2010线性代数期末试题及参考答案

2010线性代数期末试题及参考答案

一、判断题(正确填T ，错误填F 。每小题2分，共10分)

1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。 （ ）

2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。 （ ）

3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。 ( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。 ( )

5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。 （ ）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

（A ）001010100?????????

? (B)100000010?????????? (C) 100020001??????????(D) 100012001??

??-?????? 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+

3．设A 为n 阶方阵，且2

50A A E +-=。则

1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +

4．设A 为n m ?矩阵，则有（ ）。

（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；

（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；

（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。

5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）

（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0

（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

1．01

21

0n n

-

。

2．A 为3阶矩阵，且满足=A 3,则1-A =______，*3A = 。

3．向量组1111α?? ?= ? ???，2025α?? ?= ? ???，3247α?? ?= ? ???，

4120α??

?= ?

???是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

4． 已知123,,ηηη是四元方程组Ax b =的三个解，其中A 的秩()R A =3，

11234η?? ? ?

= ? ? ???，2344

44ηη?? ? ?

+= ? ? ?

??，则方程组Ax b =的通解为 。

5．设

23111503A a -??

??=??

????，且秩(A )=2，则a = 。 四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

1．已知A+B=AB ，且

121342122A ??

??=??

????，求矩阵B 。 2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)αβ=--=--，而

T

A αβ=，求n A 。

3.已知方程组1123211232

123x x ax x x x x ax x a ?

++=-??

-+=-??

?-++=?有无穷多解，求a 以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

3231212

3222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=

5． A ，B 为4阶方阵，AB+2B =0，矩阵B 的秩为2且|E+A |=|2E -A |=0。（1）

求矩阵A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E |。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，AB BA -是否为对称矩阵？证明你的结

论。

2．设A 为m n ?矩阵，且的秩()R A 为n ，判断T

A A 是否为正定阵？证明你的结论。

线性代数试题解答

一、

1．（F ）（

A A n

λλ=） 2．（T ）

3．（F ）。如反例：100010000A ?? ? ?= ? ???，000010001B ??

? ?

= ? ???。 4．（T ）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F ） 二、

1．选B 。初等矩阵一定是可逆的。

2．选B 。A 中的三个向量之和为零，显然A 线性相关； B 中的向量组与1α，2α，3α等价, 其秩为3，B 向量组线性无关；C 、D 中第三个向量为前两个向量的线

性组合，C 、D 中的向量组线性相关。

3．选C 。由052

=-+E A A ?()2232()3A A E E A E A E E +-=?+-=，

()1

12()

3A E A E -?+=-)。

4．选D 。A 错误，因为n m <，不能保证()(|)R A R A b =；B 错误，0=Ax 的基础解系含有()A R n -个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R A n R A b n =<=+，

b Ax =无解；D 正确，因为()R A n =。

5．选A 。A 正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵,P Q ，使得

1112(,,,)n PAP diag QBQ λλλ--== ，因此,A B 都相似于同一个对角矩阵。 三、1． ()

!11

n n +-（按第一列展开）

2． 31；53（*A 3=23

3A ）

3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。 124,,ααα。因为3122ααα=+，

124| |0A ααα=≠。

4． ()()T

T

k 42024321--+。因为()3=A R ，原方程组的导出组的基

础解系中只含有一个解向量，取为1322ηηη-+，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5．6=a （())02=?=A A R 四、

1．解法一：AB B A =+?

()1

()A E B A B A E A --=?=-。将A E -与A 组成一个矩阵(|)A E A -，用初等行变换求1

(|())E A E A --。

()|A E A -=????? ??221121243233121120)(31r r --??

??? ??221121243233100001 21313,r r r r -- ????? ??-12112014323010000123r r -

?????

??-121120222110100001

322r r - 100001011222001325?? ?- ? ?---??3r - 100001011222001325??

?- ? ?-??

23r r - ??

?

