2013高三数学总复习同步练习：3-2利用导数研究函数的性质

3-2利用导数研究函数的性质

基础巩固强化

1.(2012·湖南衡阳模拟)函数f(x)＝x－a x在x∈[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为()

A．1B．2C．4D．5

[答案] C

[解析]当x∈[1,4]时，f′(x)＝1－a

2x

≤0，

∴a≥2x恒成立，∴a≥4.

2．(文)(2012·陕西理，7)设函数f(x)＝x e x，则()

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

[答案] D

[解析]本题考查了导数的应用—求函数的极值．

f′(x)＝e x＋x e x，令f′(x)＝0，

∴e x＋x e x＝0，∴x＝－1，

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＝e x＋x e x<0，x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＝e x＋x e x>0，∴x＝－1为极小值点，故选D.

[点评]求函数的极值要讨论在各区间内导函数值的符号，同时要注意函数的定义域．

(理)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()

A.4

27，0 B．0，4

27

C ．－4

27，0

D ．0，－4

27

[答案] A

[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ， 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得，

????? 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0.解得?????

p ＝2，q ＝－1.

∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ， 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝1

3或x ＝1，

易得当x ＝13时f (x )取极大值4

27，

当x ＝1时f (x )取极小值0. 3．(文)

函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极大值点有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

[答案] B

[解析] 由导函数的图象知，f (x )在(a ，b )内变化情况为增→减→增→减，故有两个极大值点．

(理)(2012·重庆理，8)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如下图所示，则下列结论中一定成立的

是()

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

[答案] D

[解析]当x<－2时，1－x>3，则f′(x)>0；

当－2

∴函数f(x)有极大值f(－2)，当12时，1－x<－1，则f′(x)>0，

∴函数f(x)有极小值f(2)，故选D.

4．(文)(2011·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

[答案] B

[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则

φ′(x)＝f′(x)－2>0.

∴φ(x)在R上是增函数．

又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，

∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，

∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.

(理)(2012·河南省洛阳市高三年级统一考试)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x＋1的解集为()

A．{x|x>0} B．{x|x<0}

C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0

[答案] A

[解析]构造函数g(x)＝e x·f(x)－e x，因为g′(x)＝e x·f(x)＋e x·f′(x)－e x＝e x[f(x)＋f′(x)]－e x>e x－e x＝0，所以g(x)＝e x·f(x)－e x为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.

5．(文)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()

[答案] A

[解析] 由图可知，当x >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(0，＋∞)上是单调递减的；当x <－2时，f ′(x )<0，∴函数f (x )的图象在(－∞，－2)上也是单调递减的，所以只有A 符合，故选A.

(理)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )

A ．f (x )＝4sin ? ????12x ＋π4

B ．f (x )＝2sin ? ????12x ＋π4

C ．f (x )＝2sin ? ????

12x ＋3π4

D ．f (x )＝4sin ? ??

??12x ＋3π4 [答案] A

[解析] f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，A ω＝2，设周期为T ，则T 2＝3π2－? ??

??

－π2＝2π，

∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝1

2

，∴A ＝4，

∵f ′(x )的图象过点? ????π2，0，∴2cos ? ??

??

12×π2＋φ＝0，

∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π

4＋k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π，∴φ＝π

4

.故选A.

6．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )

A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3

B ．－3

C ．－2

D ．不存在这样的实数 [答案] B

[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2

[点评] 已知函数f (x )，由f ′(x )的符号可得到函数f (x )的单调区间，而f (x )在区间(k －1，k ＋1)上不单调，因此，k －1与k ＋1应分布在函数f (x )的两个单调区间内．请再练习下题：

已知函数f (x )＝x 3－kx 在区间(－3，－1)上不单调，则实数k 的取值范围是________．

[答案] 3

[解析] f ′(x )＝3x 2

－k .由3x 2

－k >0，得x 2

>k

3

，若k ≤0，则f (x )

显然在(－3，－1)上单调递增，

∴k >0，∴x >

k

3

或x <－k 3. 由3x 2

－k <0得－

k 3

， ∴f (x )在? ?

