数学竞赛中证明不等式的几种技巧
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
高中数学奥赛讲义：竞赛中常用的重要不等式
不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 竞赛中常用的重要不等式 【内容综述】 本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用 【要点讲解】 目录§1 柯西不等式 §2 排序不等式 §3 切比雪夫不等式 ★ ★ ★ §1。柯西不等式 定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即 等式当且仅当时成立。 本不等式称为柯西不等式。 思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。 证明1 ∴右-左= 当且仅当定值时，等式成立。 思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。
证明2 当时等式成立；当时，注意到 =1 故 当且仅当 且 （两次放缩等式成立条件要一致）
即同号且常数， 亦即 思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。 证明3 构造函数 。 由于恒非负，故其判别式 即有 等式当且仅当常数时成立。 若柯西不等式显然成立。 例1 证明均值不等式链： 调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。 证设本题即是欲证： 本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法 (1)先证① 注意到欲证①,即需证 ② 此即 由柯西不等式,易知②成立,从而①真
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
高中数学竞赛均值不等式讲义
均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.
放缩法证明不等式的基本策略
放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点, 以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一 提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。 放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。 3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） n J k 例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3- 它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运 用往往 对应变能力有较高的要求。 因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。下面结合一 例1、已知 a n 2n 1(n N ).求证: a 1 a ^ a 2 a 3 丑(n N a n 1 ). 证明：Q 皀 a k 1 2k 1 2k 1 2(2k1 1) 1 3.2k 2k 2 1,2,..., n. a_ a 2 a 2 a 3 a n a n 1 1 （ 1 1 二（二 二 1 a_ 3 a 2 a 2 a 3 多项式的值变小。由于证 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。本题在放缩时就舍去了 2k 2，从而是使和式得到化简 例2、函数f (x ) =±- 1 4x ，求证: （1）+f （ 2） +…+f (n ) 证明：由 f(n)= 羊7=1-- 1 4n 1 得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(1 4 1 1 丄 2 21 2 22 1 1 * 芦 >1 此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征 ,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时 ,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分
竞赛均值不等式专题讲解
均值不等式专题讲解 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 112 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。. 二、用均值不等式求最值 利用均值不等式求最值的记忆口诀为：“一正二定三相等”，三者缺一不可： 一 正：利用均值不等式解题要先保证各式都是正数； 二 定：求和的 积要固定，求积的 和要固定； 三相等：只有在各式都相等的前提下，和与积才能取到最值。 例1：下列命题中正确的是【 】 A 、x x 1 + 的最小值为2； B 、x x -+2 2的最小值为2； C 、b a a b +的最小值为2； D 、θθcot tan +的最小值为2。 点评：各式都是正数是利用均值不等式解题的前提，缺少这个条件足以致命。 例2：你能指出下列推导过程错在哪里吗？ ⑴若0>x ，则221213x x x x x ++=+≥332 23123?=???x x x ； ⑵若?? ? ??∈2,0πx ，则x x x x sin 2sin sin 2sin 2+=+≥22sin 2sin 2=?x x ； ⑶若R x ∈，则 ( ) 4 144 144 1)4(4 52 22 2 2 2 2 2 2 ++ += +++= +++= ++x x x x x x x x ≥2。
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
数学竞赛选讲不等式证明
§14不等式的证明 不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈> >?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>?>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ΛΛ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函 数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更 为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法. 例题讲解 1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 2．0,,>c b a ，求证：.) (3 c b a c b a ab c c b a ++≥ 3．：.222,,,3 33222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤ ++∈+ 求证 4．设* 21,,,N a a a n ∈Λ，且各不相同， 求证：.321312112 23221n a a a a n n ++++≤+ +++ΛΛ.
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
分析法证明不等式
分析法证明不等式 山东 林 博 分析法是不等式证明的基本方法，但它不失为不等式证明的重要方法．下面以几道不等式证明题作为分析法的范例加以阐释． 例1 已知：a b c +∈R ，，， 求证：3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤． 分析：这道题从考查思维的角度来看，方法基本，只要从分析法入手———步步变形，问题极易解决． 证明：为了证明3223a b a b c ab abc +++????-3- ? ????? ≤， 只需证明323ab c abc --≤， 即证明332abc c ab c ab ab +=++≤． 而3333c ab ab c ab ab abc ++=≥成立，且以上各步均可逆， ∴32323a b a b c ab abc +++????-- ? ????? ≤． 点评：分析法是思考问题的一种基本方法，容易找到解决问题的突破口． 例2 已知关于x 的实系数方程2 0x ax b ++=有两个实根αβ，，证明： （1）如果||2α<，||2β<，那么2||4a b <+，且||4b <； （2）如果2||4a b <+，且||4b <，那么||2α<，||2β<． 分析：本题涉及参数较多，应注意它们之间的等量关系． 证明：∵αβ，是方程20x ax b ++=的两个实根， ∴a αβ+=-，b αβ=． （1）欲证2||4a b <+，且||4b <． 只要证2||4αβαβ+<+，且||4αβ<， 而||2α<，||2β<，从而有||4αβ+<，40αβ+>． 故只要证224()(4)αβαβ+<+，只要证22(4)(4)0αβ-->．
比较法证明不等式.
