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习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A (2，1,-6)，

B (0，2，0)，

C (-3，0,5)，

D (1，-1，-7).

解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则

(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).

(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).

同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).

3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即

(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.

解之得z =11，故所求的点为M (0，0，

149

). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2

14M M =，2

13236,6M M M M ==

所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.

解：所求平面方程为1235y x z

+=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为

Ay +Bz =0.

又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为

Ax +Cz +D =0.

又点M 1和M 2都在平面上，于是

A D C D +=??

+=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.

显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？

解：表示以点（1，-2，0

9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.

解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

1. 下列各函数表达式:

(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,

求(f x y -； (2)

已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).

解：（1

）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2

）2

222(()2f x y x y x y -=+=-+

所以22(,)2f x y x y =-

2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1

z x y =+-；

(2) z =

(3) (,))f x y x y =-；

(4) 22(,)f x y =

解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠

故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。（2）由

2210

10x y ?-≥?-≥?

可得11

11x y y -≤≤??≥≤-?

或

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。（3）由

0x x y -≥??->?

可得

x y x ≥??

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐

标1x ≥的部分。（4）由

222

131

0x y x y ?-≤--≤?-≥?

可得

222

x y y x ?≤+≤?≤?

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。 3. 说明下列极限不存在：

(1) 00

lim x y x y

x y

→→-+；

(2) 362

lim x y x y

x y →→+.

解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有

(,)(0,0)0 (1)1

lim lim (1)1x y x y kx

x y k x k x y k x k →→=---==+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。（2）当点P (x ,y )沿曲线3

y kx =趋于点(0,0)时，有 3

3662262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kx

x y kx k

x y k x k →→===+++。显然，此时的极限值随k 的变化而变化。因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

4. 计算下列极限：

(1) 01

lim x x y e y

x y →→++； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x

→;

(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y

→++；

(4)

(,)(0, 0)

lim

x y →.

解：（1）因初等函数(,)x e y

f x y x y

+=+在(0,1)处连续，故有

001

lim 201

x x y e y e x y →→++==++

（2）

(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()

lim

lim 3x y x y xy xy y x xy →→==

（3）33332

233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y

→→++=-+=++ （4

）(,)(0, 0)

(,)(,)1lim

lim lim 4x y x y x y →→→===。 5. 究下列函数的连续性：

(1) 22

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ?-≠?

+=??=?

(2) 22

22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?-≠?

=+??=?

解：(1)22

(,)(0,0)(,)(0,0)

lim lim ()0(0,0)x y x y x y x y f x y →→-=-==+

所以f(x,y)在(0,0)处连续.

(2) 22222

222222(,)(0,0)0 1lim lim 1x y x y kx

x y x kx k x y x k x k →→=---==+++ 该极限随着k 的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.

6. 下列函数在何处间断？ (1) 221z x y =-；

(2) ln z =解：(1)z 在{(x ,y )| x y =}处间断. (2)z 在{(x ,y )| 2

1x y +≥}处间断.

习题7-3

1. 求下列函数偏导数：

(1) z =x 3+3xy +y 3；

(2) 2

sin y z x

(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠， (5) z y

u x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y ??=+=+??

(2) 222sin 1,cos 2.y z z y y x y x x

??=-=?? (3) 13,.33z z x x y y x y

??-==?-?-

(4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x x xy x y y --??=+=+=+??

(5)

12,ln ().z

y y u z u z x x x x y y y

-??==-?? 1ln ()z

y u x x z y ?=?

(6) 22sin()2,z u

x y e x x

-?=--+? 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --?=--+-=-+?

22sin()()z z u

x y e e z

--?=--+-? 22sin()z z e x y e --=-+ 2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);

(2) 22

)arctan x y f x y x y

+=-;求(1,0)x f

(3) 2

2arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；

(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 2

(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==

+故

因此11(1,0).112

x f =

=+ (3) 222arctan(1

(,2)ln(4)sin(1)2

x f x x

x e =++-

因此

2222arctan(4)

22arctan(12(,2)cos(1)224

sin(1)x x x x x f x x x e

x x e ++=+-++-

所以arctan(11

(1,2)25

x f e =+.

(4) 1(,,),(,,),(,,).x y z y

z f x y z f x y z f x y z x yz x yz x yz --===---

故11

(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.

x y z f f f ==-=

3．设r =，证明： (1) 2

1r r r x y z ?????????++= ? ?

??????????; (2) 222222

2r r r r x y z

???++=???; (3) 2222222(ln )(ln )(ln )1r r r x y z r ?

??++=???.

证明：r x ??=,x r = 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r y ??,y r =r z ??.

z r

(1)

()

2222

221x y z r r r r x

y z r r

++?????++

=== ??????

