刚体的转动第五章

第五章 大学物理辅导 刚体的转动

～26

～ 第五章 刚体的转动

一、教材系统的安排与教学目的 1、教材的安排 本章从观察一些刚体定轴转动的现象开始，说明物体具有保持原有运动状态的特性—转动惯性。转动惯性的大小由转动惯量来量度。改变刚体的转动状态，需要外力矩；进而讲授力矩的瞬时作用规律—转动定律，力矩对空间积累作用规律—动能定理，力矩对时间的积累作用规律—角动量定理，以及角动量守恒定律和它们对的应用 2、教学目的：使学生理解力矩、转动惯量、冲量矩、角动量等概念，掌握力矩的规律，并学会运用它们说明、解释一些现象，分析、解决一些有关的问题。 二、教学要求 1、理解力矩的概念，明确刚体具有转动惯性。牢固掌握转动定律并能熟练地运用。 2、明确转动惯量的物理意义，会计算简单情况下物体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动的动能定理，并会运用。 4、理解角动量和冲量矩的概念，掌握并会运用角动量定理和角动量守恒定律 三、内容提要 1、力矩 定义：力

F 与力的作用线，到转轴的垂直距离的乘积

公式 M r F M Fr =??=???

大小方向：按右手螺旋法则判断

：sin α

物理意义：表明了改变刚体转动状态的效果 2、转动定律

公式

M J =β J 为转动惯量，

β为角加速度

意义：为刚体定轴转动中的基本定律，与平动中的牛顿第二定律相当。

说明： M 为刚体所受的合外力矩，在定轴转动中它只有正负之分。

3、转动惯量

定义：J m r i i =

?∑()?2即对于质点系转动惯量大小等于刚体上各质点的质量与各

质点到转轴的距离平方的乘积之和。

如果刚体上各质点是连续分布的，则有 J r dm dm dl dm ds dm dv =?=??=??=????????2λσρ质量为线分布

质量为面分布质量为体分布

物理意义：是刚体转动惯性大小的量度，与平动中的质量相当。

应掌握的几种转动惯量公式：

杆对其中心轴：

J ml =

1

12

2

第五章 大学物理辅导 刚体的转动

～27

～ 杆对其一端： J ml =

132

均匀圆盘：

J ml =1

22

4、转动动能：E J k =

?1

2

2ω与平动中的动能相当，是描写刚体转动状态的物理量。 5、刚体定轴转动的动能定理

公式：W J J =

-1212

202ωω 意义：表明力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。

6、角动量与冲量矩

（1）角动量：J

ω，是描写刚体转动运动量大小的物理量，是描写刚体转动状态的物理量。它是一个矢量，其方向为角速度的方向，与平动中的动量相当。它是一个状态量。 （2）冲量矩：

Mdt ?，是描写力矩对时间积累作用的物理量，也是一个矢量，其大小

为Mdt ?，方向为力矩的方向，它与平动中的冲量相当。它是一个过程量。

7、角动量定理和角动量守恒定律

（1）角动量定理：

M t J J M Mdt J J M t t ?=-?=-??????ωωωω00000

：：为恒力矩

为变力矩 其意义表明冲量矩等于角动量的增量

（2）角动量守恒定律：J J 1122

ωω=

适用条件：合外力矩为零，即

M =0 意义：自然界的基本定律之一，表明了空间转动不变性，即物理规律不会由于坐标系的旋转而发生变化。 四、解题步骤 1、确定研究对象，进行受力分析，求出合外力矩； 2、再考虑研究对象的特点，有无角加速度，选定转动正方向； 3、可首选转动定律来解答习题，次选转动中的动能定理； 4、当涉及角动量与冲量矩时，则应选用角动量定理或角动量守恒定律来解答习题； 5、说明，解决刚体动力学问题，力的分析仍是关键所在。若一系统中既有做平动的物体，又有绕定轴转动的物体时，应注意（1）对系统中的平动物体应逐个分析力，并列出与每个物体相对应的牛顿第二定律方程；（2）对转动物体，也应在分析力的基础上求出对固定轴的合外力矩，然后列出转动方程；（3）由角量与线量的关系，找出平动与转动之间的联系，即；a r v r t ==βω,。

五、典型例题

例1、一辆汽车以16.67m ·s -1的速度行驶，其车轮直径为0.76m 。（1）求车轮绕轴转动的角速度；（2）如果使车轮在30转内匀减速地停下来，问角加速度多大？（3）在刹车期间

第五章 大学物理辅导 刚体的转动

～28

～ 汽车前进了多远？

解：（1）由v r =?ω，可得ω==?=-v r s 21667076

4391... （2）βωωω=

-=0

0?t

,，?t =30转×每转一周所需时间，

但每转一周所需时间=220381667

0143ππr v =?=...秒

所以β=

-?=--439

300143

10232...s

（3）汽车前进的距离：s r m =?=302716π.

例2、质量为0.50kg ，长为0.40m 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求（1）在开始转动时角加速度；（2）下落到铅直位置时的动能；（3）下落到铅直位置时的角速度。

解：（1）如图5-1所示，水平位置时棒所受的力矩为重力乘以力臂（等于棒长的一半） 由转动定律M J =β得： β==

==-M J

mg

l

ml g l s 213

3236822. （2）在棒下落过程中，仅有重力作用，故机械能守恒：

122

050980200982J mg l

ω==??=....焦耳 （3）

ω=

===-mgl

J

mgl ml g l s

13

385722. 例3、密度为σ

的均匀矩形板，求通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为

1

12

22σah a b ()+。其中a 为矩形板的长，b 为矩形板的宽。 解：由转动惯量的定义J r dm =??

2

，可知，关键在于确定质量元dm 等于什么。由于质量是平面分布，可取三维直角坐标系，如图5-2所示。在XOY 平面上任取一面元ds ，它的面积ds=dx ·dy ，而质量元dm ds dxdy =?=σσ。

则质量元dm 对Z 轴的转动惯量dJ r dm =?2，r 为质元到原点O 的距

离（原点O 为平板的中心点）所以整个

图5-1

第五章 大学物理辅导 刚体的转动

～29

～ 平板对OZ 轴的转动惯量为

J r dm x y dxdy oz b

a =?=+???

2

2

20

0()σ

上式为一二重积分，首先对变量x 积分，再对y 积分：

J x y dxdy a y dy a y y ab a b oz b b a b =+=+=+=

+???

