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第二十二讲以代数为主的综合题

一、课标下复习指南

初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．

二、例题分析

例1 关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m －2＝0． (1)求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 1－x 2｜＝1

1-++

m m ，求m 的值．解 (1)解法一：?＝[－(2m ＋1)]2－4(m 2＋m －2)＝4m 2＋4m ＋1－4m 2－4m ＋8＝9＞0． ∴不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解法二：由原方程可得 x 1＝m ＋2，x 2＝m －1．

∴不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)由(1)得｜x 1－x 2｜＝3．又∵?-++=∴-++

=-1

13,121||21m m m m x x 解得m ＝4．经检验，m ＝4符合题意．

∴m 的值为4．

说明此题利用一元二次方程根的判别式判断其根的情况，这是根的判别式应用的最基本的问题，在此基础上可与方程、函数知识结合，综合地解决代数问题．

例2 已知二次函数y ＝(a ＋c )x 2＋2bx －(c －a )，其中a ，b ，c 是△ABC 的三边，且a ≥b ，a ≥c ，a ＋c ＝2b ．

(1)若这个二次函数的图象经过原点，试证：△ABC 是等边三角形；

(2)若△ABC 是直角三角形，求证：这个二次函数的图象除顶点以外都在x 轴上方．分析 (1)从结论看，要证△ABC 是等边三角形，需证a ＝b ＝c ；从条件看，由函数图象通过原点，可知(0，0)满足该函数的解析式，将之代入变形，寻找a ＝b ＝c 的关系．

(2)从结论看，要证二次函数的图像除顶点外都在x 轴上方，那么解析式配方后y ＝a (x ＋m )2＋n ，其中n ＝0；从条件看，利用△ABC 是直角三角形，a ＋c ＝2b ，可将a ，b ，c 均用a 表示，通过配方观察结论．

证明 (1)由y ＝(a ＋c )x 2＋2bx －(c －a )的图象过原点，得a ＝c ．又∵a ＋c ＝2b ，∴a ＝b ＝c ．即△ABC 是等边三角形．

(2)由△ABC 是直角三角形，及a ≥b ，a ≥c ，得a 2＝b 2＋c 2．

解法一：∵a ＋b ＝2b ，

3,54a c a b ==

∴

.0)2

(58

822

≥+=

∴x a a ax ax y ∴从图象看，二次函数的图象除顶点外都在x 轴上方．

解法二：?＝(2b )2＋4(a －c )(c －a )＝4(b 2＋c 2－a 2)＝0．

∴二次函数的图象与x 轴只有一个公共点，顶点在x 轴上． ∵a ＞0，c ＞0，∴a ＋c ＞0． ∴二次函数的图象开口向上．

∴二次函数的图象除顶点外都在x 轴上方．

例3 关于x 的方程(a －c )(x ＋1)(x －1)＝2(bx ＋c )有两个相等实根，其中a ，b ，c 为 △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，若a 2＋2ac －4b 2＋c 2＝0，求sin B 和tan A 的值．

分析从题目结构看是把方程的知识、三角形边角关系“串联”起来，知识衔接关系清楚，属组合型综合题．

解把方程(a －c )(x ＋1)(x －1)＝2(bx ＋c )整理得(a －c )x 2－2bx －a －c ＝0，因为方程有两个相等实根，所以a －c ≠0，且?＝0，

即4b 2＋4(a －c )(a ＋c )＝0． ∴b 2＋a 2－c 2＝0．

∴△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°．由a 2＋2ac －4b 2＋c 2＝0可得 (a ＋c ＋2b )(a ＋c －2b )＝0．

∵a ＋c ＋2b ＞0， ∴a ＋c －2b ＝0．

由???=-+=+c b c a c a b 2,222可得???

????==.

