竞赛常用方法(2)(中)

第十四讲 竞赛常用方法（2）

本讲概述

1. 特殊化与一般化

特殊化体现了以退求进的思想：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论，从高维退到低维，退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系的情况，先解决特殊性，再归纳、联想、发现一般性。华罗庚先生说，解题时先足够地退到我们最易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去。特殊化既是寻找解题方法的方法，又是直接解题的一种方法。

推进到一般，就是把维数较低或抽象程度较弱的有关问题转化为维数较高、抽象程度较强的问题，通过整体性质或本质关系的考虑，而使问题获得解决，离散的问题可以一般化用连续手段处理，有限的问题可以一般化用数学归纳法处理，由于特殊情况往往涉及一些无关宏旨的细节而掩盖了问题的关键，一般情况则更明确地表达了问题的本质。波利亚说：“这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握，较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。”希尔伯特还说：在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的只不过是一连串有关问题的一个环节。

2. 数字化与有序化

数字化的好处是：将实际问题转化为数学问题的同时，还将抽象的推理转化为具体的计算。

当题目出现多参数、多元素（数、字母、点、角、线段等）时，若按一定的规则（如数的大小，点的次序等），将其重新排列，则排序本身就给题目增加了一个已知条件（有效增设），从而大大降低问题的难度。特别是处理不等关系时，这是一种行之有效的技巧。

3. 整体考虑

在一个变化的数学过程中常常有个别的不变元素或特殊的不变状态，表现出相对稳定的较好性质，选择这些不变性作为解题的突破口是一个好主意。数学题本身是一个子系统，在解题中，注意对其作整体结构的分析，从整体性质上去把握各个局部，这样的解题观念或思考方法，称为整体处理。

4. 调整与算两次

在涉及到有限多个元素的系统中，系统的状态是有限的，因而总可以经过有限次调整，把系统调整到所要求的状态（常常是极值状态）。

对同一数学对象，当用两种不同的方式将整体分为部分时，则按两种不同方式所求得的总和应是相等的，这叫计算两次原理成富比尼原理。计算两次可以建立左右两边关系不太明显的恒等式。在反证法中，计算两次又可用来构成矛盾。

例题精讲

板块一 特殊化与一般化

【例 1】 已知恒等式 8824

(21)()()x a x b x c x d --+=++。求实数,,,a b c d ，其中0a >。

【解析】 对x 取特殊值，当12x =时，有84

10242a c b d ????

-+=++≥ ? ?????

故有02a b +=……① 1042c

d ++=……②

又取0x =（即比较常数项系数），有 841b d -=……③ 比较8x 的系数（考虑特殊位置），有8821a -=……④

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2

由④

得a == 代入①

，得b =

代入原式左边，有8

88

8

11(21)25625522x x x ????--=--- ? ??????

84

21124x x x ?

???=-=-+ ? ??

???

故知1

1,4

c d =-=。

也可以将,a b 的值代入③、②求,d c ，但要检验排除增根。

【变式】 给定两组数12n x x x ，，，和12n y y y ，，，，现知

121200n n x x x y y y >>>>>>>> ，，

111212x y x x y y >+>+ ，，， 1212n n x x x y y y +++>+++ 。

证明：对于任何自然数k ，都有1212k k k k k k

n n

x x x y y y ++>+++ 。 【解析】 分析 我们猜想是否有如下的递推关系：

111

121122k k k k k k n n n x x x x y x y x y ---++>+++ ，

11122222211221122k k k k k k n n n n x y x y x y x y x y x y ------+++>+++ ，

111112212k k k k k k

n n n

x y x y x y y y y ---+++>+++ 。 从而联想到构造辅助命题：

若120n a a a >>>> 且满足题设条件，那么11221122n n n n a x a x a x a y a y a y +++>+++ 。 ①

解 因为120n a a a >>>> ，故存在正数121n n b b b b - ，，，使得： 1n a b =，

112n a b b -=+，

2121n a b b b -=+++ ， 112n a b b b =+++ 。

于是1122n n a x a x a x +++

12112121()()n n n b b b x b b b x b x -=++++++++ 11221211()()n n n b x x x b x x x b x -=+++++++++ 11221211()()n n n b y y y b y y y b y ->+++++++++

12112121()()n n n b b b y b b b y b y -=+++++++++ 1122n n a y a y a y =+++ 。

故①式成立。

再依次取121(12)k k k i i i i i a x x y y i n ---== ，，

，，，，，利用不等式的传递性，自大到小逐渐缩小，即得所要证的不等式。

【例 2】 求和 12C 2C C C k n

n n n n n a k n =+++++……。

【解析】 方法一 引进恒等式 0

(1)C n

n

k k

n

k x x =+=∑ 对x 求导 1

1

1(1)

C n

n k k n k n x k x --=+=∑

令1x =，得1

1C 2

n

k n n k k n -==∑。 方法二 利用组合数公式11C C k k n n k n --=。

方法三 考虑实际意义，从n 名同学中挑选若干名（至少为一名）同学组成一个小队参加数学竞赛，要求必须有队长，考虑所有可能的方案数。如果先选同学，再选出队长，方案数即等式右边。如果先选出一名同学当队长，然后再选其余的参赛同学，方案数即12n n -。这种方法也可以认为是算两次方法。

方法四 由C C k n k n n -=把n a 倒排，有0120C 1C 2C C C k n

n n n n n n a k n =++++++…… 1C (1)C ()C 0C n n n k n

n n n n n

a n n n k --=+-++-++…… 相加 012(C C C )2n n

n n n n a n n =+++?…

得 12n n a n -=?

【变式】 设,m n N ∈，求证2

200(1)k

k n n k k k S m m ==????=- ???????

∑∑是整数。

【解析】 考虑更一般性的整系数多项式 0

()[()]()n n

k

k k k f x x x ===-∑∑

由 ()()f x f x -=知()f x 是偶函数，

从而()f x 只含x 的偶次项，得()f x 是含2x 的整系数多项式，

特别地，取2

x 为正整数即2

m x =

，得2200(1)k k n n

k

k k S f m m ==????==- ???????

∑∑为整数。

这里，把常数m 一般化为变数之后，函数性质便成为解决问题的锐利武器。

板块二 数字化，有序化

【例 3】 有男孩、女孩共n 个围坐在一个圆周上（3n ≥），若顺序相邻的3人中恰有一个男孩的有a 组，

顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b 组，求证3a b -。 【解析】 现将小孩记作(1,2,,)i a i n =…，且数字化

11i i i a a a ??=?

-??

表示男孩时

表示女孩时 则12121212123,,3,,1,,1,,i i i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a A a a a a a a a a a ++++++++++??

-?=++=??