22242243

1

12

223233

2

02

20

222()(

)()()σσσσ 例4、在光滑的水平面上有一木杆，其质量m 1=1.0kg ，长l=40cm ，可绕通过其中心并与之垂直的轴转动，一质量为m 2=10g 的子弹以v=200m ·s -1的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交，若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度。

解：取子弹与木杆这一系统为研究对象，它们所受外力矩为零，故系统角动量守恒，见图5-3 初始角动量L m v l

122

=??

；末态角动量 L m l m l 2221241

12

=+ωω

二者相等

m v l 22??=m l m l 221241

12ωω+ 所以ω=

?+=????+?=---m v m m l s 2213312141121010200

21410101

12

04291()()..

六、课堂练习题 1、判断题

（1）不指定转轴，谈刚体的转动惯量是无意义的（ ）

（2）物体在力矩作用下，其角速度在任意时刻都不可能为零（ ） （3）质量不同的两个物体，其质量大的，转动惯量一定大（ ）

（4）刚体在某一力矩的作用下绕定轴转动，当力矩增加时角速度也一定增加（ ） （5）如果一个质点系的总角动量等于零，则此质点系中的每个质点都是静止的（ ） 2、填空题

（1）一质点在半径为r 的圆周上运动，在某一瞬时其角加速度为β，角速度为ω，则

该瞬时质点的切向加速度为 ，法向加速度为 ，合加速度为 。 （2）一刚体由静止开始，绕一固定轴作匀加速转动，由实验可测得刚体上某点的切向加速度为a t ，法向加速度为a n ，则它们与角θ之间的关系为 。

（3）如图5-4所示，园盘的质量为M ，半径为R ，则它对通过盘的边缘，平行于盘中心轴的转动惯量J= 。

v 子弹 m 2 图5-3

第五章 大学物理辅导 刚体的转动

～30

～ （4）质量为M ，长度为L 的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴转动，如将棒从水平位置无初速地释放，任其下落，则开始时的角速度

为 ，角加速度为 ；当下落到铅直位置时，它的角速度为 ，角加速度为 。 （5）一人手握哑铃坐在一摩擦可忽略的转台上，以一定的角速度转

动，若把两手伸开，使转动惯量增加到原来的二倍，则角速度减小为原来的 ，转动动能变化为原来的 。

3、单重选择题 （1）飞轮匀速转动时，下列说法哪种正确？ A 、飞轮边缘上的一点具有恒定加速度；B 、飞轮边缘上一点具有恒定的向心加速度； C 、飞轮边缘上的一点其合加速度为零；D 、以上说法均不正确。 （2）在某一瞬时，物体在力矩作用下， A 、ω可以为零，β也可以为零；B 、ω不能为零，β可以为零；

C 、ω可以为零，β不能为零；

D 、ω与β均不能为零。

（3）当刚体转动的角速度很大时（设转轴位置不变） A 、作用在它上面的力也一定很大； B 、作用在它上面的力矩也一定很大； C 、作用在它上面的冲量矩也一定很大；D 、以上说法均不正确。 （4）如图5-5所示，A 与B 两个飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之联结，开始时B 轮静止，A 轮以一定转速转动，然后使A 与B 连接，因而B 轮得到加速度而A 轮减速，直到两轮的转速相等为止。则在此连接过程中，下列说法哪种正确？

A 、系统转动动能守恒；

B 、A 轮转动惯量逐渐减小，B 轮转动惯量逐渐变大，最后二者相等；

C 、系统角动量守恒；

D 、以上说法均不正确。 （5）用一根穿过空管的细绳，一端栓在有质量为m 的小物体，一只手拿管子，另一手拉着绳子，令这物体以速率v 作半径为r 的圆周运动（接近于在水平面内作圆周运动），然后拉紧绳子，使轨道半径缩小到r/2，忽略重力，新的角速率ω2和原有的角速率ω1的关系为：

A 、ωω2211=

r r ；B 、ωω2121=r r ；C 、ωω22121=()r r ；D 、ωω212

21=()r

r 。 七、阅读范围与作业

1、阅读范围：P 137—172

2、作业：P 173，5-1，5-5，5-6，5-10，5-12，5-15，5-17，5-19，5-25

3、提示：

5-17、见图5-6所示（1）由角动量原理，棒的角动量的变化量等于作用在它上面的冲量矩，即???L M t Fl t =?=

???L M t Fl t =?=

(1)

图5-4

图5-5

第五章 大学物理辅导 刚体的转动

～31

～ 代入数据可得?L N m s =??20. （2）棒转动过程中机械能守恒 1

2

2J mgh ω= (2)

再由示意图知h l

=

-2

1(cos )θ ω为棒受外力打击后开始转动时的角速度，棒受外力打击前ω00=，由?L J J J =-=ωωω0可得

ω=

?L

J

由以上（1）、（2）式即可解出cos θ=-12?l Jmgl

代入数据得θ=='-cos .10

0023848838 5-25、见图5-7

小球运动过程中动量矩守恒 故有 J J 00ωω= 于是得小球新的角速度为

ωωω=

=J J

00? （2）由功能原理，拉力所作的功为

W J J m =

-=121232

2002202ωωω o

l F

图

5-6

【大学物理上册课后答案】第3章 刚体的定轴转动

第3章 刚体的定轴转动习题解答 3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω= )/(1.13)/(6 2512 40902 21 2s rad s rad t ≈= -= ?-= ππ πωωβ 匀变速转动 （2）)(78022 1 22rad πβ ωωθ=-= )(3902圈== π θ n 3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。 解：（1）依题意 2 ωβK J M -== )/(92 2 02 s rad J K J K ωωβ- =- = （2）由J K dt d 2 ωωβ- == 得 ?? - = 3 2 00 ωω ω ωK Jd dt t ω K J t 2= 3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2 ，设轮与皮带之间没有滑动。求 （1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到300rev/min ，求其角加速度。 解：（1）t A A βω= t B B βω= 因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即 B B A A R R ωω= 又)/(2060 6002s rad A ππω=?= 联立得)(10s R R t B B A A == βω （2）)/(1060 3002s rad A ππω=?= )/(6 2 s rad t A A A π ωωβ= -'= 3-4 一个半径为=R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。一根轻