(2) 2

222

2223

r x r x r r r x x r x r r r ?--?-?===? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：22

2222

2323

,r y r r r z y r z r -??-==

?? 222

222222233322.r x y r r r r r x y z r r

--???∴++===???

(3) 222222

2(ln )1ln ln(),2r x x r x y z x x y z r

?=++==?++ 2

222

244

2(ln )2r r x r r r x x x r r ?-?-?==

? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：

222222

2424

(ln )2(ln )2,.r r y r r z y r z r ?-?-==?? 222222222242(ln )(ln )(ln )32()1

r r r r x y z x y z r r

???-++∴++==???.

4. 求下列函数的二阶偏导数22z x ??,22z y ??,2

z y x

???： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+.

解：(1) 2

212631,246.z z x xy y x y x x

??=+--=+??

222361,6.z z

x xy x y y

??=-+=-?? (2) 2222

211

ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+??=++=+=?++?++

222

,.()z x z x y x y y x y ??==-?+?+ 5. 某水泥厂生产A ,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作x ,y (单位：吨)，总成本(单位：

元)为

C (x ,y )=20+30x 2+10xy +20y 2,

求当x =4,y =3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：(,)6010,(,)1040,x y C x y x y C x y x y =+=+ (4,3)270,(,)160.x y C C x y ∴==

经济含义:当A ,B 两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B 水泥产量不变，而A 水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A 水泥产量不变，而B 水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。

6. 设某商品需求量Q 与价格为p 和收入y 的关系为

Q =400－2p +0.03y .

求当p =25,y =5000时，需求Q 对价格p 和收入y 的偏弹性，并解释其经济含义. 解：

(,)2,(,)0.03,p y Q p y Q p y =-= (25,5000)2,(25,5000)0.03.p y Q Q =-=

经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.

习题7-4

1. 求下列函数的全微分：

(1) z =4xy 3+5x 2y 6；

(2) z

(3) u =ln(x －yz )； (4) sin

yz y

u x e =++ 解：(1) 36225410,1230,z z y xy xy x y x y ??=+=+??

所以 3323

z 2(2)d 6(2)d .d y xy x xy xy y =++5+5 (2)

z z

x y ??==?? 所以

z .d x y =

(3) 1,,,y u u z u x x yz y x yz z x yz

-??-?===?-?-?-

所以 1 u d d .y z d x y dz x yz x yz x yz

--=++---

(4) 11,cos ,,22yz yz y

u u u ze ye x y z

???==+=???

所以 1

u d (cos )d .22

yz yz y d x ze y ye dz =+++ 2. 计算函数z =x y 在点(3，1)处的全微分. 解：1,ln ,y y z z yx x x x y -??==??

所以 1

z d ln d .y y d yx x x x y -=+ (3,1) d 3ln 3d .dz x y =+

3. 求函数z =xy 在点(2，3)处，关于Δx =0.1，Δy =0.2的全增量与全微分.

解：,,z z y x x y

??==??所以(2,3)(2,3)3,2,z z x y ??==??

(2,3)(2,3)

0.30.40.7z z

z x y x y ???≈

?+?=+=?? (2,3) 3d 2d .dz x y =+

4. 计算 (1.04) 2.02的近似值.

设函数f (x ,y )=x y .x =1,y =2,Δx =0.04,Δy =0.02.

f (1,3)=13=1,f x (x ,y )=yx y -1,f y (x ,y )=x y ln x ,

f x (1,2)=2,f y (1,2)=0.

由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得

(1.05) 3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.

5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm ，内半径为4 cm ，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm ，求容器外壳体积的近似值.

解：解设圆柱的直径和高分别用x ，y 表示，则其体积为

221(,)()24

x V f x y πy πx y ===.

于是，将所需的混凝土量看作当x +Δx =8+2×0.1，y +Δy =20+0.1与x =8，y =20时的两个圆柱体的体积之差ΔV (不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式

ΔV ≈d V =f x (x ,y )Δx +f y (x ,y )Δy .

又211

(,),(,)24

x y f x y πx y f x y πx ==，代入x =8，y =20，Δx =0.2，

Δy =0.1，得到

211

d 8200.280.117.655.264.24

V V πππ?≈=???+??=≈(m 3).

因此，大约需要55.264m 3的混凝土.

习题7-5

1. 求下列函数的全导数：

(1) 设z =e 3u +2v ，而u =t 2,v =cos t ,求导数

d d z t

； (2) 设z =arctan(u －v ),而u =3x ,v =4x 3,求导数d d z

x ;

(3) 设z =xy +sin t ,而x =e t ,y =cos t ,求导数d .d z

解： (1)

d d d d dz z u z v dt u t v t

??=?+??? 3232322(sin )u v u v e t e t ++=?+?-

32cos 32cos 62sin t t t t te te ++=-

(2)

d d d d dz z u z v dx u x v x

??=?+??? 2

113121()1()x u v u v -=?+?+-+- 32

3(14).1(34)x x x =?-+- (3) d d d d y

dz z x z z dt x t y t t

???=?+?+???

