高二数学椭圆的第二定义
高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精
讲
一. 本周教学内容：
椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系
［知识点］
1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
e c a
e M =
<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为
椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。 注意：①对
对应于右焦点，的准线称为右准线，x a
y b
a b F c 22
22
2100+
=>>()()
方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a
c
F c x a
c
=
-=-
2
12
0()
②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
2. 焦半径及焦半径公式：
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 对于椭圆
，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a
y b
a b P x y 222
102
+
=>>()()
左焦半径
∴2
左左r x a
c
c a
r ex c a
a
c
a ex 02
02
0+
=
=+
=+
右焦半径
右右r a
c
x c a
r a ex 2
0-=?=-
3. 椭圆参数方程
问题：如图以原点为圆心，分别以a 、b （a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥Ox ，垂足为N ，过点B 作BN ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕
O 旋转时点M 的轨迹的参数方程。
解：设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为M x y ()??O x O A 参数。
那么∴x O N O A y NM O B x a y b ======??
?||cos ||sin cos sin ()?
?
??
1
这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”?? 说明：<1> 对上述方程（1）消参即
x
a
y b
x a y b ==??
??????+=cos sin ??22221普通方程
<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。
4. 补充
5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离
x a
y b
y kx b 22
22
1+
==+
①相离无解?+==+???
?
?x a y
b
y kx b 222
21
②求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。 （2）相切
①相切有一解?+==+???
?
?x a y
b
y kx b 222
21
②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为
P x y xx a
yy b
00002
02
1()+
=
()31222
2相交有两解?+==+???
?
?x a y
b
y kx b
①弦长公式： ||()()AB x x y y =-+-122
122
=
++-142
122
12k
x x x x ()
=
+-12
12k x x ||
=
+12
k a 2
?||
作差法中点：斜率②?)( 例 1.
已知，
，是椭圆
的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x
y
M ()-+=231612
12
2
|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|||||||||'|M A M F M A M P AA +=+≥2 这里|MP|、|AP|分别表示点A 到准线的距离和点M 到准线的距离。 解：设直线是椭圆的右准线，⊥，垂足为，则
，l M P l P M F M P e M P e
||||
||==
1
||||||M F a b c e M P e
M F ，由已知方程得，，∴，，由此得======423212
1
2||MF ，从而得
|||||||||'|M A M F M A M P AA M A P M AP +=+≥2，即当点、、三点共线且是内分点
时，等号成立，此时取得最小值，点的坐标为，
||||()M A M F M +2233
例2. 椭圆
的焦点为、，点为其上的动点，当∠为钝角x
y
F F P F PF 2
2
12129
4
1+
=
时，点P 横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题） 分析：可先求∠F 1PF 2＝90°时，P 点的横坐标。 解：法一 在椭圆中，，，，依焦半径公式知，a b c PF x ===
=+
3253531||
||||||||PF x F PF PF PF F F 2121222122
353
=-
?+
()()
()353
353
2595
35
35
2
2
22
++-
-
<<
x x x
x ，应填
法二 设，，则当∠°时，点的轨迹方程为，P x y F PF P x y ()1222905=+= 由此可得点的横坐标±
，点在轴上时，∠；点在轴上P x P x F PF P y ==35
012
时，∠为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是F PF P x 1235
35
-
<<
小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。
例3. 过椭圆
内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条x
y
M M 2
2
16
4
121+
=()
弦所在的直线方程。
分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。
解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得y k x -=-12()
()()()
4124211602
2
2
2
k
x
k
k x k +--+--=，又设直线与椭圆的交点为
A x y
B x y x x x x k k k
()()()1122121222
8241
，、，，则、是方程的两个根，于是，+=
-+
又为的中点，∴
，解之得，故所求直线方M AB x x k k k
k 12
22
2
4241
212
+=
-+==-
()
程为x y +-=240
法二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221
∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212
12
22
22
424164+=+=+=+ =-+-=164012
22
12
22
，两式相减得()()x x y y
∴
y y x x x x y y 1212
1212412
--=-
++=-
()
即，故所求直线为k x y AB =-
+-=12
240
法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x ，y ），由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为，B x y ()42--
∵、两点在椭圆上，∴有①，②A B x y x y 222241644216+=-+-=()() ①②得：-+-=x y 240
由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为A B x y +-=240 法四 直线方程为x t y t =+=+???21cos sin αα
代入椭圆得：(cos )(sin )24116022+++-=t t αα ∴444841602222+++++-=t t t t cos cos sin sin αααα ∴(sin cos )(sin cos )48480222αααα+++-=t t ∵，∴t t 122
2
08440+=-
++=sin cos sin cos αααα
∴820sin cos αα+= ∴，8212
sin cos tan ααα=-=-
即，故所求直线为k x y AB =-+-=12
240
例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 2
2
8840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？
解：法一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ
则d =-+=--|cos sin |
|sin()|
2242
342
θθθ?