第5章 刚体的定轴转动

第5章刚体的定轴转动 ◆本章学习目标 理解：刚体、刚体转动、转动惯量的概念；刚体定轴转动定律及角动量守恒定律。 掌握：转动惯量，转动中的功和能的计算；用刚体定轴转动定律及角动量守恒定律求解定轴转动问题的基本方法。 ◆本章教学内容 1．刚体的运动 2．刚体定轴转动定律 3．转动惯量的计算 4．刚体定轴转动定律的应用 5．转动中的功和能 6．对定轴的角动量守恒 ◆本章重点 刚体转动惯量的物理意义以及常见刚体绕常见轴的转动惯量； 力矩计算、转动定律的应用； 刚体转动动能、转动时的角动量的计算。 ◆本章难点 力矩计算、刚体转动过程中守恒的判断及其准确计算。 4.1 刚体的运动

一、刚体的概念 物体的一些运动是与它的形状有关的，这时物体就不能看成质点了，其运动规律的讨论就必须考虑形状的因素。有形物体的一般性讨论也是一个非常复杂的问题，全面的分析和研究是力学专业课程学习的内容。在大学物理中，我们讨论有形物体的一种特殊的情况，那就是物体在运动时没有形变或形变可以忽略的情况。如果物体在运动时没有形变或其形变可以忽略，我们就能抽象出一个有形状而无形变的物体模型，这模型叫做刚体。刚体的更准确更定量的定义是：如果一个物体中任意的两个质点之间的距离在运动中都始终保持不变，则我们称之为刚体。被认为是刚体的物体在任何外力作用下都不会发生形变。实际物体在外力作用下总是有形变的，因此刚体是一个理想模型。它是对有形物体运动的一个重要简化。实际物体能否看成是刚体不是依据其材质是否坚硬，而是考察它在运动过程中是否有形变或其形变是否可以忽略。正如质点中所讨论的那样，刚体也就是一个质点系，而且是一个较为特殊的刚性的质点系，它的运动规律较之于一个质点相对位置分布可以随时改变的一般质点系而言，要简单得多。 二、刚体的运动 刚体运动的基本形式有平动和转动，刚体任意的运动形式都可以看成是平动和转动的迭加。 1、刚体的平动 1）平动的定义 如果在一个运动过程中刚体内部任意两个质点之间的连线的方向都始终不发生改变，则我们称刚体的运动为平动。平动的示意图如下。电梯的上下运动，缆车的运动都可看成刚体平动。

第五章刚体的转动

第五章 刚体的转动 §5-1、刚体定轴转动定律 【基本内容】 一、刚体的运动 1、平动 刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。 刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。 2、定轴转动 刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。 描述刚体转动的物理量 角位移θ? 角速度ω 角加速度β 刚体匀变速转动公式 βθ ωωβωωβωθ22 1 2 020 20=-+=+ =t t t 二、刚体所受的力矩 力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。 F r M ?= 式中F 为力在转动平面的投影，r 为轴指向力的作用点。 结论1 力矩是矢量，对于定轴，力矩的方向在转轴上； 结论2 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。 三、刚体定轴转动定律 定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即 βJ M =

四、转动惯量 定义：对于质点系∑= i i i r m J 2 对于刚体?=dm r J 2 线分布：λλ,dx dm =是质量线密度。 面分布：σσ,dS dm =是质量面密度。 体分布：ρρ,dV dm =是质量体密度。 决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。 【典型题例】 【例5-1】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m ，半径为r 。绳的两端分别悬挂质量为m １和m ２的物体，m １＜m ２，如图例2-4所示。设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。 【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T ２′ ＞T 1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T １＝T 1′，Ｔ２＝T ２′。T １、T 1′和T ２、T ２′都是绳中的张力。绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m １与m ２有大小相同的加速度a ，且都等于 滑轮边缘的切向加速度。 以m １向上、m ２ 向下的实际运动方向和滑轮的顺时针转向为物体运动或转动的正方向，则按牛顿第二定律和转动定律可得 β)2 1 ( 212222111m r M r T r T a m T g m a m g m T r =--=-=- 鉴于滑轮边缘的切向加速度，也即物体的加速度a 与滑轮角加速度β之间的关系，还可以建立一个辅助方程 a ＝r β )(),(,2 //)(22112112a g m T a g m T m m m r M g m m a r -=+=++--= 【讨论】 画出受力图，作力及力矩的分析，当计滑轮质量时，滑轮两边绳子的张力一般不等。注意：这两个张力对滑轮轴的力矩方向相反。 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，即m ＝０，Ｍr ＝０时，结果为 g m m m m T T g m m m m a 2 12 12121122,+==+-= 与质点动力学中不计绳子与滑轮之间的摩擦，即不考虑刚体转动的结果完全一样。可见，该质点动力学问题只是刚体动力学问题的一个特例。T １≠T ２是考虑实际转动效应的一个重要特征。 线量与角量关系的a ＝r β，是一个不可少的辅助方程。 【例5-2】 一刚体由长l 、质量为m 的匀质细杆和质量为m 的小球固定其一端而组成，且可绕杆的另 一端点的轴O 在竖直平面内转动，如图所示。若轴处无摩擦，试求： 坐标 例2-4图

05刚体的定轴转动习题解答

第五章刚体的定轴转动 一选择题 1.一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为-,角加速度为二则其转动加 快的依据是：（） A._：:> 0 B. ■ > 0, _：: > 0 C. ■ < 0，二> 0 D. - ■ > 0，二< 0 解：答案是B。 2.用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则 它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。（） A.相等； B.铅盘的大； C.铁盘的大； D.无法确定谁大谁小解：答案是C。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：J二Mr 2/2。 3.一轻绳绕在半径为r的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J，一是以力F向 下拉绳使轮转动；二是以重量等于F的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使 轮边缘获得的切向加速度分别为a i和a2，则有：（） A. a i = a 2 B. a i > a 2 C. a i< a 2 D.无法确定 解：答案是B。 简要提示：（1）由定轴转动定律，Fr 和q ，得：a1 =Fr2/J mg -T 二ma2 （2）受力分析得：Tr=J「2 ，其中m为重物的质量，T为绳子的张力。 a2=「二2 得：a2 =Fr2 /（J mr2），所以a 1 > a 2。 4.一半径为R，质量为m的圆柱体，在切向力F作用下由静止开始绕轴线 作定轴转动，则在2秒内F对柱体所作功为：（） 2 2 2 2 A.4 F / m B. 2 F / m C. F / m D. F / 2 m 解：答案是A。

