《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程简介
《离散数学》课程教学大纲
一、课程基本信息
课程编号：1703206
学分：2学分
学时：32学时（理论32学时）
先修课程：高等数学1712101-02
后续课程：数据结构1603207
适用专业：软件工程
建议教材：屈婉玲、耿素云、张立昂．离散数学（第3版）．清华大学出版社．2013．开课单位：软件工程学院
二、课程的性质与任务
离散数学是现代数学的重要分支之一，是计算机科学中基础理论的核心课程。通过本课程的学习，学生应能够理解离散数学的基本概念和原理，掌握离散数学的基本原理和方法，运用离散数学的基本原理和方法分析和解决计算机学科中出现的问题。
三、课程教学内容与教学要求
（一）命题逻辑(8学时)
1. 教学内容
命题及其表示法；联结词；命题公式与翻译；真值表与等价公式；重言式与蕴涵式；其他联结词；对偶与范式；推理理论。
2. 重点、难点
联结词；命题公式；真值表；范式。
3．教学要求
了解：命题及其表示法、各种联结词、命题公式与翻译、真值表与等价公式、重言式与蕴涵式、对偶与范式、推理理论、应用（视情况为选讲内容）
理解：命题的概念及其表示的方法、各种联结词的含义；
掌握：命题真值表、常用的命题等价公式和命题公式的化简方法、命题公式的对偶式和范式的求解方法、推理论证的三种方法
灵活运用：命题公式的对偶式和范式的求解方法、主析取范式的求解方法、推理论证的三种方法。
（二）谓词逻辑（8学时）
1. 教学内容
谓词的概念与表示；命题函数与量词；谓词公式与翻译；变元的约束；谓词演算的等价式与蕴涵式；前束范式；谓词演算的推理理论。
2. 重点、难点
谓词的概念与表示；命题函数与量词；谓词演算的等价式与蕴涵式；谓词演算的推理理论。
3．教学要求
了解：谓词、命题函数与量词的概念与表示
理解：约束变元和自由变元、前束范式的概念
掌握：谓词公式的翻译、常用的谓词演算的等价式和蕴涵式并能熟练地求解谓词公式的前束范式
灵活运用：谓词演算的等价式与蕴涵式的转化。
（三）集合与关系（8学时）
1. 教学内容
集合的概念和表示法；集合的运算；包含排斥原理；序偶与笛卡尔积；关系及其表示；关系的性质；复合关系和逆关系；关系的闭包运算；集合的划分与覆盖；等价关系与等价类。
2. 重点、难点
集合的概念和表示法；笛卡尔积、关系的概念；关系的代数表示以及有关的运算；关系的性质。
3．教学要求
了解：集合的概念和表示法
理解：集合、序偶、笛卡尔积、关系的概念
掌握：集合的各种运算、关系的代数表示以及有关的运算、关系的性质
灵活运用：集合的各种运算、关系的代数表示以及有关的运算、关系的性质。
（四）图论（8学时）
1. 教学内容
图的基本概念；路与回路；图的矩阵表示；欧拉图与汉密尔顿图；平面图；对偶图与着色；树与生成树。
2. 重点、难点
图、路的基本概念；图的基本性质及其表示方法；欧拉图的判别性定理以及判定汉密尔顿图的基本方法；产生最小生成树的算法。
3．教学要求
了解：图、路的基本概念、欧拉图与汉密尔顿图的概念、平面图、树的概念
理解：平面图、对偶图以及图形着色的基本概念、树的概念
掌握：图的基本性质及其表示方法、掌握欧拉图的判别性定理以及判定汉密尔顿图的基本方法、掌握产生最小生成树的算法、掌握根树的基本应用
灵活运用：欧拉图的判别性定理、最小生成树的算法、根树的基本应用。
五、课程考核与成绩评定
1. 课程考核方式
期末考核采用闭卷笔试方式。
2. 成绩评定
本课程的总成绩由理论考试成绩、平时作业2部分组成，按百分制计。其中：理论考试成绩占：70%（理论考试成绩通过期末闭卷考试方式评定），平时作业成绩占：30%（按每次作业完成情况评定）。
六、参考书目
[1]《离散数学》. 左孝凌、李为、刘永才. 上海科学技术文献出版社.1982.