?-? 均为男孩 均为女孩

恰有一个女孩 恰有一个男孩

其中n j j a a +=

又设取值为3的i A 有p 个，取值为3-的i A 有q 个，依题意，取值为1的i A 有b 个，取值为1-的i

A 有a 个，得 12123234123()()()()n n a a a a a a a a a a a a +++=+++++++++…… 3(3)(1)3()()p q a b p q b q =+-+-+=-+-

可见3a b -，也可以数字化为j j j a a a ωω??=??? 表示男孩时

表示女孩时

31.12w ω=-+

= 有1212122

121,,,,,,i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a a ωω++++++++??

=??? 表示三男或三女

表示二男一女 表示一男二女

考虑积 3121()b a n a a a ω-==… 知3a b -

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4

【变式】 今有男女各2n 人，围成内外两圈跳舞，每圈各2n 人，有男有女，外圈的人面向内，内圈的人面

向外，跳舞规则如下：每当音乐一起，如面对面者为一男一女，则男的邀请女的跳舞，如果均为男的或均为女的，则鼓掌助兴，曲终时，外圈的人均向左横移一步，如此继续下去，直至外圈的人移动一周。证明在整个跳舞过程中至少有一次跳舞的人不少于n 对。

【解析】 将男人记为1+，女人记为1-，外圈的2n 个数122,,,n a a a …与内圈的2n 个数122,,,n b b b …中有2n

个1+，2n 个1-，因此，和1221220n n a a a b b b +++++++=…… 从而2122122122()()()0n n n a a a b b b b b b ++++++=-+++………≤ ……①

另一方面，当1a 与i b 面对面时， 12121,,,i i n i a b a b a b +-…中的1-的个数表示这时跳舞的对数，如果

在整个过程中，每次跳舞的人数均少于n 队，那么恒有

121210(1,2,,2i i n i a b a b a b i n +-+++>=……）

从而总和21212112212210()()()n

i i n i n n i a b a b a b a a a b b b +-=<+++=++++++∑……… ②

由①与②矛盾知，至少有一次跳舞的人数不少于n 对。

注 这里还用到整体处理的技巧。

【例 4】 设有22n n ?的正方形方格棋盘。在其中任意的3n 个方格中各放一枚棋子，求证可以选出n 行和n

列，使得3n 枚棋子都在这n 行和n 列中。

【解析】 设3n 枚棋子放进棋盘后，2n 行上的棋子数从小到大分别为122,,,n a a a …，有

1220n a a a ≤≤≤…≤……①

12123n n n a a a a a n +++++++=…………②

由此可证1222n n n a a a n +++++…≥……③ ① 若12n a +≥，③式显然成立。

② 若11n a +≤时，121n n a a a n a n ++++?…≤≤

从而122123()2n n n n a a a n a a a n +++++=-+++……≥

得③式也成立。

据③式，可取棋子数分别为122,,,n n n a a a ++…所对应的行，共n 行。由于剩下的棋子数不超过n ，因而至多取n 列必可取完全部3n 个棋子。

【变式】 设12,,,n x x x …都是自然数，且满足 1212n n x x x x x x +++=…… ①

求12,,,n x x x …中的最大值。（2n ≥） 【解析】 由条件的对称性，不妨设 12n x x x ≤≤…≤ ②

这就改变了条件的对称性，相当于增加了一个条件 12(

2)n x n -≥≥ 否则，11n x -=，由②知 12111n n x x x x --=====… 从而，代入①得 (1)

n n n x x -+=矛盾，这时，由①有 1211221221211

12112111

n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -------++++++=--……………≤……

1122

121(2)1

n n n n x x x x x x x ----+=-……

1122112112211(2)21

111

n n n n n n n n x x x x n x n n x x x x x x x x --------+-+-==+---…≤

≤……

当1221n x x x -====…且12n x -=时，n x 有最大值n ，这也就是12,,,n x x x …的最大值。

整体考虑

【例 5】 从数集{}3,4,12开始，每一次从其中任选两个数,a b ，用3455a b -和43

55

a b +代替它们。能否通过

有限多次代替得到数集{}4,6,12 【解析】 对于数集{},,a b c ，经过一次替代后，得出3443,,5555a b a b c ??

-+????

，

有22

22223

4435

555a b a b c a b c ????-+++=++ ? ?????

即每一次替代后，保持3个元素的平方和不变（不变量）。由22222234124612++≠++知， 不能由{}3,4,12替换为{}4,6,12。

【变式】 设21n +个整数1221,,,n a a a +…具有性质p ；从其中任意去掉一个，剩下的2n 个数可以分成个数相

等的两组，其和相等。证明这21n +个整数全相等。

【解析】 分三步进行，每一步都有“不变量”的想法。

第一步 先证明这21n +个数的奇偶性是相同的。

因为任意去掉一个数后，剩下的数可分成两组，其和相等，故剩下的2n 个数的和都是偶数。因此，任一个数都与这21n +个数的总和具有相同的奇偶性。

第二步 如果1221,,,n a a a +…具有性质P ，则每个数都减去整数c 之后，仍具有性质p ，特别地取

1c a =，得21312110,,,,n a a a a a a +---…

也具有性质p ，由第一步的结论知，2131211,,,n a a a a a a +---…都是偶数。 第三步 由21312110,,,,n a a a a a a +---…为偶数且具有性质p ，可得

31211210,,,,222

n a a

a a a a +---…

都是整数，且仍具有性质p ，再由第一步知，这21n +个数的奇偶性相同，为偶数，所以都除以2后，仍是整数且具有性质p ，余此类推，对任意的正整数k ，均有

31211210,,,,222

n k k k a a

a a a a +---…为整数，且具有性质p ，

因k 可以任意大，这就推得21312110n a a a a a a +-=-==-=…即 1221

n a a a +===…

【例 6】 九个袋子分别装有9，12，14，16，18，21，24，25，28只球，甲取走若干袋，乙也取走若干袋，

最后只剩下一袋，已知甲取走的球数总和是乙的两倍，问剩下的一袋内装有球几只？

【解析】 从全局上考虑，由于甲取走的球数是乙取走球数的两倍，所以取走的球数总和必是3的倍数，而

九个袋子的球数之和被3除余2，所以剩下的一袋也是被3除余2，又由于九袋中，只有142(mod3)≡，故剩下的袋内装球14只。

【变式】 证明任意3个实数,,a b c 不能同时满足下列三个不等式,,a b c b c a c a b <-<-<-。 【解析】 若不然，存在3个实数000,,a b c ，使

000a b c <- 000b c a <- 000c a b <-

相乘 2220000000000()()()0a b c a b c b c a ≤-++-+-<

这一矛盾说明，任意3个实数,,a b c 不能同时满足题设的三个不等式。

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6

板块三 调整与算两次

【例 7】 已知二次三项式2()f x ax bx c =++的所有系数都是正的且1a b c ++=，求证：对于任何满足

121n x x x =…的正数组12,,,n x x x …，都有12()()()1n f x f x f x …≥ ……①

【解析】 由(1)1f a b c =++=知，若121n x x x ====… ……②

则①中等号成立。

若12,,,n x x x …不全相等，则其中必有1,1i j x x ><（不妨设i j >），由

()()(1)()i j i j f x f x f f x x -

2222

()()()()i i j j i j i

j

a x

b x

c a x

b x

c a b c a x x b x x c

=++++-++++ 22(1)(1)(1)(1

)(1)(1)0i j i j i j i j abx x x x ac x x bc x x =---------> 可作变换 '(,)

','1k k i

i j j x x k i k j x x x x =≠≠???==??