其中，当时，tan m in ?θ?π=-=
=
=222
12
22
d
此时，cos sin sin cos θ?θ?=-=-
==
223
13
即点坐标为，
P P ()-
83
13
法二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''
即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →
设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=???
00
882
2
9280449802222y m y m m m -+-==--=，令3?() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()
此时，
，由平行线间距离得P l ()m in -=
83
13
22
例5. 已知椭圆：
，，是椭圆上一点E x
y
P x y 2
2
25
16
1+
=()
()122
求的最大值x y +
（2）若四边形ABCD 内接于椭圆E ，点A 的横坐标为5，点C 的纵坐标为4，求四边形ABCD 的最大面积。
分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y 2代入x 2+y 2，转化为
x x y x y 的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角2
2
+ 问题求解。法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最x y
r r 2
2
22
+=
值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。
题（2）可将四边形ABCD 的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC 是定线段，故长度已定，则当点B 、点D 到AC 所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时
四边形的面积最大。求得A B C D 202
解：()()125
16
116125
2
2
2
2
法一由
得，x
y
y
x
+
==-
则，x y x x
x
222
2
2
16125
16925
1625+=+-
=+
∈()[]
∴的最大值为，最小值为x y 222516+ 法二：令，x y ==???54cos sin θ
θ
则，x y 2222225161691625+=+=+∈cos sin cos []θθθ 法三令，则数形结合得，x y r r 22221625+=∈[]
（2）由题意得A （5，0），C （0，4），则直线AC 方程为：4x ＋5y －20 =054，又设，，则点到直线的距离B B AC (cos sin )θθ
d 120202041
2024
2041
20220
41
=
+-=
+-≤
-|cos sin |
|sin()|
θθθπ
同理点到直线的距离D A C d 220220
41
≤
+
∴四边形的最大面积S AC d d =+=||()12202
例6. 已知椭圆
，是椭圆上两点，线段的垂直平x a
y b
a b AB AB 22
22
10+
=>>()
分线与x 轴相交于点P （x 0，0）。 求证：-
-<<
-a b a
x a b a
2
2
022
（1992年全国高考题）
分析：本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，A B x x a b x 120 利用证明-<+<2212a x x a
证明：法一 设，、，，由题意知≠且，，A x y B x y x x P x ()()()11221200 由得①||||()()PA PB x x y x x y =-+=-+102
12
212
2
2
又、两点在椭圆上，∴，A B y b x a
y
b x a
1
2
2
122
2
22
222
11=-
=-
()()
代入①整理得，2210221
222
2
()()
x x x x x a b a
-=--
∵≠，∴有2x x x x x a b a
12012
2
2
22
=
+-
又，，且≠-≤≤-≤≤a x a a x a x x 1212 ∴-<+<2212a x x a
由此得-
-<<
-a b a
x a b a
2
2
022
法二 令，则以为圆心，||PA r P =
r x x y r 为半径的圆的方程为①()-+=0222
圆与椭圆②交于、两点P x a
y b
a b A B 22
22
10+
=>>()
由①、②消去整理得
y a b a
x x x x r b
22
2
200222
20--+-+=
由韦达定理得，x x a x a b
a a 122
02
2
222+=
-∈-()
∴-
-<<
-a b a
x a b a
2
2
02
2
法三 设，、，，的中点为、A x y B x y AB M m n ()()()1122 ∴，x x m y y n 121222+=+=
又、两点在椭圆上，
A B x a
y b
x a
y b
122
12
2
222
22
2
11+
=+
=
则两式相减得
()()
()()
x x x x a
y y y y b
12122
12122
0+-+
+-=
将及，代入整理得：y y x x m x n
x x m y y n 1212
121222--=-
-+=+=
x a b a
m x x a b a
02
2
2
12
22
2
2
=
-=
+-2
，下略
这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。
例
7.
