(完整word版)八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高).doc

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西安乐童教育中心八年级数学

因式分解常见方法讲解和经典题型

常见方法

一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（ 1） (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2 -b 2=(a+b)(a-b) ；

(2) (a ± b) 2 = a 2± 2ab+b2——— a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；

(3) (a+b)(a 2 2 3 3 3 3 2 2

-ab+b ) =a +b ------ a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；

(4) (a-b)(a 2+ab+b2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b2) ．

下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；

(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例. 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，

则ABC 的形状是（）

A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca

( a b)2 (b c) 2 (c a)2 0 a b c

三、分组分解法 .

（一）分组后能直接提公因式

例 1、分解因式：am an bm bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从

“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式 = ( am an ) (bm bn)

=a(m n) b( m n)每组之间还有公因式！

=( m n)(a b)

例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式 = (2ax10 ay) (5by bx)原式=( 2ax bx) ( 10ay5by ) =2a( x 5 y) b( x 5y)=x(2a b) 5 y(2a b)

=(x 5 y)( 2a b)=(2a b)( x 5 y)

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练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1

（二）分组后能直接运用公式

例 3、分解因式：x2y 2ax ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就

能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式 = (x2 y 2 ) (ax ay)

= ( x y)( x y) a( x y)

= ( x y)( x y a)

例 4、分解因式：a2 2ab b 2 c 2

解：原式 = (a2 2ab b2 ) c 2

= (a b) 2 c 2

= (a b c)( a b c)

练习：分解因式3、x2 x 9 y2 3 y 4 、x2 y 2 z 2 2 yz

综合练习：（ 1）x3 x2 y xy 2 y3 （2）ax2 bx 2 bx ax a b

（3）x2 6xy 9 y 2 16a2 8a 1 （ 4）a2 6ab 12b 9b 2 4a

（5）a4 2a3 a 2 9 （ 6）4a2x 4a2y b2x b2y

（7）x2 2xy xz yz y 2 （ 8）a2 2a b 2 2b 2ab 1

（9）y( y 2) (m 1)(m 1) （ 10）(a c)( a c) b(b 2a)

（11）a2(b c) b2 ( a c) c2 ( a b) 2abc （12） a3 b 3 c3 3abc

四、十字相乘法 .

（一）二次项系数为 1 的二次三项式

直接利用公式——x2 ( p q)x pq ( x p)( x q) 进行分解。

特点：（ 1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例. 已知 0＜a≤ 5，且a为整数，若2x23x a 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.

解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c，都要求b24ac >0而且是一个完全平方数。

于是9 8a 为完全平方数，a 1

例 5、分解因式：x25x 6

分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于 6=2× 3=(-2) × (-3)=1 × 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2×3 的分解适合，

解：x2 5x 6 = x 2 (2 3) x 2 3 1 3

= (x 2)( x 3) 1 × 2+1× 3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于

一次项的系数。

例 6、分解因式：x2 7x 6

解：原式 = x2 [( 1) ( 6)] x ( 1)( 6) 1 -1

= ( x 1)( x 6) 1 -6

（-1 ）+（-6 ）= -7

练习 5、分解因式 (1) x 2 14x 24 (2) a 2 15a 36 (3) x 2 4x 5

练习 6、分解因式 (1) x2 x 2 (2) y 2 2 y 15 (3) x2 10x 24

（二）二次项系数不为 1 的二次三项式——ax 2 bx c

条件：（ 1）a a1a2 a1 c1

（2）

c c1c2 a2 c2

（ 3）b a1c2 a2 c1 b a1c2 a2 c1

分解结果： ax 2 bx c =( a1 x c1 )(a2 x c2 )

例 7、分解因式：3x211x 10

分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5 ）= -11

解： 3x2 11x 10 = (x 2)(3x 5)

练习 7、分解因式：（ 1）5x2 7 x 6 （ 2）3x2 7 x 2

（ 3）10 x2 17 x 3 （ 4） 6 y2 11y 10

（三）二次项系数为 1 的齐次多项式

例 8、分解因式：a28ab 128b2

分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

18b

1-16b

8b+(-16b)= -8b

解：a 2 8ab 128b 2= a 2 [ 8b ( 16b)]a 8b ( 16b)

= (a 8b)(a 16b)

练习 8、分解因式 (1) x 2 3xy 2 y2 (2) m 2 6mn 8n2 (3) a 2 ab 6b 2

（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式

例 9、2x2 7 xy 6y 2 例 10、x2y2 3xy 2

1 -2y 把x y 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式 = (x 2 y)( 2x 3y) 解：原式 = (xy 1)( xy 2)

练习 9、分解因式：（ 1）15x2 7xy 4 y2 （2）a2x2 6ax 8

综合练习 10、（1）8x6 7 x3 1 （ 2）12x2 11xy 15 y2

（3）( x y)2 3( x y) 10 （ 4）(a b)2 4a 4b 3

（5）x2y2 5x 2 y 6 x2 （ 6）m2 4mn 4n2 3m 6n 2 （7）x2 4 xy 4 y 2 2x 4 y 3（8） 5( a b) 2 23(a2 b2 ) 10(a b) 2 （9）4x2 4xy 6x 3 y y 2 10 （10） 12(x y) 2 11( x 2 y2 ) 2( x y) 2

思考：分解因式：abcx2 (a2 b 2 c2 )x abc

五、换元法。

例 13、分解因式（1）2005x2 (2005 2 1) x 2005

（ 2）( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x2

解：（ 1）设 2005= a，则原式 = ax2 (a2 1) x a

= (ax 1)( x a)

= (2005 x 1)( x 2005)

（ 2）型如abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式 = (x2 7x 6)( x2 5x 6) x 2

设 x 2 5x 6 A，则 x 2 7x 6 A 2x

∴原式 =(A 2x) A x 2= A2 2 Ax x 2

= (A x) 2= ( x2 6x 6) 2

练习 13、分解因式（1）(x2 xy y2 )2 4xy( x2 y 2 )

（ 2）( x2 3x 2)(4x 2 8x 3) 90

（ 3）(a2 1) 2 (a 2 5) 2 4(a 2 3) 2

例 14、分解因式（1）2x4x36x2x 2

观察：此多项式的特点——是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴

对称”。这种多项式属于“等距离多项式” 。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式 = x 2