则12121

212'''1(')(')(')()()()n n n n x x x x x x f x f x f x f x f x f x ==??

当12',',,'n x x x …不全相等时，则又进行同样的变换，每次变换都使12,,,n x x x …中等于1的个数增加一个，至多进行1n -次变换，必可将所有的i x 都变为1，从而

1212()()()(')(')(')(1)(1)(1)1n n f x f x f x f x f x f x f f f >>>=①…………

此题中逐步调到平衡状态的方法也叫磨光法，所进行的变换称为磨光变换。

【变式】 平面上有100条直线，它们之间能否恰有1985个不同的交点。

【解析】 100条直线若两两相交，可得2

100C 4950=个交点，现考虑从这种状态出发，减少交点的个数，使

恰好为1985。办法是使一些直线共点或平行。

设直线有k 个共点的直线束，每一束中直线的条数为12,,,(3,1,2,,)k i n n n n i k =…≥…有

12100k n n n +++…≤

这时，每一束的交点数下降了2C 1i n -个，为使

122222100(C 1)(C 1)(C 1)C 19852965k n n n -+-++-=-=…

可取最接近2965的277C 12925-=代替12C 7n -，即177n =，类似地，取239,4n n ==，则有 22227794100C 1C 1C 1C 19852965-+-+-=-=

这表明，100条直线中，有77条直线共A 点，另9条直线共B 点，还有4条直线共C 点，此外再无“三线共点”或“平行线”，则恰有1985个交点。

【例 8】 有n 粒弹子，任意将它们分为两堆，求出两堆弹子数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出

这两堆弹子数之积，如此下去，每次任意将其中一堆分为两堆，求出这两堆弹子数的乘积，直到不能再分为止，记所有乘积之和为S ，求S 的可能值。

【解析】 一方面，由两粒弹子组成的弹子对的数目显然是2C n ，

另一方面，每分一次堆，就将原有的一些弹子对拆开，分到两堆中，每一步拆开弹子对的数目恰好等于被拆成的两堆弹子数的乘积，并且到最后，所有的2C n 个弹子对全部被拆开，故所有乘积的和就是一开始所有弹子对的数目2C n 。

故S 只可能取惟一一个值2C n 。

证明：2210

C 2C

C n k n

k k

n n

n k

n k -??????-+==∑。

【解析】 证法一 一方面21

21

210

(1)C

n n k

k n k x x +++=+=

∑中n x 的系数等于21C n n +。另一方面

212(1)(12)(1)n n x x x x ++=+++

20C (2)(1)(1)n

k k n k

n k x x x -==+?+∑ 21

20

C 2(1)

C 2(1)n n

k

k

k

n k

k k k n k n

n k k x x x x -+-===+++∑∑。 ① 当n k -为奇数时，220

C 2(1)C 2C n k k k k n k k k k i i n n n k i x x x x ---=+=∑中无n

x 的项。

而1

21

20

C 2(1)

C 2C

n

k

k k n k

k k k i i n

n

n k

i x

x x

x +-+-=+=∑中含n

x 的项为1121

22C 2C

n k n k k k k n

n k

x

x

--??-- ?+??

-2C 2C n k k k

n n

n k

x -??????-=。 当n k -为偶数时，类似可得2C 2(1)

k k k

n k

n

x x -+中含n

x 的项为2222C 2C

C 2C

n k n k n k k k k

k k

n n

n k

n

n k

x x

x --????- ?????

??--=，

而1

2C 2(1)k k k n k n x

x +-+中无n x 的项。 可见①式右端中n

x 的系数为20

C 2C

n k n

k k

n

n k

k -??

????-=∑，所以2210

C 2C

C n k n

k k

n n

n k

n k -??????-+==∑

证法二 一方面21n +个元素的集合1221{}n S a a a += ，，，的n 元子集共有21C n n +个。

另一方面将S 分为n 个二元子集和一个单元素集： 123421221{}{}{}{}n n n a a a a a a a -+ ，，，，，，，

将S 的n 元子集分为1n +类：第k 类的每一个n 元子集中恰有k 个元取自上述k 个二元子集（每

个二元子集恰取出一个元），其方法数为C 2k k

n ?，其余

n k -个元取自余下的子集： 当n k -为偶数时，21n a +必不取出，余下n k -元取自剩下n k -个二元子集中的2n k

-个子集（每

个子集的两个元都取出），共有22n k n k

n k

n k

C

C

-??-????--=种方法。

当n k -为奇数，21n a +必取出，余下1n k --个元取自余下的n k -个二元子集中的1

2

n k --个（每个子集中的两个元都取出），共有122C C

n k n k n k

n k

-??--????--=种方法。

可见第k 类n 元子集有2C 2C

n k k k

n

n k

-??????-个，又012k n = ，

，，，。 故S 的n 元子集共有20C 2C

n k n

k

k n

n k k -??????-=∑个。 综合上述两个方面得2210

C 2C

C n k n

k

k

n n

n k

n k -??????-+==∑

【例 9】 （2000年全国高中联赛试题）有n 个人，已知他们任意2人至多通话一次，他们任意2n -个人

之间通话的总次数相等，都等于3k （k 为正整数）。求n 的所有可能值。

【解析】 设n 个人之间通话的总次数为m ，因为n 个人可形成2

C n n

-个2n -人组，而每2n -人之间通话的总次数都为3k ，故所有2n -组中通话次数的总和为2C 3n k

n -?。

另一方面，上述计数中，每一对通话的人，属于4

2C n n --个2n -组，故每2人间的一次通话重复计算 了4

2C n n --次，所以

22

4222

C 3C 3(1)3C C (2)(3)n k k k n n n n n n n m n n ----??-===--。

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8

⑴ 若3不整除n ，即(3)1n =，，则(3)1n n -=，，(33)1k n -=，，又(21)1n n --=，，所以

3|1n n --，即12133

n n n -=+--为正整数，所以3|2n -，32n -≤，5n ≤。又22C 33k

n -≥≥，所

以5n ≥，故5n =。

⑵ 若3整除n ，则3|3n -，32n -?

