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高中数学知识点总结及题型

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高中数学讲义必修一第一章复习

知识点一集合的概念

1.集合:一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…来表示.

2.元素:构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示.3.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为.

知识点二集合与元素的关系

1.属于:如果a是集合A的元素,就说a________集合A,记作a________A.

2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作a________A.

知识点三集合的特性及分类

1.集合元素的特性_______、________、________.

2.集合的分类:(1)有限集:含有_______元素的集合;(2)无限集:含有_______元素的集合.

3.常用数集及符号表示

1.列举法:把集合的元素______________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法

2.描述法:用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.

知识点五集合与集合的关系

1.子集与真子集

2.子集的性质

(1)规定:空集是____________的子集,也就是说,对任意集合A,都有________.(2)任何一个集合A都是它本身的子集,即________.(3)如果A?B,B?C,则________.(4)如果A?B,B?C,则________.3.集合相等

知识点六集合的运算

1.交集

2.并集

3.交集与并集的性质

4.全集

在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集,通常记作________.

5.补集

典例精讲

题型一 * 判断能否构成集合

1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x 2-2=0的实数解”中,能够构成集合的是 。 题型二 * 验证元素是否是集合的元素 1、已知集合

{}Z

n Z m n m x x A ∈∈-==,,22,判断3是不是集合A 的元素。

2、集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的,判断

3

21

-是不是集合A 中的元素.

题型三 ** 求集合

1.方程组???

3x +y =2

2x -3y =27

的解集是( )

A.???

x =3y =-7

B .{x ,y|x =3且y =-7}

C .{3,-7}

D .{(x ,y)|x =3且y =-7} 2.下列六种表示法:①{x =-1,y =2};②{(x ,y)|x =-1,y =2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x ,y)|x =-1或y =2}.

能表示方程组???

2x +y =0,

x -y +3=0的解集的是( )

A .①②③④⑤⑥

B .②③④⑤

C .②⑤

D .②⑤⑥

题型四 ** 利用集合中元素的性质求参数

1.已知集合S ={a ,b ,c}中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C .钝角三角形

D .等腰三角形 2.设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a}=

{}0,b a ,b ,则b -a =________.

3.已知P ={x|2<x <k ,x ∈N ,k ∈R},若集合P 中恰有3个元素,则实数k 的取值范围是________.

4.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 的值为( )

A .2

B .3

C .0或3

D .0或2或3 题型五 ** 判断集合间的关系 1、设??????∈+==Z k k x x M

,412,?

?????∈+==Z k k x x N ,21

4,则M 与N 的关系正确的是( )

A. M=N

B.N M ≠

? C.N M ≠

? D.以上都不对

2.判断下列集合间的关系:

(1)A ={x|x -3>2},B ={x|2x -5≥0}; (2)A ={x ∈Z|-1≤x<3},B ={x|x =|y|,y ∈A}. 题型六 ** 求子集个数

1.已知集合A ={x|ax 2+2x +a =0,a ∈R},若集合A 有且仅有2个子集,则a 的取值构成的集合为________. 2.已知集合A ={1,2,3},写出集合A 的所有子集,非空子集,真子集,非空真子集

题型七** 利用两个集合之间的关系求参数

1.已知集合A={1,2,m3},B={1,m},B?A,则m=________.

2.已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B?A,则a的值不可能是()

A.0 B.1 C.2 D.3

题型八*** 集合间的基本运算

1.下面四个结论:①若a∈(A∪B),则a∈A;②若a∈(A∩B),则a∈(A∪B);③若a∈A,且a∈B,则a∈(A∩B);④若A∪B=A,则A∩B=B.其中正确的个数为()

A.1B.2 C.3 D.4

2.已知集合M={x|-33},则M∪N=()

A.{x|x>-3} B.{x|-3

3.已知集合A={2,-3},集合B满足B∩A=B,那么符合条件的集合B的个数是()

A.1 B.2 C.3 D.4

4.(2016·全国卷Ⅲ理,1)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()

A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞)

5.下列关系式中,正确的个数为()

①(M∩N)?N;②(M∩N)?(M∪N);③(M∪N)?N;④若M?N,则M∩N=M.

A.4 B.3 C.2 D.1

6.(2016·唐山一中月考试题)已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2

题型九** 根据集合运算的结果求参数

1.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则x=________.

2.设A={x|x2+8x=0},B={x|x2+2(a+2)x+a2-4=0},其中a∈R.如果A∩B=B,求实数a的取值范围.

3.U={1,2},A={x|x2+px+q=0},?U A={1},则p+q=________.