( 2x 2

x 6

1 1

2

2( x 2

1 ) (x 1

6

x x 2 ) = x

x 2 )

x

设 x 1

t ，则 x 2

1 t

2 2

2

x 2

x 2 2

2

∴原式 =

x 2 2)

t 6

= x 2t

t 10

（ t

=

x 2

2 5 t 2 = x 2 2x

2 5

x

1 2

t x x

= x ·2x 2 5 ·x ·x 1 2 = 2x 2 5x 2 x 2

2x 1

x x

=

(x 1) 2 (2x 1)( x 2)

（2） x 4

4x 3

x 2

4x 1

解：原式 = x 2 ( x 2

4x 1 4

1 ) = x

2 x 2

1 4 x

1 1

x x 2 x 2

x

设 x

1 y ，则 x 2

1

y 2 2

x x 2

∴原式 = x 2 ( y 2 4 y 3) = x 2

( y 1)( y 3)

=

x 2 ( x 1 1)( x 1 3) = x 2 x 1 x 2

3x 1

x

x 练习 14、（ 1） 6x 4 7x 3 36x 2 7 x 6

（ 2） x 4 2x 3

x 2 1 2(x x 2 )

六、添项、拆项、配方法。

例 15、分解因式（ 1） x 3

3

x 2 4 解法 1——拆项。 解法 2——添项。 原式 = x 3

1 3

2 3

原式 = x 3

3x 2 4x 4x 4

x

=

( x 1)( x 2 x 1) 3( x 1)( x 1)

= x( x 2

3x 4) ( 4x 4) = (x 1)( x 2 x 1 3x

3)

=

x(x 1)( x 4) 4( x 1) = ( x 1)( x 2

4x 4)

= (x

1)( x 2 4x 4)

= (x 1)( x 2) 2

=

( x 1)( x 2)2

（2） x 9

x 6 x 3 3

解：原式 = (x 9

1) ( x 6 1) ( x 3 1)

= ( x 3 1)( x 6 x 3 1) ( x 3 1)( x 3 1) ( x 3

1)

= ( x 3

1)( x 6 x 3 1 x 3

1 1)

= ( x 1)( x 2 x 1)( x

6

2x 3

3)

练习 15、分解因式

（1） x 3 9x 8 （ 2） ( x 1) （3） x 4

7x 2

1

（ 4） x 4

x

4 (x 2 1) 2 (x 1) 4 2ax

1 a 2

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（5）x4 y 4 ( x y) 4 （ 6）2a2b2 2a2 c 2 2b2 c 2 a 4 b 4 c 4

七、待定系数法。

例 16、分解因式x2 xy 6 y2 x 13y 6

分析：原式的前 3 项 x 2 xy 6 y 2可以分为( x 3y)( x 2 y) ，则原多项式必定可分为( x 3 y m)( x 2 y n)

解：设 x2 ∵ (x 3 y ∴ x2xy xy 6 y 2 x 13 y 6 = ( x 3y m)( x 2 y n)

m)( x 2 y n) = x2 xy 6 y 2 (m n)x (3n 2m) y mn

6y 2 x 13y 6 = x 2 xy 6y2 ( m n) x (3n 2m) y mn

m n 1

m 2

对比左右两边相同项的系数可得3n 2m 13 ，解得

n 3

mn 6

∴原式 =( x 3y 2)( x 2 y 3)

例 17、（ 1）当m为何值时，多项式x 2 y 2 mx 5 y 6

能分解因式，并分解此多项式。

（ 2）如果x3ax2 bx 8

有两个因式为x 1和 x 2 ，求 a b 的值。

（ 1 ）分析：前两项可以分解为( x y)( x y) ，故此多项式分解的形式必为( x y a)( x y b)

解：设 x 2 y 2 mx 5y 6 = (x y a)( x y b)

则 x 2 y 2 mx 5y 6 = x2 y 2 (a b)x (b a) y ab

a b m a 2 a 2

比较对应的系数可得： b a 5 ，解得： b 3 或 b 3

ab 6 m 1 m 1

∴当 m 1时，原多项式可以分解；

当 m 1时，原式=( x y 2)( x y 3) ；

当 m 1时，原式=( x y 2)( x y 3)

（2）分析：x3ax2bx 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 x c 的一次二项式。

解：设 x 3 ax 2 bx 8 = (x 1)( x 2)( x c)

则 x 3 ax 2 bx 8 = x3 (3 c)x 2 (2 3c) x 2c

a 3 c a 7

∴ b 2 3c 解得 b 14，

2c 8 c 4

∴a b =21

练习 17、（ 1）分解因式x2 3xy 10 y 2 x 9y 2

（ 2）分解因式x2 3xy 2 y 2 5x 7 y 6

（ 3）已知：x2 2xy 3 y2 6x 14 y p 能分解成两个一次因式之积，求常数 p 并且分解因式。

（ 4）k为何值时，x2 2xy ky 2 3x 5y 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

经典题型

例 01 选择题：对 2m mp np 2n 运用分组分解法分解因式，分组正确的是（）

A (2m 2n np) mp

B (2m np) (2n mp)

（）（）

（ C）(2m 2n) (mp nm) （ D）(2m 2n mp) np

分析本组题目用来判断分组是否适当. （A）的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）

不正确；（ B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（ D）中两组也无公因

式可提，故（ D）不正确.

（ C）中第一组可提取公因式2，剩下因式(m n)；第二组可提取p，剩下因式(m n) ，

这样组间可提公因式( m n) ，故（C）正确.

典型例题二

例 02用分组分解法分解因式：

（ 1）7x23y xy 21x ；（2） 1 x24xy 4 y2.

分析本题所给多项式为四项多项式，属于分组分解法的基本题型，通过分组后提公因式

或分组后运用公式可以达到分解的目的.