简要提示：由定轴转动定律：FR = 1 MR?〉，得：-1 it? =4F 2 2 mR 所以：W =M.d -4F2/m 5.一电唱机的转盘正以-■ 0的角速度转动，其转动惯量为J i，现将一转动惯 量为J2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为：（） A . Ji o B. 良0 C.出0 D. 土0 J^i +J2J1J2J1解：答案是A。 简要提示：角动量守恒 6.已知银河系中一均匀球形天体，现时半径为R,绕对称轴自转周期为T, 由于引力凝聚作用，其体积不断收缩，假设一万年后，其半径缩小为r，则那时该天体的：（） A.自转周期增加，转动动能增加； B.自转周期减小，转动动能减小； C.自转周期减小，转动动能增加； D.自转周期增加，转动动能减小。解：答案是C。 简要提示：由角动量守恒，-MR2o ^2Mr 2'，得转动角频率增大，所以 5 5 1 2 1 2 转动周期减小。转动动能为E k0=-2MR2E k=-2Mr 2，2可得E k > E ko。 2 5 2 5 7.绳子通过高处一固定的、质量不能忽略的滑轮，两端爬着两只质量相等 的猴子，开始时它们离地高度相同，若它们同时攀绳往上爬，且甲猴攀绳速度为 乙猴的两倍，贝U （） A.两猴同时爬到顶点 B.甲猴先到达顶点 C.乙猴先到达顶点 D.无法确定谁先谁后到达顶点 解：答案是B。 简要提示：考虑两个猴子和滑轮组成的系统，滑轮所受的外力（重力和支撑力）均通过滑轮质心，由于甲乙两猴的重量（质量）相等，因此在开始时系统对于通过滑轮质心并与轮面垂直的转轴的合外力矩为零，而在两猴攀绳过程中，系

大学物理同步训练第 版 刚体定轴转动详解

第三章 刚体定轴转动 一、选择题 1. 两个匀质圆盘A 和B 相对于过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，若B A J J >，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘的密度各为A ρ和B ρ，则 （A ）A B ρρ> （B ）B A ρρ> （C ）A B ρρ= （D ）不能确定A ρ和B ρ哪个大 答案：A 分析：22m m R R h h ρππρ=→=，221122m J mR h πρ==，故转动惯量小的密度大。 2. 有两个半径相同、质量相等的细圆环。1环的质量分布均匀，2环的质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为1J 和2J ，则 （A ）12J J > （B ）12J J < （C ）12J J = （D ）不能确定1J 和2J 哪个大 答案：C 分析：22J R dm mR ==? ，与密度无关，故C 选项正确。 3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度1ω按图1 所示方向转动。将两个大小相等、方向相反的力F 沿盘面同时作用到 圆盘上，则圆盘的角速度变为2ω，则 （A ）12ωω> （B ）12ωω= （C ）12ωω< （D ）不能确定如何变化 答案：C 分析：左边的力对应的力臂大，故产生的（顺时针）力矩大于右边的力所产生的力矩，即合外力距（及其所产生的角加速度）为顺时针方向，故圆盘加速，角速度变大。 4. 均匀细棒OA 的质量为M ，长为L ，可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图2所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述 说法哪一种是正确的？ （A ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从大到小 （B ）合外力矩从大到小，角速度从小到大，角加速度从小到大 （C ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从大到小 （D ）合外力矩从大到小，角速度从大到小，角加速度从小到大 答案：A 分析：（定性）由转动定律M I β=可知，角加速度与力矩成正比，故B 、D 错误；由机械

05刚体的定轴转动习题解答

第五章 刚体的定轴转动 一 选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（ ） A. α > 0 B. ω > 0，α > 0 C. ω < 0，α > 0 D. ω > 0，α < 0 解：答案是B 。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。 （ ） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小 解：答案是C 。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2Mr J =。 3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由定轴转动定律，1αJ Fr =和11αr a =，得：J Fr a /21= (2) 受力分析得：?? ???===-2222ααr a J Tr ma T mg ，其中m 为重物的质量，T 为绳子的张力。 得：)/(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。 4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ） A. 4 F 2/ m B. 2 F 2 / m C. F 2 / m D. F 2 / 2 m 解：答案是A 。

第五章 刚体的转动

第五章 刚体的转动 一、教材系统的安排与教学目的 1、教材的安排 本章从观察一些刚体定轴转动的现象开始，说明物体具有保持原有运动状态的特性—转动惯性。转动惯性的大小由转动惯量来量度。改变刚体的转动状态，需要外力矩；进而讲授力矩的瞬时作用规律—转动定律，力矩对空间积累作用规律—动能定理，力矩对时间的积累作用规律—角动量定理，以及角动量守恒定律和它们对的应用 2、教学目的：使学生理解力矩、转动惯量、冲量矩、角动量等概念，掌握力矩的规律，并学会运用它们说明、解释一些现象，分析、解决一些有关的问题。 二、教学要求 1、理解力矩的概念，明确刚体具有转动惯性。牢固掌握转动定律并能熟练地运用。 2、明确转动惯量的物理意义，会计算简单情况下物体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动的动能定理，并会运用。 4、理解角动量和冲量矩的概念，掌握并会运用角动量定理和角动量守恒定律 三、内容提要 1、力矩 定义：力ρ F 与力的作用线，到转轴的垂直距离的乘积 公式 ρρρM r F M Fr =??=??? 大小方向：按右手螺旋法则判断 ：sin α 物理意义：表明了改变刚体转动状态的效果 2、转动定律 公式 ρ ρM J =β J 为转动惯量，ρ β为角加速度 意义：为刚体定轴转动中的基本定律，与平动中的牛顿第二定律相当。 说明：ρ M 为刚体所受的合外力矩，在定轴转动中它只有正负之分。 3、转动惯量 定义：J m r i i = ?∑()?2即对于质点系转动惯量大小等于刚体上各质点的质量与各 质点到转轴的距离平方的乘积之和。 如果刚体上各质点是连续分布的，则有 J r dm dm dl dm ds dm dv =?=??=??=????????2λσρ质量为线分布 质量为面分布质量为体分布 物理意义：是刚体转动惯性大小的量度，与平动中的质量相当。 应掌握的几种转动惯量公式： 杆对其中心轴： J ml = 1 12 2

