河南专升本高数真题
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2006年省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
《高等数学》试卷
一、单项选择题（每小题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题
干后面的括号。不选、错选或多选者，该题无分.
1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ） A. ]1,2
1[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-
2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
3. 当0→x 时，x x sin 2
-是x 的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 4.极限=+∞→n
n
n n sin 32lim
（ ）
A. ∞
B. 2
C. 3
D. 5
5.设函数??
?
??=+≠-=0,10,1
)(2x a x x e x f ax ，在0=x 处连续，则 常数=a （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导 ，则=--+→x
x f x f x )
1()21(lim
0 （ ）
A. )1(f '
B. )1(2f '
C. )1(3f '
D. -)1(f '
7. 若曲线12
+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标
（ ）
A. （2，5）
B. （-2，5）
C. （1，2）
D.（-1，2
）
8.设?????==?20
2cos sin t y du u x t ，则=dx dy （ ）
A. 2t
B. t 2
C.-2
t D. t 2-
9.设2(ln )2(>=-n x x y n ，为正整数),则=)
(n y （ ）
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A.x n x ln )(+
B.
x 1 C.1
)!2()1(---n n x n D. 0 10.曲线2
33
222++--=x x x x y （ ）
A. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线
B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐
近线
C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，
D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线
11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）
A.
]2,0[|,1|-=x y B. ]2,0[,)
1(1
3
2
-=
x y
C.]2,1[,232
+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =
12. 函数x
e y -=在区间),(+∞-∞ （ ）
A. 单调递增且图像是凹的曲线
B. 单调递增且图像是凸的曲线
C. 单调递减且图像是凹的曲线
D. 单调递减且图像是凸的曲线 13.若
?+=C x F dx x f )()(，则?=--dx e f e x x )( （ ）
A.C e F e
x x
++--)( B. C e F x +-)(
C. C e F e
x x
+---)( D. C e F x +--)(
14. 设)(x f 为可导函数，且x
e x
f =-')12( ，则 =)(x f （ ）
A. C e x +-1
22
1 B. C e
x ++)1(2
1
2 C. C e x ++1
221 D. C e x +-)1(2
1
2 15. 导数=?b
a
tdt dx d arcsin （ ）
A.x arcsin
B. 0
C. a b arcsin arcsin -
D. 2
11
x
-
16.下列广义积分收敛的是 （ ）
A. ?+∞
1dx e x
B. ?+∞
11dx x C. ?+∞+12
41
dx x D. ?+∞1cos xdx
17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积
为 （ ）
A. ?
-b
a
dx x g x f )]()([ B. ?-b
a
dx x g x f )]()([
C.
?
-b
a
dx x f x g )]()([ D. ?-b
a
dx x g x f |)()(|
18. 若直线
3
2
311-=+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （ ）
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A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 19.设y
x
y x y x f arcsin
)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 （ ） A.2 B.1 C.-1 D.-2
20. 设方程02=-xyz e
z
确定了函数),(y x f z = ，则
x
z
?? = （ ） A. )12(-z x z B. )12(+z x z C. )12(-z x y D. )
12(+z x y
21.设函数x
y y x z +=2
，则===11y x dz （ ）
A. dy dx 2+
B. dy dx 2-
C. dy dx +2
D. dy dx -2
22.函数203322
2+--=y x xy z 在定义域上 （ ）
A.有极大值，无极小值
B. 无极大值，有极小值
C.有极大值，有极小值
D. 无极大值，无极小值
23设D 为圆周由01222
2
=+--+y x y x 围成的闭区域 ，则=??D
dxdy
（ ）
A. π
B. 2π
C.4π
D. 16π
24.交换二次积分?
?>a
x
a dy y x f dx 0
0(),(，常数）的积分次序后可化为
（ ）
A. ??a
y
dx y x f dy 00
),( B. ??a a
y
dx y x f dy 0),(
C.
?
?a
a dx y x f dy 0
),( D. ??a y
a
dx y x f dy 0
),(
25.若二重积分?
?
??=20
sin 20
)sin ,cos (),(π
θ
θθθrdr r r f d dxdy y x f D ，则积分区域D
为
（ ）
A. x y x 22
2≤+ B. 22
2≤+y x
C. y y x 22
2
≤+ D. 220y y x -≤
≤
26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则
=-+?L
dy dx y x )( （ ） A. 2 B.1 C. -1 D. -2
27.下列级数中，绝对收敛的是 （ ）
A ．∑∞
=1sin
n n
π
B ．
∑∞
=-1sin
)1(n n n
π
C ．
∑∞=-1
2
sin
)
1(n n
n
π
D ．
∑∞
=1
cos n n π
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28. 设幂级数
n n n n
a x a
(0
∑∞
=为常数 ,2,1,0=n ），在点2-=x 处收敛，则
∑∞
=-0
)
1(n n n
a
（ ）
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 敛散性不确定
29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 （ ） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos 30.微分方程x
xe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为 （ ）
A. x e
b ax x y -+=*)( B. x
e
b ax x y -+=*)(2
C. x
e b ax y -+=*)( D. x
axe y -=*
二、填空题（每小题2分，共30分）
31.设函数,1||,01
||,1)(?
??>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.
32.=--+→x
x x x 23
1lim 22=_____________. 33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.
34.设函数bx ax x x f ++=2
3)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别
为___________.
35.曲线1232
3
-+-=x x x y 的拐点为 __________.
36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则
=-)()(x g x f _________.
37.
?-
=+π
π
dx x x )sin (32 _________.
38.设函数?????<≥=0
,0
,)(2x x x e x f x
，则 ?=-20)1(dx x f __________.
39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a
与向量的夹角为__________.
40.曲线??
?==0
22z x
y L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 41.设函数y x xy z sin 2
+= ，则 =???y
x z 2_________.
42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则
________)(2
??=-D
dxdy x y . 43. 函数2
)(x e x f -=在00=x 处展开的幂级数是________________
.
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44.幂级数∑∞
=+++-0
1
1
2)1()1(n n n n
n x 的和函数为 _________. 45.通解为x
x e C e C y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微
三、计算题（每小题5分，共40分）
46．计算 x
x e x x
x 2sin 1lim 3202
-→-
-.
47.求函数x
x x y 2sin 2
)3(+=的导数
dx
dy
. 48.求不定积分
?
-
dx x x 2
2
4.
49.计算定积分?--+102
)2()
1ln(dx x x . 50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 y
z
x z ????,. 51．计算二重积分??=
D
ydxdy x I 2， 其中D 由12,===x x y x y 及所围成. 52．求幂级数
n n n
x n
∑∞
=--+0
)1()
3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.
53．求微分方程 0)12(2
=+-+dy x xy dy x 通解. 四、应用题（每小题7分，共计14分）
54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y x ,千件；甲厂月生产成本是522
1+-=x x C （千元），乙厂月生产成本是322
2++=y y C （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.
55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转.
五、证明题（6分）
56.设)(x f 在],[a a -（0>a ，为常数）上连续， 证明：
?
?--+=a
a
a
dx x f x f dx x f 0
)]()([)(.
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并计算
?--+4
41cos π
πdx e x
x .