?

??

－∞，－

k 3上单调递增，在(－k 3

，k

3

)上单调递减，在?

?

?

??k

3，＋∞上单调递增， 由题设条件知－3<－

k

3

<－1，∴3

[答案] －37

[解析] f ′(x )＝6x 2－12x ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，当0

∴f (x )在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减， 由条件知f (0)＝m ＝3，∴f (2)＝－5，f (－2)＝－37， ∴最小值为－37.

8．(2011·苏北四市调研)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．

[答案] [－2，－1]

[解析] 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2①

又f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，由条件知f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3②

联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3＋3x 2，

令f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]?[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1]．

[点评] f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，故[t ，t ＋1]是f (x )的减区间的子集．

9．(2012·湖南长郡中学一模)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )＝5＋cos x ，x ∈(－1,1)，且f (0)＝0，如果f (1－x )＋f (1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________．

[答案] (1，2)

[解析] ∵导函数是偶函数，∴原函数f (x )是奇函数，且定义域为(－1,1)，又由导数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f (1－x )

[点评] 本题考查应用函数性质解不等式以及利用导数研究函数性质，原函数与其导函数的奇偶性相反，这一性质要注意掌握和应用．

10．(2012·哈尔滨质检)已知f (x )＝ax 3－2ax 2＋b (a ≠0)． (1)求出f (x )的极值；

(2)若f (x )在区间[－2,1]上最大值是5，最小值是－11，求f (x )的解析式．

[解析] (1)f ′(x )＝3ax 2

－4ax ，令f ′(x )＝0?x ＝0或x ＝43

.

当a >0时，

当x ＝43时，y 取得极小值b －3227a ，

同理当a <0时，x ＝0时，y 取得极小值b ， x ＝43时，y 取得极大值b －3227

a . (2)当a >0时，f (x )在[－2,0)上单调递增，在(0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝

b ＝5. 又f (－2)＝b －16a

当a <0时，f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)＝b ＝－11. 又f (－2)＝b －16a >f (1)＝b －a ， 所以b －16a ＝5，a ＝－1.

综上，f (x )＝x 3－2x 2＋5或f (x )＝－x 3＋2x 2－11.

能力拓展提升

11.(文)(2011·南开区质检)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )

A ．2

B ．1

C ．－1

D ．－2

[答案] A

[解析] ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3的极大值点， ∴c ＝3b －b 3，且0＝3－3b 2，

∴????? b ＝1，c ＝2，或?????

b ＝－1，

c ＝－2.

∴ad ＝2. (理)(2011·陕西咸阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2－1的图象在点A (1，

f (1))处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列????

??

1f (n )的前n 项和为

S n ，则S 2010的值为( )

A.20102011

B.1005

2011 C.40204021 D.20104021

[答案] D

[解析] ∵f ′(x )＝2ax ，∴f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，

∴f (x )＝4x 2－1，

∴1f (n )＝14n －1＝12n －1·12n ＋1 ＝

12? ??

??1

2n －1－12n ＋1， ∴数列??????1f (n )的前n 项和S n ＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (n )＝12?

????1－13＋

12? ????13－15＋…＋12? ??

??1

2n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1，∴S 2010＝2010

4021

. 12．(文)(2012·淄博一检)已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成

立，则a 的最大值为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 [答案] A

[解析] 令f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝x －1x 2，当x ∈[1

2，1]时，

f ′(x )<0，当x ∈[1,2]时，f ′(x )>0，

∴f (x )在[1

2，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，

∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，故选A.