解⑴ 7x2 3 y xy 21x

(7x2 21x) ( 3 y xy) （合理分组）

7x( x 3) y( x 3) （组内提公因式）

(x 3)(7x y) （组间提公因式）

⑵ 1 x2 4xy 4 y2

1 ( x

2 4xy 4 y2 ) （注意符号）

1 ( x 2y)

2 （组内运用公式）

1 (x

2 y) 1 ( x 2y) （组间运用公式）

(1 x 2y)(1 x 2 y)

式或可运用公式的原则来合理分组，达到分解的目的

.

另外在应用分组分解法时还应注意：①运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一 个多项式分组方法不只一种，只要能达到分解法时，殊途同归

.

②分组时要添加带“－”的括号时，各项要注意改变符号，如⑵的第一步

.

典型例题三

例 03

分解因式： 5x 3

15x 2

x 3

分析 本题按字母

x 的降幂排列整齐，且没有缺项，系数分别为

5， 15， 1 ，3.系数

比相等的有

5 1或 5 15

，因而可分组为 (5x 3 x) 、( 15 x 2 3) 或 (5x 3 15x 2 ) 、

15

3 1

3

( x 3) .

解法一

5x 3 15x 2 x 3

(5x 3 15x 2 ) ( x 3) （学会分组的技巧）

5x 2 (x

3) ( x 3)

(x 3)(5x 2 1)

解法二

5x 3 15x 2 x 3

(5x 3 x) ( 15x 2

3)

x(5x 2

1) 3(5x 2 1)

(5x 2 1)( x 3)

说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！

典型例题四

例 04 分解因式： 7x

2

3y xy 21x

分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解

. 见前例，可用“系数成比例”的规

律来达到合理分组的目的 .

解法一

7x 2 3y xy

21x

(7x 2 21x) ( 3 y xy)

7x( x 3) y( x 3)

(x 3)(7x y)

解法二

7x 2 3y xy

21x

(7x2xy ) ( 3y 21x)

x(7 x y) 3(7 x y)

(x 3)(7x y)

说明本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解. 要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解. 本小题利用“对应系数成比例”的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度 .

典型例题五

例 05 把下列各式分解因式：

（ 1）xy xz y2 2 yz z2；

（ 2）a2 b2 c2 2bc 2a 1 ；

（ 3）x2 4 xy 4 y 2 2x 4 y 1 .

分析此组题项数较多，考虑用分组法来分解.

解法（ 1）xy xz y2 2 yz z2

(xy xz) ( y2 2 yz z2 )

x( y z) ( y z) 2

( y z)( x y z)

（ 2）a2 b2 c2 2bc 2a 1

(a2 2a 1) (b2 2bc c2 )

(a 1)2 (b c)2

(a 1 b c)(a 1 b c)

（ 3）x2 4 xy 4 y 2 2x 4 y 1

(x2 4xy 4 y2 ) (2x 4 y) 1

(x 2 y)2 2(x 2 y) 1

(x 2 y 1) 2

说明对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”

进行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速

.

如⑴中，“交叉项”为

2 yz ，相应的平方项为 y 2 、 z 2 ；⑵中，“交叉项”为 2bc ，相应的

平方项为 b 2 、 c 2 .

典型例题六

例 06

分解因式：

（ 1） a 2

5a 6 ；（ 2） m 2 3m 10 .

分析 本题两例属于 x 2 ( p q) x pq 型的二次三项式，可用规律公式来加以分解. 解（1） 6 (2)

( 3)，( 2)

(3)5，

a 2

5a 6 a 2 ( 2 3)a ( 2) ( 3)

( a

2)( a 3)

（ 2）

10 25， 253，

m 2 3m 10 m 2

5 ( 2) m (5)(

2)

(m 5)(n 2) .

说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律.

典型例题七

例 07 分解因式：

（1） (

a ) 2

5( a

) 4 ；

b b

（ 2） p 2 7 pq 12q 2 .

分析 对（ 1），利用整体思想，将

(a b) 看作一个字母，则运用 x 2

( p q) x pq 型分

解；对（ 2），将其看作关于

p 的二次三项式，则一次项系数为

7 p ，常数项为 12q 2 ，仍可用

x 2 ( p q) x pq 型的二次三项式的规律公式达到分解的目的.

解 （1） (

a b )2 5( a ) 4

b

(a b 1)( a b

4)

（2） 12

q 2

(3)(4 )

， 3q ( 4q)

7q ，

q

q

p 2 7 pq 12q 2

p 2 7 pq 12q

2

( p 3q)( p 4q)

典型例题八例 08分解因式：

⑴x

⑵p 4x3x 1；

2 5 pq 6q 2p3q ；

⑶a(a 1)(a 1) b(b 1)(b 1) ；

⑷ a2

4 b2 a b bc c2 c

.

2 4

分析本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解.

解⑴法一： x4 x3 x 1

(x4 x3 ) ( x 1)

x3( x 1) ( x 1)

(x 1)(x31) （ x3 1 可继续分解，方法很简单：(x 3x) ( x 1) ，对于 x 3 1 方法类似，可以自己探索）

(x 1)(x 1)( x2x1)

法二：x4 x3 x 1

( x 4 1) ( x3 x)

(x2 1)( x2 1) x( x2 1)

(x 2 1)( x2 1 x)

(x 1)(x 1)( x2x1)

法三：x4x3x 1

(x4x) ( x31)

x( x3 1) ( x3 1)

(x3 1)( x 1)

(x 1)(x2 x 1)( x 1)

⑵ p2 5 pq 6q2 p 3q

( p 2 5 pq 6q 2 ) ( p 3q) （看作 x 2 (a b) x ab 型式子分解）

( p 2q)( p 3q) ( p 3q)

( p 3q)( p 2q

1)

⑶ a(a

1)( a 1) b(b 1)(b 1)

a(a 2 1) b(b 2 1)

a 3 a

b 3

b

(a 3 b 3 ) ( a b)

(a b)(a 2

ab b 2 ) ( a b)

(a b)( a 2 ab b 2

1)

⑷ a 2

4 b 2 a

b b

c c 2 c

2 4

a 2 (4

b 2 4b

c c 2 ) (a 2b c)

a 2 (2b

c)2 (a 2b c)

a (2

b c) a (2b c) (a 2b c)

(a 2b

c)(a 2b c) (a 2b c)

(a 2b c)(a 2b c 1)

说明

⑴中，虽然三法均达到分解目的，但从目前同学们知识范围来看，方法二较好，分

组既要合理又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度

.

