江苏省启东中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题含答案
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期第二次月考
高一数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上． 1．若,1,k b -三个数成等差数列，则直线y kx b =+必定经过点 。
2．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是 . 3. 12+与12-，两数的等比中项是 。
4.设,x y 都是正数， 且19
1x y
+=,则x y +的最小值为________.
5．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥??
-≤??≤≤?
,,,则2z x y =-的最大值是 ．
6.在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = 。
7. 点(,3)P a 到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式230x y +-<表示的平面区域内，则点P 的坐标是 ．
8.若不等式2
01x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为 。
9. 在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。
10. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 。
11. 设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。
12. 已知数列{}n a 满足134n n a a ++=，且19a =，其前n 项之和为S n ，则满足不等式16125
n S n --<的最小自然数n 是 .
13.以下四个命题中, 正确命题的个数是 .
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A ,B ,C ,D 共面,点A , B ,C ,E 共面,则点A ,B ,C ,D ,E 共面; ③若直线a ,b 共面,直线a ,c 共面,则直线b ,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面.
14. 已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
15．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标：(0,0),(3,3),(4,0)A B C ． ⑴．求边CD 所在直线的方程；
⑵．证明平行四边形ABCD 为矩形，并求其面积．
16．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）若33a =，5c =，求b ．
17．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，已知7S =7，15S =75，n T 为数列{||n
S n
}的前n 项的和，求n T
18.如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,DB=BC ,DB ⊥AC ,点M 是棱BB 1上一点. (1)求证:B 1D 1∥平面A 1BD ; (2)求证:MD ⊥AC ;
19．已知数列}{n a 满足212+++=n n n a a a ),3,2,1( =n ,它的前n 项和为n S ，且53=a ，366=S ． （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）已知等比数列}{n b 满足a b b +=+121，4
354a a b b +=+)1(-≠a ，设数列}{n n b a ?的前n 项
和为n T ，求n T ．
20.设数列{}n a 满足：11a =，且当n N *∈时，32
11(1)1n n n n a a a a +++-+=
（Ⅰ）比较n a 与1n a +的大小，并证明你的结论；
（Ⅱ）若2211(1)n n n n
a b a a +=-，其中*∈N n ，证明：1
0 2.n
k
k b
=<<∑
（注：
121
n
k
n k b
b b b ==+++∑）
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期高一第二次月考试卷
答案
1. (1,2)-
2. 钝角三角形
3. 1±
4. 16 5． 7 6. 060
7. (3,3)- 8. 2 9. (5,13) 10.
1515
22
q -++<< 11. (][)+∞-∞-,11, 12. 7 13.1个 14. 53n -
15．解：⑴. ,A B 两点的斜率33AB k =
，//CD AB ，∴3
3
CD AB k k ==， 又因直线过点(4,0)C ，∴CD 所在直线的方程为：3
0(4)3
y x -=
-，即340x y --=. ⑵. ,B C 两点的斜率3BC k =-，1AB BC k k ?=-，∴AB BC ⊥，平行四边形ABCD 为矩形，可求
||23,||2AB BC ==，故矩形ABCD 的面积||||43ABCD S AB BC =?=
16．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得：sin 2sin sin A B A =，所以1
sin 2
B =． 由AB
C ?为锐角三角形，得6
B π
=
．
（Ⅱ）由余弦定理，得2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=，所以7b =．
17．设数列{}n a 的公差为d ，则11721715105
75a d a d +=??
+=?，解之得：121a d =-??=?，所以(5)
2n n n S -=；设
52n n S n b n -==，则{}n b 是等差数列，设49'221n n b b b S n n -=+++= 。令5
02
n n b -=≥，解得：
5n ≥，所以1234,,,b b b b 小于0，50b =，6n ≥时，0n b >；所以
当5n ≤时，4
9||||||2
21n n b b b T n n -=+++= ；
当6n ≥时，||||||||||6521n n b b b b b T ++++++=
4
409)''(')(2556521+-=
-+-=++++++-=n n S S S b b b b b n n
所以2
2
954
94064
n n n n T n n n ?-≤??=?-+?≥??
18．.(1)证明 由直四棱柱,得BB 1∥DD 1,
又∵BB 1=DD 1,∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD. 而BD ?平面A 1BD ,B 1D 1?平面A 1BD ,∴B 1D 1∥平面A 1BD. (2)证明 ∵BB 1⊥平面ABCD ,AC ?平面ABCD ,∴BB 1⊥AC.
∵BD ⊥AC ,且BD ∩BB 1=B , ∴AC ⊥平面BB 1D. 而MD ?平面BB 1D , ∴MD ⊥AC. 19.（Ⅰ）由212+++=n n n a a a 得n n n n a a a a -=-+++112，
则数列}{n a 是等差数列． ???=+=+∴.36156,521
1d a d a ????==.2,
11d a 因此，12-=n a n ．
（Ⅱ）设等比数列}{n b 的公比为q ，
由???+=++=+)
1()1(1)1(3
311a a q q b a
q b 得11=b ，a q =且0a ≠． 则11
1--==n n n a q
b b ，1)12(--=n n n a n b a ． 132)12(7531--+++++=n n a n a a a T ………………①
当1≠a 时，n
n a n a a a a aT )12(753432-+++++= ………… ② 由①-②得n n n a n a
a a a T a )12(22221)1(1
32--+++++=-- n n a n a
a )12(11)
1(2-----=,
所以，a a n a a T n
n n --+---=1)12(1)
1()1(22
． 当1=a 时，2
n T n =．
20.解：（Ⅰ）由于3211(1)1n
n
n n a a a a +++-+=，则3212
1
1n n n n
a a a a +++=+， ∴2322122213()11240111n n
n
n
n n n n n n n
a a a a a a a a a a a +-+
++-+-=-==>+++，∴1n n a a +> （Ⅱ）由于2211(1)n n n n
a b a a +=-，由（Ⅰ）1n n a a +>>0，则2211n n a a +<，22110n n a a +->， 而1110n n
a a a +>>=>，则0n
b >，∴121
0.n
k n k b b b b ==++
+>∑
又222
1111122221111
()()2()1(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b a a a a a a a a +++++++++-+--=-==< ∴11
2()n n n n n a a b a a ++-<，1112()n n n b a a +<-
11223
1
1111
11
2[(
)()(
)]n
k k n n b a a a a a a =+∴<-+-++-∑ ∴
12111
112(
)n
k n k n b b b b a a =+=++
+<-∑，而1n n a a +>，且11a =，故10n a +> ∴112
n
k k b a =<∑，因此12n k k b =<∑，从而1
0 2.n
k k b =<<∑