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，
x e P =
32
032()
到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的7P
距离等于
的点的坐标7
解法一：设椭圆的参数方程为
x a y b a b ==??
?
>>≤ 其中，002 由，得e c a b a a b 2 22 213 4 2= =-==() 设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d 则d x y 2 2 2 32 =+- () =+-a b 2 2 2 32cos (sin )θθ =-+++312432 2 2b b b (sin )θ 如果 即12112 b b >< 那么当时，取得最大值sin ()()θ=-=+1732 2 2 2 d b 由此得与矛盾b b =- >< 7321212 因此必有 ，此时当时，取得最大值1211274322 2 b b d b ≤=-=+sin () θ 解得，b a ==12 所求椭圆的参数方程是x y ==??? 2cos sin θ θ 由，± sin cos θθ=- =12 32 求得椭圆上到点的距离等于 的点是，与，P 7312 312 ()()-- - 解法二：设所求椭圆的方程为x a y b a b 22 22 10+ =>>() 由，解得e c a b a b a 2 22 21341 2 = =-==() 设椭圆上的点，到点的距离为()x y P d 则d x y 2 2 2 32 =+- () =- +- a a b y y 2 22 2 2 32 () =--++33494 2 2 y y b =-+ ++312 432 2 ()y b 其中，如果，则当时-≤≤<=-b y b b y b 1 2 d b 2 2 2 732 取得最大值()()=+ 解得与矛盾b b =->< 7321212 故必有b ≥12 当时，取得最大值y d b =- =+127432 2 2 () 解得，b a ==12 所求椭圆方程为 x y 2 2 4 1+= 由可求得到点的距离等于的点的坐标为±，y P =--12 7312 () 小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。 【模拟试题】 1. 已知椭圆 x a y b a b 22 22 10+ =>>()的焦点坐标是F c F c P x y 120000()()() -，和，，，是椭圆上的任一点，求证：||||PF a ex PF a ex e 1020=+=-，，其中是椭圆的离心率。 2. 在椭圆 x y 2 2 25 9 1+ =上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 3. 椭圆()()|| x y x y ++-= --11433310 22的长轴长是___________。 4. 椭圆y a x b a b F c F c c 22 22 1210000+ =>>->()()()()的两焦点为，，，，离心率 e = 32 ，焦点到椭圆上点的最短距离为23-，求椭圆的方程。 5. 已知椭圆的一个焦点是F （1，1），与它相对应的准线是x y +-=40，离心率为22 ， 求椭圆的方程。 6. 已知点P 在椭圆 y a x b a b 22 22 10+ =>>()上，F F 12、为椭圆的两个焦点，求 ||||PF PF 122的取值范围。 7. 在椭圆 x y t 2 2 8 1+ =内有一点A （2，1） ，过点A 的直线l 的斜率为－1，且与椭圆交于B 、C 两点，线段BC 的中点恰好是A ，试求椭圆方程。 8. 已知椭圆 x y 2 2 25 16 1+ =，在椭圆上求一点M ，使它到两焦点距离之积为16。 9. 如图，已知曲线49360022 x y x y +=>>()，，点A 在曲线上移动，点C （6，4），以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标。 [参考答案] 1. 证明：椭圆 x a y b 22 22 + =>>10()a b 的两焦点F c F c 1200()()-，、，，相应的准线 方程分别是x a c x a c =- = 22 和。 ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， ∴ ||||P F x a c e P F a c x e 102 22 + =-=， 。 化简得||||PF a ex PF a ex 1020=+=-，。 点评：||||PF PF 12、都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，||||PF a ex PF a ex 1020=+=-，称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远 （近）点为长轴端点。 2. 解：设P 点的坐标为（x ，y ），F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点。 ∵椭圆的准线方程为x =±254 ， ∴ ||||PF x PF x 12254254+=- ∵||||PF PF 122= ∴ ，∴22542542512 22||||PF x PF x x +=-= 把代入方程 x x y = + =2512 25 9 12 2 得± y =1194 因此，P 点的坐标为( )2512 1194 ，± 。 点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。 3. 323 解析：椭圆的方程可写成 ()()|| x y x y ++---= 1143335 12 22 ， ∴ c a = 12 ① 一个焦点是（－1，1），相对应的准线方程是43330x y --=， ∴ a c c 2 43335 8-= ---=|| ② 由①、②得a a ==163 2323 ，∴。 4. 解：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， ∴a c -=- 23 又e c a ==32 ， ∴，故a b ==21 ∴椭圆的方程为 y x 2 2 4 1+= 5. 解：设P （x ，y ）为椭圆上任意一点， ∵椭圆的一个焦点是F （1，1）， 与它相对应的准线是x y +-=40，离心率为 22 ， ∴ ()() || x y x y -+-+-= 1142 22 2 2 ∴41414222 ()()()x y x y -+-=+-， 即332802 2 x y xy +--=为所求。 6. 解：设P ()x y 00，，椭圆的准线方程为y a c =±2 ，不妨设F 1、F 2分别为下焦点、上 焦点 则 ||||P F y a c c a P F a c y c a 102 22 + = -= ， ∴，||||P F c a y a P F a c a y 1020= +=- ∴2||||()()P F P F a c a y a c a y 1200=+-=- a c a y 2 22 02 ∵-≤≤a y a 0， ∴当y 00=时，||||PF PF a 1222最大，最大值为 当y a PF PF a c b 012222=-=±时，2最小，最小值为|||| 因此，||||PF PF 122的取值范围是[]b a 22， 7. 