2018年山东德州中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1.(4分)(2018?德州)3的相反数是()
A.3B.1
3
C.﹣3D.﹣
1
3
2.(4分)(2018?德州)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.B.C.D.
3.(4分)(2018?德州)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离,即1.496亿km,用科学记数法表示1.496亿是()
A.1.496×107B.14.96×108C.0.1496×108D.1.496×108
4.(4分)(2018?德州)下列运算正确的是()
A.a3?a2=a6B.(﹣a2)3=a6C.a7÷a5=a2D.﹣2mn﹣mn=﹣mn
5.(4分)(2018?德州)已知一组数据:6,2,8,x,7,它们的平均数是6,则这组数据的中位数是()
A.7B.6C.5D.4
6.(4分)(2018?德州)如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列方式中∠α与∠β互余的是()
A .图①
B .图②
C .图③
D .图④
7.(4分)(2018?德州)如图,函数y=ax 2﹣2x +1和y=ax ﹣a (a 是常数,且a ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A .
B .
C .
D .
8.(4分)(2018?德州)分式方程x x?1﹣1=3
(x?1)(x+2)的解为( )
A .x=1
B .x=2
C .x=﹣1
D .无解
9.(4分)(2018?德州)如图,从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为( )
A .π
2
m 2
B .
√3
2
πm 2 C .πm 2 D .2πm 2 10.(4分)(2018?德州)给出下列函数:①y=﹣3x +2;②y=3
x ;③y=2x 2;④y=3x ,
上述函数中符合条作“当x >1时,函数值y 随自变量x 增大而增大“的是( )
A .①③
B .③④
C .②④
D .②③
11.(4分)(2018?德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a +b )n 的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算(a +b )8的展开式中从左起第四项的系数为( ) A .84 B .56 C .35 D .28
12.(4分)(2018?德州)如图,等边三角形ABC 的边长为4,点O 是△ABC 的中心,∠FOG=120°,绕点O 旋转∠FOG ,分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点,连接DE ,给出下列四个结论:①OD=OE ;②S △ODE =S △BDE ;③四边形ODBE 的面积始
终等于4
3
√3;④△BDE 周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得
4分。
13.(4分)(2018?德州)计算:|﹣2+3|= .
14.(4分)(2018?德州)若x 1,x 2是一元二次方程x 2+x ﹣2=0的两个实数根,则x 1+x 2+x 1x 2= .
15.(4分)(2018?德州)如图,OC 为∠AOB 的平分线,CM ⊥OB ,OC=5,OM=4,则点C 到射线OA 的距离为 .
16.(4分)(2018?德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC 的顶点都在格点上,则∠BAC 的正弦值是 .
17.(4分)(2018?德州)对于实数a ,b ,定义运算“◆”:a◆b={√a 2+b 2,a ≥b ab ,a <b
,
例如4◆3,因为4>3.所以4◆3=√42+32=5.若x ,y 满足方程组{4x ?y =8x +2y =29,
则x◆y= .
18.(4分)(2018?德州)如图,反比例函数y=3
x
与一次函数y=x ﹣2在第三象限
交于点A ,点B 的坐标为(﹣3,0),点P 是y 轴左侧的一点,若以A ,O ,B ,P 为顶点的四边形为平行四边形,则点P 的坐标为 .
三、解答题:本大题共7小题,共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19.(8分)(2018?德州)先化简,再求值
x?3
x ?1÷x?3
x +2x+1﹣(1
x?1
+1),其中x
是不等式组{5x ?3>3(x +1)
12
x ?1<9?32x 的整数解.
20.(10分)(2018?德州)某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻,体育,动画,娱乐,戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,解答下列问题: (1)这次被调查的学生共有多少人? (2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人? (4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答).
21.(10分)(2018?德州)如图,两座建筑物的水平距离BC 为60m ,从C 点测得A 点的仰角α为53°,从A 点测得D 点的俯角β为37°,求两座建筑物的高度
(参考数据:sin37°≈35,cos37°≈45,tan37°≈34,sin53°≈45,cos53°≈3
5
,tan53°
≈43
).
22.(12分)(2018?德州)如图,AB 是⊙O 的直径,直线CD 与⊙O 相切于点C ,
且与AB 的延长线交于点E ,点C 是BF
?的中点. (1)求证:AD ⊥CD ;
(2)若∠CAD=30°,⊙O 的半径为3,一只蚂蚁从点B 出发,沿着BE ﹣EC ﹣CB
?爬回至点B ,求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14,√3≈1.73,结果保留一位小数).
23.(12分)(2018?德州)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y (单位:台)和销售单价x (单位:万元)成一次函数关系.
(1)求年销售量y 与销售单价x 的函数关系式;
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元? 24.(12分)(2018?德州)再读教材:
宽与长的比是√5?12
(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、
匀称的美感,世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金
矩形的设计,下面,我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2) 第一步,在矩形纸片一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.