⑵式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，

而是利用了

x

2

(a b) x ab 型二次三项式的因式分解 . 将 p 2

5 pq 6q 2 看做关于 p 的二 次三项式 6q 2 2q 3q ， p 2 5qp 6q 2

p 2 ( 2q 3q) p

2q 3q .

⑶式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先 破后立”的方式来解决

. 即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法

.

⑷式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，可通过巧妙分组以求突破 .

但应注意：①不可混淆因式分解与整式乘法的意义 . 如⑶小题中做乘法的目的是为了分解因

式，不可在分解中，半路再返回做乘法 . ②善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如⑵小题

中 p 2

5 pq 6q 2 .

典型例题九

例 09分解因式：

（ 1）x( x 1)( x 2) 6 ；（2） ab( x2 1) x( a2 b2 )

分析本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继

续进行，达到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解.

解⑴x(x 1)( x 2) 6

x( x2 3x 2) 6

x3 3x2 2x 6 （乘法运算，去括号）

(x3 3x 2 ) (2x 6) （重新分组）

x2 ( x 3) 2( x 3)

(x 3)( x2 2)

⑵ab( x2 1) x(a2b2 )

abx2 ab a2 x b2 x （乘法运算去括号）

(abx2 a2 x) ( ab b2 x) （重新分组）

ax(bx a) b(bx a)

(ax b)(a bx)

说明“先破后立，不破不立” . 思维的独创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方

式 .

典型例题十

例 10分解因式a37a 6

分析因式分解一般思路是：“一提、二代、三分组、其次考虑规律式（十字相乘法）” . 即：首先考虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式

法分解；再考虑是否可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式”（或十字相乘法）分解. 按照这样的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试.

解a37a 6 a37a 17

(a31) (7a 7)

(a 1)(a2 a 1) 7(a1)

(a 1)(a2 a 17)

(a 1)(a2a 6)

(a 1)(a 2)( a3)

说明当 a 1 时，多项式a37a 6 值为0，因而 (a 1) 是 a37a 6 的一个因式，因此，可从“凑因子”(a 1) 的角度考虑，把 6 拆成 1 7 ，使分组可行，分解成功.

运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法.

法二：a3 7a 6

a3 a 6a 6

(a 3 a) ( 6a 6)

a(a 2 1) 6( a 1)

a( a 1)(a 1) 6(a 1)

(a 1)(a2 a 6)

(a 1)(a 2)( a 3)

法三：a3 7a 6

a37a 8 14

(a38) (7a 14) （凑立方项）

(a 2)(a2 2a 4) 7(a 2)

(a 2)(a2 2a 4 7)

(a 2)(a2 2a 3)

(a 2)( a 1)(a 3)

法四： a3 7a 6

a37a 2721 （与 a3凑立方项）

(a327) (7a21)

(a 3)( a23a 9) 7( a 3) （套用 a3b3公式）

(a 3)( a2 3a 9 7)

(a 3)( a2 3a 2)

(a 3)( a 1)( a 2)

法五： a37a 6

a3 4a 3a 6 （拆7a项）

(a3 4a) (3a 6)

a( a2 4) 3(a 2)

a( a 2)( a 2) 3(a 2)

(a 2)(a2 2a 3)

(a 2)(a 1)( a 3)

法六： a3 7a 6

a3 9a 2a 6 （凑平方差公式变7a 项）(a3 9a) (2a 6)

a( a2 9) 2( a 3)

a( a 3)(a 3) 2(a 3)

(a 3)( a2 3a 2)

(a 3)( a 1)( a 2)

法七：令a x 1

则（

a 1

为多项式一个因式，做变换

x a 1

）

a3 7a 6 (x 1) 3 7( x 1) 6

x3 3x2 3x 1 7 x 7 6 （做乘法展开）x3 3x2 4x

x(x 2 3x 4) x( x 1)( x 4)

(x 1 1)( x 1 2)( x 1 3)

(a 1)(a 2)(a 3) （还原回 a ）

说明以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧——“拆项”（或添项），这种技巧以基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的. “凑”时，需思、需悟、触发灵感. 第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点.

本题还可以如下变形：

a3 7a 6 ＝ (a3 a2 ) (a 2 7a 6) a 2 ( a 1) (a 1)(a 6) ＝

典型例题十一

例 11 若4x2 kx 25 是完全平方式，求k 的值.

分析原式为完全平方式，由4x2 ( 2x) 2， 25 52即知为 (2x 5) 2，展开即得k 值.

解4 x2 kx 25 是完全平方式

应为 ( 2x 5)2

又(2 x 5)2 4x2 20x 25 ，

故 k 20 .

说明完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定k 值时不要漏掉各种情况. 此题为因式分解的逆向思维类，运用a2 2ab b2 (a b)2 来求解 .

典型例题十一

例 11 把下列各式分解因式：

（ 1）x2 8x 16 ；（ 2）a414 a2b3 49b6

（ 3）9(2

a b ) 2 6(2 ) 1

a b

解：（ 1）由于 16 可以看作42，于是有

x2 8x 16 x 2 2 x 4 42

(x 4)2 ；

（ 2）由幂的乘方公式，a4可以看作 (a 2 ) 2， 49b6可以看作(7b3 ) 2，于是有

a 4 14a2 b3 49b6 (a 2 )2 2 a 2 7b3 (7b3) 2

(a27b3 ) 2；

（ 3）由积的乘方公式，9(2a b)2 可以看作 [ 3(2a b)] 2 ，于是有

9(2a b) 2 6(2a b) 1

[3(2a b)] 2 2 3(2a b) 1 1

[ 3( 2a

b) 1]2

(6a 3b 1) 2

说明 （ 1）多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：①可以看成是关于 某个字母的二次三项式； ②其中有两项可以分别看作是两数的平方形式， 且符号相同； ③其余的

一项恰是这两数乘积的

2 倍，或这两数乘积 2 倍的相反数 . 而结果是“和”的平方还是“差”的

平方，取决于它的符号与平方项前的符号是否相同 .