(理)(2012·潍坊模拟)已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝1

3

x 3＋|a |x 2＋2a ·b x ＋1在R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A ．[0，π

6]

B ．(0，π

3]

C ．(π6，π2]

D ．(π

6

，π]

[答案] D

[解析] 据题意知，f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a ·b ，若函数存在极值，必有(2|a |)2－4×2a ·b >0，整理可得|a |2

>2a ·b ，故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |<

|a |2

2|a |·

|a |

3＝

32，解得π

6

<〈a ，b 〉≤π. 13．(2012·深圳第一次调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则

f (x )的图象可能是( )

[答案] D

[解析] 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．

14．(文)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >1

2)，

当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．

[答案] 1

[解析] 因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，所以0<

1

a <2.令f ′(x )>0得x <1a ，∴f (x )在(0，1a )上单调递增；令f ′(x )<0得x >1

a

，

∴f (x )在(1a ，2)上单调递减；所以当x ∈(0,2)时，f (x )max ＝f (1a )＝ln

1

a －a ·1a ＝－1，所以ln 1

a

＝0，所以a ＝1.

(理)(2011·安庆质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．

[答案] －13

[解析] 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)

上单调递增，

∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.

15．(文)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．

(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a 、b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .

因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，

所以????? f ′(2)＝0，f (2)＝8.即?????

12－3a ＝0，8－6a ＋b ＝8.

解得a ＝4，b ＝24. (2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．

当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．

当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .

当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．

∴f (x )的单调增区间为(－∞，－a )和(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )．

故x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． (理)(2012·新课标全国文，21)设函数f (x )＝e x －ax －2. (1)求f (x )的单调区间；

(2)若a ＝1，k 为整数，且当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0，求k

的最大值．

[分析](1)先确定函数的定义域，然后求导函数f′(x)，因不确定a的正负，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一种情况下f′(x)的正负，从而确立单调区间；(2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将求k的最大值转化为求g(x)的最值问题．[解析](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．

若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，

所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．

(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e x－1)＋x＋1.

故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于

k

e x－1

x(x>0)．①

令g(x)＝x＋1

e x－1＋x，则g′(x)＝

－x e x－1

(e x－1)2

＋1＝

e x(e x－x－2)

(e x－1)2

.

由(1)知，函数h(x)＝e x－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等价于k

16．(文)(2013·唐山一中第一学期第二次月考)已知函数f(x)＝a ln x －ax－3(a∈R)．

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调区间并比较f(x)与f(1)的大小关

系；

(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2[f ′(x )＋m

2]在区间(t,3)上总不

是单调函数，求m 的取值范围；

(3)求证：ln22×ln33×ln44×…×ln n n <1

n

(n ≥2，n ∈N *)．

[解析] (1)当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，f ′(x )＝x －1

x (x >0)，

由f ′(x )>0得x >1；由f ′(x )<0得0

所以，f (x )的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]， 可知f (x )min ＝f (1)，所以f (x )≥f (1)． (2)∵f ′(x )＝a (1－x )

x

(x >0)，tan45°＝1，

∴f ′(2)＝－a

2＝1，得a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，

∴g (x )＝x 3

＋(m

2

＋2)x 2－2x ，

∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.

∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴

?

????

g ′(t )<0，g ′(3)>0. 由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )<0恒成立， 所以，????

?

g ′(1)<0，g ′(2)<0，

g ′(3)>0.

∴－37

3

(3)证明如下：由(1)可知，

当x ∈(1，＋∞)时f (x )>f (1)，即－ln x ＋x －1>0，

∴0

∵n ≥2，n ∈N *

，则有0

n

，

∴ln22·ln33·ln44…·ln n n <12·23·34·…·n －1n ＝1

n

(n ≥2，n ∈N *)． (理)(2012·山东文，22)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝

2.71828…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．

(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间；

(3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数．证明：对任意x >0，g (x )<1＋e －2.