(sin )cos t y e x t t =?+?-+

cos sin cos t t t e e t t =?-+

2. 求下列函数的偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数)：

(1) 设z =u 2v －uv 2，而u =x sin y ,v =x cos y ，求z

x ??和z y

??；

(2) 设z =(3x 2+y 2)4x +2y ，求z

x ??和z y

??；

(3) 设u =f (x ,y ,z )=e x +2y +3z ,z =x 2cos y ，求u

x ??和u y

??；

(4) 设w =f (x ，x 2y ，xy 2z )，求w x ??,w y ??,w

??.

解：(1)22(2)sin (2)cos z z u z v

uv v y u uv y x u x v x

?????=

?+?=-+-????? 222222(sin 2cos )sin (sin sin 2)cos x y x y y x y x y y =-+-

22(2)cos (2)sin z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y

?????=?+?=---????? 222222(sin 2cos )cos (sin sin 2)sin x y x y x y x y x y x y =-+- (2) 令223,42,v u x y v x y z u =+=+=则. 16ln 4v v z z u z v vu x u u x u x v x

-?????=?+?=?+?????? ()

()

421

422222226343ln(3)x y x y

x x y x y x y +-+=++++

12ln 2v v z z u z v

vu y u u x u y v y -?????=?+?=?+?????? ()

()

421

422222222323ln(3)x y x y

y x y x y x y +-+=++++

(3)

21232w

f f xy f y z x

?=+?+?? 2232w f x f xyz y ?=?+??

23w

f xy z

?=?? 3. 应用全微分形式的不变性，求函数arctan

1x y

z x y

+=-的全微分. 解：令,1,arctan u

u x y v xy z v

=+=-=则

22111(arctan )1()1()

u u

dz d du dv u u v v v v v

==-++ 而,du dx dy dv ydx xdy =+=--

故2

()()11

[]1111x y ydx xdy dz dx dy xy xy x y xy +--=+---+??

+ ?-??

.11dy dx

x y

=+++ 4. 已知sin xy －2z +e z =0,求z x

??和z

y ??..

解：两同时对x 求偏导，可得

cos 20.z z z

y xy e x x

??-+=??

故cos .2z

y xy

z x e ?=?- 两边同时对y 求偏导，可得

cos 20.z z z

x xy e y y ??-+=??

故cos .2z

x xy

z y e ?=?- 5. 若f 的导数存在，验证下列各式：

(1) 设u =yf (x 2－y 2)，则2u u y x y x u

x y

??+=??；

(2) 设()y

z x y x f x =+，则z z x y z x y x y

??+=+??.

证：(1) 22'()2u

yf x y x x ?=-??,22222()2'().u f x y y f x y y

?=---? 所以232222222'()2[()2'()]u u y xy y f x y x xy f x y y f x y xu x y

??+=-?+---=??.

(2) 21()'()()y y

z y f xf x x x x

?=++?-?,1'().y z x xf y x x ?=+?

所以11[()'()()]['()]y y y

z z x y x y f f y x xf z xy x y x x x x x ??+=++?-++=+??.

6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f 具有二阶连续偏导数)：

(1) arctan 1x y

z x y +=-；

(2) z =y ln x ；

(3) z =f (xy ,x 2－y 2).

解：(1)由第3题可知

1,.11dy z z

x y x y ??==??++ 故222222222222,,0(1)(1)y z x z z z

x y y x x x y y -?-???====?????+?+. (2) ln ln 11ln ,ln .x x z z y y xy x x y

-??==??

故2ln 2ln 22211ln ln x x z y y y y x x x ?=-?, 2ln 22ln (ln 1),x z

x x y y

-?=-? 22ln 1ln 1ln 1111

ln ln (1ln ln )x x x z z y x y y y x y x y y x x x x

---??==+??=+????. (3) 122,z

f y f x x ?=+?122.z f x f y y

?=-?

故2111222(2)2z y f y f x f x ?=++?22212211122222(2)442.x f y f x y f xyf x f f ++=+++ 22211122212211122222(2)22(2)442.z

x f x f y f y f x f y x f xyf y f f y

?=----=-+-? 22221111221221111222(2)2(2)(22)4.z z

f y f x yf x f x yf f xyf x y f xyf x y y x

??==+-+-=++--???? 7. 求由下列方程所确定的隐函数z =f (x ,y )的偏导数,z z

x y ????：

(1) x 2+y 2+z 2－4z =0；

(2) z 3－3xyz =1.

