重点高中数学必修五知识点大全

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知识点串讲

必修五

/24 3

第一章：解三角形

1．1．1 正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a b c

sin A sin B sin C 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、已知ABC中， A 0

60 ，a 3 , 求

a b c

sin A sin B sin C

证明出

a b

c

sin A sin B sin

a b c

C sin A sin B sin C

解：设

a b

sin A sin B

c

sin C

k k

( >o)

则有

a k sin A，

b k sin B，

c k sin C

从而

a b c

sin A sin B sin C

=

k A k B k C

sin sin sin

sin A sin B sin C

=k

又

a

sin A

3

sin60 0

2 k ，所以

a b c

sin A sin B sin C

=2

评述：在ABC中，等式

a b

c

sin A sin B sin

C

a b c

sin A sin B sin C

k k 0

恒成立。

3、已知ABC中，sin A:sin B:sin C 1:2:3 ，求a: b:c

（答案：1：2：3）

1.1.2余弦定理

1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2 2 2 2 cos

a b c bc A

2 2 2 2 cos

b a

c ac B

2 2 2 2 cos

c a b ab C

从余弦定理，又可得到以下推论：

cos A

2 2 2

b c a

2bc

cosB

2 2 2

a c b

2ac

/24 4

cosC

2 2 2

b a c

2ba

2、在ABC中，已知 a 2 3 ，c 6 2 ，0

B 60 ，求 b 及A

⑴解：∵ 2 2 2 2 cos

b a

c ac B

= 2 2

(2 3) ( 6 2) 2 2 3 ( 6 2) cos

0 45

2

=12 ( 6 2) 4 3( 3 1)

=8

∴b 2 2.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos A 2 2 2 (2 2)2 ( 6 2 )2 (2 3)2 1

b c a

2bc 2 2 2 ( 6 2) 2

,

∴A0

60.

解法二：∵sin

a 2 3

0 A sin B sin45 ,

b

2 2

又∵ 6 2 ＞2.4 1.4 3.8,

2 3＜2 1.8 3.6,

∴a ＜c ，即0

0 ＜A＜

0 90 ,

∴A0

60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

3、在ABC中，若 2 2 2 0 ）

a b c bc ，求角A（答案：A=120

1．1．3 解三角形的进一步讨论

1、在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况分析：先由sin B b sin A

a

可进一步求出B；

则0

C 180 ( A B) 从而c a sin C

A

/24 5

1．当 A 为钝角或直角时，必须 a b 才能有且只有一解；否则无解。

2．当 A 为锐角时，

如果a ≥b，那么只有一解；

如果

a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若a b sin A，则有两解；

（2）若a b sin A，则只有一解；

（3）若a b sin A，则无解。

（以上解答过程详见课本第9: 10 页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且

b sin A a b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

2、（1）在ABC中，已知a 80，b 100，0

A 45 ，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若a 1，

1

c ，

2

C ，则符合题意的 b 的值有_____个。

40

（3）在ABC中，a xcm ，b 2cm，0

B 45 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）2 x 2 2 ）

3、在ABC中，已知a 7，b 5，c 3 ，判断ABC的类型。

解： 2 2 2

Q 7 5 3 ，即

2 2 2

a b c ，

∴ABC是钝角三角形。

4、（1）在ABC中，已知sin A:sin B:sin C 1:2:3 ，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件a cos A b cos B ，判断ABC的类型。

（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）

5、在ABC中，0

A 60 ，b 1，面积为3

2

，求

a b c

sin A sin B sin C

的值

a b c a b c

sin A sin B sin C sin A sin B sin C

解：由

1 3

S bc sin A 得c 2 ，

2 2

则 2 2 2 2 cos

a b c bc A=3，即a 3 ，

从而

a b c

sin A sin B sin C

a

sin A

2

/24 6

1.2 解三角形应用举例

1、两灯塔A、B 与海洋观察站C的距离都等于 a km, 灯塔 A 在观察站C的北偏东30 ，灯塔 B 在观察站C南偏东60 ，则A、B 之间的距离为多少？

解略： 2 a km

2、某人在M汽车站的北偏西20 的方向上的 A 处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公

路的走向是M站的北偏东40 。开始时，汽车到 A 的距离为31 千米，汽车前进20 千米后，到 A 的距离缩短了10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20 千米后到达 B 处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