解：设直线l 的方程为y x -=--12() 由，消去y x x y t y -=--+=????? 128 122() 得()t x x t +-+-=84872802， 由已知， x x t 12 2 248 2+= +=，解得t =4， ∴椭圆方程为 x y 2 2 8 4 1+ = 8. 解：设M （x ，y ），由椭圆方程得a b c ===543，，， ∴e = 35 故1625925 122 2 2 2 ==+-=-=-||||()()M F M F a ex a ex a e x x 2， ∴x=±5。代入椭圆方程，得y =0， ∴所求点M 为（5，0）或（－5，0） 9. 解：设A (cos sin )32θθ，，θπ∈()02， ， 则B C D (sin )()(cos )626434，，，，，θθ， S AB AD ABCD ==--||||(cos )(sin )26342θθ=-++24126(sin cos )sin cos θθθθ， 令t t t =+∈= -sin cos (]sin cos θθθθ，则，，1212 2 ，S t ABCD =-+3292 () 当时，，此时，， t S A = =-= 2271224 32 22m in ()θπ （一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下： 第1讲 课题：椭圆 课 型：复习巩固 上课时间：2013年10月3日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10< 上式化为122=+C By C Ax ，12 2=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当 B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长；21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特 征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而22c a b -=越大，椭圆越接近圆；当0=e 时，b a c ==,0，两焦点重合，图形是圆. 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），通径长为a b 2 2. 高二数学（上）公式大全 一． 不等式部分。 1．不等式的性质： a>b ?a-b=0 ; a=b ?a-b=0 ; ab 且b>c ?a>c cb ?a ±c>b ±c ; a>b 且c>d ?a+c>b+d a>b 且c>0?ac>bc ; a>b 且c<0?ac 高中数学-圆锥曲线与方程 第1讲椭圆及其性质 考点一椭圆的标准方程 知识点 1椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数． 2椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形． 如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大． (2)S△PF 1F 2 ＝ 1 2|PF1||PF2|·sinθ＝b 2· sinθ 1＋cosθ ＝b2tan θ 2＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为 bc. (3)焦点三角形的周长为2(a＋c)． 3椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种： (1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)． (2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为y2 a2＋ x2 b2＝1(a>b>0)． 4特殊的椭圆系方程 (1)与椭圆x2 m2＋y2 n2＝1共焦点的椭圆可设为 x2 m2＋k ＋ y2 n2＋k ＝1(k>－m2，k>－n2)． (2)与椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为 x2 a2＋ y2 b2＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或 y2 a2＋ x2 b2＝k2(k2>0，焦 点在y轴上)． 高二数学选修2 椭圆基础训练 一、选择题 1．（ ）已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．（ ）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 C 2 2 2 2218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-= 得5,4a b ==，2212516x y ∴ +=或125 162 2=+y x 3．（ ）如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 D 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k +=>?<< 4．（ ）21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为 A ．7 B ．47 C ．2 7 D ．257 C 1212216,6F F AF AF AF AF =+==- 22202 2112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-?=-+ 2211117 (6)48,,2 AF AF AF AF -=-+ =1772222S =??= 5．（ ）椭圆 124 492 2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 则△21F PF 的面积为A ．20 B ．22 C ．28 D ．24 D 2222 12121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==，相减得 12121 296,242 PF PF S PF PF ?==?= 二、填空题 6．椭圆 22189x y k +=+的离心率为1 2 ，则k 的值为______________。 一. 教学内容： 椭圆的几何性质 二. 教学目标： 通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用． 通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力． 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等． 三. 重点、难点： 重点：椭圆的几何性质及初步运用． 难点：椭圆离心率的概念的理解． 四. 知识梳理 1、几何性质 （1）范围，即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x＝±a和直线y＝±b所围成的矩形里．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．