大学物理(清华)第3章刚体的定轴转动习题解答

习题 3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω= )/(1.13)/(6 2512 40902 21 2s rad s rad t ≈= -= ?-= ππ πωωβ 匀变速转动 （2）)(78022 1 22rad πβ ωωθ=-= )(3902圈== π θ n 3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。求：（1）当30ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到30ωω=所需要的时间。 解：（1）依题意 2 ωβK J M -== )/(92 2 02 s rad J K J K ωωβ- =- = （2）由J K dt d 2 ωωβ- == 得 ?? - = 3 2 00 ωω ω ωK Jd dt t ω K J t 2= 3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2，设轮与皮带之间没有滑动。求（1）经过多少秒后发电机的转速达到A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到 300rev/min ，求其角加速度。 解：（1）t A A βω= t B B βω= 因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即

05刚体的定轴转动习题解答

05刚体的定轴转动习题解答

第五章刚体的定轴转动 一选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为ω，角加速度为α，则其转动加快的依据是：（） A. α > 0 B. ω > 0，α > 0 C. ω < 0，α > 0 D. ω > 0，α < 0 解：答案是B。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。（） A. 相等； B. 铅盘的大； C. 铁盘的大； D. 无法确定谁大谁小

解：答案是C 。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：2/2 Mr J =。 3. 一轻绳绕在半径为r 的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J ，一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于F 的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为a 1和a 2，则有： （ ） A. a 1 = a 2 B. a 1 > a 2 C. a 1< a 2 D. 无法确定 解：答案是B 。 简要提示：(1) 由定轴转动定律， 1 αJ Fr =和1 1 αr a =，得：J Fr a /2 1 = (2) 受力分析得： ?? ? ??===-2222 α αr a J Tr ma T mg ，其中m 为

重物的质量，T 为绳子的张力。得： ) /(222mr J Fr a +=，所以a 1 > a 2。 4. 一半径为R ，质量为m 的圆柱体，在切向力F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动，则在2秒内F 对柱体所作功为： （ ） A. 4 F 2/ m B. 2 F 2 / m C. F 2 / m D. F 2 / 2 m 解：答案是A 。 简要提示：由定轴转动定律： α2 21MR FR =，得：mR F t 4212 = =?αθ 所以：m F M W /42 =?=θ 5. 一电唱机的转盘正以ω 0的角速度转动，其转动惯量为J 1，现将一转动惯量为J 2的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为： （ ）

第三章 刚体得定轴转动

习题精解 3-1 某刚体绕定轴做匀速转动,对刚体上距转轴为r 处得任意质元得法向加速度为与切线加速度来正确得就是() A 、 ,大小均随时间变化 B 、 ,大小均保持不变 C 、 得大小变化,得大小保持不变 D 、 大小保持不变,得大小变化 解 刚体绕定轴做匀变速转动时,因为,而为恒量,所以,故。可见:得大小变化,得大小保持恒定,本题答案为C 、 3-2 一飞轮以得角速度转动,转动惯量为,现施加一恒定得制动力矩,使飞轮在2s 内停止转动,则该恒定制动力矩得大小为_________、 解 飞轮转动得角速度为所以该恒定制动力矩大小为。 3-3 一飞轮半径,以转速转动,受制动均匀减速,经后静止,试求:(1)角速度与从制动开始到静止这段时间飞轮转过得转数;(2)制动开始后时飞轮得角速度;(3)在时飞轮边缘上一点得速度与加速度。 解 (1)角加速度 ()20 1500 2 3.140260 3.145050n rad s t ωωπ β-?? --= = =-=-? 从制动开始到静止这段时间飞轮转过得转数 ()22 015001 12 3.1450 3.14506022 625222 3.14t t N ωβθπ π ?? ?-??+?= == =?圈 (2)制动开始后时飞轮得角速度 ()201500 22 3.14 3.142578.560 t n t rad s ωωβπβ-=+=+=?? -??=? (3)在就是飞轮边缘上一点得速度与加速度分别为 ()()()()()()2 232 78.51 3.14 6.1610 3.14n a a n a r n r n r n m s ττωβτττ -??=+=+=?+-?=?-??? r r r r r r r r r 3-4 有A 、B 两个半径相同、质量也相同得细圆环,其中A 环得质量分布均匀,而B 环得质量 分布不均匀。若两环对过环心且与环面垂直轴得转动惯量分别为与,则有() A 、 B 、 C 、 D 、无法确定与得相对大小。 解 因为转动惯量,对于细圆环而言,各质元到转轴得距离均为圆环得半径,即,所以。故A,B 两个半径相同、质量也相同得细圆环,不论其质量在圆环上如何分布,两环对过环心且与环面垂直轴得转动惯量,本题答案为C 。 3-5 刚体得转动惯量取决于______、________与____________等3各因素。_ 解 干体得转动惯量取决于:刚体得总质量、质量得分布与转轴得位置3个元素。 3-6 如图3、4所示,细棒得长为。设转轴通过棒上离中心距离为d 得一点并与棒垂直,求棒对此轴得转动惯量。试说明这一转动惯量与棒对过棒中心并与此轴平行得转轴得转动惯量之间得关系(此为平行轴定理)。 解 如图3、4所示,以过点垂直于棒得直线为轴,沿棒长方向为轴,原点在 处,在棒上取一原长度元,则 所以与之间得关系为

第五章 刚体的定轴转动

第五章刚体的定轴转动 到现在为止，我们主要用力学的基本概念和原理，如牛顿定理，冲量和动量，功和能等概念以及动量、角动量和能量守恒定理来研究质点及质点系的运动。本章将要介绍一种特殊的质点系—刚体，以及它所遵从的力学规律。其本质是前几章所讲的基本概念和原理在刚体上的应用。对于刚体，本章主要讨论定轴转动这种简单的情况以及它所涉及的一些重要物理概念和定理，如转动惯量、力矩、刚体的动能和角动量，转动定理，及包括刚体的系统守恒定理等。 §5-1 刚体运动的描述 一、刚体 所谓刚体就是其中各部分的相对位置保持不变的物体。实际上，任何物体都不是绝对坚硬的。但是，很多物体，诸如分子，钢梁，和行星等等是足够坚硬的，以致在很多问题中，可以忽略它们形状和体积变化，把它们当作刚体来处理。这就是说，刚体是受力时形状和体积变化可以忽略的理想物体。 二、刚体的运动 刚体是一种由大量质点组成，并且受力时不发生相对移动的特殊质点系。既然是质点系，所以以前讨论的关于质点系的基本定理都可以应用。 刚体的运动可分为平动和转动两种。而转动又可分为定轴转动和非定轴转动。若刚体中所有质点的运动轨迹都保持完全相同，或则说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线，如下图中的参考线，则刚体的这种运动叫做平动。因此，对刚体平动的研究，可归结为对质点的研究，通常都是用刚体质心的运动来代表平动刚体的运动。 B 当刚体中所有的点都绕着同一直线作圆周运动时，这种运动叫转动，（如下图所示）这条直线叫转轴。 如果转轴的位置或方向是随时间改变的，这个转轴为瞬时转轴。如果转轴的位置或方向是固定不动，这种转轴为固定转轴，此时刚体运动叫做刚体的定轴转动。刚体的一般运动