，即(32)1n -=，，又(21)1n n --=，，所以2|n n -，即 2

122

n n n =+

--为正整数，故2|2n -，由此得22n -≤，4n ≤，这与⑴中已证5n ≥矛盾。 由⑴，⑵知n 只可能为5，另一方面，若有5n =个人，其中每2人通一次电话，则任意23n -=人之间通电话的次数都为2133C =（这里1k =为正整数）满足题目要求，故所求正整数只有一个5n =.

大显身手

1． 1985个点分布在一个圆的圆周上，每个点标上+1或-1，一个点称为“好点”，如果从这点开始，依

任一方向绕圆周前进到任何一点时，所经过的各数的和都是正的。证明：如果标有-1的点数少于662时，圆周上至少有一个好点。

【解析】 这里662与1985的关系是不清楚的，一般化的过程其实也就是揭示它们内在联系的过程，可以证

明更一般性的结论：在32n +个点中有n 个1-时，“好点”一定存在。 ⑴ 1n =时，把连续4点标上1+，则这4点位于中间的两点均为好点。 ⑵ 假设命题当n k =时成立，即32k +个点中有k 个1-时，必有好点。

对1n k =+，可任取一个1-，并找出两边距离它最近的两个1+，将这3个点一齐去掉，在剩下的32k +个点中有k 个1-，因而一定有好点，记为P 。现将取出的3个点放回原处，因为P 不是离所取出的1-最近的点，因而从P 出发依圆周两方前进时，必先遇到添回的1+，然后再遇到添回的1-，故P 仍是好点，这说明，1n k =+时命题成立。

由数学归纳法得证一般性命题成立，取661n =即得本例成立。

这里一般化的好处是：第一，可以使用数学归纳法这个有力工具；第二归纳假设提供了一个好点，使得顺利过渡到1n k =+。一般说来，更强的命题提供更强的归纳假设。

2． （第22届全俄数学奥林匹克试题）由22?的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形。用这种

拐形去覆盖57?的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界。问能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由。

【解析】 将57?方格板的每一个小方格内填写数2-和1如图所示，易见每个拐形覆盖的3个数之和非负。

因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和（一个数

被覆盖了几层就计算几次）都是非负的。

另一方面，方格板上数字的总和为12(2)2311?-+?=-，当被覆盖k

层时，盖住的数字之和等于k -，这表明不存在满足题中要求的覆

盖。

3． （第18届IMO 试题）若干个正整数之和为1976，求其积的最大值。 【解析】 分析 先看若干个数的和为4、5、6、7、8的简单情形。使积最大的分拆分别为：

42252363372238233=+=+=+=++=++，，，，。

由此猜想：要使积最大，其分拆的和中只含有2和3，且最多有两个2。

解 首先，“和”为1976的正整数组只有有限个，于是，其中必有一个正整数组使各数的积达到最大。

不妨设使积达到最大的正整数组为12()n x x x ，，

，，其中121976n x x x +++= 。此时，数组的各数的积为12n P x x x = 。我们证明，当P 最大时，可使所有i x 具有如下性质： ⑴3i x ≤。

若有某个4i x ≥，则将i x 换作两个数：2和2i x -，得到一个新的数组：

1211(22)i i i n x x x x x x -+- ，，，，，，，，。注意到2(2)24i i i x x x -=-≥，所以，调整后P 值

1111111111111111111111-2

-2-2

-2-2-2-2-2-2-2-21-2

不减。 ⑵1i x ≠。

若有某个1i x =，则在数组中任取一个i x ，将1和i x 换作一个数：(1)i x +，得到一个新的数组：

1211(1)j j n j x x x x x x -++ ，，，，，，，。注意到11j i x x ?<+，所以，调整后P 值增加。 ⑶其中等于2的i x 的个数不多于2。

若有2i j k x x x ===，则将i x 、j x 、k x 换成两个数：3和3，得到一个新的数组。注意到 22233??

由此可知，i x 为2或3，且2的个数不多于2。注意到197665832=?+，所以，P 的最大值为

65832?。

注 若将1976换作1975，则由197565831657322=?+=?++，知P 的最大值为657232?。

4． 设A 、B 、C 是三角形的三内角，求sin sin sin A B C ++的最大值。 【解析】 分析 这是一个简单的问题，有多种解法，而使用磨光变换的解法较繁，但其探索磨光工具的过

程是比较典型的。

首先，猜想极值点为πππ333??

???

，，。

其次，很易想到磨光方式：ππ()33A B C A B C ??

→+- ???

，，，，，

即令ππ

33

A B A B C C '''=

=+-=，，，希望磨光一次以后，函数值增大。即 sin sin sin A B C '''++

2sin cos sin 22A B A B C ''''+-=+

2sin cos sin 22A B A B C ''+-=+

2sin cos sin 22

A B A B

C +-+≥

sin sin sin A B C =++。 ①

要使不等式①成立，必须||||

22

A B A B ''--<

，此式成立的一个充分条件是A 为A 、B 、C 中最小者，B 为A 、B 、C 中的最大者，即有下面的引理（磨光工具）：若060180A B ?

实际上，1202602A B A B A B B A B +-?=+-??+-=-≥； 1202602A B A B A B A B A +-?=+-??+-=-≤。 所以|120|A B B A +-?-≤

所以120sin sin 2sin cos 2sin cos sin60sin(60)2222

A B A B A B A B A B A B +-++-?

+==?++-?≤。

引理获证：

解 不妨设A B C ≤≤，则60A C ?≤≤，所以由引理，有 sin sin sin sin 60sin(60)sin A B C A C B ++≤?++-?+

再不妨设60A C B +-?≤，则因(60)60A C B A B C +-?+=++-?=?

，所以06060A C B ?<+-??

sin sin sin sin 60sin(60)sin A B C A C B ++?++-?+≤sin 60sin 60sin 60?+?+?≤3sin 60=?=

故sin sin sin A B C ++。

高一·联赛班·秋季第14讲·教师版

10

5． 设p 是两个大于2的连续整数之积，求证：没有整数12p x x x ，，，的适合方程：

221

14()141p

p

i i i i x x p ==-=+∑∑。 【解析】 设(1)3p k k k =+≥，，则12414p p p ≥+≥，

。 用反证法。假设有整数12p x x x ≥≥≥ 满足等式：

22

1

1

41(41)4()p p i

i i i p p x x ==+=+-∑∑22

21

1

1

4[()]p p p

i

i i

i i i p x x x ====-+∑∑∑2

211

4

()p

i j i i j p

i x x x ≤<≤==-+∑∑。

如果所有的i x 全相等(12)i p = ，，

，。从上式，有2141p px +=。 矛盾！于是，必有121l l p x x x x x +> ≥≥≥≥≥，其中Z l +∈。 我们分两种情形来讨论： ⑴21l p <-≤时，2