（ 2）在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用， 可见换元思想是重要而且常

用思想方法，要真正理解，学会运用.

典型例题十二

例 12 求证：对于任意自然数

n ， 3n 2

2n 3

3n 2n 1 一定是 10 的倍数 .

分析 欲证是 10 的倍数，看原式可否化成含 10 的因式的积的形式 .

证明

3n 2 2n 3

3n

2n 1

(3n 2 3n ) ( 2n 3 2n 1)

3n (32 1) 2n ( 23 2)

3n 10 2n 10

10(3n 2n )

10(3n 2n ) 是 10 的倍数，

3n 2 2n 3

3n 2n 1 一定是 10 的倍数 .

典型例题十三

例 13

因式分解（ 1） a 2 x a 2

y b 2 x b 2 y ；

（ 2） mx mx 2

n nx

解：（ 1） a 2 x a 2 y b 2 x b 2 y

(a 2 x a 2b) (b 2 x b 2 y)

a 2

(

x ) 2 ( x )

y b y

( x y)(a 2

b 2 )

或

a 2 x a 2 y

b 2 x b 2 y (a 2 x b 2 x) (a 2 y b 2 y)

x( a 2 b 2 ) y(a 2 b 2 )

(a2b2 )( x y) ；

（ 2） mx mx 2 n nx ( mx mx 2 mx(1 x) (1 x)( mx

) ( n nx)

n(1

x)

n)

或

mx mx 2 n nx ( mx 2 nx) (nx n)

x( mx n) (mx n) (mx n)( x 1)

说明 ：（ 1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因式，这是正确分组的关

键所在。因此，分组分解因式要有预见性；

（ 2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；

（ 3）分组时要用到添括号法则， 注意在添加带有负号的括号时， 括号内每项的符号都要改变；

（ 4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解

典型例题十四

例 14 把下列各式分解因式：

（ 1） a 3 4b 2

a 2

b ；

（ 2） x 2

a 2 2a

b b 2 ；

（ 3） ax 2

ax 2 ax a

解：（1）

a 2

4 2 a 2 ( 2 4 b 2 ) ( a 2 )

b b a b

(a 2b)(a 2b) (a 2b)

(a 2b)(a 2b 1)

（ 2）

x 2 a 2

2 b 2 x 2

( a 2 2 ab b 2 )

ab

x 2 (a b) 2

[ x ( a b)][ x (a b)]

( x a b)( x a b)

（ 3） ax 3

ax 2 ax a a( x 3

x 2 x 1)

[( 3

x 2

)

( x 1)]

a x

大全

a[ x 2 (x 1) ( x 1)] a(x 1)( x 2 1)

或 ax 3

ax 2 ax a a[( x 3 x) ( x 2 1)]

a(x 2 1)( x 1)

或 ax 3

ax 2 ax a a[( x 3

1) (x

2

x)]

[( 1)( x 2 x 1) x ( x 1)] a x

a(x 1)( x 2

x 1 x)

a(x 1)( x 2 1)

说明 ：（ 1）要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，

x 2 a 2 2ab b 2 ( x 2 a 2 ) (2ab b 2 ) ( x a)( x a) b(2a b)

，就会分解不

下去了；

（ 2）有公因式时， “首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后更便于观察分组情况，预测结果；

（ 3）对于一道题中的多种分组方法， 要善于选择使分解过程简单的分组方法， 如题中前两种

分组显然优于后者。

典型例题十五

例 15

把下列各式分解因式

（ 1） x 2

x 2 ；（ 2） x 2 2x 15 .

分析 （ 1） x 2

x 2 的二次项系数是 1，常数项

2 = ( 1) 2 ，一次项系数 1= ( 1) 2 ，

故这是一个

x 2 ( p q)x

pq 型式子 .

（ 2 ） x 2

2x 15 的 二 次 项 系 数 是 1 ， 常 数 项 15 = ( 5)

3 ， 一 次 项 系 数

2 ( 5)

3 ，故这也是一个 x 2 ( p q)x

pq 型式子 .

解：（1）因为

2 = ( 1) 2 ，并且 1=( 1)

2 ，所以

x 2 x 2 = (x 2)( x 1) .

(2) 因为

15=( 5) 3， 2 ( 5) 3，所以

x 2 2x 15 = ( x 5)( x 3) .

因式分解经典题及解析

2013组卷 1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣① =（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣② =… 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中，运用了_________ 的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3； （3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5． 2．请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2） 人们为了纪念菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照菲?热门的做法，将下列各式因式分解． （1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab． 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步）

因式分解易错题和经典题型精选

因式分解易错题精选 班级 姓名 成绩 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。15、方程042 =+x x ，的解是________。

1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4 422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、2011.,101.,201D C 5、1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 6．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是……………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 7．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 8．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选项是………………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 9.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值

八年级下因式分解习题与答案

因式分解练习专题练习+全国中考因式分解 1. 利用乘法公式，展开下列各式： (1) ( 9x – 5 )2 =__________________。 (2) ( 2x + 7 ) ( 7 – 2x ) =__________________。 2. 化简 – 2 ( x 2 + 3x – 5 ) + 4x 2 – 7x + 5 =__________________。 (2) 展开 ( – 2x + 3 ) ( 4x – 5 ) =______。 3. B 为两多項式，已知A = x 2 + 4x – 3，且A + B = 2x 2 + 4x – 2，求B =______。 4. 已知x + 3 =0，则 x 2 + 4x + 3 =__________________。 5. 化简下列各式： (1) ( 4x 2 + 3x + 5 ) + ( 2x 2 + 5x – 3 ) =__________________。 (2) ( – 4x 2 + x – 3) – ( – 6x 2 – 2x – 4 ) =__________________。 6. 因式分解（a 2 – 2a + 1）– b （a – 1）=__________________。 7. 因式分解6（a 2 – b 2）–（a + b ）=__________________。 8. ( x 2 – 3x + 5 ) – ( ax 2 + bx + c ) =3x 2 – 4x + 5，則a + b + c =______。 9. 在下面空格中填入适当的式子。 (1) ( –7x 2 – 8x + 6 ) + (___ ___ ) = 0。 (2) (___ ___ ) + ( 4x 2 – 7x + 4 ) = –x 2 + 8x – 3。 10.设xy – x + y = 5，求 ( x + 1 ) ( y – 1 ) 之值 =______。 11.若 ( x 2 +312 1 x ) –6A = 0，则A =______。 12.若x =13，则 ( x – 2 ) ( x + 2 ) 之值为______。 13.若一元二次式B = –x + 3x 2 + 5，则 (1) x 2项系数为______。(2) x 项系数为______。(3) 常数项为______。