??

??--523100301010100001。故

????? ??--=523301100B 。 解法二：AB B A =+?

()1

()A E B A B A E A --=?=-。 1021101()332113121326A E --????

? ? ? ?

-==--- ? ?

? ?

-????，因此1001()103325B A E A -?? ?

?=-=- ? ?-??。 2．解：

????

???

??--------==1111111111111111T A αβ，A A 42-=， ()

()

1

1

()()()()()()44n n n T T T T T T T T A A αβαβαβαβαβαβαβαβ--===-=- 。

3．解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<，因此其系数行列式

11||1

1201

1

a

A a

=-=-。即1-=a 或4=a 。

当1-=a 时，该方程组的增广矩阵

1111(|)11211111A b --?? ? ?=--→ ? ?--??11012

3

01020000?

?- ? ?

?- ?

?

? ?

??

? 于是()(|)23R A R A b ==<，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个

基础解系13122T

-??

???，原方程组的一个特解()100T -，故1-=a 时，方程组

有无穷多解，其通解为

()

13100122T

T

k -??-+ ?

??，

当4=a 时增广矩阵

1

141(|)112114116A b -?? ?

?=--→ ?

?

-??1141

022

000015-?? ? ?-- ? ???，

()2(|)3R A R A b =<=，此时方程组无解。

解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。

22

21111

11111(|)112102200220110111100(1)(4)12a a a A b a a a a a a a a a a ??

?---????

? ? ? ?

? ?=--→--→--

? ? ? ? ? ?-++- ?????+-- ?

??由于该方程组有无穷多解，得()(|)3R A R A b =<。因此21

(1)(4)10

2a a a +-=-=，

即1a =-。求通解的方法与解法一相同。

4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵

122224242A -??

?

?=-- ? ?

-??，2122||224(2)(7)

242A E λλλλλλ---=---=--+-- 因此得到其特征值为122λλ==，37λ=-。

再求特征值的特征向量。

解方程组(2)0A E x -=，得对应于特征值为122λλ==的两个线性无关的特征向量()1210T

η=-，()2201T

η=。

解方程组(7)0A E x +=得对应于特征值为37λ=-的一个特征向量

()3122T

η=-。

再将()12

1

T

η=-，()2201T

η=正交化为()12

1

T

p =-，

224155T

p ??=

???。

最后将()1210T p =-，

22

4155T

p ??

=

?

??，()3122T η=-单位化后组成

的矩阵即为所求的正交变换矩阵?????????

?

?--323

503215545531155255

2，其标准形为

2

3

2221722y y y f -+=。

5． 解：（1）由02=-=+A E A E 知-1，2为A 的特征值。

02=+B AB ?()02=+B E A ，故-2为A 的特征值，又B 的秩为2，即特征值-2

有两个线性无关的特征向量，故A 的特征值为-1，2，-2，-2。

（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A 有四个线性无关的特征向量，故A 可相似对角化。

（3）E A 3+的特征值为2，5，1，1。故E A 3+=10。 五、1．BA AB -为对称矩阵。 证明：

()()()T T T BA AB BA AB -=-=T T T

T B A A B -=()B A BA ---=BA AB -，

所以BA AB -为对称矩阵。 2．A A T 为正定矩阵。 证明：由()