第三步,折出内侧矩形的对角线AB ,并把AB 折到图①中所示的AD 处. 第四步,展平纸片,按照所得的点D 折出DE ,使DE ⊥ND ,则图④中就会出现黄金矩形.
问题解决:
(1)图③中AB= (保留根号);
(2)如图③,判断四边形BADQ 的形状,并说明理由;
(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.
实际操作
(4)结合图④,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
25.(14分)(2018?德州)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点,其中A(m,0)、B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.
(1)求m、n的值及该抛物线的解析式;
(2)如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合),分别以AP、DP 为斜边,在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN,连接MN,试确定△MPN面积最大时P点的坐标;
(3)如图3,连接BD、CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2018年山东省德州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1.(4分)(2018?德州)3的相反数是()
A.3B.1
3
C.﹣3D.﹣
1
3
【考点】14:相反数.
【分析】根据相反数的定义,即可解答.
【解答】解:3的相反数是﹣3,故选:C.
【点评】本题考查了相反数,解决本题的关键是熟记相反数的定义.
2.(4分)(2018?德州)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A.B.C.D.
【考点】R5:中心对称图形;P3:轴对称图形.
【专题】558:平移、旋转与对称.
【分析】观察四个选项中的图形,找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论.
【解答】解:A是中心对称图形;B既是轴对称图形又是中心对称图形;C是轴
对称图形;D既不是轴对称图形又不是中心对称图形.
故选:B.
【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形,牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键.
3.(4分)(2018?德州)一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化,1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离,即1.496亿km,用科学记数法表示1.496亿是()
A.1.496×107B.14.96×108C.0.1496×108D.1.496×108
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.
【专题】1 :常规题型.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n 是负数.
【解答】解:数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108,
故选:D.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(4分)(2018?德州)下列运算正确的是()
A.a3?a2=a6B.(﹣a2)3=a6C.a7÷a5=a2D.﹣2mn﹣mn=﹣mn
【考点】48:同底数幂的除法;35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;47:幂
的乘方与积的乘方.
【专题】1 :常规题型.
【分析】根据同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加;幂的乘方法则:底数不变,指数相乘;同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减;合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变分别进行计算即可.
【解答】解:A、a3?a2=a5,故原题计算错误;
B、(﹣a2)3=﹣a6,故原题计算错误;
C、a7÷a5=a2,故原题计算正确;
D、﹣2mn﹣mn=﹣3mn,故原题计算错误;
故选:C.
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方,关键是掌握各计算法则.
5.(4分)(2018?德州)已知一组数据:6,2,8,x,7,它们的平均数是6,则这组数据的中位数是()
A.7B.6C.5D.4
【考点】W4:中位数;W1:算术平均数.
【专题】54:统计与概率.
【分析】首先根据平均数为6求出x的值,然后根据中位数的概念求解.
【解答】解:由题意得6+2+8+x+7=6×5,
解得:x=7,
这组数据按照从小到大的顺序排列为:2,6,7,7,8,
则中位数为7.
故选:A.
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
6.(4分)(2018?德州)如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列方式中∠α与∠β互余的是()
A.图①B.图②C.图③D.图④
【考点】IL:余角和补角.
【分析】根据平角的定义,同角的余角相等,等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解.
【解答】解:图①,∠α+∠β=180°﹣90°,互余;
图②,根据同角的余角相等,∠α=∠β;
图③,根据等角的补角相等∠α=∠β;
图④,∠α+∠β=180°,互补.
故选:A.
【点评】本题考查了余角和补角,是基础题,熟记概念与性质是解题的关键.
7.(4分)(2018?德州)如图,函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是()
A.B.C.
D.
【考点】H2:二次函数的图象;F3:一次函数的图象.
【专题】1 :常规题型.
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可.
【解答】解:A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a<0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下,故选项错误;
B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应
该开口向上,对称轴x=﹣?2
2a
>0,故选项正确;
C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应
该开口向上,对称轴x=﹣?2
2a
>0,和x轴的正半轴相交,故选项错误;
D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a>0,此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上,故选项错误.
故选:B.
【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax ﹣a 在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.
8.(4分)(2018?德州)分式方程x
x?1﹣1=3
(x?1)(x+2)的解为( )
A .x=1
B .x=2
C .x=﹣1
D .无解
【考点】B2:分式方程的解.
【专题】11 :计算题;522:分式方程及应用.
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:去分母得:x 2+2x ﹣x 2﹣x +2=3, 解得:x=1,
经检验x=1是增根,分式方程无解. 故选:D .
【点评】此题考查了分式方程的解,始终注意分母不为0这个条件.
9.(4分)(2018?德州)如图,从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为( )
A .π2m 2
B .√3
2
πm 2 C .πm 2 D .2πm 2
【考点】MO :扇形面积的计算. 【专题】1 :常规题型.
【分析】连接AC ,根据圆周角定理得出AC 为圆的直径,解直角三角形求出AB ,根据扇形面积公式求出即可.