解：(1)两边同时对x 求偏导得2240,z z x z

x x ??+-=??故2.42z x x z

?=?- 两边同时对y 求偏导得2240,z z y z y y

??+-=??故2.42y

z y z ?=?-

(2) 两边同时对x 求偏导得233()0,z z

z y z x x ??-+=??故23.33yz z x z y ?=?- 两边同时对y 求偏导得故23.33z xz y z x

?=?-

习题7-6

1. 求下列函数的极值：

(1) f (x ,y )=x 2+y 3－6xy +18x －39y +16； (2) f (x ,y )=3xy －x 3－y 3+1.

解：(1) 先解方程组2

(,)26180

(,)36390x y

f x y x y f x y y x =-+=???=--=?? 得驻点为(-6,1),(6,5).

()()2,,6,,y,xx xy yy f f x y f x y ==-=6

在点(-6，1)处，Δ=AC -B 2=2×6-36<0,所以f (-6，1)不是极值；在点(6，5)处，Δ= AC -B 2=2×30-36>0，又A >0，所以函数在(6，5)处有极小值f (6，5)=-90.

(2) 先解方程组2

(,)330

(,)330x y

f x y y x f x y x y ?=-=??=-=?? 得驻点为(0,0),(1,1).

()()6,,3,,y,xx xy yy f x f x y f x y =-==-6

在点(0，0)处，Δ=AC -B 2=-9<0,所以f (0，0)不是极值；

在点(1，1)处，Δ=AC -B 2=27>0,又A <0，所以函数在(1，1)处有极大值f (1，1)=2.

2. 求函数f (x ,y )=x 2－2xy +2y 在矩形区域D ={(x ,y )|0≤x ≤3,0≤y ≤2}上的最大值和最小值.

解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组 (,)220

(,)220 x y f x y x y f x y x =-=???

=-+=??

得唯一驻点(1,1),且f (1,1)=1.

(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.

在边界x =0,02y ≤≤上, f (x ,y )=2y ，因此最大值为f (0,2)=4，最小值为f (0,0)=0；在边界x =3,02y ≤≤上, f (x ,y )= -4y +9，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (3,2)=1；在边界y =0,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (0,0)=0；

在边界y =2,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2－4x +4，因此最大值为f (3,2)=1，最小值为f (2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (3,0)=9为最大值，f (0,0)=0为最小值. 3. 求函数f (x ,y )=3x 2+3y 2－x 3在区域D :x 2+y 2≤16上的最小值. 解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组

(,)6630

(,)60 x y f x y x y x f x y y ?=+-=??

==??

得驻点(0,0), (2,0)，且f (0,0)=0， f (2,0)=4.

(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.

在边界x 2+y 2=16上，f (x ,y )=48－x 3, 因此最大值为f (0,4)=48，最小值为f (4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (0,4)=48为最大值，f (4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z =xy ，x +y =1；

(2) u =x －2y +2z ， x 2+y 2+z 2=1.

解：(1) 作拉格朗日函数L (x ,y ,λ)=xy +λ(x +y －1).写出方程组

0010x y L y L x L x y λλλ=+=??

=+=??=+-=? 得到11(,)22P ,因此，z =xy 在11(,)22P 处取得最大值1

(2) 作拉格朗日函数L (x ,y ,z ,λ)= x －2y +2z +λ(x 2+y 2+z 2－1).写出方程组

222120220

22010x y z L x L y L z L x y z λλλλ=+=??

=-+=??

=+=?

?=++=?－得到1122(,,)333P -,1122

(-,,-)333

P . 因此，u =x －2y +2z 在1122

(-,,-)333

P 处取得最小值-3. 5. 要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？解设长方体的三棱长分别为x ，y ，z ，则问题就是在约束条件

xyz =8

下求函数S =2(xy +yz +xz )的最大值. 构成辅助函数

F (x ，y ，z )= 2(xy +yz +xz )+λ(xyz －8)，

解方程组

(,,)220,(,,)220,

(,,)220,8x y z F x y z y z yz F x y z x z xz F x y z x y xy xyz λλλ=++=??

=++=??

=++=??=?

得2x y z ===,这是唯一可能的极值点.

因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m 3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积24.S =

6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和y 件，总成本函数为

C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元),

要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？

解：问题是在约束条件x +y =42(x >0，y >0)下，函数

C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元)

的条件极值问题.令

(,,)L x y λ221000812(42)x xy y x y λ=++++-－

由160,240,42x y L x y L x y x y λλ=-+==-++=+=得x =25,y =17.

根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.

7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R (单位:万元)与电视广告费x (单位:万元)和报纸广告费y (单位:万元)之间的关系为

R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2，

(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.

(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.