05刚体地定轴转动习题解答

第五章刚体的定柚转动 一选择题 1.一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度为，角加速度为，则其转动加快的依据是：() A.>0 B. >0, >0 C. <0, >0 D. > 0, < 0 解：答案是B。 2.用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘，质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心且垂直盘面的轴的转动惯量。() A.相等； B.铅盘的大； C.铁盘的大； D.无法确定谁大谁小 解：答案是C。 简要提示：铅的密度大，所以其半径小，圆盘的转动惯量为：J = Mr2/2. 3.一轻绳绕在半径为r的重滑轮上，轮对轴的转动惯量为J、一是以力F 向下拉绳使轮转动；二是以重量等于尸的重物挂在绳上使之转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度分别为N和及，则有：() A. ai = a2 B. a 1 > a2 C. ai< a2 D.无法确定 解：答案是B。 简要提示：⑴ 由定轴转动定律，Fr = Ja｛和= 得：= Fr1 / J mg-T = ma 2 (2)受力分析得：Tr=Ja2 ,其中血为重物的质量，7为绳子的 。2 =叫 张力。得：勺="2/(丿+加厂彳)，所以&1> & 2。 4.一半径为/?,质量为加的圆柱体，在切向力尸作用下由静止开始绕轴线

作定轴转动，则在2秒内尸对柱体所作功为：（ A. 4 尸/ 加 B. 2 F / 也 C. m 解：答案是A 。 所以：W = M\0 = AF 2/m 5. 一电唱机的转盘正以。的角速度转动，其转动惯量为现将一转动 惯量为忆的唱片置于转盘上，则共同转动的角速度应为：（） A. ———C D Q B. 几 + 厶 血 C. — D. —C O Q 人+厶 丿1 J 2 人 解：答案是A 。 简要提示：角动量守恒 6. 已知银河系中一均匀球形天体，现时半径为凡绕对称轴自转周期为7； 由于引 力凝聚作用，其体积不断收缩，假设一万年后，其半径缩小为r,则那时 转动动能增加; 转动动能减小; 转动动能增加; 转动动能减小。 解：答案是C 。 简要提灵由角动量守恒，紗般。=討&,得转动角频率 增大, 所以转动周期减小。转动动能为耳0 瘪耳二扌彳曲八/ 可得公〉 So 。 7. 绳子通过高处一固定的、质量不能忽略的滑轮，两端爬着两 只质量相等 的猴子，开始时它们离地高度相同，若它们同时攀绳往上爬，且甲猴攀绳速度 为乙猴的两倍，贝！I （ ） A.两猴同时爬到顶点 B. 甲猴先到达顶点 C. 乙猴先到达顶点 D. 无法确定谁先谁后到达顶点 解：答案是B 。 简要提灵由定轴转动定律：吩艸S 该天体的：（ A. B. C. D. 自转周期增加, 自转周期减小, 自转周期减小, 自转周期增加,

第3章刚体的转动

第3章 刚体的转动 一. 选择题 1. 飞轮绕定轴作匀速转动时, 飞轮边缘上任一点的 (A) 切向加速度为零, 法向加速度不为零 (B) 切向加速度不为零, 法向加速度为零 (C) 切向加速度和法向加速度均为零 (D) 切向加速度和法向加速度均不为零 [ ] 2. 一飞轮从静止开始作匀加速转动时, 飞轮边缘上一点的法向加速度n a 和切向加速度ιa 的值怎样 （A) n a 不变, ιa 为0 (B) n a 不变, ιa 不变 (C) n a 增大, ιa 为0 (D) n a 增大, ιa 不变 [ ] 3 关于刚体的转动惯量J , 下列说法中正确的是 [ ] (A) 轮子静止时其转动惯量为零 (B) 若m A ＞m B , 则J A ＞J B (C) 只要m 不变, 则J 一定不变 (D) 以上说法都不正确 4. 地球的质量为m , 太阳的质量为0m ，地心与太阳中心的距离为R , 引力常数为G , 地球绕太阳转动的轨道角动量的大小为 (A) R m G m 0 (B) R m m G 0 (C) R G m m 0 (D) R mm G 20 [ ] 5. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A) 刚体不受外力矩作用 (B) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零 (C) 刚体所受合外力矩为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变 [ ] 6. 绕定轴转动的刚体转动时, 如果它的角速度很大, 则 (A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大 (C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小 [ ] 7. 在外力矩为零的情况下, 将一个绕定轴转动的物体的转动惯量减小一半, 则物体的

大物B课后题03-第三章-刚体的定轴转动

习题 3-1 3-2 3-6 3-3 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-4 3-12 3-5 3-13 3-14 3-15 3-16 3-17 3-1 某刚体绕定轴做匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任意质元的法向加速度为和切线加速度来正确的是（） A. n a ，a τ大小均随时间变化 B. n a ，a τ大小均保持不变 C. n a 的大小变化，a τ的大小保持不变 D. n a 大小保持不变，a τ的大小变化 解 刚体绕定轴做匀变速转动时，因为2,n a r a r τωβ==，而β为恒量，所以0t ωωβ=+， 故()2 0,n a r t a r τωββ=+=。可见：n a 的大小变化，a τ的大小保持恒定，本题答案为C. 3-2 一飞轮以的角速度转动1300min rad -?，转动惯量为2 5kg m ?，现施加一恒定的制动力矩，