2111

4

()4()p

l

i j i

k i j p

i k l x x x

x ≤<≤==+--∑∑

∑≥4()l p l -≥，

又2()2(2)24l p l p lp l p ---=--+(2)(2)l p l =---0≥。 有214

()8(2)41i j i j p

x x p p <-≥->+∑

≤≤，矛盾！

因而这种情况不可能。

⑵1l =或1l p =-。不妨设1l =。即1231p p x x x x x ->=== ≥。 则1

2

2

212

2

1

414()4()p

p p

s s p i s s i p x x x x x -===+=-+-+∑∑∑

2

2

1214(2)()4()p p x x x x =--+-2

221

4(2)()p

p i i p x x x =+--+∑，

故有121x x -=，于是，2

2

2121

94()4(2)()p

p p i i x x p x x x ==-+--+∑，

故2(12)p x x p =≥且11p x x -=，所以222

125(1)x p x =+-。

由于12p ≥，则20x =，于是215x =，矛盾！

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

初中数学竞赛常用解题方法（代数） 一、 配方法 例1练习：若2 ()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 （1）构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 （2）构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 （3）构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根，则4 3αβ+的值是___ ___。 （4）构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 （5）构造几何图形 例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法） 例9、71427和19的积被7除，余数是几？ 练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法） 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数，证明数3 231 22 M n n n =++为整数，且它是3的倍数。 练习：证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法（用新的变量代换原来的变量） 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习：解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法（常用于列方程解应用题） 例12、一商人进货价便宜8%，售价保持不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前的 %x 增加到(10)%x +，x 等于多少? 九、 判别式法（24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质） 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习：已知,,x y z 是实数，且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之七对称法

例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A ， 抛出点离水平地面的高度为h ，距离墙壁的水平距离为s ， 小球与墙壁发生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s ，如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度. 解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后小球的运 动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球从A ′点水平抛出所做的运动. 根据平抛运动的规律：?? ? ??==2 021gt y t v x 因为抛出点到落地点的距离为3s ，抛出点的高度为h 代入后可解得：h g s y g x v 2320 == 例2：如图7—2所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁A 和B ，间距为d ， 一个小球以初速度0v 从两墙正中间的O 点斜向上抛出， 与A 和B 各发生一次碰撞后正好落回抛出点O ， 求小球的抛射角θ. 解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成， 若按顺序求解则相当复杂，如果视墙为一平面镜， 将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解. 物体跟墙A 碰撞前后的运动相当于从O ′点开始的斜上抛运动，与B 墙碰后落于O 点相当于落到O ″点，其中O 、O ′关于A 墙对称，O 、O ″对于B 墙对称，如图7—2—甲所示，于是有 ? ??==?? ???-==0221sin cos 200y d x gt t v y t v x 落地时θθ 代入可解得2 202arcsin 2122sin v dg v dg == θθ 所以抛射角 例3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A 犬想追捕B 犬，B 犬 想追捕C 犬，C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于 三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可. 由题意作图7—3， 设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得 a s 3 3 = 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为 v v v 2330cos = =' 由此可知三角形收缩到中心的时间为 v a v s t 32='= 此题也可以用递推法求解，读者可自己试解. 例4：如图7—4所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为m ，内外半径几乎同为R. 槽内A 、B 两处分别放有一个质量也为m 的小球，AB 间的距离为槽的直径. 不计一切摩擦. 现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止，两小球具有垂直于AB 方向的速度v ，试求两小球第一次相距R 时，槽中心的速度0v . 解析：在水平面参考系中建立水平方向的x 轴和y 轴. 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在x 轴方向上 运动。设槽中心沿x 轴正方向运动的速度变为0v ，两小球相对槽心做角速度大小为ω的圆周运动，A 球处于

运动会竞赛类各项目训练方法技巧(1)

运动会各项目训练方法以及比赛技巧 竞赛类 （1.）100米，200米跑 短跑，从起跑到达最高速度的过程称为加速度跑过程，该过程的目的是使自己尽快达到最快速度，前25米的加速跑决定着发挥的好坏，因此，爆发力非常关键。 （1）原地支撑快速高抬腿：这个练习既可以提高爆发力，又可以加快步频，每组30个。 （2）快频跑楼梯：5-9层，要求上楼梯加速要快，抬腿迈步频率要快，下楼梯时可放松，通过富有弹性的快速跑楼梯来提高步频，步频在加速跑中作用巨大。上下算一次。 （3） 20～50米计时跑：训练动作速度体会侧蹬和避免过早抬头、抬体。体会起跑时重心压低，小腿肌肉发力的感觉。 （4）行进间快速后踢腿练习，快速的折叠腿，使后脚跟贴到臀部，步幅要小，步频要快。每组30个。 途中跑是100、200米跑的主要部分，当我们的速度达到最高后，我们要做的就是如何放松、大步幅的、快频率的往前冲。 （1）下坡跑，放松能力必须在高速跑中进行。利用下坡跑统共了一个高速条件，使运动员充分体会到肌肉的放松感觉，在下坡跑时，要求步子轻松，步幅要大。 （2）顺风跑，道理与上面相似，有利于提高运动员高速运动时的感觉能力。要求跑时动作大、放松，能跑出快的步频的大的步幅。 （3）匀速放松大步跑，通常，强度在70%～80%的中速跑最利于发展肌肉的放松能力。120米中等强度的加速跑、重复跑来体会放松跑技术，建立放松跑的意识、概念。要求用舒展、协调、富有弹性的动作，充分摆髋，适宜的快频进行。 (4) 节奏跑，400米一次，在直道时冲刺，弯道时放松跑（切记不要走）（5）平板支撑，锻炼腰腹等核心力量，1分钟一组，要求身体打平。 冲刺跑也是100、200米跑中不可忽视的一部分，通常指最后20-30米。在该阶段，要求保持步频和步幅，同时，这也是最考验意志力的。在这一过程中，大腿肌肉的力量往往决定着冲刺的速度。 （1）深蹲跳练习，下蹲至膝盖与臀部保持齐平，直腰，双脚微微内扣，大腿猛的发力向上跳起，同时双手用力向上扬起至超过肘关节与眼睛持平，带动身体往上跳，注意保护膝盖，下蹲时膝盖的弯曲幅度不能超过脚尖。每组10个。 （2）展腹练习，利用深蹲跳的技巧，起跳后在空中，双手与双脚用力向后摆动，向前展开腹部，要求动作连贯、跳到最高。每组8个即可。 （3）收腹跳练习，起跳后双脚向上收，要在空中求用手碰到脚腕，动作连贯，一气呵成。每组15个。 （4）蛙跳，下蹲到底，用力向前跳，胳膊扬起带动身体向前，20米一次。