(完整)因式分解练习题精选(含提高题)

因式分解习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()2 2)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）

经典的因式分解练习题有答案

因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是( ) A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是( ) A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( ) A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是( ) A．－12 B．±24C．12 D．±12 6．把多项式a n+4－a n+1分解得( ) A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为( ) A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为( ) A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得( ) A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得( ) A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得( ) A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得( ) A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得( )

因式分解练习题库100题(经典、精心整理)

因式分解练习题（100题） 1、323 812a b ab c + 2、2()3()a b c b c +-+ 3、2 82m n mn + 4、2 2 129xyz x y - 5、2a(y-z)-3b(z-y) 6、p(a 2 +b 2 )-q(a 2 +b 2 ) 7、4x 2-9 8、(x+p) 2 -(x+q) 2 9、44 x y - 10、3 a b ab - 11、a 2 2 125 b - 12、9a 2-4b 2 13、x 2 y-4y 14、4 16a -+ 15、16x 2+24x+9 16、-x 2 +4xy-4y 2

17、3ax2+6axy+3ay2 18、(a+b) 2-12(a+b)+36 19、x2+12x+36 20、-2xy-x2-y2 21、a2+2a+1 22、4x2-4x+1 23、ax2+2a2x+3a 24、-3x2+6xy-3y225、32 1510 a a 26、12abc-3bc2 27、6p(p+q)-4q(p+q) 28、m(a-3)+2(3-a) 29、1-36b2 30、12x2-3y2 31、0.49p2-144 32、(2x+y) 2-(x+2y) 2 33、1+10t+25t2

34、m2-14m+49 35、y2+y+0.25 36、(m+n) 2-4m(m+n)+4m2 37、25a2-80a+64 38、a2+2a(b+c)+(b+c) 2 39、(a-b) 2+4ab 40、(p-4)(p+1)+3p 41、4xy2-4x2y-3y 42、3ax2-3ay243、x2-169 44、5x2-20 45、x2-3x+2 46、x2+7x+10 47、x2-2x-8 48、x2-7x+12 49、x2+7x-18 50、25x2-16y2

八年级上册整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)

八年级上册整式的乘法与因式分解专题练习（解析版） 一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难） 1．有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】 设2为a ，3为b ，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a 2，得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，再根据正方形的面积公式将a 、b 代入，即可得出答案． 【详解】 解： 设2为a ，3为b ， 则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a 2， 4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab ， 6张边长为3的正方形纸片的面积是6b 2， ∵a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，（b ＞a ） ∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8， 故选C ． 【点睛】 此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a 2+4ab+4b 2=（a+2b ）2，用到的知识点是完全平方公式． 2．已知a 与b 互为相反数且都不为零，n 为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A ．a 2n －1与－b 2n －1 B ．a 2n －1与b 2n －1 C ．a 2n 与b 2n D ．a n 与b n 【答案】B 【解析】已知a 与b 互为相反数且都不为零，可得a 、b 的同奇次幂互为相反数，同偶次幂相等，由此可得选项A 、C 相等，选项B 互为相反数，选项D 可能相等，也可能互为相反数，故选B. 3．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5 【答案】A

因式分解易错题汇编含答案解析

因式分解易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．2112(12)(12)22a a a -=+- B ．2224(2)x y x y +=+ C ．2239(3)x x x -+=- D ．222()x y x y -=- 【答案】A 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义以及平方差公式，完全平方公式的结构就可以求解． 【详解】 A. 2112(12)(12)22 a a a -=+-，故本选项正确； B. 2222224(2)(2)=+44x y x y x y x xy y +≠+++，，故本选项错误； C. 222239(3)(3)=69x x x x x x -+≠---+，，故本选项错误； D. ()22 ()x y x y x y -=-+，故本选项错误. 故选A. 【点睛】 此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握平方差公式，完全平方公式. 2．已知实数a 、b 满足等式x=a 2+b 2+20，y =a(2b －a )，则x 、y 的大小关系是（ ）． A ．x ≤ y B ．x ≥ y C ．x < y D ．x > y 【答案】D 【解析】 【分析】 判断x 、y 的大小关系，把x y -进行整理，判断结果的符号可得x 、y 的大小关系． 【详解】 解：22222202()x y a b ab a a b a -=++-+=-++20， 2()0a b -≥Q ，20a ≥，200>, 0x y ∴->， x y ∴>， 故选:D ． 【点睛】 本题考查了作差法比较大小、配方法的应用；进行计算比较式子的大小；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大.

因式分解练习题(超经典)

因式分解习题 一、填空： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是__________. 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有___________________________ ，其结果是 _______________________________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_________。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ________。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（8分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6 B 、m=2，k=12 C 、m=—4，k=—12 D m=4，k=12 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 三、分解因式： 1、234352x x x -- 2、2633x x - 3、22)2(4)2(25x y y x --- 4、x x -5 5、24369y x - 6、811824+-x x