题型十** 集合中的新定义问题

1.集合P={3,4,5},Q={6,7},定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为()

A.7 B.12 C.32 D.64

2.当x∈A时,若x-1?A,且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”,若集合M={0,1,3}的孤星集为M′,集合N={0,3,4}的孤星集为N′,则M′∪N′=()

A.{0,1,3,4} B.{1,4} C.{1,3} D.{0,3}

知识点一函数的有关概念

知识点二两个函数相等的条件

1.定义域________.2.________完全一致.

知识点三区间的概念及表示

1.一般区间的表示

设a,b∈R,且a

2.

知识点四函数的表示方法

函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法.

知识点五分段函数

如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的________,那么称这样的函数为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的

________,值域是各段值域的________. 知识点六 映射的概念

设A ,B 是两个________________,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的________________,在集合B 中都有________确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射. 知识点七 函数的单调性

1.增函数、减函数:设函数f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1f(x 2),那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.

2.函数的单调性:若函数f(x)在区间D 上是增(减)函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f(x)的单调区间.

3.单调性的常见结论:若函数f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若函数f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数;若函数f(x)为增(减)函数,且f(x)>0,则1f (x )为

减(增)函数.

知识点八 函数的最大值、最小值

性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值. 知识点九 函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念

2.性质

(1)偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称,奇函数在原点有定义,则f(x)=0 (2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反.

(3)在定义域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两个偶函数的和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数. 知识点十 函数的周期性

若存在非零常数T ,对定义域内任意x ,都有()()f x T f x +=,称这样的函数为

周期函数,T 叫函数的一个周期。 ()如:若,则f x a f x +=-()

典例精讲

题型一 *** 函数的定义域

1 函数f(x)=ln(x -3)的定义域为( ) A .{x|x>-3} B .{x|x>0} C .{x|x>3} D .{x|x ≥3}

2.函数f(x)=1-2x +

1

x +3

的定义域为( ) A .(-3,0] B .(-3,1] C .(-∞,-3)∪(-3,0] D .(-∞,-3)∪(-3,1]

3.函数y x

=的定义域为 ( )

A .[4,1]-

B .[4,0)-

C .(0,1]

D .[4,0)(0,1]-

4.已知函数f(x)=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( ) A.0

5、若函数y =)(x f 的定义域是[1,4],则y =)12(-x f 的定义域是 .

6、若函数y =)13(-x f 的定义域是[1,2],则y =)(x f 的定义域是 题型二 *** 函数概念的考察

1 下列图象中,不可能成为函数y =f(x)图象的是( )

2 下列各组函数中表示同一函数的是( )

A.y=55

x

和x

y 2

=

B.y=ln

e

x

和e

x

y ln =

C.()()()()3131+=-+-=

x y x x x y 和 D.x

x y y 0

01

==和

3 下列四组函数中,表示同一函数的是(

A.2)1(1-=

-=x y x y 与 B .1

11--=

-=x x y x y 与

C .2

lg 2lg 4x y x y ==与 D .100

lg 2lg x x y =-=与 4 已知函数y=

22

-x

定义域为{}2,1.0,1-,则其值域为

题型三 *** 分段函数的考察

1、已知函数3log ,0()2,0

x x x f x x >?=?≤?,则1

(())9f f =

A.4

B.

1

4

C.-4 D-

14

2、已知函数f(x)=???

1-1

2

x ,x ≥0,1

x ,x<0,

若f(a)=a ,则实数a =________.

3、设函数???<+≥+-=0

,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是( )

A.),3()1,3(+∞?-

B.),2()1,3(+∞?-

C.),3()1,1(+∞?-

D.)3,1()3,(?--∞

4、已知函数???<-≥+=0

,

40,

4)(2

2x x x x x x x f 若2

(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是( )

A (,1)(2,)-∞-?+∞

B (1,2)-

C (2,1)-

D (,2)(1,)-∞-?+∞ 题型四 *** 函数图像的考察

1、设0abc >,二次函数2

()f x ax bx c =++的图像可能是

2、函数y=2x

-2

x 的图像大致是

3、函数x x

x x

e e y e e

--+=-的图像大致为 ( )

4、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是 ( )

A. 在1t 时刻,甲车在乙车前面

B. 1t 时刻后,甲车在乙车后面

C. 在0t 时刻,两车的位置相同

D. 0t 时刻后,乙车在甲车前面

题型五 *** 求函数的解析式

A

3、设)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,并且x x x g x f -=-2

)()(,求)(x f 。

题型六 ** 函数的值域与最值

1、函数2

23y x x =-- ,()4,1-∈x 的值域为 .

