2015年重庆市高考数学试卷(理科)与解析
2015年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015?重庆）已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）
A．A=B B．A∩B=?C．
A B D．
B A
考点：子集与真子集．
专题：集合．
分析：直接利用集合的运算法则求解即可．
解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，3}，
可得A≠B，A∩B={2，3}，B A，所以D正确．
故选：D．
点评：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．
2．（5分）（2015?重庆）在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）
A．﹣1 B．0C．1D．6
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：直接利用等差中项求解即可．
解答：
解：在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，
解得a6=0．
故选：B．
点评：本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．
3．（5分）（2015?重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
考点：茎叶图．
专题：概率与统计．
分析：根据中位数的定义进行求解即可．
解答：解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为，
故选：B
点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）（2015?重庆）“x＞1”是“（x+2）＜0”的（）
A．充要条件B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点：充要条件．
专题：简易逻辑．
分析：解“（x+2）＜0”，求出其充要条件，再和x＞1比较，从而求出答案．
解答：解：由“（x+2）＜0”
得：x+2＞1，解得：x＞﹣1，
故“x＞1”是“（x+2）＜0”的充分不必要条件，
故选：B．
点评：本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．
5．（5分）（2015?重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．
解答：解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，
所求几何体的体积为：=．
故选：A．
点评：本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．
6．（5分）（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）
A．B．C．D．π
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．
解答：
解：∵（﹣）⊥（3+2），
∴（﹣）?（3+2）=0，
即32﹣22﹣?=0，
即?=32﹣22=2，
∴cos＜，＞===，
即＜，＞=，
故选：A
点评：本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．
7．（5分）（2015?重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框图可填入的条件是（）
A．
s≤B．
s≤
C．
s≤
D．
s≤
考点：循环结构．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：
模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环，
输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S．
解答：解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，
因此S=（此时k=6），
因此可填：S．
故选：C．
点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．
8．（5分）（2015?重庆）已知直线l：x+ay﹣1=0（a∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴．过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A．2B．C．6D．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
解答：解：圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
由于AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6，
故选：C．
点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆相切的性质，属于基础题．
9．（5分）（2015?重庆）若tanα=2tan，则=（）
A．1B．2C．3D．4
考点：三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值．
专题： 三角函数的求值． 分析： 直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结
合已知条件以及积化和差个数化简求解即可． 解答：
解：tan α=2tan ，则
==
===
==
==
====3．
故答案为：3． 点评： 本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力．
10．（5分）（2015?重庆）设双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右顶点为A ，
过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a+
，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
（ ） A ． （﹣1，0）∪（0，1） B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C ． （﹣，0）∪（0，） D ． （﹣∞，﹣）∪
（，+∞）
考点： 双曲线的简单性质． 专题：
计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0），则由BD⊥AC得，
求出c﹣x，利用D到直线BC的距离小于a+，即可得出结论．
解答：
解：由题意，A（a，0），B（c，），C（c，﹣），由双曲线的对称性知D在x
轴上，
设D（x，0），则由BD⊥AC得，
∴c﹣x=，
∵D到直线BC的距离小于a+，
∴c﹣x=＜a+，
∴＜c2﹣a2=b2，
∴0＜＜1，
∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5分）（2015?重庆）设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：将所求利用平方差公式展开得到a2+b2，恰好为已知复数的模的平方．
解答：解：因为复数a+bi（a，b∈R）的模为，
所以a2+b2==3，则（a+bi）（a﹣bi）=a2+b2=3；
故答案为：3．
点评：本题考查了复数的模以及复数的乘法运算；属于基础题．
12．（5分）（2015?重庆）的展开式中x8的系数是（用数字作答）．
考点：二项式定理．
专题：二项式定理．
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．
解答：
解：由于的展开式的通项公式为T r+1=??，
令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是?=，
故答案为：．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
13．（5分）（2015?重庆）在△ABC中，B=120°，AB=，A的角平分线AD=，则AC=．
考点：余弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．
解答：
解：由题意以及正弦定理可知：，即，∠ADB=45°，A=180°﹣120°﹣45°，可得A=30°，则C=30°，三角形ABC是等腰三角形，
AC=2=．
故答案为：．
点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
三、考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．
14．（5分）（2015?重庆）如题图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE：ED=2：1，则BE=2．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：选作题；推理和证明．
分析：利用切割线定理计算CE，利用相交弦定理求出BE即可．
解答：解：设CE=2x，ED=x，则
∵过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，
∴由切割线定理可得PA2=PC?PD，即36=3×（3+3x），
∵x=3，
由相交弦定理可得9BE=CE?ED，即9BE=6×3，
∴BE=2．
故答案为：2．
点评：本题考查切割线定理、相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
15．（5分）（2015?重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
，则直线l与曲线C的交点的极坐标为（2，π）．
考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：求出直线以及曲线的直角坐标方程，然后求解交点坐标，转化我2极坐标即可．
解答：
解：直线l的参数方程为（t为参数），它的直角坐标方程为：x﹣y+2=0；
曲线C的极坐标方程为，
可得它的直角坐标方程为：x2﹣y2=4，x＜0．
由，可得x=﹣2，y=0，
交点坐标为（﹣2，0），
它的极坐标为（2，π）．
故答案为：（2，π）．
点评：本题考查曲线的极坐标方程直线的参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．16．（2015?重庆）若函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为5，则实数a=﹣6或4．
考点：带绝对值的函数．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：分类讨论a与﹣1的大小关系，化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得f（x）的最小值，再根据f（x）的最小值等于5，求得a的值．