使飞轮在2s 内停止转动，则该恒定制动力矩的大小为_________. 解 飞轮转动的角加速度为 ()20 001300 2.52260 rad s t ωωωβ---===-?=-?所以该恒定制动力矩大小为()5 2.512.5M J N m β==?=?。 3-3 刚体的转动惯量取决于______、________和____________等3各因素。_ 解 刚体的转动惯量取决于：刚体的总质量、质量的分布和转轴的位置3个元素。 3-4 如图 所示，质量为m ，长为l 的均匀细杆，可绕通过其一端O 的水平轴转动，杆的另一端与质量为m 的小球固连在一起，当该系统从水平位置有静止转动θ角时，系统的角速度ω=_________、动能k E =__________,此过程中力矩所做的功W =__________. 解 在任意位置时，受力分析如图3.8所示。系统所受的合外力矩为 3cos cos cos 22 l M mg mgl mgl θθθ=+= 则在此过程中合外力矩所做的功为 0033cos sin 22W Md mgl d mgl θθθθθθ??= == ????? 系统的转动惯量为 2221433 J ml ml ml =+= 于是刚体定轴转动的动能定理可写为 22314sin 223mgl ml θω??= ??? 所以系统的角速度为ω=213sin 22k E J mgl ωθ==

第五章刚体的转动

34 第五章 刚体的转动 §5-1、刚体定轴转动定律 【基本内容】 一、刚体的运动 1、平动 刚体平动的特征：刚体中的任一条直线，在刚体运动过程中始终保持平行。 刚体平动的研究方法：刚体作平动时，刚体各质点的运动情况相同，视为质点处理。 2、定轴转动 刚体转动的特征：刚体上各点都绕同一固定的直线作半径不同的圆周运动，该直线称为刚体的转轴。 描述刚体转动的物理量 角位移θ? 角速度ω 角加速度β 刚体匀变速转动公式 βθ ωωβωωβωθ22 1 2 020 20=-+=+ =t t t 二、刚体所受的力矩 力矩是描述力对物体作用时产生转动效应和改变转动状态的物理量。 F r M ?= 式中F 为力在转动平面的投影，r 为轴指向力的作用点。 结论1 力矩是矢量，对于定轴，力矩的方向在转轴上； 结论2 力经过转轴和力平行于转轴，则力对此轴的力矩为0。 三、刚体定轴转动定律 定轴转动的刚体，所受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，即 βJ M = 四、转动惯量

35 定义：对于质点系∑= i i i r m J 2 对于刚体?=dm r J 2 线分布：λλ,dx dm =是质量线密度。 面分布：σσ,dS dm =是质量面密度。 体分布：ρρ,dV dm =是质量体密度。 决定转动惯量的三个因素：刚体的质量、质量分布及转轴的位置。 【典型题例】 【例5-1】 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮可视为匀质圆盘，质量为m ，半径为r 。绳的两端分别悬挂质量为m １和m ２的物体，m １＜m ２，如图例2-4所示。设滑轮轴所受的摩擦力矩为Mr ，绳与滑轮之间无相对滑动，试求运动物体的加速度和绳中的张力。 【解】 依题意，滑轮应视为一个有转动惯性的转动刚体，因此，在加速转动过程中，在图上必有T ２′ ＞T 1′，而且，由于绳的质量可以忽略不计，还应有T １＝T 1′，Ｔ２＝T ２′。T １、T 1′和T ２、T ２′都是绳中的张力。绳与滑轮无相对滑动的条件，在绳不能伸长的情况下表示m １与m ２有大小相同的加速度a ，且都等于 滑轮边缘的切向加速度。 以m １向上、m ２向下的实际运动方向和滑轮的顺时针转向为物体运动或转动的正方向，则按牛顿第二定律和转动定律可得 β)2 1 ( 212222111mr M r T r T a m T g m a m g m T r =--=-=- 鉴于滑轮边缘的切向加速度，也即物体的加速度a 与滑轮角加速度β之间的关系，还可以建立一个辅助方程 a ＝r β )(),(,2 //)(22112112a g m T a g m T m m m r M g m m a r -=+=++--= 【讨论】 画出受力图，作力及力矩的分析，当计滑轮质量时，滑轮两边绳子的张力一般不等。注意：这两个张力对滑轮轴的力矩方向相反。 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩，即m ＝０，Ｍr ＝０时，结果为 g m m m m T T g m m m m a 2 12 12121122,+==+-= 与质点动力学中不计绳子与滑轮之间的摩擦，即不考虑刚体转动的结果完全一样。可见，该质点动力学问题只是刚体动力学问题的一个特例。T １≠T ２是考虑实际转动效应的一个重要特征。 线量与角量关系的a ＝r β，是一个不可少的辅助方程。 【例5-2】 一刚体由长l 、质量为m 的匀质细杆和质量为m 的小球固 定其一端而组成，且可绕杆的另一端点的轴O 在竖直平面内转动，如图所示。若轴处无摩擦，试求： (1)刚体绕轴的转动惯量； (2)当杆与竖直方向成θ角时的角速度为多大? 坐标 例2-4图 例图 θ

第三章 刚体定轴转动

第三章 刚体定轴转动 前面几章主要介绍了质点力学的基本概念和原理，以牛顿定律为基础，建立了质点和质点系的动量定理、动能定理和相应的守恒定律。对于机械运动的研究，只限于质点和质点系的情况是非常不够的。质点的运动规律事实上仅代表物体的平动。当我们考虑了物体的形状、大小后，物体可以作平动、转动，甚至更复杂的运动，而且在运动过程中物体的形状也可能发生改变。一般固体在外力的作用下，形状、大小都要发生变化，但变化并不显著。所以，研究物体运动的初步方法是把物体看成在外力的作用下保持其大小和形状都不变，这样的物体叫刚体。刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑形变，仍是一个理想模型。 本章主要在质点力学的基础上讨论刚体的定轴的转动及其运动规律，为进一步研究更复杂的机械运动奠定基础。 3.1 刚体的定轴转动的描述 3.1.1 刚体的基本运动形式 刚体是一种特殊的质点系统，它可以看成是由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点就在于无论它在多大外力的作用下，系统内任意两质元之间的相对位置始终保持不变。既然是一个质点系，所以以前讲过的关于质点系的基本定理就都可以应用。刚体的这个特点使刚体力学和一般质点系的力学相比，大为简化。因此，对于一般质点系的力学问题，求解往往很困难，而对于刚体的力学问题却有不少是能够求解的。 刚体的运动可分为两种基本形式：平动和转动。刚体的运动一般来说是比较复杂的，一般可分解为平动和绕瞬时轴的转动，比如行进中的自行车轮子，可以分解为车轮随着转 轴的平动和整个车轮绕转轴的转动。因此，研究刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础。 下面分别介绍刚体的平动和刚体的定轴转动。 当刚体运动时，如果刚体内任何一条给定 的直线，在运动中始终保持它的方向不变，这种运动就 (b) (a) 图3-1 刚体的平动和定轴转动 A B