2、求函数5

1

)(--=x x x f []4,1∈x 的最大值和最小值。

3、求函数324)(1

--=+x x

x f []4,2-∈x 的最大值和最小值。

题型七 *** 函数性质的考察

1、写出函数)34(log )(2

2

1-+-=x x x f 的单调递减区间

2、设二次函数f(x)=x 2

-(2a+1)x+3

(1)若函数f(x)的单调增区间为[)+∞,2,则实数a 的值__________;

(2)若函数f(x)在区间[)+∞,2内是增函数,则实数a 的范围__________。 3、定义在)1,1(-上的奇函数1

)(2

+++=

nx x m

x x f ,则常数=m ____,=n _____ 4、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数,若对于0x ≥,都有(2()f x f x +=),且当

[0,2)x ∈时,2()log (1f x x =+)

,则(2008)(2009)f f -+的值为( ) A .2- B .1- C .1 D .2

5、函数2

2log 2x

y x

-=+的图像 ( ) A.关于原点对称 B.关于主线y x =-对称 C .关于y 轴对称 D.关于直线y x =对称

6、函数()41

2

x x

f x +=的图象( ) A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称

7、定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则 () A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<

8、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -<1

()3

f 的x 取值范围( ) (A )(

13,23) B.[13,23) C.(12,23) D.[12,23

) 9、定义在R 上的偶函数()f x 满足:对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121

()()

0f x f x x x -<-.

则 ( )

(A)(3)(2)(1)f f f <-< B.(1)(2)(3)f f f <-< C. (2)(1)(3)f f f -<< D.(3)(1)(2)f f f <<-

10、已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有

(1)(1)()xf x x f x +=+,则5(())2f f 的值是( )

A.0

B.12

C.1

D.5

2

11、已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程

f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则

1234_________.x x x x +++=

12、已知函数f(x)=1+ax 2

x +b 的图象经过点(1,3),并且g(x)=xf(x)是偶函数.

(1)求函数中a 、b 的值;

(2)判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明.

基本初等函数、方程的根与函数的零点

知识点一 指数函数 (1)根式的概念:

如果,,,1n

x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根. (2)分数指数幂的概念:

①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n

a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数

幂等于0.

②正数的负分数指数幂的意义是:

1()0,,,m m n

n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. (3)运算性质:

①(0,,)r

s

r s

a a a

a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈

③()(0,0,)r r r

ab a b a b r R =>>∈ (4)指数函数

知识点二 对数函数 (1)对数的定义:

①若(0,1)x

a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做

底数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数.

③对数式与指数式的互化: log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式:log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (3)常用对数与自然对数

常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么

①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a

M M N N

-= ③数乘:log log ()n

a a n M M n R =∈ ④log a N

a

N =

log log (0,)b n a a n

M M b n R b

=

≠∈ ⑥

l

o g

l

o g (0,

1)

l

o

g

b

a

b N N b b a =>≠

知识点三 幂函数 (1)幂函数的定义

一般地,函数y x α

=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象

过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). 知识点四 函数与方程 1、函数零点的定义

(1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 (2)方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点

(3)变号零点与不变号零点

①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(

(1)零点存在性定理:如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线,并且有()()0f a f b ?<,那么,函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点,即存在),(0b a x ∈,使得0)(0=x f ,

这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

(2)函数)(x f y =零点个数(或方程0)(=x f 实数根的个数)确定方法

① 代数法:函数)(x f y =的零点?0)(=x f 的根;

②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。 (3)零点个数确定

0?>?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根; 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根;

0?

(1)二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ?<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

(2)用二分法求方程的近似解的步骤:

① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ?<,给定精确度ε; ②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;

(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;

(ⅱ) 若()()0f a f c ?<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ?<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);

④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.

典例精讲

题型一 ** 有关幂函数定义及性质 1、函数2

2

(1)m y m x -=-是一个反比例函数,则m= .

2、在函数①y=x 3

②y=x 2

③y=x -1

④y=x 中,定义域和值域相同的是 .

3、将

2

12.1=a ,219.0-

=b ,2

11.1=c 按从小到大进行排列为________

题型二 *** 指数函数及其性质 1、函数0.(12

>+=-a a

y x 且)1≠a 的图像必经过点

2、 比较下列各组数值的大小: (1)3

.37

.1 1

.28

.0; (2)7

.03

.3 8

.04

.3;

3、函数2212x x

y -??=

???