比较法证明不等式 2013-12-07 比较法证明不等式 1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a- b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的.正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。 (2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。 2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2 因a^a*b^b=(ab)^ab, 又ab>a+b/2 故a^a*b^b>(ab)^a+b/2 已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4. 用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4 下面这个方法算不算“比较法”啊?
不等式的证明分析法与综合法习题
2.3不等式的证明（2）——分析法与综合法习题 知能目标锁定 1.掌握分析法证明不等式的方法与步骤,能够用分析法证明一些复杂的不等式; 2.了解综合法的意义,熟悉综合法证明不等式的步骤与方法; 重点难点透视 1.综合法与分析法证明不等式是重点,分析法是证明不等式的难点. 方法指导 1. 分析法 ⑴分析法是证明不等式的一种常用方法.它的证明思路是:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”. ⑵分析法证明的逻辑关系是:结论A B B B B n ????? 21 (A 已确认). ⑶用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆. ⑷用分析法探求方向,逐步剥离外壳,直至内核.有时分析法与综合法联合使用.当不等式两边有多个根式或多个分式时,常用分析法. 2. 综合法 ⑴综合法的特点是:由因导果.其逻辑关系是:已知条件 B B B B A n ????? 21(结论),后一步是前一步的必要条件. ⑵在用综合法证题时要注意两点:常用分析法去寻找证题思路,找出从何处入手,将不等式变形,使其结构特点明显或转化为容易证明的不等式. 一.夯实双基 1.若a>2,b>2,则ab 与a+b 的大小关系是ab( )a+b A.= B. < C.> D.不能确定 2.0>>a b 设,则下列不等式中正确的是（ ） A.0 lg >b a B.a b a b ->- C. a a a a ++< +211 D. 1 1++< a b a b
3.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,那么 c b a 111+ + 有最小值( ) A.6 B.9 C.4 D.3 4.设2 6,37,2-=-== c b a ,那么a,b,c 的大小关系是（ ） c b a A >>. b c a B >>. c a b C >>. a c b D >>. 5.若x>y>1,则下列4个选项中最小的是( ) A. 2 y x + B. y x xy +2 C.xy D. )11(21y x + 二.循序厚积 6.已知两个变量x,y 满足x+y=4,则使不等式m y x ≥+ 41恒成立的实数m 的取值范 围是________; 7.已知 a,b 为正数,且a+b=1则22+++b a 的最大值为_________; 8.若a,b,c + ∈R ,且a+b+c=1,则c b a ++的最大值是__________; 9.若xy+yz+zx=1,则222z y x ++与1的关系是__________; 10. b a n b a m b a -= - = >>,,0若,则m 与n 的大小关系是______. 三、提升能力 11. a 、b 、c 、d 是不全相等的正数,求证：(a b+cd)(ac+bd)>abcd 12.设x>0,y>0,求证: 2 2 y x y x +≤ + 13.已知a,b + ∈R ,且a+b=1,求证：2 25)1()1(2 2 ≥ + ++ b b a a .
均值不等式的证明(精选多篇)
均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有
a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点， 设f?x??lnx，f
?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 第二篇：均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二： 证xy+1/xy≥17/4
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???