54,5

3c b c a ∴Rt △ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶4∶5．

?====

∴4

tan ,54sin b a A c b B 例4 (2009天津)已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2＋bx ＋c ，α，β为方程y 1－y 2＝0的两个根，点

M (t ，T )在函数y 2的图象上．

(1)若31=

α，2

=β，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为

121

时，求t 的值；

(3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜1时，试确定T ，α，β 三者之间的大小关系，并说明理由．

分析第(1)问由y 1－y 2＝0得x 2

＋(b －1)x ＋c ＝0均两根为α，β，利用根的定义代入得到b ，c 的方程组可求出b ，c 值；第(2)问分别求出A ，B 两点坐标，利用直线y ＝x 与x 轴夹角为45°得到关于t 的方程；第(3)问利用求差法比较T ，α，β 的大小，注意对t 的范围进行分类讨论来的确定相应T ，α，β 的大小关系．

解 (1)∵y 1＝x ，y 2＝x 2＋bx ＋c ，y 1－y 2＝0， ∴x 2＋(b －1)x ＋c ＝0．

将21

,31==

βα分别代入x 2＋(b －1)x ＋c ＝0，得,03

1)1()31(2=+?-+c b .0)2

()1()21(2=+?-+c b 解得?==

,61c b ∴函数y 2的解析式为?++

612

2x x y (2)由已知，y 1与y 2的图象的两个交点的坐标分别为)3

1,31(),2

,21(．得62

=AB ，设

ABM 中AB 边上的高为h ，

则S △ABM 312

12221==?=

h h AB ，即?=

14412h 由直线y 1＝x 与x 轴的夹角为45°可得｜t －T ｜＝.2h

由61

612

++=t t T ，得?=-+-144

1|6165|2t t 当144

161652

-=+-

t t 时，解得12521==t t ；

当144

161652

-=+-

t t 时，解得122

53-=t ，?+=

12254t ∴t 的值为

?+-122

5,1225,12

5 (3)由已知，得

α＝α2＋b α＋c ，β＝β 2＋b β＋c ，T ＝t 2＋bt ＋c ． ∴T －α＝(t －α)(t ＋α＋b )， T －β＝(t －β)(t ＋β＋b )，

α－β＝(α2＋b α＋c )－(β 2＋b β＋c )，化简得(α－β)(α＋β＋b －1)＝0．

∵0＜α＜β＜1，得α－β≠0，∴α＋β＋b －1＝0．有a ＋b ＝1－β＞0，β＋b ＝1－α＞0．

又0＜t ＜1时，∴t ＋α＋b ＞0，t ＋β＋b ＞0． ∴当0＜t ≤α 时，T ≤α＜β；当α＜t ≤β 时，α＜T ≤β；当β＜t ＜1时，α＜β＜T ．