解：(1)R 14840,328200.x y y x R x y =--==--=令得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x +y =2(x >0，y >0)下，函数

R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2

的条件极值问题.令

(,,)L x y λ221514328210(2)x y xy x y x y λ=++++-－－－由14840,832200,2x y L y x L x y x y λλ=--+==-+-+=+=

解得x =0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元

时，广告策略最佳。

由x +y =2，可得y =2-x ,代入R 得

R (x ,y )=-4 x 2+6x +39

令0,0.75x R x ==得.因此y=1.25.

复习题7 （A ）

设1)z f =，且已知y =1时，z =x 则()f x =3(1)1x +-

,1z x =-.

解：由y =1时，z =x

，得1)= 1.f x -

3331=t.(1),()(1) 1.()(1)1x t f t t f x x =+=+-=+-得因此即

，1z x =

-. 2. 设3

22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ?≠?

=+??=?，则(0,0)x f = 1 , (0,0)y f = 0 .

解：00(0,0)(0,0)(0,0)lim

lim 1,x x x f x f x

f x

x ?→?→+?-?===??

00(0,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0.x x x f y f f y

y ?→?→+?-===?? 3. 设arctan

x y

z x y

+=-,,则d z = . 解：令,,arctan u

u x y v x y z v

=+=-=则

22111(arctan )1()1()

u u

dz d du dv u u v v v v v

==-++ 而,du dx dy dv dx dy =+=-

故2

()()11

[]11x y dx dy dz dx dy x y x y x y xy +-=+---+??

+ ?-??

.xdy ydx

x y -=

4. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2

u u x y x y x ??+=??? . 解：21'()()'(),y y u x x yf g xg x x y y y

x ??

?=-++ ????

2224322111

''()'()'()'()''(),y y y y u x x x yf yf g g xg x x y y y y y x

x x y ???=++++ ????

2222322322''()'()'()''()'(),y y y y u x x x x x x

f f

g g g x x y y y x

x x y y y ???=----- ????

所以22

2u u x y x y x

??+=???0.

5. 若函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数(,)z f x y = ( D )

A 有极限

B 连续

C 可微

D 以上三项都不成立

解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC 三项不一定正确. 6. 偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件

C 充要条件

D 即非充分也非必要条件解：同5.

7. 设函数f (x ,y )=1－x 2+y 2

,则下列结论正确的是( D )

A 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点

B 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点

C 点(0,0)不是f (x ,y )的驻点

D f (0,0)不是f (x ,y )的极值 8. 求下列极限： (1)

22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y

→+； (2) (,)(0, 0)

lim

x y x y →+-.

解：(1) 因为22(,)(0,0)

1lim ()0x y x y xy →+=，而sin

有界.所以22(,)(0,0)1

lim ()sin 0.x y x y xy

→+=

(2)

(,)(0, 0)

(,)(,)11(11)(11)lim

lim lim ()(11)()(11)

x y x y x y xy xy xy x y xy x y xy →→→+-+-++==++++++ =0

9. 设u =e 3x －

y ，而x 2+y =t 2,x －y =t +2,求0

d d t u t =.

解：由x 2+y =t 2,x －y =t +2,可得 22,1,dy dy dx dx x t dt dt dt dt +=-=所以 2122,2121

dy dx t t x dt x dt x +-==++. 因此，33212232121x y x y dy du du dx du t t x e e

dt dx dt dy dt x x --+-=+=-++. 令0,2,41, 1.t x y x y ==-=-==-得或

故2

40d 5.d 33

t u e e t -==或 10. 设z =f (x ,y )由方程xy +yz +xz =1所确定,求22

2,,.z z z x x y

x ???????

解：两边同时对x 求偏导，得

0,,y z z z z z x z y y z x x x x x y y x y

+????++++==-=-

???+?+因此由对称性可得.

22222

()()()22.()()()

y z z x y y z x y y z x y y z z x x x y x y x y +?-+--+-+++??=-=-=?+++ 2

(1)()()(1)()2.()()()z x z x y y z x y y z y x y z z

x y x y x y x y ?+++-+-+--?+?=-=-=??+++ 11. 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足22221f f u v

??+=??，又221

(,)[,()]2g x y f x y x y =-,

试证

22222

2g g

x y x y

??+=+??. 证：221

,(),(,)(,).2

u xy v x y g x y f u v ==-=设则则

,g f f f f u v y x x u x v x u v ???????=+=+???????,g f f f f u v x y y u y v y u v

???????=+=-??????? 2222222222

22,g f f

f f f f u v

y x y x x x v v x u v u v

?????????=++=++????????? 2222222222

22,g f f

f f f f u v x y x y y y v v y u v u v

?????????=--=+-????????? 所以222222g g

x y x y

??+=+??.