A A A A T T

T

=知A A T 为对称矩阵。对任意的n 维向量0α≠，由()n

A R =得0≠αA ， ()ααA A T

T =2

α

A 0≠，由定义知A A T 是正定矩阵。

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

大一线性代数期末试卷试题卷及标准答案解析.doc

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！ 线性代数期末考试试卷及答案 号 位 座 注意事项： 1. 考前请将密封线内填写清楚； 线 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上 )； 3．考试形式：开（闭）卷； 4. 本试卷共五大题，满分100 分，考试时间 120 分钟。 题号一二三四五总分 业得分 专 评卷人 ) 一、单项选择题（每小题 2 分，共 40 分）。 题 封 答1．设矩阵A为2 2矩 阵, B 为2 3矩阵 , C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 院 不 内 【】学 线 封 密 A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB ( 2.设 n 阶方阵 A 满足 A2＋ E =0，其中 E 是 n 阶单位矩阵，则必有【】 A. 矩阵 A 不是实矩阵 B. A=-E C. A=E D. det(A)=1 3.设 A 为 n 阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则 det(-2A)= 【】 n C. －2n A. －2 D. 1 B. －2 号密 4.设 A 为 3 阶方阵，且行列式det(A)=0 ，则在 A 的行向量组中【】学 A.必存在一个行向量为零向量 B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 5．设向量组a1,a2, a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【】名A．a1 a2 , a2 a3 , a3 a1 B. a1, a2 ,2a1 3a2 姓

C. a 2 ,2a 3 ,2a 2 a 3 D. a 1－ a 3 , a 2 ,a 1 6.向量组 (I): a 1 , ,a m (m 3) 线性无关的充分必要条件是 【 】 A.(I)中任意一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表出 B.(I)中存在一个向量 ,它不能由其余 m-1 个向量线性表出 C.(I)中任意两个向量线性无关 D.存在不全为零的常数 k 1 , , k m , 使 k 1 a 1 k m a m 0 7．设 a 为 m n 矩阵，则 n 元齐次线性方程组 Ax 0存在非零解的充分必要条件是 【 】 A ． A 的行向量组线性相关 B. A 的列向量组线性相关 C. A 的行向量组线性无关 D. A 的列向量组线性无关 a 1x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 0 8.设 a i 、 b i 均为非零常数（ i =1， 2， 3），且齐次线性方程组 b 2 x 2 b 3 x 3 b 1 x 1 的基础解系含 2 个解向量，则必有 【 】 a 1 a 2 B. a 1 a 2 a 1 a 2 a 3 a 1 a 3 0 A. b 1 b 2 0C. b 2 b 3 D. b 2 b 3 b 1 b 1 b 2 9.方程组 2x 1 x 2 x 3 1 x 1 2x 2 x 3 1 有解的充分必要的条件是 【 】 3 x 1 3x 2 2 x 3 a 1 A. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=1 10. 设η 1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0 的一个基础解系， 则下列向量组中也为该方程 组的一个基础解系的是 【 】 A. 可由 η 1， η2， η3 线性表示的向量组 B. 与 η1， η2 ， η3 等秩的向量组 C.η 1－η2， η2－ η3， η3－ η1 D. η 1， η1-η3， η1-η 2-η 3 11. 已知非齐次线性方程组的系数行列式为 0 ，则 【 】 A. 方程组有无穷多解 B. 方程组可能无解， 也可能有无穷多解 C. 方程组有唯一解或无穷多解 D. 方程组无解 阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有 n 个 【 】 A.互不相同的特征值 B.互不相同的特征向量 C.线性无关的特征向量 D.两两正交的特征向量 13. 下列子集能作成向量空间 R n 的子空间的是 【 】 n A. {( a 1 , a 2 , ,a n ) | a 1a 2 0} B. {( a 1 , a 2 , , a n ) | a i 0} C. {( a 1, a 2 , , a n ) | a i z,i 1,2, , n} D. {( a 1 , a 2 , i n 1 1} , a n ) | a i 1 0 i 1 14.若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B - 3 ,E 为 2 阶单位矩阵 ,则方阵 E –A 必相似于矩阵 2