说明本题是关于函数、方程、不等式的综合题，知识面广．

例5 (2009杭州)已知：如图22－1，平行于x 轴的直线y ＝a (a ≠0)与函数y ＝x 和函数

y 1

的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P (2，0)．

图22－1

(1)若a ＞0，且9

tan =

∠POB ，求线段AB 的长； (2)在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段3

=AB ，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式；

(3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到2

9x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离．

分析 (1)由9

tan =

∠POB 及点B 在抛物线上，得到点B 横、纵坐标的方程组，从而求得A ，B 的坐标及线段AB 的长；(2)先设点A (a ，a )，B ),1(a a

．由38

=AB 求得a ，再根

据a 的取值分类讨论确定抛物线的解析式；(3)设A (a ，a )，B ),1

(a a

，先根据条件确定抛物

线的对称轴，再求二次函数的解析式和a 的值，最后确定P 到直线AB 的距离．

解 (1)设A (a ，a )，B ),1

(a a

，则AB ＝|1

|a a -

．当a ＞0时，

?===∠911tan 2a a

a POB 解得31

a (舍负)．?=-=∴3

8|331|AB (2)由条件可知抛物线开口向下，

?=-=

∴3

1a a AB 所以3a 2＋8a －3＝0．解得a ＝－3或?=

a 当a ＝－3时，点A (－3，－3)，),3,3

(--B 因为顶点在y ＝x 上，所以顶点为)3

5,3

5(--，所以可设二次函数为3

5)3

5(2

+=x k y ，把点A 坐标代入，解得43-=k ，

所以所求函数解析式为?-+-=3

)35(432x y

同理，当31

a 时，所求函数解析式为;3

5)35(432+--=x y (3)由条件可知抛物线的对称轴为直线

?+=

a x 212 设所求二次函数解析式为?++--=

]2)1

()[2(59a

a x x y 将点A (a ，a )的坐标代入，得13a 2－45a ＋18＝0．解得a 1＝3，a 2＝13

，所以点P 到直线AB 的距离为3或

6．说明本题是一次函数、反比例函数和三角函数的综合应用，解决方法一般是从交点入手，利用待定系数法求函数解析式．解答时要注重数形结合，分类讨论时一定要全面，做到不重不漏．

例6 (2007西城模拟)如图22－2，在等腰梯形ABCD 中AB ∥DC ，AB ＝12，24=BC ，∠DAB ＝45°．以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转90°得到等腰梯形OEFG (O ，E ，F ，G 分别是A ，B ，C ，D 旋转后的对应点)．

图22－2

(1)写出C ，F 两点的坐标；

(2)将等腰梯形ABCD 沿x 轴的负半轴平行移动，设移动后的OA 的长度是x ．如图22－3，等腰梯形ABCD 与等腰梯形OEFG 重合部分的面积是y ，当点D 移动到等腰梯形OEFG 的内部时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

图22－3

(3)在直线CD 上是否存在点P ，使△EFP 为等腰三角形?若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．

解 (1)过C 作CH ⊥x 轴于点H (见图22－4)．

图22－4

∵24=BC ，∠CBA ＝∠DAB ＝45°，

∴CH ＝HB ＝4．

∴C 点坐标为(8，4)．

同理可求得F 点坐标为(－4，8)．

(2)设AD ，DC 分别与OG ，OE 交于点M ，N (见图22－5)．

图22－5

∵∠DAB ＝∠GOA ＝45°，

.4,2

222===

=∴ON x OA AM OM 连接OD ，则S 四边形MOND ＝S △DMO ＋S △DNO ，即ON DN MO DM y ?+?=

21 4)4(2122).2224(21?-+-=x x x

).84(844

2<<-+-=x x x

说明也可利用S 四边形MOND ＝S 梯形AOND －S △AOM 求解． (3)设P 点坐标为(a ，4)．可得G (－4，－4)．

①若PE ＝PF ，在Rt △PNE 和Rt △PGF 中，由PE 2＝PN 2＋NE 2＝PG 2＋FG 2＝PF 2，得a 2＋(12－4)2＝(a ＋4)2＋42．解得a ＝4． ②若PF ＝EF ，

则由PF 2＝PG 2＋FG 2＝EF 2．得(a ＋4)2＋42＝(42)2．

解得a 1＝0，a 2＝－8．

当a ＝－8时，P (－8，12)与E ，F 三点共线，不合题意，舍去．当a ＝0时，P (0，4)符合题意． ③若PE ＝EF ，

则由PE 2＝PN 2＋NE 2＝EF 2，得a 2＋(12－4)2＝(42)2．

化简得a 2＋32＝0，方程无解，此时P 点不存在．

综合①、②、③知，所求P 点坐标为P 1(4，4)，P 2(0，4)．说明图形的平移和旋转是解决综合题的重要方法，要很好地掌握由变换产生的点的运动变化特点，从而构建方程和函数来解决相关问题．三、课标下新题展示

例7 (2009江西)某天，小明来到体育馆看球赛．进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他透票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．图22－6中线段AB ，OB 分别表示父子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程．．．．．．．s (米)与所用时间t (分)之间的函数关系，结合图象解答下列问题(假设骑自行车和步行的速度始终保持不变)：

图22－6

(1)求点B 的坐标和AB 所在直线的函数关系式； (2)小明能否在比赛开始前到达体育馆?