12. 求函数f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.

解：先解方程组2

(,)2(2)0

(,)2ln 10x y

f x y x y f x y x y y ?=+=??=++=?? 得驻点为(0,1).

()()221

2(2),,4,,2,xx xy yy f y f x y xy f x y x y

=+==+

在点(0，1)处,Δ=AC -B 2=6×1-0>0,又A >0,所以函数在(0，1)处有极小值f (0，1)=0.

（B ）

1. 设z =e －x +f (x －2y )，且已知y =0时，z =x 2,则z x

? .

解：令2220(),(2),x x x y y f x x e z e x y e -==-=+--得因此，

所以22(2).x x y z

e x y e x

-?=+--?

2. 设f (x ,y ,z )=e x yz 2，其中z =z (x ,y )是由x +y +z +xyz =0确定的隐函数，则(0,1,1)x f -= .

解：01()0.z z

x y z xyz y z x x x

??+++=+++=??由可得

故1.1yz

z x xy

+?=-?+ 221(,,)(2)(2)1x x x x x yz z

f x y z y e z e z y e z e z x xy +?=+?=-?+

因此(0,1,1)1x f -=.

设z =,则z z x y x y ??+=?? .

解：z

z x y ??==??，

所以11

.2z z x y x y ??+==?? 4. 设1

()()z f x y yg x y x =++,,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2

z x y

?=?? .

解：21()'()'(),y

z f xy f xy yg x y x x x

?=-+++?

2'11

()'()''()'()''()y z f xy f xy f xy x g x y yg x y x y x x x

?=-++++++?? ''()'()''()yf xy g x y yg x y =++++.

函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).

A f x (0,0)，f y (0,0)都存在

B f x (0,0)存在，f y (0,0)不存在

C f x (0,0)不存在，f y (0,0)存在 D

f x (0,0)，f y (0,0)都不存在

解：000(0,0)(0,0)1(0,0)lim lim ,x x x x f x f e f x x

?→?→?→+?--==??=

000(0,0)(0,0)1

(0,0)lim lim lim .y x x x f y f f y y

?→?→?→+?--==??=

6. 设f (x ,y ),g (x ,y )均为可微函数，且g y (x ,y )≠0，已知(x 0,y 0)是f (x ,y )在约束条件

g (x ,y )=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D ) A 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)=0 B 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)≠0 C 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)=0 D 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)≠0

解：作拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y λλ=+，则有 0000(,,)(,)(,)0x x x L x y f x y g x y λλ=+=， 0000(,,)(,)(,)0y y y L x y f x y g x y λλ=+=.

由于g y (x ,y )≠0，所以当f x (x 0,y 0)≠0，0,λ≠因此00(,)0y g x y λ≠，从而f y (x 0,y 0)≠0. 7. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且z =z (x ,y )是由x e x －y e y =z e z 所确定的隐函数，求d u .

解：由x e x －y e y =z e z

可得.,y y

x x x x z z z z z

e ye z z z e xe z e xe e ze x x x y e ze e ze --???+?+=+==????++故同理. 因此x y z du

f dx f dy f dz =++

()y y x x

x y z z z z z

e ye e xe

f dx f dy f dx dy e ze e ze ++=++-++

()()y y x x x z y z z z z z

e ye e xe

f f dx f f dy e ze e ze ++=++-++.

8. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且y =y (x ),z =z (x )分别由下列两式确定：

0sin 2,d x z

x y x t e x y e t t

--==?，

求

d d u x

. 解：由2,()()0,.xy xy

dy dy dy e y y y

e xy e y x y x dx dx dx x

x e x --=+-+===--可得因此，由0sin()()sin d ,(1)1sin()x x z x x

x z e x z t dz dz e t e t x z dx dx x z ---==-=-

--?可得，因此. 故()d [1]d sin()

x x y z x y z dy y e x z u dz f f f f f f x dx dx x x z -=++=-+--. 9. 设z =z (x ,y )由方程x 2+y 2－z =g (x +y +z )所确定，其中g 具有二阶连续偏导数且g ′≠－1. (1) 求d z ;

(2) 1(,)()

z z u x y x y x y ??=--??,求.u x ??

解：(1)()22x y z g x y z +=++由－,两边分别同时对x 、y 求偏导得

()()2'(1),2'(1).z z z z x g x y z y g x y z x x y y ????-=+++-=+++???? 因此()()()()2'2',.'1'1x g x y z y g x y z z z x y g x y z g x y z -++-++??==??++++++ ()()()

()2'2'.'1'1

x g x y z y g x y z dz dx dy g x y z g x y z -++-++=

+++++++

(2) ()()22112(,)()'1'1

x y z z u x y x y x y x y g x y z g x y z -??=

-==

-??-++++++, ()()2

2'2''()[1]2''()(1)'1.['()1]['()1]x g x y z z g x y z g x y z g x y z u x x g x y z g x y z -++?-+++-++++++??==?++++++ 10. 求函数u =x 2+y 2+z 2在约束条件z =x 2+y 2和x +y +z =4下的最大值和最小值.