[2]《离散数学理论分析题解》.左孝凌等.上海科学技术文献出版社.1988.
[3]《离散数学》.方世昌.西安电子科技大学出版社.1990.5.
[4] 《离散数学导论》.徐洁磐.高等教育出版社.1991.
制定人：杜叔强审定人：批准人：
吉林大学离散数学精品试卷
2006-2007学年第2学期 2005级《离散数学2》期末考试试题(A卷) 考试时间：2007年6月班级_______________________ 学号_____________________ 姓名_____________________ 请将答案写在答题纸上，写明题号，不必抄题，字迹工整、清晰； 请在答题纸和试题纸上都写上你的班级，学号和姓名，交卷时请将试题纸、答题纸和草纸一并交上来。 一.综合体(30分，每题3分) 1. 求( 1 3 5 ) (2 5 4 ) (3 4 ) 2. 只有两个生成元的循环群一定是有限循环群吗？并说明理由。 3. 有限循环群中是否一定存在周期与群的元数相等的元素？ 4. 下面哪个是域GF( 16)的真子域 (A)GF (6) ;(B)GF ⑷;(C)GF(8);(D)GF(16) 5. 有限布尔代数的元素个数必定是如下哪个形式？ (A)2n;(B)n 2 ;(C)2 n;(D)4n. 6. 下列代数系统(S, *)中，哪个是群？ (A) S={0,1,3,5},* 是模7的乘法；(B) S是有理数集合，*运算是普通乘法； (C) S是整数集合，*是普通乘法；(D) S={1,3,4,9},* 是模11的乘法。 7. 设A={0,1,2,3,4},运算为模5加法，请给出A的所有子群。 8. n元恒等置换是奇置换还是偶置换？对换呢？ 9?请给出一个有余，但不是分配格的例子。 10.设R是模12的整数环，R={0,1,2,…,11},下面哪一个是极大理想： (A) 6R; (B)2R; (C)4R; (D)8R 二.计算题(25分，每题5分) 1. 计算分圆多项式①24(X). 2. 设(Z,+)为整数加法群，(C*,??)为非零复数的乘法群，令 f: n -i n ,是Z到C*中的同态映射，请求出f的同态核。 3. 在R上求出x+2除2X5+4X3+3X2+1所得的商式和余式。 4. 设G是3次对称群，H是由I和(13)作成的子群，求H得所有右陪集。 5. 设A={0,1,2,3,4,5}, 运算为模6加法，请给出A中所有元素的周期。 三.(10分)证明或者反驳：f(x)=3x 5+5X2+1 四.(10分)设(G, *)是群，(A, *)和(B，*)是它的两个子群，C={a*b|a € A, b€ B}.证明：若*满足交换律，则(C, *)也是(G，*)的子群。 五.(10分)设Z是整数集合，X={(a,b)|a,b € Z},定义X上的二元运算①和。 如下：对任意(ab) ,(a 2,b2)€ X,有： (a1b"e (a2,b2)= (a+a?,b1+b2), (a1bJ O (a2,b2)= (ax a2,b 1X b)，其中，+，x分别是整数加法与乘法。 证明：(X，?，O)是环，如果此环有零因子请给出它们
离散数学(集合论)课后总结
第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C)
离散数学
离散数学试题（A 卷答案） 一、（10分） （1）证明(P →Q )∧(Q →R )?(P →R ) （2）求(P ∨Q )→R 的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 解：（1）因为((P →Q )∧(Q →R ))→(P →R ) ??((?P ∨Q )∧(?Q ∨R ))∨(?P ∨R ) ?(P ∧?Q )∨(Q ∧?R )∨?P ∨R ?(P ∧?Q )∨((Q ∨?P ∨R )∧(?R ∨?P ∨R )) ?(P ∧?Q )∨(Q ∨?P ∨R ) ?(P ∨Q ∨?P ∨R )∧(?Q ∨Q ∨?P ∨R ) ?T 所以，(P →Q )∧(Q →R )?(P →R )。 （2）(P ∨Q )→R ??(P ∨Q )∨R ?(?P ∧?Q )∨R ?(?P ∨(Q ∧?Q )∨R )∧((P ∧?P )∨?Q ∨R ) ?(?P ∨Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R )∧(P ∨?Q ∨R )∧(?P ∨?Q ∨R ) ?2M ∧4M ∧6M ?0m ∨1m ∨3m ∨5m 所以，其相应的成真赋值为000、001、011、101、111：成假赋值为：010、100、110。 二、（10分）分别找出使公式?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y )))为真的解释和为假的解释。 解：设论域为{1，2}。 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝F ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝F ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((F ∧F)∨(F ∧F)))∧(T →((F ∧F)∨(F ∧F))) ?