分析观察分析图象可知AB 代表父亲骑自行车送票，OB 代表小明回家取票设小明的步行速度为x 米/分，B 为相遇点，且3600＝15(x ＋3x )，从而求出小明步行速度和父亲骑自行车的速度．

解 (1)方法一：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟．设小明步行的速度为x 米/分，则小明父亲骑车的速度为3x 米/分．依题意得15x ＋45x ＝3600，解得x ＝60．所以两人相遇处离体育馆的距离均60×15＝900(米)．

所以点B 的坐标为(15，900)．

设直线AB 的函数关系式为s ＝kt ＋b (k ≠0)．由直线AB 经过点A (0，3600)，B (15，900)

得??

?=+=.90015,3600b k b 解得???=-=.3600

180b k

∴直线AB 的函数关系式为s ＝－180t ＋3600．

方法二：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟．设父子俩相遇时，小明走过的路程为x 米．依题意得15

3600153x x -=?

，解得x ＝900．所以点B 的坐标为(15，900)．

以下同方法一．

(2)方法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为53

60900

=? (分钟)．小明取票花费的时间为15＋5＝20(分钟)． ∵20＜25，

∴小明能在比赛开始前到达体育馆．

方法二：在s ＝－180t ＋3600中，令s ＝0，得0＝－180t ＋3600．解得t ＝20．

即小明的父亲从出发到到达体育馆花费的时间为20分钟． ∴小明取票的时间也为20分钟．

∵20＜25，∴小明能在比赛开始前到达体育馆．

说明本题为函数图象信息题，图象信息题是指给出相关图象，通过观察分析图象，从中获取相关信息进行计算或推理的一类问题．

例8 (2009福州)已知直线l ：y ＝－x ＋m (m ≠0)交x 轴，y 轴于A ，B 两点，点C ，M 分别在线段OA ，AB 上，且OC ＝2CA ，AM ＝2MB ，连接MC ，将△ACM 绕点M 旋转180°得到△FEM ，显然点E 在y 轴上，点F 在直线l 上；取线段EO 的中点N ，将△ACM 沿MN 所在直线翻折，得到△PMG ，其中P 与A 为对称点．记过点F 的反比例函数图象为C 1，过点M 且以B 为顶点的二次函数图象为C 2，过点P 且以M 为顶点的二次函数图象为C 3．

(1)如图22－7所示，当m ＝6时，①直接写出点M ，F 的坐标；②求C 1，C 2的函数解析式；

图22－7

(2)当m 发生变化时，①在C 1的每一支上，y 随x 的增大如何变化?请说明理由；②若C 2，C 3中的y 都随着x 的增大而减小，写出x 的取值范围．

解 (1)见图22－8，

图22－8

①点M 的坐标为(2，4)，点F 的坐标为(－2，8)． ②设C 1的函数解析式为).0(=/=k x

k y ∵C 1过点F (－2，8)， ∴C 1的函数解析式为?-

y 16 ∵C 2的顶点B 的坐标是(0，6)，

∴设C 2的函数解析式为y ＝ax 2＋6(a ≠0)． ∵C 2过点M (2，4)，

∴4a ＋6＝4．解得?-=2

1a ∴C 2的函数解析式为.62

+-=x y

(2)依题意得A (m ，0)，B (0，m )．

∴点M 的坐标为),32,3

1(m m 点F 的坐标为?-)3

,31(m m

①设C 1的函数解析式为).0(=/=k x

∵C 1过点.9

),34,31(2m k m m F -=∴-

∵m ≠0，∴k ＜0．

∴在C 1的每一支上，y 随着x 的增大而增大．

②如图所示，当m ＞0时，满足题意的x 的取值范围为m x 3

0<<；当m ＜0时，满足题意的x 的取值范围为

.03

例9 (2009深圳)如图22－9，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．

图22－9

(1)求点B 的坐标；

(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小?若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积?若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．

分析 (1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求BC ＋CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出S △P AB 关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解．

解 (1)).3,1(B

(2)设抛物线的解析式为y ＝ax (x ＋2)，代入点)3,1(B ，得33=a ．

因此.3

32332x x y +=

(3)如图22－10，抛物线的对称轴是直线x ＝－1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，

所以当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．

图22－10

设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则

?=+-=+.02,3b k b k 解得???

