Jacobi–Anger expansion

Jacobi–Anger expansion

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In mathematics, the Jacobi–Anger expansion (or Jacobi–Anger identity ) is an expansion of exponentials of trigonometric functions in the basis of their harmonics. It is useful in physics (for example, to convert between plane waves and cylindrical waves), and in signal processing (to

describe FM signals). This identity is named after the 19th-century mathematicians Carl Jacobi and Carl Theodor Anger.

The most general identity is given by:[1][2]

and

where J n (z ) is the n -th Bessel function. Using the relation

valid for

integer n , the expansion becomes:[1][2]

The following real-valued variations are often useful as well:[3]

Notes

1.^ a b Colton & Kress (1998) p. 3

2.

2.^ a b Cuyt et al. (2008) p. 344.

3.^

Abramowitz & Stegun (1965) p. 361, 9.1.42–45

References

?Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter9", Handbook of Mathematical

Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 355,

ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_355.htm.

?Colton, David; Kress, Rainer (1998), Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory,

Applied Mathematical Sciences, 93 (2nd ed.), ISBN 978-3-540-62838-5

?Cuyt, Annie; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B.

(2008), Handbook of continued fractions for special functions, Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2

External links

?Weisstein, Eric W.. "Jacobi–Anger expansion". MathWorld — a Wolfram web resource.

https://www.wendangku.net/doc/c63497078.html,/Jacobi-AngerExpansion.html. Retrieved 2008-11-11. Retrieved from "https://www.wendangku.net/doc/c63497078.html,/w/index.php?title=Jacobi%E2%80%

93Anger_expansion&oldid=385003152"

Special functions Mathematical identities

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雅可比迭代法

2013-2014（1）专业课程实践论文 题目：雅可比迭代法

一、算法理论 设有方程组),...,2,1(1 n i b x a i j n j ij ==∑= 记作,b Ax = （1） A 为非奇异阵且),,...,2,1(0n i a ij =≠将A 分裂为U L D A --=，其中 D =????????????????nn a a a 22 11，L =-??? ????? ???? ????-00001,21323121n n n n a a a a a a U =-?? ? ?? ? ? ? ????????-0000,122311312n n n n a a a a a a 将式（1）第)....2,1(n i i =个方程用ii a 去除再移项，得到等价方程组 (),,...,2,111n i x a b a x n i j j j ij i ii i =??? ? ? ?? -=∑≠= （2） 简记作 ,0f x B x += 其中 ().,111 0b D f U L D A D I B ---=+=-= 对方程组（2）应用迭代法，得到解式（1）的雅可比迭代公式 () () ()()()()()????????? ?? ? ??- ==∑≠=+,1,...,11002010n i j i k j ij i ii k i t n x a b a x x x x x ， 初始向量 （3）

其中()()()()()T k n k k k x x x x ,,...,21=为第k 次迭代向量。设()k x 已经算出，由式（3）可计算下一次迭代向量()(),,...,2,1,...;2,1,01n i k x k ==+ 显然迭代公式（3）的矩阵形式为 ()()()()???+=+,010f x B x x k k ，初始向量 其中0B 称为雅可比方法迭代矩阵。

Jacobi迭代法

第一题 算法解释 Jacobi迭代法 方程组Ax=b,其中A∈R nxn,b∈R n,且A为非奇异，则A可以写成A=D-L-U。 其中，D=diag[a11, a22,…, a nn],而-L，-U分别为A的上三角和下三角部分（不包括对角线元素） 则x=D-1(L+U)x+D-1b,由此可以构造迭代法：x(k+1)=Bx(k)+f 其中：B= D-1(L+U)x=I-D-1A，f=D-1b。 M文件 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) %采用Jacobi迭代法求线性方程组Ax=b的解 %线性方程组的系数矩阵：A %线性方程组中的常数向量：b %迭代初始向量：x0 %解的精度控制：eps %迭代步数控制：varargin %线性方程组的解：x %求出所需精度的解实际的迭代步数：n if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵 U=-triu(A,1); %求A的上三角阵 B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f; n=1; %迭代次数 %迭代过程 while norm(x-x0)>=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！');

return; end end x n 例题 Jacobi迭代法求线性方程组实例。用Jacobi迭代法求解以下线性方程组10x1-x2=9 -x1+10x2+-2x3=7 -x2+10x3=6 在matlab命令窗口输入如下程序： >> a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10]; >> b=[9;7;6]; >> jacobi(a,b,[0;0;0]) y = 0.9958 0.9579 0.7916 输出的迭代次数为： n = 11 ans = 0.9958 0.9579 0.7916