解：由2222,44x y x y z x y x y +++=+=--z=可得.因此，问题转化为求 2224(4)4u x y x y x y x y =--+--+=--在约束条件下的极值问题. 令222(,,)4(4)(4)L x y x y x y x y x y λλ=--+--++-++, (,,)12(4)20x L x y x y x λλλ=----++=， (,,)12(4)20y L x y x y y λλλ=----++=.

2240,x y x y +-++=

解得: 2,21, 1.x y x y =-=-==或因此, .z=8或z=2 又(2,2,8)72,(1,1,2) 6.f f --== 所以最大值为72，最小值为6.

多元函数微分学知识点梳理

第九章多元函数微分学内容复习一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续（2）（二元函数）极值的必要、充分条件二、基本计算（一）偏导数的计算 1、偏导数值的计算（计算),(00y x f x '）（1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='）（3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '）（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）（3）隐函数求导求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等）注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算注意记号表示，以及求导顺序（二）全微分的计算 1、叠加原理

第七章多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。（2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章多元函数微分学习题课一疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结：答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结：答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，

多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课 1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+?，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。 2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。（2）证明极限 y x xy y x +→→0 0lim 不存在。 3．证明 ?????=≠+=00 )1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。 4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y x y x y x α 。 5. 设 ?? ???=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？（2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？ 6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。 7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ??，y x u ???2。 8. 设)(u f z =，方程?+ =x y t d t p u u )()(?确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ?可微，)(),(u t p ?'连续，且 1)(≠'u ?，求 y z x p x z y p ??+??)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y z x z ????,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定： 2=-xy e xy ，dt t t e z x x ?-=0sin ，求dx du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

多元函数微分学习题

第五部分多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数在点处具有两个偏导数是函数存在全

多元函数微分学习题

答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(0 y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(0 y x 连续，则),(y x f 在点),(0 y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(0 y x 的两个偏导数都存在，则 ) ,(y x f 在点),(0 y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(0 y x 可微，则),(y x f 在点),(0 y x 连续。答：D 5．函数2 223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是 ( ) (A) )3 2 ,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )9 2 ,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数z f x y =(.)在点(,)x y 0 处具有两个偏导数 f x y f x y x y (,),(,) 0000 是函数存在全微分的（）。（A).充分条件（B).充要条件

多元函数微分学及其应用

第8章多元函数微分学及其应用参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：（1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。

高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

多元函数微分学习题

第七章多元函数微分学【内容提要】 1.空间解析几何基础知识三条相互垂直的坐标轴Ox 、Oy 、Oz 组成了一个空间直角坐标系。空间直角坐标系下两点间的距离公式为：平面方程：0Ax By Cz D +++= 二次曲面方程： 2220Ax By Cz Dxy Eyz Fzx Gx Hy Iz K +++++++++= 球面方程：()()()2 2 02 02 0R z z y y x x =-+-+- 圆柱面方程：2 22R y x =+ 椭球面方程：()222 2221,,0x y z a b c a b c ++=>，椭圆抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b +=> 双曲抛物面方程：22 22,(,0)x y z a b a b -=> 单叶双曲面图方程：122 2222=-+c z b y a x (a ，b ，c ＞0) 双叶双曲面方程：222 2221,(,,0)x y z a b c a b c +-=-> 椭圆锥面方程：222 2220,(,,0)x y z a b c a b c +-=> 2.多元函数与极限多元函数的定义：在某一过程中，若对变化范围D 的每一对值(,)x y ，在变域M 中存在z 值，按一定对应法则f 进行对应，有唯一确定的值，则称f 为集合D 上的二元函数，记为 ,x y 称为自变量，D 称为定义域，z 称为因变量。(,)x y 的对应值记为(,)f x y ，称为函数值，函数值的集合称为值域。多元函数的极限：设函数(,)f x y 在开区间（或闭区间）D 内有定义，000(,)P x y 是D 的内点或边界点。如果对于任意给定的正数e ，总存在正数d ，使得对于适合不等式