(T →F)∧(T →F) ?F 若P (1)＝P (2)＝T ，Q (1)＝Q (2)＝T ，R (1，1)＝R (1，2)＝R (2，1)＝R (2，2)＝T ，则 ?x (P (x )→?y (Q (y )∧R (x ，y ))) ??x (P (x )→((Q (1)∧R (x ，1))∨(Q (2)∧R (x ，2)))) ?(P (1)→((Q (1)∧R (1，1))∨(Q (2)∧R (1，2))))∧(P (2)→((Q (1)∧R (2，1))∨(Q (2)∧R (2，2)))) ?(T →((T ∧T)∨(T ∧T)))∧(T →((T ∧T)∨(T ∧T))) ?(T →T)∧(T →T) ?T
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
离散数学
离散数学 作业要求： （1）禁止用附件提交作业。附件提交的作业计0分。 （2）作业按题号顺序作答，乱序、不写题号等视情况扣分。 （3）选择题直接提交答案，不要抄题。 （4）卷面整洁，文字、符号以及图等要清晰可辨。 一、单选题（每题2分，共15小题） 1.集合}}}{{},{,{c b a A =，则下列不属于A 的子集的是（ ） A.}}{{a B.}}{{b C.}}}{{{c D.}}{,{b a 2.设全集{1,2,...,9,10}U =的子集为A={偶数}，B={奇数}，则下列选项正确的是（ ） A.A B =? B.A B =? C.A B U = D. 以上答案都不对 3.已知集合}4,3,2,1{=A ， },,{c b a B =， }8,6,4,2,1{=C ,定义A 到B 的关系c)}(4,b),(3,a),(2,a),{(1,1=ρ，B 到C 的关系(c,1)}(b,6),{(a,4),2=ρ，则下列属于21ρρ的是（ ） A.)8,1( B.)4,1( C.)6,2( D.)1,3( 4.集合}3,2,1{=A 上的关系)}3,1(),1,2(),2,1{(=R ，则R 具有（ ）
A.对称性 B.自反性 C.可传递性 D.以上说法都不对 5.集合{1,2,3}A =上的下列关系，是由A 到A 的函数的是（ ） A.{(1,3),(2,3),(3,1)}f = B.{(1,2),(3,1)}g = C.{(1,1),(2,1),(3,2),(1,3)}h = D.{(1,3),(2,1),(2,2)}I = 6.集合},,{},3,2,1{c b a B A ==，则A 到B 的映射中，是单射的是（ ） A.}b)b)(3,a)(2,(1,{ B.}b)b)(3,a)(1,(1,{ C.}c)b)(3,a)(2,(1,{ D.}b)b)(3,b)(2,(1,{ 7. 下面各集合都是N 的子集，（ ）集合在普通加法运算下是封闭的。 A.}16|{整除的幂可以被x x B.}5|{互质与x x C.}30|{的因子是x x D.}30|{ 《离散数学》+答案 一、选择或填空: 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式?x A和?x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在?x A和?x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和?z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1)北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6） 44 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝__{3}__________________; ρ(A) - ρ(B)＝___________________{3},{1,3},{2,3},{123}______ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = _____2^(n^2)_____________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反，对称，传递 ____________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2= {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。 16. 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公 我的离散数学学习心得 (1) -- 一类抽象代数题的解题思路 学习离散数学已经有一段时间了，书读了不少，题也做了一些。最近又常在群里和研友们讨论离散数学中的问题。所以对离散数学也有了一些心得和体会。在今后的一段时间里，我会不定期的写一些小的经验总结，以供后来人参考。：） 因为是“心得体会”，所以多半是想到什么写什么，组织和条理方面可能会比较差。还望各位看官多多包涵。