[分析] (1)根据导数几何意义，利用f ′(x )＝0求解． (2)利用f ′(x )>0?单调递增区间，f ′(x )<0?单调递减区间． (3)易得g (x )＝1

e x (1－x －x ln x )，直接对g (x )求导，研究其在(0，＋

∞)上的单调性，进而求极值、最值，证g (x )max <1＋e －2是一条思路，但当对g (x )求导后发现几乎无法处理g ′(x )>0(g ′(x )<0)思路受阻．受(2)的启发，研究h (x )＝1－x －x ln x ，利用x ∈(0，＋∞)时1

e x <1这一条

件以及h (x )最大值来证就顺理成章了．

[解析] (1)解：由f (x )＝ln x ＋k

e x ，

得f ′(x )＝1－kx －x ln x

x e x

，x ∈(0，＋∞)，

由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1.

(2)解：由(1)得f′(x)＝

1

x e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.

又e x>0，

所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；

x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)证明：因为g(x)＝xf′(x)．

所以g(x)＝1

e x(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．

由(2)h(x)＝1－x－x ln x，

求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－lne－2)，

所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.

又当x∈(0，＋∞)时，0<1

e x<1，

所以当x∈(0，＋∞)时，1

e x h(x)<1＋e

－2，即g(x)<1＋e－2.

综上所述结论成立．

[点评]本题考查了导数的运算、切线方程、利用导数研究函数的极值、研究函数的单调区间、利用导数证明不等式等．

1．若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()

A ．(0,1)

B ．(－∞，1)

C ．(0，＋∞) D.? ??

??0，12 [答案] D [解析]

∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意知，函数f ′(x )图象如右图．

∴????? f ′(0)<0，

f ′(1)>0. ∴?

????

－6b <0，3－6b >0.∴0

2．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9 [答案] D

[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0.

∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b 2

)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成

立．

3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数a 、b ，若a

A ．af (b )≤bf (a )

B ．bf (a )≤af (b )

C ．af (a )≤f (b )

D ．bf (b )≤f (a )

[答案] A

[解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，又f (x )≥0， ∴xf ′(x )≤－f (x )≤0.

设y ＝f (x )

x ，则y ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2≤0，

故y ＝f (x )

x 为减函数或为常数函数．

又a

b ，

∵a 、b >0，∴a ·f (b )≤b ·f (a )．

[点评] 观察条件式xf ′(x )＋f (x )≤0的特点，可见不等式左边是函数y ＝xf (x )的导函数，故可构造函数y ＝xf (x )或y ＝f (x )

x 通过取导数利

用条件式来得到函数的单调性推得结论，请再练习下题：

已知a 、b 是实数，且e

与b a 的大小关系是( )

A ．a b >b a

B ．a b

C ．a b ＝b a

D ．a b 与b a 的大小关系不确定 [答案] A

[解析] 令f (x )＝ln x

x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.当x >e 时，f ′(x )<0，∴

f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．

∵ef (b )，即

ln a a >ln b

b

， ∴b ln a >a ln b ，∴ln a b >ln b a ，∴a b >b a .

4．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )

A ．－15

B ．0 C.15 D ．5

[答案] B

[解析] ∵f (x )为可导偶函数．∴f (x )在x ＝0两边的导数符号相反，且在x ＝0处连续．

∴f ′(0)＝0，又∵f (x )的周期为5. ∴f ′(x )的周期也为5.∴f ′(5)＝0， 即f (x )在x ＝5处的切线斜率为0.

