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专题二十八·直角三角形与勾股定理

一、选择题

1.(2010 浙江台州市)如图,△ABC 中,∠C =90°,AC =3,点P 是边BC 上的动点, 则AP 长不可能...是(▲)

A .2.5

B .3

C .4

D .5 【答案】A 2.(2010山东临沂)如图,ABC ?和DC

E ?都是边长为4的等边三角形,点B 、C 、E 在同一条直线上,连接BD ,则BD 的长为

(A

专题二十八·直角三角形与勾股定理

B

专题二十八·直角三角形与勾股定理

)C

专题二十八·直角三角形与勾股定理

)D

专题二十八·直角三角形与勾股定理

)【答案】D

3.(2010 四川泸州)在△ABC 中,AB =6,AC =8,BC =10,则该三角形为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形

C . 钝角三角形

D .等腰直角三角形

【答案】B

4.(2010 广西钦州市)如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC =6 cm 、BC =8 cm , 现将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE ,则BE 的长为 (A )4 cm (B )5 cm (C )6 cm (D )10 cm

【答案】B

5.(2010广西南宁)图1中,每个小正方形的边长为1,ABC ?的三边c b a ,,的大小关系式:

E

D

C

B

专题二十八·直角三角形与勾股定理

A

专题二十八·直角三角形与勾股定理

(第3题)

A

第15题

B

C

D

E

(A )b c a << (B )c b a <<

(C )b a c << (D )a b c << 图1

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】C 6.(2010广东湛江)下列四组线段中,可以构成直角三角形的是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 【答案】C 二、填空题 1.(10湖南益阳)如图4,在△ABC 中,AB =AC =8,AD 是底边上的高,E 为AC 中点,则DE = .

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】4

2.(2010辽宁丹东市)已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形,以Rt △ABC 的斜边AC 为

直角边,画第二个等腰Rt △ACD ,再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Rt △ADE ,…,依此类推,第n 个等腰直角三角形的斜边长是 .

【答案】n )2(

3.(2010 浙江省温州)勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=4.作△PQR 使得∠R=90°,点H 在边QR 上,点D ,E 在边PR 上,点G ,F 在边_PQ 上,那么APQR 的周长等于 .

A

B C

D E F

G

第15题图

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】

4.(2010四川宜宾)已知,在△ABC 中,∠A = 45°,AC = 2,AB = 3+1,则边BC 的长为 .

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】2 5.(2010湖北鄂州)如图,四边形ABCD 中,AB =AC =AD ,E 是CB 的中点,AE =EC ,∠BAC =3∠DBC ,BD

专题二十八·直角三角形与勾股定理

专题二十八·直角三角形与勾股定理

=AB = .

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】12

6.(2010河南)如图,Rt △ABC 中,∠C=0

90, ∠ABC=0

30,AB=6.点D 在AB 边上,点E 是BC 边上一点(不与点B 、C 重合),且DA=DE ,则AD 的取值范围是

专题二十八·直角三角形与勾股定理

.

【答案】2≦ AD < 3 7.(2010四川乐山)如图(4),在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,∠ACD=40°,则∠EBC=______.

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】140° 8.(2010四川乐山)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学

知识和人文价值.图(6)是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S 1,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S 2,…,第n 个正方形和第n 个直角三角形的面积之和为S n .设第一个正方形的边长为1.

专题二十八·直角三角形与勾股定理

图(6)

请解答下列问题:

(1)S 1=__________;

(2)通过探究,用含n 的代数式表示S n ,则S n =__________. 【答案】1+

38;(1+38)·(34

)n -1

(n 为整数) 9.(2010 江苏镇江)如图,

90,=∠?ACB ABC Rt 中,DE 过点C ,且DE//AB ,若

50=∠ACD ,则

∠A= ,∠B=

专题二十八·直角三角形与勾股定理

.

【答案】

40,50

10.(2010 广西玉林、防城港)两块完全一样的含30?