解答：
解：∵函数f（x）=|x+1|+2|x﹣a|，故当a＜﹣1时，f（x）=，
根据它的最小值为f（a）=﹣3a+2a﹣1=5，求得a=﹣6．
当a=﹣1时，f（x）=3|x+1|，它的最小值为0，不满足条件．
当a≥﹣1时，f（x）=，
根据它的最小值为f（a）=a+1=5，求得a=4．
综上可得，a=﹣6 或a=4，
故答案为：﹣6或4．
点评：本题主要考查对由绝对值的函数，利用单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2015?重庆）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；
（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则由古典概型的概率公式有P（A）==．
（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，1，2，
则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，
X 0 1 2
P
EX=0×+1×+2×=个．
点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．
18．（13分）（2015?重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．
考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．
（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在
上的单调性．
解答：
解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x ﹣sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣，
故函数的周期为=π，最大值为1﹣．
（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；
当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．
点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．
19．（13分）（2015?重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD
（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
专题：空间角．
分析：（Ⅰ）由已知条件易得PC⊥DE，CD⊥DE，由线面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ）以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，易得，，的坐标，可求平面PAD的法向量，平面PCD的法向量可取，由向量的夹角公式可得．
解答：（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，∴PC⊥DE，
∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，
∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，
DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，
∴DE⊥平面PCD
（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，
过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，
由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，
以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），
设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，
故可取=（2，1，1），
由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），
∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==
∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．
点评：本题考查二面角，涉及直线与平面垂直的判定，建系化归为平面法向量的夹角是解决问题的关键，属难题．
20．（12分）（2015?重庆）设函数f（x）=（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：
（I）f′（x）=，由f（x）在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，解得a．可得f（1），f′（1），即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，由g（x）=0，解得x1=，x2=．对x分类讨论：当x＜x1时；当x1＜x＜x2时；当x＞x2时．由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得即可．
解法二：“分离参数法”：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可得f′（x）≤0，可得
a≥，在[3，+∞）上恒成立．令u（x）=，利用导数研究其最大
值即可．
解答：
解：（I）f′（x）==，
∵f（x）在x=0处取得极值，∴f′（0）=0，解得a=0．
当a=0时，f（x）=，f′（x）=，
∴f（1）=，f′（1）=，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，化为：3x﹣
ey=0；
（II）解法一：由（I）可得：f′（x）=，令g（x）=﹣3x2+（6﹣a）x+a，
由g（x）=0，解得x1=，x2=．
当x＜x1时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数；
当x1＜x＜x2时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数；
当x＞x2时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数．
由f（x）在[3，+∞）上为减函数，可知：x2=≤3，解得a≥﹣．
因此a的取值范围为：．
解法二：由f（x）在[3，+∞）上为减函数，∴f′（x）≤0，
可得a≥，在[3，+∞）上恒成立．
令u（x）=，u′（x）=＜0，
∴u（x）在[3，+∞）上单调递减，
∴a≥u（3）=﹣．
因此a的取值范围为：．
点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、“分离参数法”、推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2015?重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1
（Ⅰ）若|PF1|=2+|=2﹣，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e．
考点：椭圆的简单性质．
专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|，求出a，再根据
2c=|F1F2|==2，求出c，进而求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由椭圆的定义和勾股定理，得|QF1|=|PF1|=4a﹣|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）
a，从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，再一次根据勾股定理可求出离心率．
解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=2++2﹣=4，故a=2，
设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c=|F1F2|==2，
即c=，从而b==1，
故所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，
从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，
有|QF1|=4a﹣2|PF1|，
又由PQ⊥PF1，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|=4a﹣2|PF1|，解得|PF1|=2（2﹣）a，从
而|PF2|=2a﹣|PF1|=2（﹣1）a，
由PF2⊥PF1，知2c=|F1F2|=，因此
e=====．
点评：本题考查了椭圆的定义2a=|PF1|+|PF2|，椭圆的标准方程，直角三角形的勾股定理，属于中档题．
22．（12分）（2015?重庆）在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0（n∈N+）
（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若λ=（k 0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．
数列与不等式的综合．
考
点：
创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
专
题：
分
（Ⅰ）把λ=0，μ=﹣2代入数列递推式，得到（n∈N+），分析a n≠0后可得a n+1=2a n（n∈N+），析：
的等比数列．从而可得数列的通项公式；
（Ⅱ）把代入数列递推式，整理后可得（n∈N）．进一步得到
=，对n=1，2，…，k0求和后放缩可得不等式左边
，进一步利用放缩法证明不等式右边．
解
（Ⅰ）解：由λ=0，μ=﹣2，有（n∈N+）．
答：
若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3∴对任意n∈N+，a n≠0．
从而a n+1=2a n（n∈N+），即{a n}是一个公比q=2的等比数列．
故．
（Ⅱ）证明：由，数列{a n}的递推关系式变为
，变形为：（n∈N）．
由上式及a1=3＞0，归纳可得
3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0
∵=，
∴对n=1，2，…，k0求和得：
=
＞．
另一方面，由上已证的不等式知，，
得
综上，2+＜＜2+．
点
本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法证明数列不等式属难度较大的题目．评：