(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2

同济大学2010-11线性代数B期末考试试卷_A卷_

同济大学课程考核试卷(A 卷) 2010—2011学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122009 课名：线性代数B 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷 年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟. 要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与选择题(均为单选题)(27分) 1、 已知4阶方阵1234 567890 54 a b A c d ????? ? =?????? ，函数()||f x xE A =?,这里E 为4阶单位阵，则函数()f x 中3x 项的系数为_______a+b+c+d____________. 2、 设12312,,,,αααββ均为4维列向量，已知4阶行列式 1231,,,m αααβ=，又 1223,,,n ααβα=，则4阶行列式32112,,,αααββ+=______n m ?_______________. 3、 已知3阶方阵A 满足320A E A E A E +=?=?=，其伴随矩阵为* A ，则行列式 *A =_____36_________. 4、 已知α是3维实列向量，且111111111T αα?????=????????? ，则α=5、设α是3 R 空间中的某一向量，它在基123,,εεε下的坐标为()123,,T x x x ，则α在基 1323,,k εεεε+下的坐标是_________1231(,,)T x x x kx ?________________. 6、 下列关于矩阵乘法的结论中错误的是____________B_________. 1(). ). (). ().n A A A A B C n cE c D ?若矩阵可逆，则与可交换 (可逆阵必与初等矩阵可交换任一个阶方阵均与可交换，这里为任意常数 初等矩阵与初等矩阵乘法未必可交换 7、 设A B 、均为n 阶方阵，且()2 AB E =，则下列式子中成立的是_____D_______. ()2 2 2 (). (). (). ().A AB E B AB E C A B E D BA E ==?== 8、 设Ax b =为n 元非齐次线性方程组，则下面说法中正确的是_____C____ (). 0 (). 0 (). 0 ().() A Ax Ax b B Ax Ax b C Ax b Ax D Ax b R A n =======?=若只有零解，则有唯一解若有无穷多个解，则有无穷多个解若有两个不同的解，则有无穷多个解 有唯一解 9、 下列向量组中线性无关的是_______C__________. ()()()()()()()()()()()()()() (). 1,1,0,20,1,1,10,0,0,0). ,,,,,,,,,,, (). ,1,,0,0,,0,,1,0,,0,,0,1().1,2,1,5,1,2,1,6,1,2,3,7,0,0,0,1A B a b c b c d c d a d a b C a b c d e f D ??,, ( 二、(10分) 已知n 阶行列式1 231 200 1 0301 00n n D n ="""###%#"，求第一行各元素的代数余子式之和.

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

(完整word版)同济大学线性代数期末试卷全套试卷(1至4套)

《线性代数》期终试卷1 （ 2学时） 本试卷共七大题 一、填空题(本大题共7个小题，满分25分)： 1.(4分)设阶实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是 , 则的属于的两个线性无关的特征向量是 ()； 2.(4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中是的伴随 矩阵, 则的行列式()； 3.(4分)设, , 则 ()； 4.(4分)已知维列向量组所生成的向量空间为,则的维数dim()； 5.(3分)二次型经过正交变换可化为 标准型,则()；

6.(3分)行列式中的系数是()； 7.(3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个 解向量, 其中, , 则该方程组的通解是 ()。 二、计算行列 式： (满分10分) 三、设, , 求。 (满分10分) 四、取何值时, 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。

(满分15分) 五、设向量组线性无关, 问: 常数满足什么条件时, 向量组 , , 也线性无关。 (满分10分) 六、已知二次型， (1)写出二次型的矩阵表达式； (2)求一个正交变换，把化为标准形, 并写该标准型； (3)是什么类型的二次曲面? (满分15分) 七、证明题（本大题共2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组线性无关, 向量能由线性表示, 向量 不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。 2. (8分)设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组 必有非零解。

《线性代数》期终试卷2 （ 2学时） 本试卷共八大题 一、是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打×；每小题2 分，满分20 分）： 1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵 。（） 2.若矩阵和矩阵满足，则 。（） 3.实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交 阵。（） 4.初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本 身。（） 5.若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有 。（）