八年级数学因式分解专项练习题.doc

八年级数学上册分解因式专项练习题 一、选择题：（每小题 2 分，共 20 分） 1．下列各多项式中 , 不能用平方差公式分解的是 ( ) － 1 B ．4－0．25a 2 C ．－ a 2－b 2 D ．－ x 2+1 2．如果多项式 x 2－mx+9是一个完全平方式 , 那么 m 的值为 ( ) A ．－ 3 B ．－ 6 C ．±3 D ．±6 3．下列变形是分解因式的是 ( ) A ．6x 2y 2=3xy ·2xy B ．a 2－ 4ab+4b 2=(a －2b) 2 C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2 D ．x 2 －9－6x=(x+3)(x －3) －6x 4．下列多项式的分解因式，正确的是（ ） （ A ） 12xyz 9x 2 y 2 3xyz(4 3xyz) （ B ） 3a 2 y 3ay 6 y 3y( a 2 a 2) （C ） x 2 ( 2 ) D 2 2 xy xz x x y z b b(a 5a) （ ）a b 5ab 5．满足 m 2 n 2 2m 6n 10 0 的是（ ） （ A ）m 1,n 3 （B ）m 1, n 3（C ）m 1, n 3 （D ）m 1, n 3 6．把多项式 m 2 (a 2) m(2 a) 分解因式等于（ ） A 、 ( a 2)(m 2 m) B 、 (a 2)( m 2 m) C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 7．下列多项式中，含有因式 ( y 1) 的多项式是（ ） A 、 y 2 2xy 3x 2 、 ( y 1) 2 ( y 1)2 B ( 1) 2 ( 2 1) D 2 C 、 y y 2( y 1) 1 、 ( y 1) 8．已知多项式 2x 2 bx c 分解因式为 2( x 3)( x 1) ，则 b, c 的值为（ ） A 、 b 3,c 1 B 、 b 6, c 2 C 、 b 9． a 、b 、c 是△ ABC 的三边，且 a 2 b 2 状是（ ） A 、直角三角形 B 、等腰三角形 D 、等边三角形 6, c4 D 、 b 4,c 6 c 2 ab ac bc ，那么△ ABC 的形 C 、等腰直角三角形 10、在边长为 a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（ a>b ）。把余下的部分剪拼成一个矩形（如图） 。通过计算阴影部分的面积， 验证了一个等式，则这个等式是（ ） A 、 a 2 b 2 (a b)(a b)

因式分解难题经典题(1)

因式分解难题经典题 1、若实数满足，则． 2、已知，则的值为 3、分解因式： a3＋a2－a－1＝______________. 4、已知a＋b＝2，则a2－b2＋4b的值． 5、因式分解： 6、已知实数满足，则的平方根等于． 7、若，则的值是_______________． 8、，则___________。 9、如果是一个完全平方式，则= . 10、已知实数x 满足x+=3，则x2+的值为_________. 11、若a2+ma+36是一个完全平方式，则m= ． 12、已知，则 . 13、－a4÷(－a)＝； 15、把下列各式分解因式：

18、如果，求的值． 19、已知a+b=﹣5，ab=7，求a2b+ab2﹣a﹣b的值． 20、（x﹣1）（x﹣3）﹣8． 22、 23、（1）已知a m=2，a n=3，求①a m+n的值；②a3m﹣2n的值 （2）已知（a+b）2=17，（a﹣b）2=13，求a2+b2与ab的值． 24、先化简，再求值：已知：a2+b2+2a一4b+5=0求：3a2+4b-3的值。 三、选择题 25、若的值为（） A.0 B.-6 C.6 D.以上都不对 26、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）。 A、x2＋4y2 B、x2－2y＋1 C、－x2＋4y2 D、－x2－4y2

27、不论为什么实数，代数式的值（） A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何实数 D.可能为负数 28、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m的值为（） A．24 B．﹣12 C．±12D．±24 29、下列各式中与2nm﹣m2﹣n2相等的是（） A．（m﹣n）2B．﹣（m﹣n）2C．﹣（m+n）2D．（m+n）2 30、.若+(m－3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是( ) A.1或5 B.1 C.7或－1 D.－1 31、下列计算中，①x(2x2－x＋1)＝2x3－x2＋1；②(a＋b)2＝a2＋b2；③(x－4)2＝x2－4x＋16；④(5a－1)(－5a－1)＝25a2－1；⑤(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2；其中准确的个数有…（） A.1个 B.2个 C.3 个 D.4个 四、计算题 32、因式分解：； 33、已知a+b=3，ab=2，试求(1)a2+b2；(2)(a b)2。

因式分解分类练习题(经典全面)

因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编) 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2 155a a + 5、2 2 x y xy - 6、2 2 129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121 () ___() ()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn + 5、23222515x y x y - 6、22129xyz x y - 7、2336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---

人教版八年级数学上册《因式分解》专题练习

人教版八年级数学上册《因式分解》专题练习 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为( C) ①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)； ②x2＋4x＋4＝(x＋2)2； ③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)． A．3个B．2个C．1个D．0个 2．(广东中考)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D) A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3) 3．(台湾中考)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A) A．2x－2 B．2x＋2 C．4x＋1 D．4x＋2 解析：8x2－10x＋2＝2(4x2－5x＋1)＝2(x－1)(4x－1)，有因式2(x－1)，即2x－2 4．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D) A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0 C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝0 解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x－y)－(y－z)]2，故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0 5．(宜宾中考)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B) A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．(泸州中考)分解因式：3a2＋6a＋3＝__3(a＋1)2__． 7．(潍坊中考)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__． 8．(呼和浩特中考)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．9．(宜宾中考)已知P＝3xy－8x＋1，Q＝x－2xy－2，当x≠0时，3P－2Q＝7恒成立，则y的值为__2__． 三、解答题(共46分) 10．(15分)分解因式： (1)3x2－3； 3(x＋1)(x－1) (2)x2－4x－12； x2－4x－12＝x2－4x＋4－16＝(x－2)2－16＝(x－2＋4)(x－2－4)＝(x＋2)(x－6) (3)8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy. 8(x2－2y2)－x(7x＋y)＋xy＝8x2－16y2－7x2－xy＋xy＝x2－16y2＝(x＋4y)(x－4y) 11．(10分)若△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状．解：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴a－c＋2ab－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(1＋2b)(a －c)＝0.∵1＋2b≠0，∴a－c＝0，a＝c，∴△ABC是等腰三角形

初中数学因式分解经典测试题含解析

初中数学因式分解经典测试题含解析 一、选择题 1．下列因式分解中：①32(2)x xy x x x y ++=+；②2244(2)x x x ++=+；③22()()x y x y y x -+=+-；④329(3)x x x x -=-，正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 将各项分解得到结果，即可作出判断． 【详解】 ①322(2+1)x xy x x x y ++=+，故①错误； ②2244(2)x x x ++=+，故②正确； ③2222()()x y y x x y y x -+=-=+-，故③正确； ④39(+3)(3)x x x x x -=-故④错误. 则正确的有2个. 故选：B. 【点睛】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1） C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2 D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解． 解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误； B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确； C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误； D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误． 故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 3．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A ．a 2﹣2a +1＝（a ﹣1）2 B ．a （a +1）（a ﹣1）＝a 3﹣a