关于特征值与特征向量的求解方法与技巧

关于特征值与特征向量的求解方法与技巧 摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方法。 关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。 1 引言 物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了两种简易方法。 一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩阵A 的特征方程()0A f I A λλ=-=的全部特征根(互异) ，而求相应的特征向量的方法则是对每个i λ 求齐次线性方程组()0i I A X λ-=的基础解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。

本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方法计算量少， 且运算规范，不易出错。 2 方法之一： 列行互逆变换法 定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换: 1. 互换i 、j 两列()i j c c ?，同时互换j 、i 两行()j i r r ? ； 2. 第i 列乘以非零数()i k kc ， 同时第i 行乘11i c k k ?? ?? ? ； 3. 第i 列k 倍加到第j 列()j i c kc +， 同时第j 行- k 倍加到第i 行 ()i j r kr -。 定理1 复数域C 上任一n 阶矩阵A 都与一个Jordan 标准形矩阵 1212,,....r k k kr J diag J J J λλλ? ? ???????? ??? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?=相似， 其中 111110...0001...00..................000...1000...0ki ki J λλλλ?? ?? ?? ??=????????称为Jordan 块， 12r k k k n ++ +=并且 这个Jordan 标准形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序外被矩阵A 唯一确定， J 称为A 的Jordan 标准形。 定理2 A 为任意n 阶方阵, 若T A J I P ?? ????????→ ? ????? 一系列列行互逆变换其中

雅可比迭代法与矩阵的特征值

实验五 矩阵的lu分解法，雅可比迭代法 班级： 学号： ：

实验五 矩阵的LU 分解法，雅可比迭代 一、目的与要求： ? 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法； ? 会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序； ? 通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。 二、实验内容： ? 会编制列主元消去法、LU 分解法、雅可比及高斯—塞德尔迭代法德程序，进一步了解 各种方法的优缺点。 三、程序与实例 ? 列主元高斯消去法 算法：将方程用增广矩阵[A ∣b ]=(ij a )1n (n )+?表示 1) 消元过程 对k=1,2,…,n-1 ①选主元，找{}n ,,1k ,k i k +∈使得 k ,i k a = ik a n i k max ≤≤ ②如果0a k ,i k =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行③。 ③如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置， j i k j k a a ? j=k,┅,n+1 ④消元，对i=k+1, ┅,n 计算 kk ik ik a a l /= 对j=l+1, ┅,n+1计算 kj ik ij ij a l a a -= 2) 回代过程 ①若0=nn a ，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行②。 ②nn n n n a a x /1,+=；对i=n-1, ┅,2,1,计算 ii n i j j ij n i i a x a a x /11,??? ? ? ?- =∑+=+ 程序与实例 程序设计如下：

#include #include using namespace std; void disp(double** p,int row,int col){ for(int i=0;i>p[i][j]; } } int findMax(double** p,int start,int end){ int max=start; for(int i=start;iabs(p[max][start])) max=i; } return max; } void swapRow(double** p,int one,int other,int col){ double temp=0; for(int i=0;i

软件迭代开发流程

软件迭代开发流程 前期项目引入，可行性分析略 项目调研：角色应包括项目经理、软件项目经理，应形成用户需求文档该文档需提交用户确认。产物为用户需求说明书文档 需求分析：角色应包括项目经理、软件项目经理、高级软件工程师，根据前期调研得到的用户需求说明书文档进行需求分析，应形成项目需求分析文档，该文档需提交项目组进行评审，主要是软件部，对需求能否实现进行评估。产物为项目需求分析说明书文档原型设计：角色应包括项目经理、UI设计、系统设计师，根据项目需求分析说明书进行原型设计，根据前期需求分析文档进行系统原型设计，主要包括利用界面原型制作工具设计图形类的功能模块，利用既有项目案例，制作实际项目案例参考，其中包括自己公司已有和市场上已存在的。连同项目需求分析说明书交由项目经理审核，最终由项目经理、软件项目经理同用户完成原型的审核，最终形成第一次迭代开发的项目需求文档说明书。 详细设计：角色应包括软件项目经理、项目组全体成员，应形成软件概要设计、软件详细设计文档，该文档需提交项目组，主要是项目部，对设计是否符合用户需求进行评估。经多次修改与确认后形成最终的项目详细设计说明书文档（包括概要设计）。产物为：项目概要设计说明书，项目详细设计说明书文档。 原型开发：角色应包括软件开发人员，按照详细设计说明书进行原型开发；快速实现详细设计说明中的各项功能，细节问题放到二次或三次迭代时加入。内部测试完毕后交由测试部进行测试。 测试评审：角色应为测试部、项目组成员，测试只进行功能实现测试，不进行其他细节和边界条件等测试。测试通过后，交由项目组进行评审，修改。最后由项目经理、软件项目经理与用户就原型进行沟通，检验功能设计是否符合用户要求，用户是否还有其他需求。最后形成二次迭代开发新需求文档，到此一次迭代结束。 流程图如下：