AC 2 BC

2AC 2

BC

AB 2

=

23

31

cosC= ,

则sin 2C =1- cos 2 C = 432

2 31

,

sinC = 12

3 31

,

所以sin MAC = sin （120 -C）= sin120 cosC - cos120 sinC = /24 7 35 62

3

在 MAC 中，由正弦定理得

MC =

A C

sin

sin

MAC AMC =

31 3 2

35 62

3 =35

从而有 MB= MC-BC=15

答：汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站。 3、S= 1 2 absin C ，，S= 1 2 bcsin A, S= 1 2

acsinB

4、在 ABC 中，求证：

2

2

2

2

a

b

sin A sin B

（1）

;

2

2

c sin C

（2）a 2+ b 2 + c 2 =2（bccosA+cacosB+abcosC ） 证明：（1）根据正弦定理，可设

a

b

c

=

=

= k

sin A

sin B

sin C

显然 k

0，所以

左边=

a

2

2

2

2

2

b

k sin A

k

2 2

2

c k sin

sin C

2 B

2 2

sin A sin B

=

=右边

2

sin C

（2）根据余弦定理的推论， b 2 2 2 c

a 2bc

+ca c 2 2 a 2ca 2 b +ab a 2 2 b 2ab

c 2

右边=2(bc

)

=(b

2

+c 2 - a 2 )+(c 2

+a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 )

=a 2 +b 2 +c 2

=左边

变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30 ,b=6,c=6 3 , 求 a 及 ABC 的面积 S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3

5、如图，在四边形ABCD中，ADB= BCD=75 ，ACB= BDC=45 ，DC= 3 ，求：

/24 8

（1）AB的长

（2）四边形ABCD的面积

略解（1）因为BCD=75 ，ACB=45 ，所以

ACD=30 ，又因为BDC=45 ，所以

DAC=180 - （75 + 45 + 30 ）=30 ，

所以AD=DC= 3

在BCD中，CBD=180 - （75 + 45 ）=60 ，所以

BD = sin 75

DC ，BD =

sin 60

3

sin

=

6 2

2

在ABD中，AB2 =AD2 + BD2 -2 AD BD cos75 = 5, 所以得AB= 5

（3）S ABD = 1 2

AD BD sin75 = 3 2

4

3

同理，S BCD = 3 3

4

所以四边形ABCD 的面积S= 6 3

4

3

/24 9

第二章：数列

2．1 数列的概念与简单表示法

1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，

5”呢？给出首项与第n项的定义及数列的记法：{a n}

2、数列的分类:有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。

3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列

4、= 2 a n-1 + 1（n∈N，n>1 ），（※）式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

2．2 等差数列

1、数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。

2、个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时， A 叫做a 与b 的等差中项。

3、等差数列中，若m+n=p+q则a m a n a p a q

4、通项公式：以a1为首项，d为公差的等差数列{ a n} 的通项公式为：a n a1 (n1)d

5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）：{ }

a 是等差数列，所以a n a n 1 d,

n

,

a n 1 a n d

2

,

a n 2 a n d

3

??

,

a2 a d

1

分别相加得( 1) ,

两边

a n a1 n d

所以a n a1 (n 1)d

/24 10

（迭代法）：{ }

a 是等差数列，则有a n a n 1 d

n

d d

a

n 2

a d

n 2 2

a d d

n 3 2

a d

n 3 3

??

d

a (n1)

1

所以 a a n d

n 1 ( 1)

6、⑴求等差数列8，5，2，?的第20项.

？

？如果是，是第几项

⑵-401 是不是等差数列-5 ，-9 ，-13 ，?的项

解：⑴由a=8，d=5-8=-3 ，n=20，得a20 8 (21 1) ( 3) 49

1

⑵由a=-5 ，d=-9- （-5 ）=-4 ，得这个数列的通项公式为a n 5 4(n 1) 4n 1,由题

1

是要回答是否存在正整数n, 使得-401=-4n-1 成立。

意知，本题

。

个数列的第100项

解这

个关于n 的方程，得n=100，即-401 是这

7、某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10 元，即最初的4km（不含 4 千米）计费10 元。

0，需要支付多少车

费

？

间为

通，等候时

如果某人乘坐该

市的出租车

去往14km处

的目的地，且一路畅

，每增加1km，乘客需要支付 1.2 元. 所

的行程大于或等于4km时

意，当该

市出租车

解：根据题

可以建立一个等差数列{ }

以，我们

a 来计算车费.