?????

==332,33b k 因此直线AB 的解析式为?+=

233x y 当x ＝－1时，?=

33y

因此点C 的坐标为?-)33,

(4)如图22－11，过P 作y 轴的平行线交AB 于D ，设其交x 轴于E ，交过点B 与x 轴平行的直线于F ．

图22－11

设点P 的横坐标为x ．则S △P AB ＝S △P AD ＋S △PBD

BF PD AE PD ?+?=

21 )(2

BF AE PD +??= ))((2

A B P D x x y y --=

3)]33233()33233[(212?+-+=x x x

?++-=+--

39)21(233232322x x x 当时21-

=x ，△P AB 的面积的最大值839为，此时?--)43

1(P

说明本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线

段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为y D －y P 就是利用了这一规律．四、课标考试达标题 (一)选择题

1．已知a ，b ，c 均为正数，且

,k b

a c

c b a =+=+=+则下列四个点中，在正比例函数y ＝kx 图象上的点的坐标是( )． A ．)2

1,1( B ．(1，2) C ．)2

1,1(-

D ．(1，－1)

2．已知函数y ＝x －5，令,27

,3,25,2,23,1,21=

x 5,2

9,4，可得函数图象上的十个点．在这十个点中随机取两个点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点在同一反比例函数图象上

的概率是( )． A ．

1 B ．

4 C ．

7 D ．

2 3．如图22－12，阴影部分的面积相等的是( )．

图22－12

A ．①②

B ．②③

C ．①④

D ．③④

(二)填空题

4．若点P (a ＋b ，－5)与点Q (1，3a －b )关于原点对称，则关于x 的二次三项式2

b ax x -

-可以分解为____________．

5．已知点A ，B 在x 轴上，分别以A ，B 为圆心的两圆相交于M (3a －b ，5)，N (9，2a ＋3b )，则a b 的值是______． 6．(2009武汉)如图22－13，直线x y 34

与双曲线)0(>=x x k y 交于点A ．将直线x y 3

4=向右平移29个单位后，与双曲线)0(>=x x

k y 交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO

，则k ＝______．

图22－13

(三)解答题

7．(2007常州)如图22－14，已知A (－1，m )与B )33,2(+m 是反比例函数x

y =图象上的两个点．

图22－14

(1)求k 的值；

(2)若点C (－1，0)，则在反比例函数x

y =

图象上是否存在点D ，使得以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形为梯形?若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

8．(2006长沙)如图22－15(a)，已知直线x y 21

-=与抛物64

12+-=x y 交于A ，B 两点(点A 在点B 右侧)．

图22－15

(1)求A，B两点的坐标；

(2)求线段AB的垂直平分线的解析式；

(3)如图22－15(b)，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅

笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

9．如图22－16，抛物线与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，

4)．其中x1、x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．

图22－16

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的

面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三

角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

第二十二讲以代数为主的综合题

1．A ． 2．B ． 3．D ． 4．(x －1)2． 5．

6．12． 7．(1)解：(1)由(－1)·m ＝)33(2+?m ，得m ＝32-，因此.32=k

(2)如答图22－1，作BE ⊥x 轴，E 为垂足，则CE ＝3，3=BE ，32=BC ，因此 ∠BCE ＝30°．

答图22－1

由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA ⊥x 轴，从而∠ACB ＝120°． ①当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ．故不符合题意．

②当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ，过点A ，D 分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．