二分法、简单迭代法的matlab代码实现教学文案

实验一非线性方程的数值解法（一）信息与计算科学金融崔振威201002034031 一、实验目的： 熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。 二、实验内容： 教材P40 2.1.5 三、实验要求 1 根据实验内容编写二分法和简单迭代法的算法实现 2 简单比较分析两种算法的误差 3 试构造不同的迭代格式，分析比较其收敛性 (一)、二分法程序： function ef=bisect(fx,xa,xb,n,delta) % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa 解区间上限 % xb 解区间下限 % n 最多循环步数，防止死循环。 %delta 为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); disp(' [ n xa xb xc fc ]'); for i=1:n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx); X=[i,xa,xb,xc,fc]; disp(X), if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa)

k=0; while abs(x-x0)>eps & k> fplot('[x^5-3*x^3-2*x^2+2]',[-3,3]);grid 得下图： 由上图可得知：方程在[-3,3]区间有根。 （2）、二分法输出结果 >> f='x^5-3*x^3-2*x^2+2' f = x^5-3*x^3-2*x^2+2 >> bisect(f,-3,3,20,10^(-12)) 2.0000 - 3.0000 0 -1.5000 0.0313

数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组

作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。 可取初始向量 X(0) =(0，0，0)’； 迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6 （1） = （2） = Jacobi迭代法： 流程图 开 始 判断b中的最大值 有没有比误差大 给x赋初值 进行迭代 求出x，弱到100次还没到，警告不收 结束

程序 clear;clc; A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; b=[1;4;3]; e=1e-6; x0=[0;0;0]'; n=length(A); x=zeros(n,1); k=0; r=max(abs(b)); while r>e for i=1:n d=A(i,i); if abs(d)100 warning('不收敛'); end end x=x0;

程序结果（1）

（2）

Gauss-Seidel迭代法： 程序 clear;clc; %A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5]; %b=[1;4;3]; A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; b=[-12;20;3]; m=size(A); if m(1)~=m(2) error('矩阵A不是方阵'); end n=length(b); %初始化 N=0;%迭代次数 L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n); D=zeros(n); G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*U d=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*b x=zeros(n,1); for i=1:n%初始化L和U for j=1:n if ij U(i,j)=A(i,j); end end end for i=1:n%初始化D D(i,i)=A(i,i); end G=-inv(D+L)*U;%初始化G d=(D+L)\b;%初始化d %迭代开始 x1=x; x2=G*x+d; while norm(x2-x1,inf)>10^(-6)