n

令a=11.2 ，表示4km处的车费，公差d=1.2 。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需1

费a11 11 .2 (11 1) 1.2 23 .2(元)

要支付车

费23.2 元。

答：需要支付车

/24 11

2．2 等差数列的前n 项和

1、倒序相加法求和

我们用两种方法表示S：

n

（1）( ) ( 2 ) ... [ ( 1) ],

S n a1 a d a d a n d ①

1 1 1

S n a n (a n d)(a n 2d) ... [a n (n 1)d ], ②

由①+②，得 2 （）+（）+（）+...+ （）

S a1 a n a1 a n a1 a n a1 a n

n

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4

2 4 4 4 4 4 4 4 4 443

n个

(

n a1 a n

)

由此得到等差数列{ }

a 的前n 项和的公式

n S

n

n(a1 a n

2

)

（2） 1 2 3...

S a a a a

n n

= a1 (a1 d)(a1 2d) ... [ a1 (n1)d ] = n a1 [ d 2d ... (n1)d ]

= n a1 [1 2 ... (n 1)] d

=

n(n 1) na d 1

2

2、已知一个等差数列{ }

a 前10 项的和是310，前20 项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数

n

列的前n 项和的公式吗？

解：由题意知S10 310，S20 1220，

将它们代入公式

（1）

n n

S na d

，n 1

2

得到10a 45d 310

，1

20a 190d 1220 1

解这个关于a与d 的方程组，得到a1=4，d=6，

1

/24 12

所以

（n n 1）

2

S 4n 6 3n n n

2

a a

另解： 1

n

S

10 10 310

2

得a1 a10 62；①

a a

1 20

S20 20 1220

2

所以a1 a20 122；②

②- ①，得10d 60，

所以 d 6

代入①得：a1 4

所以有

（1）

n n

2

S a n d 3n n n 1

2

3、已知数列{ }

a 的前n 项为

n

2 1

S n n ，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果n

2

是，它的首项与公差分别是什么？

解：根据S a1 a2 ... a 1 a

n n n

与可知，当n＞1 时，

S 1 a1 a2 ... a （1 n 1 ）

n n

＞

1 1 1

2 2

a S S n n （[ n 1）（n 1）] 2n ①n n n 1

2 2 2

当n=1 时，

1 3

2

a S 1 1 也满足①式.

1 1

2 2

所以数列{ }

a 的通项公式为

n

1 a 2n . n

2

由此可知，数列{ }

a 是一个首项为

n 3

2

，公差为 2 的等差数列。

这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法. 已知前n 项和S，可求出通项

n

a n a （n ）

1

1

S

n

S

n

（n＞1）

1

4、如果一个数列前n 项和公式是常数项为0，且关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.

/24 13

5、已知等差数列

2 4

，，，.... 的前n项和为

5 4 3 S ，求使得S n 最大的序号n 的值.

n

7 7

解：由题

意知，等差数列

2 4

，，，.... 的公差为

5 4 3

7 7

5

7

，所以

n 5 S [2 5 （n 1）（）] n

2 7

=

2

75n 5n 5 15 1125

2

（）

n

14 14 2 56

于是，当n 取与

15

2

最接近的整数即7 或8时

，S 取最大值.

n

6、已知数列a n , 是等差数列，S n 是其前n项和，且S6 ，S12-S6 ，S18-S12 成等差数列，设k N ,S k , S2 S , S3 S2 成等差数列吗？

k k k k

生：分析题

意，解决问题.

解：设

,

a 首项是a1 ，公差为d

n

则：S6 a a a a a a

1 2 3 4 5 6

S 12 S

6

a

7

a

8

a

9

a

10

a

11

a

12

(a

1 6d)

(

a

6d

2

) (a

3

6d) (a

6d )

4

(a

6d

5

) ( a

6

6d )

(a

1 a

2

a

3

a

4

a

5

a

6

)

36d

S

6

36d

S 18 S

12

a

13

a

14

a

15

a

16

a

17

a

18

(a

7 6d ) (a

8

6d) (a

9

6d) (a

6d)

10

(a

11

6d) (a

12

6d )

(a

7

a

8

a

9

a

10

a

11

a

12

) 36d

S

12

S

6

36d

S

6

,S

12

S ,

6

S

18

S

12

为等差数列

同理可得S k ,S2 S ,S3 S2 成等差数列.

k k k k

* m

7、求集合m m 7n, n N ,且100 的元素个数，并求这些元素的和。