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高中数学难点突破_难点19__解不等式

难点19 关于解不等式

不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.

●难点磁场

(★★★★)解关于x 的不等式2

)1(--x x a ＞1(a ≠1).

●案例探究

［例1］已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时

m n f m f ++)()(＞0.

(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f (x +

1)＜f (

1-x )；

(3)若f (x )≤t 2

－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围.

命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.

知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.

错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x +2

1∈［－1，1］，

1-x ∈［－1，1］

必不可少，这恰好是容易忽略的地方.

技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.

(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2

121)

()(x x x f x f --+·(x 1

－x 2)

∵－1≤x 1＜x 2≤1，

∴x 1+(－x 2)≠0，由已知

121)

()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，

∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数.

(2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，

∴???

???

-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R }

(3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2

－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2

－2at +1

≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2

－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.

［例2］设不等式x 2

－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ?［1，4］，求实数a 的取值范围.

命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.

知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想. 错解分析：M =?是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.

技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.

解：M ?［1，4］有n 种情况：其一是M =?，此时Δ＜0；其二是M ≠?，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.

设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =

?［1，4］

(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1} ［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，

x 2］，M ?［1，4］?1≤x 1＜x 2≤4?

??>?≤≤>>?0,410

)4(,0)1(且且a f f

即?????

??>-<>>->+-2

100

7180

3a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，

∴M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1，

18).

●锦囊妙计

解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.

(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.

(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.

(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.

(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练一、选择题

1.(★★★★★)设函数f (x )=????

???

≥-<<-+-≤+)1(11

)11(22)1()1(2x x

x x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )

A.(－∞，－2)∪(－21，+∞)

B.(－

1，

C.(－∞，－2)∪(－2

1，1)

D.(－2，－2

)∪(1，+∞)

二、填空题

2.(★★★★★)已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2

，b )，g (x )＞0的解集是(

，

b )，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________.

3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin 2

x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题

4.(★★★★★)已知适合不等式|x 2

－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值； (2)若f (x )=

1+-x

x p

p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞k

+1log

(k ∈R +)

5.(★★★★★)设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=2

7，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：

x 2+

1≤f (x )≤2x 2+2x +

3对一切实数x 都成立，证明你的结论.

6.(★★★★★)已知函数f (x )=x 2

+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2.

(1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；

(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值. 7.(★★★★)解不等式log a (x －

1)＞1

8.(★★★★★)设函数f (x )=a x

满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.

参考答案

难点磁场

解：原不等式可化为：

)

2()1(--+-x a x a ＞0，

即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0. 当a ＞1时，原不等式与(x －1

2--a a )(x －2)＞0同解.

若

2--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若

2--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a

＞1时原不等式的解为(－∞，1

2--a a )∪(2，+∞).

当a ＜1时，若a ＜0，解集为(1

2--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，

2--a a )

综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，1

2--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，

2--a a )；

当a =0时，解集为?；当a ＜0时，解集为(

2--a a ，2）.

歼灭难点训练

一、1.解析：由f (x )及f (a )＞1可得：

???>+-≤1)1(12

a a ① 或???>+<<-12211a a ② 或???

??>-≥1111a

a ③ 解①得a ＜－2，解②得－

1＜a ＜1，解③得x ∈?

∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2

1，1）

答案：C 二、

2.解析：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2

,22

).由f (x )·g (x )＞0可得：

???

??-

<<--<<-?????<<<>2222

,0)(0)(0)(0)(22

22a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，

b )∪(－

b ，－a 2)

答案：(a 2，

b )∪(－

b ，－a 2)

3.解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2

－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2

－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得??

?≤≥-0

)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.

答案：［－2，2］

三、

4.解：(1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，

∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x .

若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2

－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p .

∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0，令x 2

－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8.

(2)f (x )=

818+-x x

，∴f

-－1

(x )=log 8

x -+11 (－1＜x ＜1)，

∴有log 8

x -+11＞log 8k

x +1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k .

∵－1＜x ＜1，k ∈R +

，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}.

5.解：由f (1)=2

7得a +b +c =

7，令x 2+

1=2x 2+2x +

3x ?=－1，由f (x )≤2x 2+2x +

3推得

f (－1)≤

由f (x )≥x 2+

1推得f (－1)≥

3，∴f (－1)=

23，∴a －b +c =2

3，故

2(a +c )=5，a +c =

5且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(

5－a ).

依题意：ax 2+x +(2

5－a )≥x 2+

1对一切x ∈R 成立，

∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0， ∴f (x )=

3x 2+x +1

易验证：

3x 2+x +1≤2x 2+2x +

3对x ∈R 都成立.

∴存在实数a =2

3，b =1，c =1，使得不等式：x 2+2

1≤f (x )≤2x 2+2x +

3对一切x ∈R 都成

立.

6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )

(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，

当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0

(3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.

此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +2

3)2－

25，显然

此函数在［－1，1］上递增.

∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.

7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组???

?>->-a

x x 110

由此得1－a ＞

1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴

-11＜x ＜0.

(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：???

?<->-a

x 110

由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a

-11.

综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a

-11

＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为

{x |1＜x ＜

-11}.