（2）对称性 把x换成－x，或把y换成－y，或把x、y同时换成－x、－y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称 （3）顶点 在中，须令x＝0，得y＝±b，点B1（0，－b）、B2（0，b）是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1（－a，0）、A2（a，0）是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点A1（－a，0）、A2（a，0）、B1（0，－b）、B2（0，b）． ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b； ②a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长； （4）离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义： 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴0＜e＜1． 当e接近1时，c越接近a，从而b越接近0，因此椭圆越扁； 当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆； 高二数学周周清（2） 一、选择题（每小题5分，共12小题） 1.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件 B ．甲是乙成立的必要不充分条件 C ．甲是乙成立的充要条件 D ．甲是乙成立的非充分非必要条件 2．椭圆22 11625 x y +=的焦点坐标为 （ ） （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0) 3．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是 （ ） （A ）2213620x y += （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）22 11636 x y += 4．若椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ） （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14 5.椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32 倍，则椭圆的焦距是 （ ） A 、4 C 、6 D 、6．离心率为3 2，长轴长为6的椭圆的标准方程是 （ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22159x y += （C ）2213620x y +=（D ）2213620x y +=或2212036 x y += 7.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =( ) A.2 3 B.3 C.27 D. 4 8.椭圆19 2522 =+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则=ON ( ) A.2 B.4 C.6 D.23 9.椭圆2222 22222222211()x y x y a b k a b a k b k +=+=>>--和的关系是 （ ） A ．有相同的长轴 B ．有相同的离心率 C ．有相同的短轴 D ．有相同的焦点 10. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于 ( ) A.－1 B.1 C.5 D. －5 11、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ） 椭圆基础训练题 一、选择题 1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 2．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹 是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3.椭圆116 252 2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ 4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5．若方程x 2a 2 —y 2a =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a<0 B 、-1 第十章 圆锥曲线 本章知识结构图 第一节 椭圆及其性质 考纲解读 1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究 椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型 预测2019年高考对本节考查内容为： （1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题. （2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标 准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分. 知识点精讲 曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 定义及标准方程 性质 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线） 离心率 对称性问题 中心对称 轴对称 点(x 1，y 1) ───────→关于点(a ，b )对称点(2a －x 1，2b －y 1 ) 曲线f (x ，y ) ───────→ 关于点(a ，b )对称曲线f (2a －x ，2b －y ) ? ????A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y 2 2＋C ＝0y 2－y 1x 2－x 1·(－A B )＝－1 特殊对称轴 x ±y ＋C ＝0 直接代入法 点(x 1，y 1)与点(x 2，y 2)关于 直线Ax ＋By ＋C ＝0对称 2、2椭圆基础训练题 一、选择题(每题5分) 1.已知椭圆22 1102 x y m m +=--,长轴在y 轴上.若焦距为4,则m 等于( ) A.4 B.5 C.7 D.8 2.已知△ABC 得周长为20,且定点B (0,－4),C (0,4),则顶点A 得轨迹方程就是( ) A.1203622=+y x (x ≠0) B.136 202 2=+y x (x ≠0) C.120622=+y x (x ≠0) D.16 202 2=+y x (x ≠0) 3.椭圆116 252 2=+y x 得离心率为( ) A.35 B. 34 C.45 D.925 4.已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ,且21F F 就是1PF 与2PF 得等差中项,则动点P 得轨迹方程就是( )。 