；） 这次我们来讨论一类代数问题的解题思路。 问题：设R为含幺环，求证：对任意a,b∈R，若1-ab可逆，则1-ba也可逆。 分析： 我们知道，证明问题的方法大致可以分为两类：构造性证明和存在性证明。前者要求给出一个切实的方法，找出符合命题要求的元素（在这道题中，就是找到1-ba的逆元）。后者则只证明这样的元素必然存在，但并不给出切实的寻找方法。反证法是存在性证明的基本方法。 无论打算采用是哪种证明方法，确认一下我们可以使用的前提条件总是必要的。 就这道题而言，我们可以使用这些前提： 1、R是含幺环。这就意味着R对加法构成Abel群（从而我们可以自由地使用加法交换律、加法消去律、加法逆元等），R对乘法构成独异点（从而可以使用乘法单位元1），当然还有乘法对加法的分配律。 2、1-ab是可逆的，这就是说，存在c∈R，使得c(1-ab)=(1-ab)c=1。移项后得到：cab=abc=c-1。 需要注意的是： 1、在题设中没有假设R的可换性（事实上，如果R可换的话，整个问题就没有任何难度了），也没有假设a、b是可逆的。所以，在解题时，不能使用乘法交换律，也不能随便使用a、b的逆元（除非已经证明了它们的存在性）。 2、如果没有1-ab可逆这个条件，肯定是推不出1-ba可逆的（我们在环中可以找到太多的反例）。所以，cab=abc=c-1将是解题的关键。观察这个式子，我们注意到，它提供了在c的参与下，移动和消去ab 的方法。 我们的目的是，证明存在这样的一个元素d∈R，满足(1-ba)d=d(1-ba)=1。 初看到这道题，我们并不知道使用构造性证明容易还是使用反证法容易。 不过推理一下我们可以发现，如果要使用反证法的话，我们需要反设1-ba不存在乘法逆元，然后由此推出1-ab也不可能有逆元（或者推出R不是含幺环）。 但反设1-ba不存在乘法逆元后，我们到底能推出哪些结论来呢？似乎很少。我们甚至连“对任意x∈R，必有x(1-ba)≠1”这样简单的情况都难以证明（因为我们只假设了1-ba没有“乘法逆元”，并不能由此推出1-ba没有“乘法左逆元”）。 另一方面，利用等式cab=abc=c-1直接构造出一个1-ba的逆元应该一个比较有希望的方法。 这时，我们可以“取巧”了。注意到： 1、如果我们相信题目给的命题没有错的话，我们只要找到1-ba的左逆元（或者右逆元）就基本完成任务了（虽然最终书写证明时，我们需要证明我们找到的元素既是左逆元又是右逆元）。因为如果一个元素的左右逆元都存在的话，它的左右逆元是唯一且相等的（所以，1-ba确实可逆，而我们又找到了它的一 离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。 谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证 二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 离散数学作业4 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题 1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是15 ． 2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 { f }，{ e,c} ． 3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点度数之和等于边数的两倍． 4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且不含奇数度结 点． 5．设G= 8．结点数v与边数e满足e=v - 1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去条边后使之变成树． 10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ． 二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．） 1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路． 答：错误。应叙述为：“如果图G是无向连通图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路。” 2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路． 答：错误。因为图中存在奇数度结点，所以不存在欧拉回路。 3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图． 离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={《离散数学》及答案
太原理工大学离散数学试题
离散数学学习体会
离散数学知识点整理
离散数学作业答案
2018国家开放大学离散数学本形考任务答案
离散数学课后答案
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)