线性代数期末考试试卷答案合集

×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄ 一、 (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝??? ? ? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 二、 (20分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，??? ? ? ??=a 213α线性相关，向量 ??? ?? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα???? ? ??---→623043303121b a ? ???? ??-+→21004330312 1b a 所以，.2,1=-=b a 三 (15分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 22的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 22的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. 总分 一 二 三 四 五 六 学 院 班 级 学 号 姓 名 … … ………○ ……………密…………… ○ ……… ……封…… ………○…… … …

2010秋季期末考试南阳理工学院线性代数试卷

南阳理工学院2010----2011学年第一学期试卷 课程 线 性 代 数 A 卷 命题教师： 樊 晓 适用对象：全院学生 评卷人（签名）___________ 复核人（签名）___________ 一．填空题（每空3分，共24分） 1．如果|A |=2，则=-1 A 。 2．正交矩阵A= ???? ? ??333231 232221131211a a a a a a a a a ，则1A -= 。 3．若AY AX =，则Y X =，那么矩阵n m A ?应满足 。 4．=--1 1119 114311227118_____________。 （提示：利用范德蒙德行列式的结果求解） 5．四阶行列式中含有因子332114a a a 的项应取符号是 。 6．向量)3,2,1(=α与向量)0,1,(t =β正交，则=t ________。 7．设四阶行列式的第二行元素依次为0,1,,2x ，第三行的各元素的余子式分别为 5,1,6,3，则=x 。 8．已知????? ??=010100002A ，??? ? ? ??-=11010002B y ，且A 与B 相似，则=y 。 二．单项选择题（每题3分，共24分） 1. 行列式D= 0的必要条件是 ， （A ）D 中至少有两行（列）元素对应成比例； （B ）D 中至少有一行（列），其各元素可用行列式性质化为0； （C ）D 中任意一行（列）各元素可用行列式性质化为0。 2．若矩阵A 存在一个r 阶非零子式，则)A (R 与r 之间的关系为 ， （A ）n R >)(A ； （B ）n R ≤)(A ； （C ）)(A R ≥n. 3．设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，且|A |≠0，则=|*A | ， （Ａ）1a -； （Ｂ）1a -n ； （Ｃ）n a 。 4．若非齐次线性方程组b Ax =的唯一的解，其导出组0=Ax 的解的情况 是 ， （A ）有唯一零解； （B ）有非零解； （C ）不确定。 5．设A 是n 阶方阵，且)(A R ＜n ,下列说法不正确的是 ， （A ）齐次线性方程组0=Ax 有非零解； （B ）0=A ； （C ）A 中任一列向量都是其余列向量的线性组合。 6．设A 是n 阶方阵，若A 2 = E ，则下列结论成立 ， （A ）A 的特征值是1； （B ）A 的秩是n ； （C ）1=A 。 7．下述说法正确的是 ， （A ）方阵可对角化的充分必要条件是它有n 个不相同的特征值； （B ）设21,q q 为A 的两个特征向量，则2211q q k k +（21,k k 不全为零）也是A 的特征向量； （C ）齐次线性方程0=-x E A )(λ的每一个解向量都是对应于特征值λ的特征 向量 （D ）A 与T A 有相同的特征多项式。 8．下列_____可作为向量组)2(,,,21≥r r ααα 线性相关性的充分必要条件： （A ）每一个向量都可由其余所有向量线性表示； （B ）任一部分组（不含向量组本身）线性相关； （C ）齐次线性方程组02211=+++r r x x x ααα 存在基础解系。 三．（本题6分） 计算行列式D=0 532004140013 2 0252 7 102135---- 四．（本题6分） 用矩阵的初等变换法求解线性方程组b Ax = ，其中??? ? ? ??-=012411210A ， b ??? ? ? ??=010 。 （注：用其它方法求解得到正确答案者仅给3分）

东莞理工学院 线性代数试卷2010A答案(终稿)