A.191622=+y x B.1121622=+y x C.13422=+y x D.14322=+y x 5.曲线221259x y +=与曲线22 1(9)259x y k k k +=<--得( ) (A)长轴长相等 (B)短轴长相等 (C)焦距相等 (D)离心率相等 6.椭圆116 252 2=+y x 得焦距就是( ) A.3 B.6 C.8 D.10 7.若点O 与点F 分别为椭圆2 212 x y +=得中心与右焦点,点P 为椭圆上得任意一点,则OP FP ?得最小值为 A.2-12 C.2+8.已知椭圆得方程为22 194 x y +=,则该椭圆得长半轴长为( ) A.3 B.2 C.6 D.4 9.椭圆13 42 2=+y x 得焦点坐标为( ) A.)0,1(± B.)0,2(± C.)0,2(± D.)1,0(± 10.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)就是椭圆C 得两个焦点,过F 2且垂直于x 轴得直线交C 于A 、B 两点,且AB =3,则C 得方程为( ) (A) 2 2x +y 2=1 (B) 23x +22y =1 (C) 24x +23y =1 (D) 25x +24 y =1 高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时122 22=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为 参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离：0? 2019年高二数学常用公式 同学们有没有发现，把数学知识点编成一句句幽默风趣的口诀，学习起来就轻松多了，下文是2019年高二数学常用公式。 有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加大减小，符号跟着大的跑；绝对值相等零正好。【注】大减小是指绝对值的大小。 合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。 去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。 恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。(a-b)2n1=-(b-a)2n1(a-b)2n=(b-a)2n 平方差公式：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 完全平方：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首尾括号带平方，尾项符号随中央。因式分解：一提(公因式)二套(公式)三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数(项)，就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上 若都行不通，拆项、添项看清楚。 代入口决：挖去字母换上数(式)，数字、字母都保留；换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出(现)括弧，逐级向下变括弧(小中大) 单项式运算：加、减、乘、除、乘(开)方，三级运算分得清，系数进行同级(运)算，指数运算降级(进)行。 一元一次不等式解题的一般步骤：去分母、去括号，移项时候要变号，同类项、合并好，再把系数来除掉，两边除(以)负数时，不等号改向别忘了。 一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大，大小取中间，大小，小大无处找。 一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大(鱼)于(吃)取两边，小(鱼)于(吃)取中间。 分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变(乘)；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简。 分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原(根)留、增(根)舍别含糊。 最简根式的条件：最简根式三条件，号内不把分母含，幂指(数)根指(数)要互质，幂指比根指小一点。 椭圆的定义与标准方程 一．选择题（共19小题） 1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（） A．B． C．D． 或 2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆 3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A．4B．5C．6D．10 4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段 5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（） A．10 B．8C．6D．不确定 6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D． 7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16 B．11 C．8D．3 8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（） A．5个B．10个C．20个D．25个 9．方程=10，化简的结果是（） A．B．C．D． 10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6] 11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．线段 C．椭圆或线段或不存在D．不存在 12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（） A． （x≠0）B． （x≠0） C． （x≠0）D． （x≠0） 13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D． 14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（） A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件 C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件 15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（） A．3＜m＜4 B．C．D． 16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件． A．必要不充分B．充分不必要 C．充要D．既不充分又不必要 17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定 18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关 高二数学椭圆试题 一:选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则ｍ的取值范围是( ） A．