的递减区间为 ;值域是

4、设20≤≤x ,求函数12

4

325x x y -=-?+的最大值和最小值。

5、设d c b a ,,,都是不等于1的正数,x

x

x

x

d y c y b y a y ====,,,

在同一坐标系中的图像如图所示,则d c b a ,,,的大小顺序是 A .a b c d <<< B .a b d c <<<

C .b a d c <<<

D .b a c d <<<

题型三 ** 指数函数的运算 1、计算12

2

(2)-??-??的结果是() A

、1

2

C

、—12

2

44

等于() A 、16a B 、8a C 、4a D 、2

a 3、若53,83==b

a

,则b a 23

3-= 。

题型四 ** 对数运算 1

、求值233(log 32log 4log 2)+-= ;

2、已知32a

=,那么33log 82log 6-用a 表示是()

A 、2a -

B 、52a -

C 、2

3(1)a a -+ D 、2

3a a -

3、已知732log [log (log )]0x =,那么12

x -

等于()

A 、

1

3B C D

题型五 *** 对数函数及其性质

1、指数函数x

y a = (0a >且)1≠a 的反函数为 ;它的值域是 2、已知112

2

log log 0m n <<,则 ( )

.A 1n m << .B 1m n << .C 1m n << .D 1n m <<

3、 3

2)2.1(-=a ,3

21.1=b ,13

0.9c =,3log 0.34d =的大小关系是

4、已知2

1

log a

<0 ,(a >0,a ≠1),则a 的取值范围是 . 5、函数()log (21)a

f x x =- (a >0,且a ≠1)的图像必经过点

6、已知y=log a (2-ax)在[0,1]上是关于x 的减函数,则a 的取值范围是 ( ) A .(0,1) B .(1,2) C .(0,2) D .),2[+∞

题型六 *** 零点区间的判断

1、函数 f (x )=2x

+3x 的零点所在的一个区间是( )

A 、(-2,-1)

B 、(-1,0)

C 、(0,1)

D 、(1,2)

2、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 ( )

A 、??

? ??41,81

B 、??

?

??21,41

C 、??

?

??1,21

D 、(1,2)

3、设2

()3x

f x x =-,则在下列区间中,使函数)(x f 有零点的区间是( )

A 、[0,1]

B 、[1,2]

4、在下列区间中,函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 ( )

A 、1(,0)4

- B 、 1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)24

5、若0x 是方程lg 2x x +=的解,则0x 属于区间 ( ) A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)

题型七 *** 零点个数的判断 1、方程22

3x

x -+=的实数解的个数为 .

2、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 .

3、函数2

()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 ( )

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7

4、函数()cos f x x =

在[0,)+∞内 ( )

A 、没有零点

B 、有且仅有一个零点

C 、有且仅有两个零点

D 、有无穷多个零点

5、函数223,0

()2ln ,0

x x x f x x x ?+-≤=?-+>?, 零点个数为 ( )

A 、3

B 、2

C 、1

D 、0

6、若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 .

7、若函数3

()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是( )

A 、()2,2-

B 、[]2,2-

C 、(),1-∞-

D 、()

1,+∞

题型八 ** 二分法求函数零点

1、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )

2、下列函数图象与x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )

3、设()833-+=x x f x

,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x

在内近似解的过程中得

()()(),025.1,05.1,01<>

A 、(1,1.25)

B 、(1.25,1.5)

C 、(1.5,2)

D 、不能确定

4、用二分法研究函数13)(3

-+=x x x f 的零点时,第一次经计算0)5.0(0)0(>

B 、(0,1),)25.0(f

C 、(0.5,1),)75.0(f

D 、(0,0.5),)125.0(f

5、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据

如下:

那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确到0.1)为 ( ) A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.5

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、常见集合:正整数集合: 或 ,整数集合: ,有理数集合: ,实数集合: . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合 ,但存在元素 ,且 ,则称集合A是集合B的真子集.记作:A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定:空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素,则集合A有 个子集, 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地,由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.记作: . 2、一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集.记作: . 3、全集、补集? §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有惟一确定的数 和它对应,那么就称 为集合A到集合B的一个函数,记作: . 2、一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 那么 上是增函数; 上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设

2020高一数学知识点总结归纳精选5篇

2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦,知识点众多而且杂,对于高一的同学们很不友好,建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学,这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结,希望能帮助到大家! 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a 大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴

的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地,对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q 是偶数,函数的定义域是[0,+)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x0,函数的定义域是(-,0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制****于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0和x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时,若[]q p a b x ,2∈- =,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; []q p a b x ,2?- =,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =.