多元函数微分学复习题

多元函数微分学补充题 1.已知函数(,)z z x y =满足222z z x y z x y ??+=??，设1111u x v y x z x ?? ?=? ?=-?? ?=- ?? ，对函数(,)u v ??=，求证 0u ? ?=?。 2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若y x z f f f x y z '''==，证明u 仅为r 的函数，其中r = 3.设)(2 2 y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2222221y x u x u x y u x u +=+??-??+??，试求函数u 的表达式。 4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '= ，又 u f =满足0222222=??+??+??z u y u x u ，试求)(r f 的表达式。 5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足 02=???y x f ，且在极坐标系下可表成(,)()f x y h r = ，其中r =),(y x f 。 6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且 )(2223xyz f z y x z y x u '''=????，求u . 7.设函数)(ln 22y x f u +=满足23 2 22222)(y x y u x u +=??+??，试求函数f 的表达式. 8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ?=-，其中(,)x y ?在点(0,0)的一个邻域内连续。

试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0?=。 9.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得 ||||PQ PM +最小. 10.过椭圆13232 2 =++y xy x 上任意点作椭圆的切线, 试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值. 11.从已知ABC ?的内部的点P 向三边作三条垂线,求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置. 12.设函数)(x f 在),1[+∞内有二阶连续导数,1)1(,0)1(='=f f 且 )()(2 2 2 2 y x f y x z ++=满足02222=??+??y z x z ,求)(x f 在),1[+∞上的最大值. 13.在椭球面122222=++z y x 求一点，使函数2 22),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向 j i l -=的方向导数最大. 14.设向量j i v j i u 34,43+=-=,且二元可微函数在点P 处有 6-=??p u f ,17=??p v f ,求p df . 15.设函数),(y x z z =由方程)(2 z xyf z y x =++所确定,其中f 可微,试计算 y z y x z x ??+??并化简. 16.设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数,且 0≠??y f ,证明对任意常数C , C y x f =),(为一直线的充分必要条件是0222='''+''''-'''x xy xy y x xx y f f f f f f f . 证: 因为C y x f =),(为一直线的充分必要条件为:由C y x f =),(所确定的隐函数

多元函数微分学总结

多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

`第八章多元函数微分学基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。（1）基本概念

①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。（2）关于二元函数极限的解题思路注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。

第7章多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。教学重点与难点常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程：一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。教学时数：18学时 § 1 可微性一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

多元函数微分学练习题

多元函数微分学练习题 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ． 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．

多元函数微分学习题

6 ．函数在点处具有两个偏导数是函数存在全第五部分多元函数微分学( 1) (x,y) (0,0) 在点 (0,0)处 ( ) (x,y) (0,0) xuv 3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 2 4．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是 ( ) (A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。 (B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。 (C) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)可微。 (D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D) 3 3 3 3 3 3 9 9 9 答：A [ 选择题 ] x 3y 2z 1 0 1 ．设有直线及平面 2x y 10z 3 0 容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。。 (C) 垂直于 4x 2y z 2 0 ，则直线 L ( ) (A) 平行于。 (B) 在上答：C (D) 与斜交。 (A) 连续，偏导数存在 (B) (C) 不连续，偏导数存在 (D) 答：C 连续，偏导数不存在不连续，偏导数不存在 (A) x (B) v (C) u (D) uv uv uv 答：B y uv 2．二元函数 f (x,y) xy , 2 2 , xy 0, 5．函数 f(x,y,z) x ( )

《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学 P85-练习1 设)cos(2z y e w x +=，而3x y =，1+=x z ，求 dx dw ．解： dw w w dy w dz dx x y dx z dx ???=+?+???? 2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+? 23232cos((3x e x x x ?? =-+???? P86-练习2 设函数20 sin (,)1xy t F x y dt t = +? ，则22 2 x y F x ==?=? ．（2011）解： 2222222222 sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy F y xy x y xy xy y x x y x x y ??+-==??+?+，故 22 02 4x y F x ==?=? P86-练习3 设)(2 2 y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y z ??．（2006）解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222 222222 () z y x f f y x y x y ?'''=?+??++. P87-练习4 设)(), (x y g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y x z ???2．（2000）解: 根据复合函数求偏导公式 1221()z y f y f g x y x ?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111 [()][()]11 z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x x ?? ?????'''==????''+?+?- ? ???????? '''''''''''''=''''''' +---++?--++?--?-?-= P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求 211 x y z x y ==???．（2011）解：由题意(1)0g '=。因为 12()z yf yg x f x ?'''=+?， 21111222122()()()()z f y xf g x f g x f yg x xf g x f x y ?????''''''''''''=+++++??????，所以 211 12111 (1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y ==?'''''=++?? P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ， y x z ???2．（2009）解： 123123,z z f f yf f f xf x y ??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y ??''''''= +=+++-+?? () 1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+'''''' =++-+-+?+++?-+???+

多元函数微分学复习(精简版)

高等数学下册复习提纲第八章多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆）函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数例设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y

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多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ．二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的（） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的（） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-

第七章多元函数微分高等数学

第七章多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一）本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。（二）多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。（三）偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。（四）复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

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