特征值解法

《结构动力学》大作业 结构大型特征值问题的求解 0810020035 吴亮秦 1振动系统的特征值问题 1.1实特征值问题 n 自由度无阻尼线性振动系统的运动微分方程可表示为： []{}[]{}()M u K u F t += （1.1） 其中，{}u 是位移向量，[]M 和[]K 分别是系统的质量矩阵和刚度矩阵，都是n 阶正定矩阵，()F t 是激励向量。 此系统的自由振动微分方程为 []{}[]{}0M u K u += （1.2） 设其主振型为： {}{}sin()u v t ω?=+ （1.3） 其中，{}v 为振幅向量，ω为圆频率，?为初相位。将(1.3)代入自由振动微分方程(1.2)， 得： []{}[]{}K v M v λ= （1.4） 其中2 λω=，(1.4)具有非零解的条件是 ()[][]det 0M K λ-= (1.5) 式(1.4)称为系统的特征方程，由此可以确定方程的n 个正实根1{}n i i λ=，称为系统的特征值，1{}n i i ω=称为系统的固有频率，{}i v （i=1,2,…..n ）为对应于特征值的特征向量或称为系统的振型或模态。 因为[]M 矩阵正定，则[]M 有Cholesky 分解： [][][]T M L L = (1.6) 其中，[]L 是下三角矩阵。引入向量{}x 满足：{}[]{}T x L v =，则： 1 {}([]){}T v L x -= (1.7) 代入(1.4)，得： ([][]){}0I P x λ-= (1.8) 其中，( ) 1 1 [][][][] T P L K L --=，式(1.8)称为标准实特征值问题。 1.2复特征值问题 多自由度阻尼自由振动系统的运动方程为如下二阶常系数微分方程组： []{()}[]{()}[]{()}0 M x t C x t K x t ++= (1.9) 其中 []M ，[]C ，[]K 分别是n 阶的质量、阻尼和刚度矩阵，{()}q t 是n 维可微向量函数。用分离变量法，设{()}{}t x t e λφ=，其中{}φ是与时间t 无关的常向量，λ为待定参数。将

jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法

数值计算方法实验报告（五） 班级：地信10801 序号：姓名： 一、实验题目：jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 二、实验学时: 2学时 三、实验目的和要求： 1．掌握迭代法的基础原理。 2．掌握jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的步骤。 3．能用程序语言对jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法进行编程实现。 四、实验过程代码及结果 1、代码： #include #include float x[100],xk[100]; float e; int N,M=1000; float a[100][101]; void initdata() { cout<<"输入方程阶数："; cin>>N; cout<<"输入误差限e："; cin>>e; cout<<"输入方程系数："<>a[i][j]; cout<<"输入初始解向量x0:"<>xk[i]; } void jocobi() { int Nx=0,times=0; while(Nx=M){cout<<"发散"<

for(int i=1;i<=N;i++) { float sum=0; for(int j=1;j<=N;j++) if(i!=j)sum+=xk[j]*a[i][j]; x[i]=(a[i][N+1]-sum)/a[i][i]; if(fabs(x[i]-xk[i])

高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计

题目：高斯-赛德尔迭代法的算法及程序设计 摘要 本文通过理论与实例对线性方程组的解法、收敛性及误差分析进行了探讨.在对线性方程组数值解法的讨论下用到了高斯-赛德尔迭代法，进一步研究和总结了高斯-赛德尔迭代法的理论与应用，使我们在分析问题与编辑程序时能更好的把握对高斯-赛德尔迭代法的应用。 关键词 Gauss-Seidel迭代法；收敛性；误差分析；流程图；Mathematica编程

目录 第一章高斯-赛德尔迭代法 (1) §1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 (1) §1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 (1) §1.1.2 高斯-赛德尔迭代法的定义及表达形式 (2) §1.2 高斯-赛德尔迭代法的收敛性 (1) §1.3 高斯-赛德尔迭代法的误差分析 (1) 第二章高斯-赛德尔迭代法的程序设计 (1) §2.1 高斯-赛德尔迭代法在上机中的应用 (1) §2.1.1 高斯-赛德尔迭代法的流程图 (1) §2.1.2 高斯-赛德尔迭代法的源程序 (1) 参考文献 (22) 附录 (23)

第一章 高斯-赛德尔迭代法 考虑线性方程组 Ax b = 其中为非奇A 异矩阵，对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组（A 的阶数很大n 但零元素很多）,利用迭代法求解线性方程组是合适Ax b =的.在计算机内存和运算两方面，迭代法通常都可利用中A 有大量零元素的特点. 本章将介绍迭代法中的高斯-赛德尔法的思想理论、收敛性及误差分析. §1.1 高斯-赛德尔迭代法的提出 §1.1.1 高斯-赛德尔迭代法的思想理论 在研究雅可比迭代法时，计算1k i x +时，已得(1)(1) (1) 12 1 ,,,k k k i x x x +++-（这些分别为121,,,i x x x -的第k+1次近似），Gauss-Seidel 迭代法认为在计算时启用新值，从而产 生 1(1) (1) ()11 1()i n k k k i i ij j ij j j j i ii x b a x a x a -++==+=--∑∑. 具体原理如下图所示 ()k x →→→