m>2或m＜﹣1 B．ｍ>﹣2 C. ﹣１＜m<2 D．m＞2或﹣2 8.设椭圆的两个焦点分别为F１、、Ｆ2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( ) A． B. Ｃ. Ｄ. 9.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x 轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AＢ∥ＯP(Ｏ是坐标原点）,则该椭圆的离心率是（) A. B．Ｃ． D. 1０．若点O和点Ｆ分别为椭圆的中心和左焦点,点Ｐ为椭圆上的任意一点,则 的最大值为（) A. ２Ｂ. 3 C. 6Ｄ. 8 １1.如图,点F为椭圆=1(a>b>0)的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PＦ相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为（) A．B．C．D． 1２．椭圆顶点A(a,0）,B（0,b)，若右焦点F到直线AB的距离等于,则椭圆的离心率e=( ) A. B. C. Ｄ. 椭圆基础训练题（学生版） 1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ） （A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2 ＝1 2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） （A ）21（B ）22 （C ）23（D ）33 3．已知椭圆x2＋2y2＝m ，则下列与m 无关的是（ ） （A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率 4. 曲线25x 2＋9y 2 =1与曲线k 25x 2－＋k 9y 2-=1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。 （A ）有相等的长、短轴 （B ）有相等的焦距 （C ）有相等的离心率 （D ）一相同的准线 5. P(x, y)是椭圆16x 2＋9y 2 =1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。 （A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2 =1 6．过椭圆x2a2＋y2b2 ＝1(0 椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义： ①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集 M={P| e d PF =，0＜e ＜1的常数 }。（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线） 2 标准方程： （1）焦点在x 轴上，中心在原点：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。其中22b a c -= （一个?Rt ） （2）焦点在y 轴上，中心在原点：122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜ B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。 3．参数方程 ：椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ?? ?==θ θ sin cos b y a x )(为参数θ 4.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12 2 22=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）； ③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ； （a 半长轴长，b 半短轴长）； ④ 准线方程：c a x 2± =；或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0； 2.2椭圆基础训练题 一、选择题（每题5分） 1．已知椭圆 22 1102 x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．已知△ABC 的周长为20，且定点B （0，－4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ） A ．1203622=+y x （x ≠0） B ．136202 2=+y x （x ≠0） C ．120622=+y x （x ≠0） D ．16 202 2=+y x （x ≠0） 3．椭圆116 252 2=+y x 的离心率为（ ） A ． 35 B ． 34 C ．45 D ．925 4．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）。 A ．191622=+ y x B ．1121622=+y x C ．13422=+y x D ．14 32 2=+y x 5．曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k +=<--的（ ） （A ）长轴长相等 （B ）短轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等 6．椭圆 116 252 2=+y x 的焦距是（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 7．若点O 和点F 分别为椭圆2 212 x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ?的最小值为 A ．2 B ． 1 2 C ．2+ D ．1 8．已知椭圆的方程为22 194 x y +=，则该椭圆的长半轴长为（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．4 9．椭圆13 42 2=+y x 的焦点坐标为（ ） A ．)0,1(± B ．)0,2(± C ．)0,2(± D ．)1,0(± 10．已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点,且AB =3,则C 的方程为( ) (A) 22x +y 2=1 (B) 23x +22y =1 (C) 24x +23y =1 (D) 25x +2 4y =1 11．“46k <<”是“方程 22 164 x y k k +=--表示椭圆”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 12．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于 1 2 ，则C 的方程是( )． A.2 3x ＋24y ＝1 B.24x 2＝1 C.24x ＋22y ＝1 D.2 4x ＋23y ＝1 13．