(完整版)因式分解竞赛题

因式分解 【例 1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x 提示:将248x x u 看成一个字母，可利用十字相乘 【例 2】(“希望杯”培训试题 )分解因式：22(52)(53)12x x x x 【解析】方法1：将25x x 看作一个整体，设25x x t ，则 方法2：将252x x 看作一个整体，设252x x t ，则 方法3：将253x x 看作一个整体， 【巩固】分解因式： (1)(3)(5)(7)15x x x x (1)(2)(3)(4)24a a a a 22(1)(2)12 x x x x 【例 3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．

【巩固】若x ，y 是整数，求证：4234x y x y x y x y y 是一个完全平方数. 【例 4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22(32)(384)90 x x x x 【例 5】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x 提示:可设2231,23x x A x x B ，则244x x A B . 【巩固】分解因式：2 (2)(2)(1)a b ab a b ab 【巩固】分解因式：2 1 (1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y

【例 6】(重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272 x x 练习: 1 .分解因式 x x 3234 2.求证：多项式的值一定是非负数 3.分解因式：()()()a b c a b b c 2333 4.在ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100.求证：a c b 25.已知：

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.

（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1） 事实上， ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不 变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++

高中奥林匹克物理竞赛解题方法 10图像法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法 十、图像法 方法简介 图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易，化繁为简的目的，图像法在处理某些运动问题，变力做功问题时是一种非常有效的方法。 赛题精讲 例1：一火车沿直线轨道从静止发出由A 地驶向B 地，并停止在B 地。AB 两地相距s ，火 车做加速运动时，其加速度最大为a 1，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a 2，由此可可以判断出该火车由A 到B 所需的最短时间为 。 解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图像法来解。 根据题意作v —t 图，如图11—1所示。 由图可得1 1t v a = vt t t v s t v a 21)(21212 2=+== 由①、②、③解得2 121)(2a a a a s t += 例2：两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度为v 0，若前车突然以恒定 的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s ，若要保证两辆车在上述情况中不相碰，则两车在做匀速行驶时保持的距离至少为 （ ） A ．s B ．2s C ．3s D ．4s 解析：物体做直线运动时，其位移可用速度——时间图像 中的面积来表示，故可用图像法做。 作两物体运动的v —t 图像如图11—2所示，前车发 生的位移s 为三角形v 0Ot 的面积，由于前后两车的刹车 加速度相同，根据对称性，后车发生的位移为梯形的面积 S ′=3S ，两车的位移之差应为不相碰时，两车匀速行驶 时保持的最小车距2s. 所以应选B 。 ① ② ③ 图11—2

(完整版)初二级竞赛专题：因式分解

初二级竞赛专题：因式分解 一、重要公式 1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋1) 2、a2±2ab＋b2=(a±b)2； 3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b); 4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法； 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5） ）。 其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分 ．．．． 三、例题 1、添项拆项 [例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；（2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x) （2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2 解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) [例2]因式分解：（1）x3－11x＋20；（2）a5＋a＋1 （1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4) =x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5) （2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方 差公式 解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1 =a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1) 2、待定系数法 [例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20 解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法， 可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，

高中物理竞赛方法集锦

例11：如图13—11所示，用12根阻值均为r的相同的电阻丝构成正立方体框架。试求AG两点间的等效电阻。 解析：该电路是立体电路，我们可以将该立体电路“压扁”，使其变成平面电路，如图13—11—甲所示。 考虑到D、E、B三点等势，C、F、H三点等势，则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图，所以AG间总电阻为

r r r r R 6 5363=++= 例12：如图13—12所示，倾角为θ的斜面上放一木 制圆制，其质量m=0.2kg ，半径为r ，长度L=0.1m ，圆柱 上顺着轴线OO ′绕有N=10匝的线圈，线圈平面与斜面 平行，斜面处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度 B=0.5T ，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？ 解析：要准确地表达各物理量之间的关系， 最好画出正视图，问题就比较容易求解了。如 图13—12—甲所示，磁场力F m 对线圈的力矩 为M B =NBIL ·2r ·sin θ，重力对D 点的力矩为： M G =mgsin θ，平衡时有：M B =M G 则可解得：A NBL mg I 96.12== 例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13 所示，每段电阻丝的电阻均为r ，试求A 、B 间的等效 电阻R AB 。 解析：设想电流A 点流入，从B 点流出，由对称 性可知，网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电 势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路。

（1）其中竖直线电阻r ′分别为两个r 串联和一个r 并联后的电阻值， 所以 r r r r r 3 232=?=' 横线每根电阻仍为r ，此时将立体网络变成平面网络。 （2）由于此网络具有左右对称性，所以以AB 为轴对折，此时网络变为如图13—13—乙所示的网络。 其中横线每根电阻为21r r = 竖线每根电阻为32r r r ='= '' AB 对应那根的电阻为r r 32 =' 此时由左右无限大变为右边无限 大。 （3）设第二个网络的结点为CD ，此后均有相同的网络，去掉AB 时电路为图13—13—丙所示。再设R CD =R n －1（不包含CD 所对应的竖线电阻） 则N B A R R ='，网络如图13—13—丁所示。

初中数学竞赛专题辅导因式分解(一)

初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

小学数学竞赛一几种解题方法

一几种解题方法 1．28分。提示：按从多到少顺序枚举。如果小军是两个1角硬币，那么小红的三枚硬币不可能是18分；当小军是一个1角一个5分时，小红是一个1角，一个2分，一个1分。 2．5种。 3．495。解：因为93＞700，所以只有下面三种可能： 13+33+53=153 13+33+73=371， 33+53+73=495，其中只有495是11的倍数。 4．286。解：此数是13的偶数倍，必能被26整除。由260依次往小试验，260－26=234，234－26=208，都不符合题意。再由260往大试验，260+26=286符合题意。 5．15。解：1与不小于4的任何自然数都不满足题意，所以四个数中没有1。取2，3，4，a，前三个数满足条件，a=5不满足条件，a=6满足条件。所求数为2+3+4+6=15。 6．8种。解：将四个瓶子依次记为A，B，C，D，将四张标签依次记为a，b，c，d。假设A贴对了，其余的都贴错了，有两种情况： ①Aa，Bc，Cd，Db；②Aa，Bd，Cb，Dc。 同理B，C，D贴对了，其余的都贴错了，也各有两种情况。共8种。 7．10种。提示：有0，0，3；0，1，2；0，2，1；0，3，0；1，0，2；1，1，1；1，2，0；2，0，1；2，1，0；3，0，0十种方法。 8．7。解：不拆盒可买的节数有3，5，8，9，10，…因为超过10的数都可以由8，9，10中的某个数加3的倍数形成，而8，9，10都可以不拆盒，所以买7节以上（不含7）都不必拆盒。 9．11。提示：与第8题类似。 10．18支、10支、6支、4支。提示：因为总的铅笔数不多，故可依次假设丁有2支、3支、4支……铅笔。 11．21个。 提示：乙的红球、白球都是偶数。因为甲的红球数是乙的白球数的2倍，并且不超过10，所以乙的白球数只能是2或4。