【解答】解:
连接AC ,
∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,即∠ABC=90°, ∴AC 为直径,即AC=2m ,AB=BC , ∵AB 2+BC 2=22, ∴AB=BC=√2m ,
∴阴影部分的面积是90π×(√2)2360=12
π(m 2),
故选:A .
【点评】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算,能熟记扇形的面积公式是解此题的关键.
10.(4分)(2018?德州)给出下列函数:①y=﹣3x +2;②y=3
x ;③y=2x 2;④y=3x ,
上述函数中符合条作“当x >1时,函数值y 随自变量x 增大而增大“的是( ) A .①③
B .③④
C .②④
D .②③
【考点】G4:反比例函数的性质;F5:一次函数的性质;F6:正比例函数的性质;H3:二次函数的性质.
【专题】1 :常规题型.
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案.
【解答】解:①y=﹣3x+2,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项错误;
②y=3
x
,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项错误;
③y=2x2,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;
④y=3x,当x>1时,函数值y随自变量x增大而减小,故此选项正确;
故选:B.
【点评】此题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质,正确把握相关性质是解题关键.
11.(4分)(2018?德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三角”
根据”杨辉三角”请计算(a +b )8的展开式中从左起第四项的系数为( ) A .84 B .56 C .35 D .28
【考点】4C :完全平方公式;1O :数学常识. 【专题】2A :规律型.
【分析】根据图形中的规律即可求出(a +b )8的展开式中从左起第四项的系数. 【解答】解:找规律发现(a +b )4的第四项系数为4=3+1; (a +b )5的第四项系数为10=6+4; (a +b )6的第四项系数为20=10+10; (a +b )7的第四项系数为35=15+20; ∴(a +b )8第四项系数为21+35=56. 故选:B .
【点评】此题考查了数字变化规律,通过观察、分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题的能力.
12.(4分)(2018?德州)如图,等边三角形ABC 的边长为4,点O 是△ABC 的中心,∠FOG=120°,绕点O 旋转∠FOG ,分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点,连接DE ,给出下列四个结论:①OD=OE ;②S △ODE =S △BDE ;③四边形ODBE 的面积始
终等于4
3
√3;④△BDE 周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
【考点】R2:旋转的性质;J4:垂线段最短;KD :全等三角形的判定与性质;KK :等边三角形的性质. 【专题】11 :计算题.
【分析】连接OB 、OC ,如图,利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°,再证明∠BOD=∠COE ,于是可判断△BOD ≌△COE ,所以BD=CE ,OD=OE ,则可
对①进行判断;利用S △BOD =S △COE 得到四边形ODBE 的面积=13S △ABC =4
3√3,则可对
③进行判断;作OH ⊥DE ,如图,则DH=EH ,计算出S △ODE =√34
OE 2
,利用S △ODE 随
OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断;由于△BDE 的周
长=BC +DE=4+DE=4+√3OE ,根据垂线段最短,当OE ⊥BC 时,OE 最小,△BDE 的周长最小,计算出此时OE 的长则可对④进行判断. 【解答】解:连接OB 、OC ,如图, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵点O 是△ABC 的中心,
∴OB=OC ,OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB , ∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°
∴∠BOC=120°,即∠BOE +∠COE=120°, 而∠DOE=120°,即∠BOE +∠BOD=120°, ∴∠BOD=∠COE , 在△BOD 和△COE 中 {∠BOD =∠COE BO =CO ∠OBD =∠OCE
,
∴△BOD ≌△COE ,
∴BD=CE ,OD=OE ,所以①正确; ∴S △BOD =S △COE ,
∴四边形ODBE 的面积=S △OBC =13S △ABC =13×√34×42=43
√3,所以③正确; 作OH ⊥DE ,如图,则DH=EH , ∵∠DOE=120°, ∴∠ODE=∠OEH=30°,
∴OH=12OE ,HE=√3OH=√3
2
OE ,
∴DE=√3OE ,
∴S △ODE =12?12OE?√3OE=√34
OE 2
,
即S △ODE 随OE 的变化而变化, 而四边形ODBE 的面积为定值, ∴S △ODE ≠S △BDE ;所以②错误; ∵BD=CE ,
∴△BDE 的周长=BD +BE +DE=CE +BE +DE=BC +DE=4+DE=4+√3OE ,
当OE ⊥BC 时,OE 最小,△BDE 的周长最小,此时OE=3√3
2
,
∴△BDE 周长的最小值=4+2=6,所以④正确. 故选:C .
【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质.
二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分。
13.(4分)(2018?德州)计算:|﹣2+3|=1.
【考点】19:有理数的加法;15:绝对值.
【专题】11 :计算题.
【分析】根据有理数的加法解答即可.
【解答】解:|﹣2+3|=1,
故答案为:1
【点评】此题考查有理数的加法,关键是根据法则计算.
14.(4分)(2018?德州)若x1,x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根,则x1+x2+x1x2=﹣3.
【考点】AB:根与系数的关系.
【专题】11 :计算题.