东莞理工学院（本科）试卷（ A 卷）答案及评分标准 2010 --2011学年第 一 学期 《 线性代数 》试卷 开课单位：计算机学院数学教研室，考试形式：闭卷 72 分每空2分） ．设????? ??=3 1 12 2 10 1 0A ,??? ?? ??=3 0 00 2 00 0 1B ，则 T A =???? ? ??3 2 01 2 11 1 0 AB = ??? ? ? ??9 2 16 4 10 2 0; 2B A -= ??? ? ? ??-3 2 24 2 20 2 1; 方阵A 的第二行第三列元素的代数余子式= 1 ; 行列式=-A 2 8 ； 行列式=-1A -1 ；

B 的伴随矩阵????? ??=2 0 0 0 3 0 0 0 6 * B ???? ? ??=-3/1 0 0 0 1/2 0 0 0 1 1 B ； 2．行列式 1 1 0 0 5 8 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 = -3 ；行列式 0 0 1 1 0 0 5 8 1 2 0 0 1 1 0 0 = -3 . 3. 若对方阵A 施加初等行变换：212r r +后，变为矩阵B ，即21 2r r A B +??? →，则 )det(A = )det(B )(A r = )(B r . 4. 若对方阵A 施加初等行变换：21r r ?后，变为矩阵B ，即21 r r A B ???? →，则 )d e t (A = - )d e t (B )(A r = )(B r . 5. 设12,ξξ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则 12ξξ-不是 （是、不是）线性方程组AX b =的解； 12ξξ- 是（是、不是）线性方程组O AX =的解； 1232ξξ- 是 （是、不是）是线性方程组b AX =的解 6. 设??? ? ? ??=t A 4 23 2 10 1 0, 若A 的列向量线性相关,则t = 6 ; 此时A 的秩 = 2 若t =7时，A 的秩 = 3 ；此时A 的列向量线性 无 关. 7．若向量)5,3(),2,1(),3,1(21 ='='='ααβ，则β用21,αα组合的表达式是

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ）

大一线性代数期末考试试卷

线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数试题及答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式：闭卷 考试时间： 一、单项选择题（每小题 3分，共15分） 1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． (A ) 1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥． 4．初等矩阵（A ）； (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,, ,n ααα线性无关，则（C ） A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关； B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关； D. 以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t 7．设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ，则1A -=

线性代数期末考试试卷答案

枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数期末考试试卷

本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷（B 卷） 草 稿 区 专业： 年级： 学号： 姓名： 成绩： 一 、选择题（本题共 28 分，每小题 4 分） 1．设n 阶方阵A 为实对称矩阵，则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数； (B) A 相似于一个对角阵； (C) A 合同于一个对角阵； (D) A 的所有特征向量两两正交。 2．设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关，则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示； (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示； (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价； (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵； (B) 若0||=A ，则0||*=A ； (C) 若2)(*-=n A r ，则2)(=A r ； (D) 若0||≠=d A ，则d A 1||*= 。 4．设A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆，()E A +不可逆； (B) ()E A -不可逆，()E A +可逆； (C) ()E A -可逆，()E A +可逆； (D) ()E A -可逆，()E A +不可逆. 第 1页，共 6 页

5．实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零； (B) ||0A >； (C) 对于任意的0X ≠，都有0f >； (D) 存在n 阶矩阵U ，使得T A U U =. 6．设12,λλ为A 的不同特征值，对应特征向量为12,αα，则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠； (B) 20λ≠； (C) 10λ=； (D) 20λ=. 7．设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则 ( ) (A) A 与B 合同，但不相似；(B) A 与B 相似，但不合同； (C) A 与B 既合同又相似； (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题（本题共 24分，每小题 4 分） 1．二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则t 的取值范围是 . 2．设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ，则3A 的秩3()r A 为 . 3．设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ，若|2|48A =-，则λ= . 4．设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==，若123,,ααα构成的向量组的秩为2， 则a = . 5．设3阶矩阵123(,,)A ααα=，123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++，且已知||1A =，则||B = . 第 2页，共 6 页