高中物理竞赛解题方法 八、作图法

八、作图法 方法简介 作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理 问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便。 赛题精析 例1 如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个 质量为m 的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球 匀速上升时，球对墙的压力将（ ） A ．增大 B ．先增大后减小 C ．减小 D ．先减小后增大 图8—1 解析 球在三个力的作用下处于平衡，如图8—1—甲所示.当球上升时，θ角 增大，可用动态的三角形定性分析，作出圆球的受力图（如图8—1—甲）.从图可见，当球上升时，θ角增大，墙对球的支持力增大，从而球对墙的压力也增大. 故选A 正确. 图8—1—甲 图8—2 图8—2—甲 例2 用两根绳子系住一重物，如图8—2所示.绳OA 与天花板间夹角θ不变，

当用手拉住绳子OB ，使绳OB 由水平方向转向竖直方向的过程中，OB 绳所受的拉力将（ ） A ．始终减小 B ．始终增大 C ．先减小后增大 D ．先增大后减小 解析 因物体所受重力的大小、方向始终不变，绳OA 拉力的方向始终不变，又 因为物体始终处于平衡状态，所受的力必然构成一个三角形，如图8—2—甲所示，由图可知OB 绳受的拉力是先减小后增大. 可知答案选C 例3 如图8—3所示，质量为m 的小球A 用细绳拴在天花板上， 悬点为O ，小球靠在光滑的大球上，处于静止状态.已知：大球的球心 O ′在悬点的正下方，其中绳长为l ，大球的半径为R ，悬点到大球最 高点的距离为h.求对小球的拉力T 和小球对大球的压力. 解析 力的三角形图和几何三角形有联系，若两个三角形相似， 则可以将力的三角形与几何三角形联系起来，通过边边对应成比例求解. 图8—3 以小球为研究对象，进行受力分析，如图8—3—甲所示，小球 受重力mg 、绳的拉力T 、大球的支持力F N ，其中重力mg 与拉力T 的 合力与支持力F N 平衡.观察图中的特点，可以看出力的矢量三角形 ABC 与几何三角形AOO ′相似，即： R h mg l T += R h mg R F N += 图8 —3—甲 所以绳的拉力：T= mg R h l + 小球对大球的压力mg R h R F F N N +==' 例4 如图8—4所示，质点自倾角为α的斜面上方定点O 沿

排球运动的比赛方法

体育基础知识课 课次 教学 内容 排球运动的比赛方法时间 教学目标认知目标：了解排球运动的比赛方法。 技能目标：掌握排球运动比赛方法及运动损伤处理。 情感目标：通过理论课的学习让学生对排球产生兴趣，为以后的教学作铺垫。 一、排球运动的比赛方法 排球运动是由两支人数相等的球队在长18米，宽9米的场地上，从中间具有一定高度的球网上面，根据规则要求，以身体的任何部位将球击入对方场区，而不使其在本方场内落地的一种集体的、攻防对抗的球类项目。 排球比赛的形式是多种多样的，其基本方法是由后排右侧的队员在发球区内，用单手将球从过网区直接击过球网开始的。除拦网外，每方最多击球3次使球过网，不得持球。一名队员不能连续击球两次。比赛不间断地进行，直至球落地、出界或某一队员犯规。 场上6名队员分前后排站立。发球队员胜一球后该队同一名队员继续发球。接发球队胜一球后可以获得发球权，全队6名队员按预先登记的发球顺序换由下一名队员发球。在每球得分制的比赛中，发球队胜一球得一分，接发球的队胜一球得发球权的同时得一分。 比赛有五局三胜制、三局两胜制。计分的方法也有发球得分制、每球得分制之分。每球的胜负为限分支，即首先达到规定分数的队为胜队。 二、世界排球大赛简介 （1）世界锦标赛：1947年开始。每隔四年举行一次。 （2）世界杯赛：1964年开始。每四年举行一次。比赛地点固定在日本。 （3）奥运会：1964年东京奥运会开始增加排球项目比赛。四年一届。沙滩排球在1996年奥运会列为正式比赛项目。 （4）世界青年锦标赛：1977年在巴西进行首届比赛。参赛队年龄在22周岁以下，每四年一次。 （5）世界排球联赛（也称世界排球大奖赛）：从1993年开始。每

数学竞赛题精讲复杂的因式分解问题

数学竞赛题精讲复杂的因 式分解问题 Prepared on 21 November 2021

轮换对称式的因式分解问题 林达 多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。 例1分解因式： 【分析与解答】首先观察发现，当时，原式的值为0。即，如果将原式看作a的函数，将b看作常数，则是函数的一个根。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。 故是原式的因式，观察发现原式是的三次式，也是三次式，故两式必然只差一个常数。 用待定系数法，设 代入，得到，故原式的因式分解结果是 例2分解因式： 【分析与解答】和例1类似，首先观察发现，当时，原式的值为0。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。 故是原式的因式，观察发现原式是的五次式，是三次式。两者都是的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果： 代入，得到 代入，得到 解得故原式的因式分解结果是 例3化简： 【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式。 观察发现，当时，原式为 故，是原式的一个因式，同理也是原式的因式。 故是原式的因式。观察发现原式是的三次式，也是三次式，两式必然只差一个常数。 用待定系数法，设 代入，得到，故原式的化简结果是 配方法及其应用 林达 复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。对于这类多项式，配方法往往能出奇效。相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。 配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。下面我们看几道例题。 例1 分解因式：

高中物理竞赛方法集锦微元法针对训练

高中物理竞赛方法集锦微元法针对训练 例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的 电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同 一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻能够忽略不计， 两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的平均磁场 中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面 向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒， 质量分不为m 1和m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动 时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻 相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向 1，然后合向2.求： 〔1〕两根小棒最终速度的大小； 〔2〕在整个过程中的焦耳热损耗.〔当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计〕 解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大. 〔1〕设两小棒最终的速度的大小为v ，那么分不为L 1、L 2为研究对象得： 111 1v m v m t F i i -'=? ∑=?v m t F i i 111 ① 同理得： ∑=?v m t F i i 222 ② 由①、②得：v m m t F t F i i i i )(212211+=?+?∑∑ 又因为 11Bli F i = 21i i t t ?=? 22Bli F i = i i i =+21 因此 ∑∑∑∑?=?+=?+?i i i i t i BL t i i BL t BLi t BLi )(212211 v m m q Q BL )()(21+=-= 而Q=CE q=CU ′=CBL v 因此解得小棒的最终速度 2221)(L CB m m BLCE v ++= 〔2〕因为总能量守恒，因此热Q v m m C q CE +++=22122)(2 12121 即产生的热量 22122)(2 12121v m m C q CE Q +--=热