8.解：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2

)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.

?????+<-+-+<-?2

11132

m x mx x mx mx 在x ∈(0，1]恒成立.

整理，当x ∈(0，1)时，?????+<--<1)1(1222x x m x x 恒成立，即当x ∈(0，1]时，???

????-+>

-<11212

x x m x

m 恒

成立，且x =1时，?????+<--<1

)1(122

x x m x

mx 恒成立，

∵

121212

-x

x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴

x 212

-＜－1，

∴m ＜x

x 212

-恒成立?m ＜0.

又∵

12)1(1

+-+

-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数，

∴

-+x x ＜－1.

∴m ＞112-+x x 恒成立?m ＞－1当x ∈(0，1)时，???

????-+>-<112122

x x m x

m 恒成立?m ∈(－1，0)①

当x =1时，?????+<--<1

)1(122

x x m x

mx ，即是???<<100m ∴m ＜0 ②

∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)

①

②

(完整版)高中数学不等式归纳讲解

第三章不等式定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。

②如果不等式F （x ）＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ）的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ）同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式

3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)

【人教A版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换同步讲义

【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】： 1 同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= .ααααcos sin 21)cos (sin 2 ±=± ?由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 3 二倍角公式及降幂公式 sin 22sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα = -. 221cos 21cos 2sin ,cos 22 αα αα-+= = 4 三角函数的周期公式函数sin()y x ω?=+，(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T π ω= ；函数tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期|| T πω= .

三角函数的图像：【重难点题型突破】：一、和差公式的化简及求值例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ?-??=（） A ． 2 B ． C ． 12 D ．12 - （2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41??+??=（） A ． 1 2 B ．12 - C D ．【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15 =（） A ． 4 B ． 4 C ． 24 + D ． 4 （2）．已知()2tan 5αβ+= ，1tan 44πβ??-= ???，那么tan 4πα? ?+= ?? ?（） A ． 1318 B ． 13 22 C ． 322 D ． 518 例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα? ? + = ?? ? （） A ．45 - B ． 35 C ． 35 D ． 45

高二会考数学重点知识点梳理五篇

高二会考数学重点知识点梳理五篇高二会考数学知识点1 空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

(线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行. (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行) 高二会考数学知识点2 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x 在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的

线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。对于可导的函数f(x)，x?f(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也****于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。高二会考数学知识点3 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。

高中数学解不等式方法+练习题

不等式要求层次重难点一元二次不等式 C 解一元二次不等式（一）知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲高考要求板块一：解一元二次不等式解不等式

（二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．（三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解【例1】不等式 1 12 x x ->+的解集是．【变式】不等式2230x x --+≤的解集为（） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题【例2】已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥，【例3】不等式 1 11 x x +<-的解集为（） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _．【例4】若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________．【例5】若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为． 3.含参数不等式问题【例6】若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______．

高中数学基本不等式的解法十例

高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是．解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且仅当1a b ==-时取等号。变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时取等号。变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为。解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、

三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a

高一数学下难题突破

选择题难题突破一、选择题（题型注释） 1．函数6(3)3,7, (),7. x a x x f x a x ---≤?=?>?若数列{}n a 满足()()n a f n n N *=∈，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（） A ．9,34?????? B ．9,34?? ??? C ．()2,3 D ．()1,3 试题分析：因为()()n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，所以函数 6 (3)3,7(),7.x a x x f x a x ---≤?=?>?为增函数，需满足三个条件 () ()30 178 a a f f ?->? >??

高中数学精讲教案-不等式的解法

高中数学-不等式的解法考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根一元二次不等式的解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|xx2} { x∈R| x≠ － ? ? ? b 2a R ax2＋bx＋ c<0(a>0) {x|x10(a0≠0，n∈N*，n≥3)可以转化为a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)>0(其中x10时，由于f(x)＝a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)的值的符号在上述区间自右至左依次为＋、－、＋、－、…，所以正值区间为f(x)>0的解集． 4分式不等式的解法 (1) f(x) g(x) >0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)； (2) f(x) g(x) ≥0(≤0)? ?? ? ??f(x)·g(x)≥0(≤0)， g(x)≠0.

高三数学知识点重难点梳理最新5篇

高三数学知识点重难点梳理最新5篇与高一高二不同之处在于，高三复习知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，填补知识、技能的空白。高三数学知识点总结1 1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.等差中项如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_. (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.

(5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n(a1+an)/2 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_都成立; (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明

高中数学解不等式解答

第二讲解不等式（一）一、知识梳理（一）考点目标定位高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、分式不等式（组）、绝对值不等式（组）、指数不等式（组）、对数不等式（组）、三角不等式（组）以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及，在填空题中和集合结合为简单题型。（二）复习方略指南熟悉各种不等式的解题方法，特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。二、知识回顾 1、不等式|2x 2－1|≤1的解集为 {x |－1≤x ≤1} 2、已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x ）（＜0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<，则a b +=___－ 23或－3____. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ，，解得?????-=-=121b a ，或???-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???，，．三、典型例题例1、解不等式：()R a x a ax ∈+<+2 1 解：原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时；当11+>-x x 解一：原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x