椭圆2 213 x y +=的焦距为( ) A B ． C ．4 D ． 14．已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15 15．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和)0(22 22>=+k k b y a x 具有 （ ） A.相同的长轴长 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的顶点 16．过椭圆2 212 x y +=的左焦点1F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆右焦点，则 课题：椭圆 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点21F F 、的距离和等于常数 ()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. (2) 椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数e ，当10< 且满足.222c b a += 四、二元二次方程表示椭圆的充要条件 方程()B A C B A C By Ax ≠=+均不为零，且、、22表示椭圆的条件： 上式化为 122=+C By C Ax ，12 2=+B C y A C x .所以，只有C B A 、、同号，且B A ≠时，方程表示椭圆；当B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B C A C <时，椭圆的焦点在y 轴上. 五、椭圆的几何性质（以()0122 22>>=+b a b y a x 为例） 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式 1,122 22≤≤b y a x ，即b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2.对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴：21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5.离心率 （1）椭圆焦距与长轴的比a c e =，()10,0<<∴>>e c a Θ（2） 22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆 第 1 讲课题：椭圆 课型：复习巩固上课时间：2013年10月3日 教学目标： （1）了解圆锥曲线的来历； （2）理解椭圆的定义； （3）理解椭圆的两种标准方程； （4）掌握椭圆离心率的计算方法； （5）掌握有关椭圆的参数取值范围的问题； 教学重点：椭圆方程、离心率； 教学难点：与椭圆有关的参数取值问题； 知识清单 一、椭圆的定义： (1)椭圆的第一定义 : 平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数 2a (大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆. 说明：两个定点叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2c. (2)椭圆的第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数 e ，当 0 e 1时，点的轨迹是椭圆 . 椭圆上一点到焦点 的距离可以转化为到准线的距离 . 二、椭圆的数学表达式： PF1 PF2 2a 2a F1 F2 0 ; M P PF1 PF2 2a, 2a F1F2 0 . 三、椭圆的标准方程： 焦点在 x 轴: x2 y2 1 a b 0 ；a 2 b2 焦点在 y 轴: y2 x 2 1 a b 0 . a 2 b2 说明： a 是长半轴长， b 是短半轴长，焦点始终在长轴所在的数轴上，且满足a2b2c2 . 四、二元二次方程表示椭圆的充要条件 方程 Ax 2By 2 C A、 B、 C均不为零，且 A B 表示椭圆的条件： 上式化为 Ax 2 By 2 x 2 y 2 . 所以，只有 、 、 同号，且 1 ， 1 A B C A B C C C C A B 时，方程表示椭圆；当 C C 时，椭圆的焦点在 x 轴上；当 C C 时， A B A B 椭圆的焦点在 y 轴上 . 五、椭圆的几何性质 （以 x 2 y 2 1 a b 0 为例） a 2 b 2 1. 范围 : 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 x, y 都适合不等式 x 2 y 2 ，即 x a, y b 说明椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的 a 2 1, b 2 1 矩形里（封闭曲线） . 该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题 . 2. 对称性 : 关于原点、 x 轴、 y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是 椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个： A 1 a,0 、 A 2 a,0 、 B 1 0, b 、 B 2 0,b . 4. 长轴、短轴： A 1 A 2 叫椭圆的长轴， A 1 A 2 2a,a 是长半轴长； B 1B 2 叫 椭圆的短轴， B 1B 2 2b, b 是短半轴长 . 5. 离心率 （ 1）椭圆焦距与长轴的比 e c ， a c 0, 0 e 1 （ 2） a 2 OB 2 2 2 ，即 a 2 b 2 c 2 . 这是椭圆的特 Rt OB 2 F 2 , B 2 F 2 OF 2 征三角形，并且 cos OF 2B 2 的值是椭圆的离心率 . （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 . 当 e 接近于 1 时， c 越接近于 a ，从而 b a 2 c 2 越小，椭圆越扁； 当 e 接近于 0 时， c 越接近于 0，从而 b a 2 c 2 越大，椭圆越 接近圆；当 e 0 时， c 0, a b ，两焦点重合，图形是圆 . 2 6. 通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，通径长为 2b . a椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
高二数学椭圆的知识点整理Word版
高二数学上公式大全
高中数学精讲教案-椭圆及其性质
高二数学选修2 椭圆基础训练
高中数学椭圆的几何性质
高中数学椭圆基础练习题
高中数学椭圆基础训练题
椭圆及其性质
高二数学椭圆基础训练题
(新)高中数学椭圆的经典知识总结
高二数学常用公式
高中数学椭圆基础练习题
高二数学椭圆试题(有答案)
椭圆基础训练题(学生版)
高中数学椭圆性质总结
高二数学椭圆基础训练题
高中高二数学椭圆知识点整理
(完整版)高二数学椭圆知识点整理.doc