由于∠DAF ＝30°，设DF ＝m 1(m 1＞0)，则

?==112,3m AD m AF

由点)32,1(--A ，得点,31(1m D +-).321m +- 因此,32)32()31(11=+-?++-m m 解得33

71=

m (m 1＝0舍去)，因此点).33

,6(D 此时,33

AD 与BC 的长度不等，故四边形ADBC 是梯形． ③如答图22－2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ．由于AC ＝BC ，∠CAB ＝30°，从而∠ACD ＝150°．作DH ⊥x 轴，H 为垂足，则∠DCH ＝60°，设)0(22>=m m CH ，则23m DH =，22m CD =．由点C (－1，0)，得点)3,1(22m m D +-，因此，323)1(22=?+-m m ，解得1(222-==m m 舍去)，因此点)3,2,1(D ．此时CD ＝4，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．

答图22－2

④当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时见答图22－3，同理可得，点)3,2(--D ，四边形ABCD 是梯形．

综上所述，函数x y 3

图象上存在D ，使得以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形为梯

形，点D 的坐标分别为)33,6(D 或)32,1(D 或D (－2，).3-

答图22－3

8．解：(1)解：依题意，A ，B 两点的横坐标是

x x 2

6412-=+-

的解．解得x 1＝6，x 2＝－4． ∴A (6，－3)，B (－4，2)．

(2)解法一：作AB 的垂直平分线分别交x 轴，y 轴于C ，D 两点，交AB 于M (如答图22－4)．

答图22－4

由(1)可知,53=OA

.55,52=∴=AB OB

OB AB OM -=

∴2

1?=25

过B 作BE ⊥x 轴，E 为垂足．由△BEO ∽△CMO ，得

?=OE

OM OB OC ?=

∴45

OC 同理?=25

).25,0(),0,45(-∴D C

可得直线CD 即AB 的垂直平分线的解析式为?-=2

52x y 解法二：设AB 的垂直平分线上的点N (x ，y )，则NA ＝NB ．由22)3()6(++-=

y x NA ，

22)2()4(-++=

y x NB ，可得?-=2

2x y

(3)存在点P 使△APB 的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个公共点的直线m x y +-

上，并设该直线分别与x 轴，y 轴交于G ，H 两点(如答图22－5)．

答图22－5

∴点P 的横坐标是方程的解，m x x +-=+-

6412的解， ①.062

412=-+-∴m x x ∵抛物线与直线只有一个公共点， ∴方程①有两个相等的实数根．

.0)6(4

4)21(2=-?--∴m

解得),4

,1(425P m ∴?=

解法一：直线GH 的解析式为?+-

2521x y .54

),425,0(),0,225(

=∴GH H G 设O 到GH 的距离为d ， ∴

OH OG d GH ??=?2

21． 42522521452521??=?∴d ．解得.525=d ∵AB ∥GH ，

∴P 到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．

?=??=?=

∴4

125255552121d AB S 最大面积

解法二：仿照例9(4)的方法将△P AB 的面积转化为以与y 轴平行的边为底的三角形的面积求解．

9．解：(1)∵x 2－2x －8＝0，∴(x －4)(x ＋2)＝0． ∵x 1＞x 2，∴x 1＝4，x 2＝－2， ∴A (4，0)，B (－2，0)，

又∵抛物线经过点A ，B ，C ，可得所求抛物线的解析式为.42

++-=x x y (2)设P 点坐标为(m ，0)，过点E 作EG ⊥x 轴于点G ． ∵点B 坐标为(－2，0)，点A 坐标(4，0)， ∴AB ＝6，BP ＝m ＋2．

∵PE ∥AC ，∴△BPE ∽△BAC ．

?+=∴?=∴

24m EG CO EG AB BP 解得?+=34

2m EG

∴S △CPE ＝S △PBC －S △PEB

21EG BP CO BP ?-?=

m m m m S CPE 3231)3424)(2(212+-=+-+=

∴??+3

.3)1(3

2+--=∴?m S CPE 又∵－2≤m ≤4．

∴当m ＝1时，S △CPE 有最大值3，此时P 点的坐标为(1，0)．

(3)存在Q 点，其坐标),11,1(),1,1(21Q Q 、),194,1(),11,1(43+-Q Q

).194,1(5-Q

第二十二讲 以代数为主的综合题

第二十二讲以代数为主的综合题