例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3
高中数学竞赛培优——不等式
不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,
用比较法证明不等式.许兴华
——高中数学教案 课题：用比较法证明不等式 （５３００２１广西南宁三中 许兴华） 教学目标：1、通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商 比较法）”证题的基本原理； 2、学会“比较法”证题的基本步骤； 3、初步学生培养分析问题解决问题的能力. 重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤； 难点是掌握变形的思路和技巧. 教学过程： 一、复习引入： 1、实数大小比较的依据是什么？ （让学生回答）主要依据是： ①a －b ＞0 ＞b ②a －b ＝0 b ③a －b ＜0 b 2、 由以上法则我们知道： ① 要证a ＞b ，只需证a －b ＞0； ② 要证a ＜b ，只需证a －b ＜0.于是我们得到不等式证明的一种方法：作差 比较法. 二、新授课： 1、“作差比较法”证明不等式： 例1：求证：x 2+3>3x （1） 分析：欲证x 2+3>3x ，只需证x 2+3－3x ＞0 （2） 于是配方即得:04 3 )23(2>+-x ,此不等式显然成立. （3） 证明：板书证明过程（略）. 例2：已知a ，b ∈R +，并且a ≠b ，求证： a 5＋ b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 (1)分析：要证a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ,只要证明(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)>0 而(a 5+b 5)－(a 3b 2+a 2b 3)=(a 5－a 3b 2)+(b 5－a 2b 3) =a 3(a 2－b 2)－b 3 (a 2－b 2)= (a 2－b 2)(a 3－b 3)
= (a －b)2(a+b)(a 2+ab+b 2)>0 (),,b a R b a ≠∈+ (2)：板书证明过程(略). 引导学生进行小结:用“作差比较法”证不等式的步骤是： ①作差 ②恒等变形 ③ 判断符号 ④结论 其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”的目的.证明的实质：进行实数大小比较. （3）为了确定差的正负，“变形”的目标一般是： ① 一个常数； ② 一个常数与一个或几个平方的和的形式； ③ 几个因式的积的形式. 课堂练习：设a ＞b ＞0，比较2 222b a b a +-与 b a b a +-的大小. （要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评） （1） 分析：作差通分变形即可. （2） 证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”. 2、“作商比较法”证明不等式： 比较法还有“作商比较法”：若已知b>0 , 则要证.1,>>b a b a 只要证明 例3．已知+∈R b a ,，求证：a b b a b a b a ≥. 分析：0,,>∴∈+ a b b a R b a ，故只要证明1≥a b b a b a b a . 不妨设b a ≥,则.1,0,1≥? ?? ??==∴≥-≥---b a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b a （板书证明过程）（略） 三、课堂练习： 课本：P.7之1、2、3、4. 5.(补充练习):已知,0>>>c b a 求证:3 )(c b a c b a ab c c b a ++>. 练习后，当堂讲评:
数学培优讲义(均值不等式)
数学培优讲义 均值不等式 均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。 定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+ 推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2 2??? ??+≤b a ab 推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3 3??? ??++≤c b a abc 推论3、 ),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n a a a n n n n （等号成立的条件是n a a a =???==21） 例 题 分 析 例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥ 练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥ 练习2、设a >b >0，那么a 2+)(1 b a b -的最小值是_____
例2、（1）的最大值；求函数设)cos 1(2sin ,0αα πα+=<
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a )2·( c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4c d ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜3 1ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2ab ，显然矛盾．
竞赛数学解题研究之不等式
《竞赛数学解题研究》之不等式证明 一、公式法 1、柯西不等式：设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 为任意两数组，则 ≤+++22211)(n n b a b a b a )(22221n a a a +++ )(2 2221n b b b +++ 等号当且仅当n n b a b a b a === 22 11时成立。 例1、设16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a ，求e 的最大值。（第7届美国数学竞赛） 例2、设P 是锐角ABC ?内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使2 2 2 PF PE PD ++达到最小值的点P 。（1990年，浙江省高中数学夏令营） 例3、设P 是ABC ?内一点，P 到三边BC 、CA 、AB 的垂足分别是D 、E 、F 求出（并加以证明）使PF AB PE CA PD BC ++达到最小值的点P 。（IMO22，1981）
例4、设n a a a ,,,21 为两两互不相等的正整数，求证：∑∑==≤n i i n i i a i 1211 （IMO20） 例5、求出所有的实数a ，使得存在非负实数521,,,x x x ，满足下列关系： a kx k k =∑=5 1 ， 2 5 1 3 a x k k k =∑=， 35 1 5 a x k k k =∑= 例6、设y x b a ,,,都是实数，并且,122=+b a ,122=+y x 试证：1||≤+by ax （1963年成都市数学竞赛试题） 2、均值不等式 设n a a a ,,,21 为n 个正数，则 n n n a a a n a a a 2121≥+++等号当且仅当 n a a a === 21时成立。 例1、已知ABC ?的面积S 及角A 均为定值，记A 的两夹边为b,c 则当2 2 32c b +取最小值时，c b 的值为多少。（1985年长沙市数学竞赛）