5．已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )

2020高考数学 课后作业 3-2 利用导数研究函数的性质

3-2 利用导数研究函数的性质 1.(文)(2020·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′ (x)>1，则f(x)>x的解集是( ) A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] C [解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)． (理)(2020·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( ) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) [答案] B [解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则 φ′(x)＝f′(x)－2>0. ∴φ(x)在R上是增函数． 又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0， ∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0， ∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B. 2．(2020·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( ) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 [答案] A [解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A. 3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( ) A.4 27 ，0 B．0， 4 27 C．－4 27 ，0 D．0，－ 4 27

利用导数研究函数的单调性、极值、最值

利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是() A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案D 解析函数f(x)=(x-3)e x的导数为f'(x)=[(x-3)e x]'=e x+(x-3)e x=(x-2)e x. 由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)e x>0,解得x>2. 2.(2018广东东莞考前冲刺)若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则() A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0 答案A 解析∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,∴f'(1)=0, ∴a+=0,∴a=-1. ∴f'(x)=-1+=0?x=1. 当x>1时,f'(x)<0,当00,因此f(x)有极大值-1. 3.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)2e x的解集为() A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 答案C 解析设g(x)=,则g'(x)=. ∵f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.

∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2, ∴不等式f(x)>2e x等价于g(x)>g(0). ∵函数g(x)在定义域内单调递增. ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C. 4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 答案D 解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3, 且x1<00,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D. 一、 1.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f=2sin x+sin2x,则f的最小值是. 【解题指南】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的函数的求导公式,需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小

高中数学(函数和导数)综合练习含解析

高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞

高中数学利用导数研究函数的性质( 极值与最值)

3.2利用导数研究函数的性质 第2课时导数与函数的极值、最值 一、基础知识 1．函数的单调性（复习） 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 知识拓展 (1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． (2)函数的极大值不一定比极小值大．

(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的必要不充分要条件． 二、基本题型 1.根据函数图象判断极值 【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－22时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【变式1-1】函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( ) A ．无极大值点、有四个极小值点 B ．有三个极大值点、一个极小值点 C ．有两个极大值点、两个极小值点 D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】 C 【解析】 导函数的图象与x 轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点． 2.求函数的极值和极值点 【例2-1】设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12 为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】 D 【解析】 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x >0)，当02时，f ′(x )>0， ∴x ＝2为f (x )的极小值点．

高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答)

函数与导数相结合压轴题精选（二） 11、已知)0()(2 3 >+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M > 证明：由题设有),)((323)(212 x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <， 则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a 1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值， )()()()()(212 221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=- ])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-= )] 3(92 )[(]3232)32()[(22121ac b a x x c a b b a c a a b a x x ---=+-?+?-- ?-= 由方程0232 =++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(2 2>-=-=?ac b ac b 又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证. 12、已知函数ax x x f +-=3 )(在（0，1）上是增函数. （1）求实数a 的取值集合A ； （2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常 数），试比较n n a a 与1+的大小； （3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+< c a c a n n 对一切N n ∈恒成立？ （1）设))(()()(,102 2212 1122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则 由题意知：0)()(21<-x f x f ，且012>-x x )3,0(,2 22121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则 }3|{,3≥=≥∴a a A a 即 （4分） （注：法2：)1,0(,03)(2 ∈>+-='x a x x f 对恒成立，求出3≥a ）. （2）当3时，由题意：)1,0(,2 3 21131∈=+- =+b a a a a n n n 且

导数研究函数性质

1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．

利用导数研究函数的极值、最值

利用导数研究函数的极值、最值 【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 角度2已知函数求极值 【例1－2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝1 2 时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(角度2) 设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数. ①若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值； ②若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值. 考点二已知函数的极值求参数

【例2】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 【训练2】 已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx －17(a ，b ，c ∈R)的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( ) A.－8122 B.1 3 C.2 D.5 考点三 利用导数求函数的最值 【例3】 已知函数f (x )＝2x 3 －ax 2＋2. (1)讨论f (x )的单调性； (2)(经典母题)当0

高考数学函数与导数

回扣2 函数与导数 1．函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义． (2)常见函数的值域 ①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ； ②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为????4ac －b 2 4a ，＋∞，当a <0时，值域为? ???－∞，4ac －b 2 4a ； ③反比例函数y ＝k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期． ②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期． ③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期． (2)函数图象的对称性 ①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )， 则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿

《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，

高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解

高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解 一、选择题 1．(文)函数y ＝ax 3 －x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ＝1 3 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ≤0 [答案] D [解析] y ′＝3ax 2－1， ∵函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数， ∴3ax 2－1≤0在R 上恒成立，∴a ≤0. (理)(2010·瑞安中学)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.? ???? 13，＋∞ B.? ???? －∞，13 C.???? ??13，＋∞ D. ? ?? ?? －∞，13 [答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知，f ′(x )≥0恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥1 3 ，故选C. 2．(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y ＝kx ＋1及曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 [答案] A [解析] 由条件知(1,3)在直线y ＝kx ＋1上，∴k ＝2. 又(1,3)在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，∴a ＋b ＝2， ∵y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝2，∴a ＝－1，∴b ＝3. (理)(2010·山东滨州)已知P 点在曲线F ：y ＝x 3－x 上，且曲线F 在点

P处的切线及直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为( ) A．(1,1) B．(－1,0) C．(－1,0)或(1,0) D．(1,0)或(1,1) [答案] C [解析] ∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又过P点的切线及直线x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又P点在曲线F：y＝x3－x上，∴当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝0，∴P点的坐标为(－1,0)或(1,0)，故选C. 3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)及年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y＝－1 3 x3＋81x－234，则使该生产厂家获 取最大的年利润的年产量为( ) A．13万件B．11万件 C．9万件D．7万件 [答案] C [解析] 由条件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当x∈(0,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝9时，函数取得最大值，故选C. [点评] 本题中函数只有一个驻点x＝9，故x＝9就是最大值点． 4．(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为( ) A．(2,3)∪(－3，－2) B．(－2，2) C．(2,3) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

高三数学-理科函数与导数-专题练习(含答案与解析)

（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-?，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．

联立212y x y x ax =-??'=-+-? 消去y 得：2(1)10x a x +-+=， 由题意得：2(1)40a -=-=△， 解得：3a =或1-； （Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'， 1(0,)e x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4 t <≤-时， min 111)ln )444 ()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时， min e ()1e )(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min 1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--???-<<≥?=?????； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e x x x x >-成立．

∴()0g x '>， ∴函数()g x 在定义域内为增函数， ∴(1)(0)g g >，即12 e (1)(0) f f >，亦即(1) f > 故选：A ． 2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥， ∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数， 又∵()sin ()f x x x f x -=--=-， ∴()sin f x x x =+为奇函数， ∴2222222222(23)(41)0(23)(41) (23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤?-+≤--+?-+≤-+-?-+≤-+-?-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ?-+-≤?≥? 可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1 y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1 y x +的取值范围为13,44?????? ． 3．解析：依题意，可得右图：()2f x =

第16课时利用导数研究函数的性质

第16 课时 利用导数研究函数的性质 编者：仇小华 审核：刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的 条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是 ． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的 条件，但并不 ． 4． 如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论． 二、基础训练 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0

(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

高中数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数 ()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ） a ax x x f ++='23)(2． 由题意知???=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵3>a ，∴01242>-=?a a ．

(整理)利用导数研究函数的性质.

专题三 利用导数研究函数的性质 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0在有限个点处取到． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 4． 如果连续函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决 实际问题中经常用到这一结论． 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [e ，＋∞) 解析 f ′(x )＝1x ·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e. 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1 x 3，则g ′(x ) ＝ 3(1－2x ) x 4 ， 所以g (x )在区间????0，12上单调递增，在区间????12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ????1 2＝4，从而a ≥4. 当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1 x 3.

高考数学函数与导数复习指导

2019高考数学函数与导数复习指导 函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，在近几年的高考中，函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分。一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题，而且常考常新。 在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。 在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在： 1.通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象。 2.在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现。 3.从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查。 4.一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的。 5.涌现了一些函数新题型。 死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素 养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 6.函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。 家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练

工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。 7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围)，和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 8.求极值，函数单调性，应用题，与三角函数或向量结合。