大学物理第3章 刚体定轴转动与角动量守恒

第3章 刚体定轴转动和角动量守恒定律 在前几章质点运动中，我们忽略了物体自身大小和形状，将物体视为质点，用质点的运动代替了整个物体的运动。但是在实际物体运动中，不仅物体在大小和形状千差，而且运动又有平动和转动之别。这时我们需要另一个突出主要特征，忽视其次要因素，既具有大小又具有形状的理想模型——刚体。在受力的作用时，其形状和体积都不发生任何变化的物体，称做刚体。本章将介绍刚体所遵从的力学规律，重点讨论刚体的定轴转动这种简单的情况。由于刚体转动的基本概念和原理与前几章质点运动的基本概念和原理相似，因此我们将刚体转动与质点运动对比学习一会事半功倍。 §3-1 刚体定轴转动 1. 刚体运动的形式 刚体的运动可以分为平动、转动及平动与转动的叠加。 平动的定义为，在刚体在运动过程中，刚体中任意两点的连线始终平行。如 图5-1所示。由于平动时刚体内各点的运动情况都是一样的，因此描述刚体平动 只需要描写刚体内一点的运动，也就是说刚体的平动只要用其中一个点的运动就 可以代表它整体的运动。 转动的定义为，刚体运动时，刚体中所有质点都绕同一条直线作圆周运动，这条直线称为转轴。转轴可以是固定的，也可以是变化的。若转轴固定，称为刚体定轴转动。若转轴不固定，运动比较复杂。刚体的一般运动可以看作是平动和转动的叠加。平动在前几章已经研究过，本章我们主要研究定轴转动。 2. 刚体的定轴转动 研究刚体绕定轴转动时，选与转轴垂直的圆周轨道所在平面为转动 平面。由于描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是 一样的，因此描述刚体运动时用角量较为方便。因为刚体上各质元的半 径不同，所以各质元的速度和加速度不相等。 角速度和角加速度一般情况下是矢量，由于刚体定轴转动时角速度 和角加速度的方向沿转轴方向，因此可用带有“+、-”的标量表示角速 度和角加速度。这种方法我们并不陌生，质点作直线运动时我们也是用 带有“+、-”的标量表示速度和加速度。 角速度的大小为 dt d θω= （3-1） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 角加速度为 22dt d dt d θωβ== （3-2） 它的方向规定为沿转轴的方向，其指向由右手螺旋法则确定。 离转轴的距离为r 的质元的线速度和刚体的角速度的关系为：ωr v = （3-3） 其加速度和刚体的角加速度的关系为： βr a t = （3-4） ωr a n = （3-5） 图3-1刚体的平动 图3-2 刚体定轴转动

大学物理03章试题库刚体的定轴转动

《大学物理》试题库管理系统内容 第三章 刚体的定轴转动 1 题号：03001 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元的法向加速度 n a 和切向加速度τa 来说正确的是（ ）． A.n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定 B.n a 的大小保持恒定，τa 的大小变化 C.n a 、τa 的大小均随时间变化 D.n a 、τa 的大小均保持不变 答案: A 2 题号：03002 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 有A 、B 两个半径相同、质量也相同的细环，其中A 环的质量分布均匀，而B 环的质量分布不均匀．若两环对过环心且与环面垂直轴的转动惯量分别为B A J J 和，则（ ）． A. B A J J = B. B A J J > C. B A J J < D. 无法确定B A J J 和的相对大小 答案: A 3 题号：03003 第03章 题型：选择题 难易程度：适中 试题: 一轻绳绕在具有水平转轴的定滑轮上，绳下端挂一物体，物体的质量为m ，此时滑轮的角加速度为β，若将物体取下，而用大小等于mg 、方向向下的力拉绳子，则滑轮的角加速度将（ ）． A.变大 B.不变 C.变小 D.无法确定 答案: A

试题: 一人张开双臂手握哑铃坐在转椅上，让转椅转动起来，若此后无外力矩作用，则当此人收回双臂时，人和转椅这一系统的（ ）． A.系统的角动量保持不变 B.角动量加大 C.转速和转动动能变化不清楚 D.转速加大，转动动能不变 答案: A 5 题号：03005 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 某力学系统由两个质点组成，它们之间仅有引力作用．若两质点所受外力的矢量和为零，则此力学系统（ ）． A.动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 B.动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定 C.动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 D.动量、机械能以及对某一转轴的角动量一定守恒 答案: A 6 题号：03006 第03章 题型：选择题 难易程度：较难 试题: 如图所示，两个质量均为m 、半径均为R 的匀质圆盘形滑轮的两端，用轻绳分别系着质量为m 和2m 的小物块．若系统从静止释放，则释放后两滑轮之间绳内的张力为（ ）． A. mg 811 B.mg 2 3 C.mg 2 1 D.mg 答案: A

大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动

第5章 角动量守恒定律 刚体的转动 5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。 答：质点的动量守恒的条件是： 当0F =u r 时，p mv ==u r r 恒矢量。 质点的角动量守恒的条件是： 当0M =u u r 时，即000,F r θπ?=??=??=?? u r r 时，L =u r 恒矢量。 可见，当0F =u r 时，质点动量与角动量能同时守恒。 5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？ 答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=u r u u r ，则角动量守恒，即： 当0M =u u r 时，L =u r 恒矢量。 又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即： 当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。 5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？ 答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得： a a b b r mv r mv =Q a b b a v r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。 5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ 答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，

它的角动量守恒。 5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？ 答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为： 020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=???=-?? g g ， 00cos sin x y v v v v gt θθ=??=-? 对于抛射点的角动量： ()() x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =?=+?+=-u r r r r r r r r r 将,,,x y x y v v 代入得： 201cos 2 L mgv t k θ=-u r r 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t g θ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k g θθ=-u r r 。 5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究？ 答：由于刚体平动时，各点的运动状态相同，则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动，所以刚体的平动可用质点运动来描述。 5-7如果刚体所受的合外力为零，其合外力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否一定为零？ 答：如果0i i F =∑u u r ，但力不共轴，则力矩不为零0i i M ≠∑u u u r 。 如果0i i M =∑u u u r ，但力方向相同，则力不为零0i i F ≠∑u u r 。 5-8 在某一瞬时，如果刚体受到的合外力矩不为零，其角加速度可以为零吗？其角速度可以为零吗？ 答:由刚体的转动定理：M J β=u u r u r