a ++>=4a b c +++≤.故ABC V 周长的取值范围为

4+.

故选：C 【点睛】

本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.

13．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，且函数

(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式

()()222323f s s f s s -+--+?，则s 的取值范围是（）

A ．13,2??--???

B ．[3,2]--

C ．[2,3)-

D ．[3,2]-

【答案】D 【解析】【分析】

由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于

()()222323f s s f s s -+-+-?，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求

出s 的取值范围. 【详解】

解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有

()()

1212

0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；

又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称，则(

)(

)

232323f s s f s s f s s -+--+=-+-?，所以

222323s s s s -+≥-+-，

整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】

本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.

14．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22

2122211x y m x y m x y m ?-≤-??

+≥+??-+-≤??

，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．

B ．12

C ．π

D ．

π 【答案】A 【解析】【分析】

画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积．【详解】

实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --??

++??-+-?

?…?的可行域如图：

可行域是扇形，14

个圆，面积为：2

11144ππ??=．

故选：A ．

【点睛】

本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

15．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥??

+≤??≥?

，若z ax y =+的最大值为4，则a =（）

A ．2

B ．

C ．-2

D ．12

【答案】A 【解析】【分析】

由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果. 【详解】

由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：

当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大，即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =. 故选：A . 【点睛】

本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.

16．过抛物线24x y =的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线相交于A ，B 两点，

M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率的取值范围是（） A ．22?

+∞????

B ．[

)1,+∞

C ．)

2,?+∞?

D ．[)2,+∞

【答案】C 【解析】【分析】

假设直线l 方程，代入抛物线方程，利用韦达定理和直线方程求得M 点坐标，利用两点连线斜率公式和基本不等式可求得结果. 【详解】

由抛物线方程知：()0,1F ，

设直线l 的方程为()10y kx k =+>，代入抛物线方程得：2440x kx --=，设点()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则124x x k +=，

M Q 为线段AB 的中点，12

022

x x x k +∴=

=， M Q 在直线l 上，2

00121y kx k ∴=+=+，

20021122OM

y k k k x k k +∴===+≥=

k =时取等号），即直线OM

斜率的取值范围为)

+∞. 故选：C . 【点睛】

本题考查直线与抛物线综合应用问题，涉及到利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够结合韦达定理，利用一个变量表示出所求的斜率，进而利用基本不等式求得最值.

17．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】【分析】

通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】

若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞；若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞；故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】

本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．

18．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．

169

π B ．

π C ．

1627

D ．

827

π 【答案】A 【解析】【分析】

根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【详解】

解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得

323

r x -=，

x r ∴=-，

∴圆柱的体积为23

()(3)(02)2

V r r r r π=-<<，

则33333163331616442()(3)()9442939

r r r

V r r r r πππ++-=-=g g g g …．

当且仅当33

342r r =-，即43r =时等号成立．

∴圆柱的最大体积为

169

，故选：A ．

【点睛】

本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．

19．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22

a b a b

+-的最小值等于（）．

A 5

B ．3

C ．23

D ．22【答案】D 【解析】

试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1

a b

，即1ab =，0a b >> 22a b a b

+-22()2()2

2()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+

---2()22a b a b ≥-?=- 当且仅当2

a b a b

-，即2a b -=时等号成立所以22

a b a b +-的最下值为2故答案选D

考点：基本不等式．

20．已知集合{}

230A x x x =-->，(){}

lg 11B x x =+≤，则()

R A B =I e（）

A ．{}13x x -≤<

B ．{}19x x -≤≤

C ．{}13x x -<≤

D ．{}19x x -<<

【答案】C 【解析】【分析】

解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()

R A B ?e. 【详解】

解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；

解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.

{}

13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤e，

因此，(){}

13R A B x x ?=-<≤e，故选：C. 【点睛】

本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考真题理科数学解析版

理科数学解析一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用

哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右