高中数学知识点总结超全

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集, 它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ (1)A A A = (2)A?=? (3)A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ (1)A A A = (2)A A ?= (3)A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体,化成||x a<, ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = (其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结(最全集) 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。

高中数学知识点总结精简

高中数学必修1知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a 属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法: ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x| x-3>2} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集,记作A?B(或B? A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

高中数学知识点大全

高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1 个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时,若[]q p a b x ,2∈- =,则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; []q p a b x ,2?- =,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时,若[]q p a b x ,2∈-=,则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =,若

高中数学秘籍高中数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? A 表示函数y=lgx 的定义域, B 表示的是值域,而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}1|032|2===--=ax x B x x x A ,如:集合 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-? ?? ???1013 显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是, 这里千万小心,还有一个B 为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择,所以,总共有2n

种选择, 即集合A 有2n 个子集。 当然,我们也要注意到,这2n 种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n - ()若,;2A B A B A A B B ??==I Y (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B Y I I Y ==, 有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 ,A B A B A B A B ==U I I U 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 50 1539252 2∈--0) 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上 ,也应该马上可以想到m ,n 实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 ()()(). ∨∧?可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和“非” 若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧

高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结 1. 首先对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? (答:,,)-??? ??? 1013 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 请问你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30 555 5015392522 ∈--

若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() (答:,,,)022334 10. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210

最新高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结 1 1. 首先对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 3 中元素各表示什么? 4 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 5 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 6 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 7 {}{}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 8 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? 9 (答:,,)-??????1013 10 3. 注意下列性质: 11 {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 12 ()若,;2A B A B A A B B ??== 13 (3)德摩根定律: 14 ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 15 4. 请问你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 16 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?50352 17 的取值范围。 18

()(∵,∴ ·∵,∴·,,)335305555015392522∈--

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合: Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?, 则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子 集,21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A Y . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A I . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则: ()()21x f x f -=… (2)导数法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数; 若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ;

高中数学知识点汇总(最新版)

高中数学资料汇总 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式; (3)零点式. 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 1、若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数. 2、函数的图象的对称性 (1)函数的图象关于直线对称 .

(2)函数的图象关于直线对称 . 3、两个函数图象的对称性 (1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称. (2)函数与函数的图象关于直线对称. (3)函数和的图象关于直线y=x对称. 4、若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象;若将曲线的图象右移、上移个单位,得到曲线的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系:. 6、若函数存在反函数,则其反函数为,并不是 ,而函数是的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数,. (2)指数函数,. (3)对数函数,.

(4)幂函数,. (5)余弦函数,正弦函数,,§ 数列 1、数列的同项公式与前n项的和的关系 ( 数列的前n项的和为). 2、等差数列的通项公式;其前n项和公式为 . 3、等比数列的通项公式;其前n项的和公式为 或. 4、等比差数列:的通项公式为 ;其前n项和公式为 . § 三角函数

1、同角三角函数的基本关系式,=,. 2、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 3、和角与差角公式 ; ; . (平方正弦公式); . =(辅助角所在象限由点的象限决 定, ). 4、二倍角公式 .

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高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 2.关于“属于”的概念 如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a?A 3.集合的分类: (1).有限集含有有限个元素的集合 (2).无限集含有无限个元素的集合 (3).空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}=Φ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意:B A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/B或B?/A 2.“相等”关系:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B ①任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1.交集: 记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 2.并集: 记作A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 3.交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A ,A∪φ= A ,A∪B = B∪A. 4.全集与补集(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 S A?),由S中所有不属于A的元素 组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作: C S A 即 C S A ={x | x∈S且 x?A} (2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

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高中数学知识点总结(最全版) 第一章函数概念(1)函数的概念①设、是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中任何一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应(包括集合,以及到的对应法则)叫做集合到的一个函数,记作、②函数的三要素:定义域、值域和对应法则、③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数、(2)区间的概念及表示法①设是两个实数,且,满足的实数的集合叫做闭区间,记做;满足的实数的集合叫做开区间,记做;满足,或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别记做,;满足的实数的集合分别记做、注意:对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立)、(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数、②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数、③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合、④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1、⑤中,、⑥零(负)指数幂的底数不能为零、⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集、⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知的定义域为,其复合函数的定义域应由

不等式解出、⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论、⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义、(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的、事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值、因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同、求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值、②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值、③判别式法:若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程则在时,由于为实数,故必须有,从而确定函数的值域或最值、④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值、⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题、⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值、⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值、⑧函数的单调性法、(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种、解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系、列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系、图象法:就是用图象

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高 中 数学 必 修 知识点 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图:斜二测画法 4斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2 2 R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?= 底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上( 4球体的体积 3 3 4R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形, 锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用:判断直线是否在平面内 (2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P ∈α∩β =>α∩β=L ,且P ∈L 公理3作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为了简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

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高中数学 必修1知识点 第一章 函数概念 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立). (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.

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引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。

选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与 指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应 用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应 用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算

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