运动竞赛组织与管理

运动竞赛组织与管理 1.运动成绩的产生包括运动训练和运动竞赛。 2.运动竞赛是由竞技者、竞技目标、竞技场、竞技规则、竞技裁判五个要素构成。 3.组织管理工作包括竞赛规则、竞赛规程、组织编排和组织竞赛四个方面。 4.运动竞赛的特征：竞赛目标的竞争性、竞赛目的的综合性、竞赛对抗的激烈性、运动竞赛结果的不确 定性、竞赛结果的可比较性。 5.运动竞赛的价值：竞技价值、社会价值、经济价值、教育价值、生活价值。 6.运动竞赛规则的基本功能：制约功能、协调功能、促进功能. 7.运动竞赛项目的分类：测量类竞赛项目、评分类竞赛项目、命中类竞赛项目、制胜类竞赛项目和得分 类竞赛项目。 8.运动竞赛方法的特征：公正性、合理性、效益性。 9.竞赛项目可以分为竞争性体育竞赛和对抗性体育竞赛。 10.竞赛性竞赛的竞赛方法：同行赛、间行赛、并逐赛、轮次赛、多轮赛、遴选赛、争先赛、梯级赛、淘 汰赛、循环赛及上述方法的结合。 11.对抗性竞赛的竞赛方法：单循环赛、双循环赛、多循环赛、单淘汰赛、双败淘汰赛、复活赛、佩奇赛、 得分赛、扩展赛、瑞士赛即上述方法的结合。 12.循环赛包括单循环赛、双循环赛、分组循环赛和积分循环赛 13.单循环赛场数和轮数的计算：(Y=轮数X=场数N=参赛者数) (1).当参赛者是双数时：比赛轮数：Y=N-1 (2).当参赛者是单数时：比赛轮数：Y=N (3).比赛场数：X=N(N-1)/2 14.“贝格尔”编排法是“大数两头摆，右下角提上，逆时针旋转”。 15.单淘汰赛参赛者的号码位置数，必须是2的乘方数。 16.轮空数= 号码位置数—实际参赛者数 17.先采用循环赛，然后采用淘汰赛是运动竞赛中最常用的一中混合赛竞赛方法。 18.运动竞赛学分类：时间竞争类项目、距离竞争类项目、重量竞争类项目、分数竞争类项目。 19.在竞争类竞赛项目中，参赛者对时空参数的争夺呈现两种不同取向：奋力夺取较大的时空参数；和竭 力争取较小值的时空参数。 20.参照系包含个体、偶体、集体、团体四种不同属性的参赛选手。 21.扩展赛制分为梯形赛制、金字塔赛制、水平轮转赛制. 22.运动竞赛:是参与双方或多方在特定的场地范围内，在裁判人员主持下，以战胜对手争夺优胜为直接目 的，以运动项目为内容，依据统一的规则要求而进行的运动员个体或运动队集体之间的体力、技艺、智力和心理品质的竞技较量比赛。 23.运动竞赛方法:是指运动竞赛过程中，为合理比较参赛者的运动水平，公平排定参赛者的比赛名次所采 取的活动方式、程序和手段的总和。 24.运动竞赛规则:是运动竞赛过程中运动员和裁判员必须遵循的技术规范和行为规范的准则。

(原创)2020年因式分解竞赛题含答案

2020年因式分解竞赛题含答案 作者：夏威夷松鼠 二、知识点回顾： 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 三、专题讲解 例1 分解因式：

(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)． 说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

（共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用

第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==.

初中物理竞赛方法指导

初中物理竞赛方法指导 我们知道，物理知识生活实际和，是人类在生活、生产、社会实践中获得的的总结。所以学习物理知识若只局限于课堂上书本的学习是不够的，必须到生活、社会实际的大课堂中去学习物理、应用物理，才能把知识学活、用活。 在日常生活和社会实践中存在着大量的各种各样的物理问题，如日、月的东升西落，冰、水的相互转化，水电站、内燃机、轮船、电动机、人造卫星、核能发电、光纤通信、及各种家用电器等等;而应用物理知识就是以生活、生产、社会中常见的现象为背景提出的问题，可见，解答应用物理知识题的基础和关键在于平时生活中要善于观察、勤于思考。如果我们对日常生活中的物理现象熟视无睹，或者虽然观察了，但未深入思考，那就等于脱离了“物”而学“理”，最终只能记住一些物理定律、公式。相反，如果日常生活中善于观察各种物理现象，并自己多问几个“是什么”、“为什么”，并积极利用所学的物理知识去分析、思考，设法得出问题的答案，这样不仅可以为解答应用物理知识题奠定必要的基础，同时这些丰富的感性材料，还有利用于我们透彻解物理概念和规律，这样才能将活、用活，才能不断提高分析解决问题的能力。 总之，应用物理知识题就像在我们周围的生活和社会的一些常见事物上面画了个“?”，给我们提出了具体的观察对象和思考的方

向。事实上我们天天生活在物理世界中，身边到处都有物理问题值得我们去研究。如：为什么水会流动?为什么空调器要装在高处?什么是?天上为什么会打雷?什么是温室效应?等等，这些决不止“?”。只有我们平时多观察，勤思考，才能真正学到有“物”的物理，才能为解答应用物理知识题打下良好的基础。 应用物理知识题都是生活和社会技术中的实际问题。它的显著特点是用生活中的语言来表述实际问题的具体情境，而不是用物理名词、术语直接给出的物理模型。它把物理知识隐蔽在实际事物之中，巳知条件或待求的实质问题常处于隐蔽状态，一般不能直接套用物理公式求解。这些都是与平时的练习题和试题的不同之处。所以，解应用物理知识题，首先要将实际问题转化为物理问题，用物理名词术语显现出它的物理真面目，再找出这个物理问题与哪些物理概念、规律有关系，即找准解题的理论依据，问题就迎刃而解了。例如：夏天，冰棍周围冒“白气”;水缸外壁“出汗”;卫生球日久变小。这些现象是否是升华?冒“白气”、“出汗”等都是生活语言。首先要转化成物理术语，与物理概念、名词联系起来冒“白气”实质是冰棍周围空气中的水蒸气遇冷“液化”成小水珠;水缸“出汗”是水蒸气遇冷“液化”成露。卫生球日久变小，是从固态直接变成气态跑掉了，这就是升华现象。

八年级数学竞赛讲座：第一讲 因式分解(一)

第一讲因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7． 解 (1)原式=－2x n－1y n(x4n－2x2ny2+y4) =－2x n－1y n[(x2n)2－2x2ny2+(y2)2]