角的三角板重叠在一起,若绕长直角边中点M 转动,使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点,如图6,∠A =30?

,AC =10,则此时两直角顶点C 、C '间的距离是 。

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】5

11.(2010 福建泉州南安)将一副三角板摆放成如图所示,图中1∠= 度.

专题二十八·直角三角形与勾股定理

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【答案】120

12.(2010 广西钦州市)一个承重架的结构如图所示,如果∠1=155°,那么∠2=_ ▲_°.

【答案】65

13.(2010 山东淄博)如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻__________条.

【答案】8

14.(2010年山西)在,90,

=∠?ACB ABC Rt 中D 是AB 的中点,CD=4cm ,

则AB= cm 。 【答案】8 15.(2010黑龙江绥化)Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2,以AC 为一边,在△ABC

外部作等腰直角三角形 ACD ,则线段BD 的长为 。 【答案】4或

三、解答题

1.(2010浙江杭州) (本小题满分10分)

(第15题)

1

2

第2题

(第10题图)

如图,AB = 3AC ,BD = 3AE ,又BD ∥AC ,点B ,A ,E 在同一条直线上. (1) 求证:△ABD ∽△CAE ;

(2) 如果AC =BD ,AD =22BD ,设BD = a ,求BC 的长.

专题二十八·直角三角形与勾股定理

【答案】

(1) ∵ BD ∥AC ,点B ,A ,E 在同一条直线上, ∴ ∠DBA = ∠CAE , 又

3==AE

BD

AC AB , ∴ △ABD ∽△CAE .

--- 4分

(2) ∵AB = 3AC = 3BD ,AD =22BD ,

∴ AD 2 + BD 2 = 8BD 2 + BD 2 = 9BD 2 =AB 2, ∴∠D =90°, 由(1)得 ∠E =∠D = 90°, ∵ AE =

31BD , EC =31AD =

23

2

BD , AB = 3BD , ∴在Rt △BCE 中,BC 2 = (AB + AE )2 + EC 2 = (3BD +

31BD )2 + (3

2

2BD )2 = 9108BD 2 = 12a 2 , ∴ BC =32 a . --- 6分

专题二十八·直角三角形与勾股定理

2.(2010 湖北孝感)(本题满分10分)

[问题情境]

勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。

[定理表述]

请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(3分)

专题二十八·直角三角形与勾股定理

[尝试证明]

以图1中的直角三角形为基础,可以构造出以a 、b 为底,以b a +为高的直角梯形(如图2),请你利用图2,验证勾股定理;(4分) [知识拓展]

利用图2中的直角梯形,我们可以证明

.2<+c

b

a 其证明步骤如下: AD

b a BC ,+= = 。

又∵在直角梯形ABCD 中有BC AD (填大小关系),即 ,

.2<+∴

c

b

a (3分) 【答案】[定理表述]

如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,那么,222c b a =+

…………3分

专题二十八·直角三角形与勾股定理

说明:只有文字语言,没有符号语言给2分。

[尝试证明]

ABE Rt ? ≌,,EDC AEB ECD Rt ∠=∠∴?

90,90=∠+∠∴=∠+∠DEC AEB DEC EDC

.90 =∠∴AED …………5分

,AED Rt D EC Rt ABE Rt ABCD S S S S ???++=梯形

.2

12121))((212c ab ab b a b a ++=++∴

整理,得.2

22c b a =+ …………7分

[知识拓展]

c b a AD RC c AD 2,,2<+<=

…………10分

3.(2010 山东荷泽)(本题满分8分)如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,

BD 是∠ABC 的平分线,CD =5㎝,求AB 的长.

【答案】解:∵在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,BD 是∠ABC 的平分线

∴∠ABD =∠CBD =30° ∴AD =DB

又∵Rt △CBD 中,CD =5㎝ ∴BD =10㎝ ∴BC =35㎝,AC =2BC =310㎝

20题图

A

B

C D