因式分解 典型例题及经典习题

14.3 因式分解 典型例题 【例1】 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )． A ．a (x ＋y )＝ax ＋ay B ．y 2－4y ＋4＝y (y －4)＋4 C ．10a 2－5a ＝5a (2a －1) D ．y 2－16＋y ＝(y ＋4)(y －4)＋y 【例2】 把多项式6a 3b 2－3a 2b 2－12a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是( )． A ．3a 2b B ．3ab 2 C ．3a 3b 3 D ．3a 2b 2 【例3】 用提公因式法分解因式： (1)12x 2y －18xy 2－24x 3y 3； (2)5x 2－15x ＋5； (3)－27a 2b ＋9ab 2－18ab ； (4)2x (a －2b )－3y (2b －a )－4z (a －2b )． 用平方差公式分解因式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． 【例4】 把下列多项式分解因式： (1)4x 2－9； (2)16m 2－9n 2； (3)a 3b －ab ； (4)(x ＋p )2－(x ＋q )2. 用完全平方公式分解因式 a 2＋2a b ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2. 【例5】 把下列多项式分解因式： (1)x 2＋14x ＋49； (2)(m ＋n )2－6(m ＋n )＋9； (3)3ax 2＋6axy ＋3ay 2； (4)－x 2－4y 2＋4xy . 因式分解的一般步骤 一般步骤可概括为：一提、二套、三查． 【例6】 把下列各式分解因式： (1)18x 2y －50y 3； (2)ax 3y ＋axy 3－2ax 2y 2. 【例7】 下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )． ①4x 2－4xy －y 2；②x 2＋25x ＋125；③－1－a －a 24 ；④m 2n 2＋4－4mn ；⑤a 2－2ab ＋4b 2；⑥x 2－8x ＋9. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

因式分解训练题经典--题型很全

初二数学培优训练-------因式分解 一、 填空题：（每小题2分，共24分） 1、 把下列各式的公因式写在横线上： ①y x x 22255-= ； ②n n x x 4264--= ()n x 232+ 2、 填上适当的式子，使以下等式成立： （1）)(222?=-+xy xy y x xy （2）)( 22?=+++n n n n a a a a 3、 在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立： （1）22)()(y x x y -= -； （2）)2)(1()2)(1(--= --x x x x 。 4、 直接写出因式分解的结果： （1）= -222y y x ；（2）= +-3632a a 。 5、 若。 ＝ ，，则b a b b a = =+-+-01222 6、 若()2 2416-=+-x mx x ，那么m=________。 7、 如果。 ，则= +=+-==+2222,7,0y x xy y x xy y x 8、 简便计算：。 －=2271.229.7 9、 已知31=+ a a ，则221 a a +的值是 。 10、如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。 11、若n mx x ++2是一个完全平方式，则n m 、的关系是 。 12、已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的 边长的代数式 。 二、 选择题：（每小题2分，共20分） 1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、bx ax b a x -=-)( B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C 、)1)(1(12-+=-x x x D 、c b a x c bx ax ++=++)( 1．如果))((2 b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b )

经典因式分解练习题(附答案)

> 因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 、 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．三、因式分解：

1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； — 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； : 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；

17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8； > 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；/ 四、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

经典因式分解练习题100道

For personal use only in study and research; not for commercial use 1.）3a3b2c－12a2b2c2＋9ab2c3 2.）16x2－81 3.）xy＋6－2x－3y 4.）x2(x－y)＋y2(y－x) 5.）2x2－(a－2b)x－ab 6.）a4－9a2b2 7.）x3＋3x2－4 8.）ab(x2－y2)＋xy(a2－b2) 9.）(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a) 10.）a2－a－b2－b 11.）(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2 12.）(a＋3) 2－6(a＋3) 13.）(x＋1) 2(x＋2)－(x＋1)(x＋2) 2 14．）16x2－81 15.）9x2－30x＋25 16.）x2－7x－30 17.) x(x＋2)－x 18.) x2－4x－ax＋4a 19.) 25x2－49 20.) 36x2－60x＋25

21.) 4x2＋12x＋9 22.) x2－9x＋18 23.) 2x2－5x－3 24.) 12x2－50x＋8 25.) 3x2－6x 26.) 49x2－25 27.) 6x2－13x＋5 28.) x2＋2－3x 29.) 12x2－23x－24 30.) (x＋6)(x－6)－(x－6) 31.) 3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3) 32.) 9x2＋42x＋49 33.) x4－2x3－35x 34.) 3x6－3x2 35.）x2－25 36.）x2－20x＋100 37.）x2＋4x＋3 38.）4x2－12x＋5 39.）3ax2－6ax 40.）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) 41.）2ax2－3x＋2ax－3 42.）9x2－66x＋121

因式分解经典题目

精心整理 第一讲：因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3 （1（345.,这种 6.(1)(2)【1.(1)2x x +(3)(n m +(5)32x -2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +-- 例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- （3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+- （5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+ 例2．利用分解因式计算

（1）5.12346.45.12347.115.12349.2?-?+?（2）9910098 992 222-- 例3．已知2,3 2==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。 例4、利用因式分解说明：127636-能被140整除。 【随堂练习】 1．下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（） A 、1(2-a 1121 C 、y x -2A 、,3=b 3A 、+ax 4．将(3a A 、a -35A 、2(a -)1+ 678．已知：1000,133==+ab b a 。22ab b a +的值为。 9．把下列各式分解因式 （1）2222262ab b a b a +- （2）32223229123bc a c b a bc a ++- （3）)()(y x b y x a --- （4）)()(22y x x x y --- 【课后强化】 1．432-+mx x 分解因式为)1)(43(-+x x ，则m 的值为。 2．xy nxy mxy xy 3963-=+--（）=---+-)()()(a x c x a b a x a 。