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2020年高考数学试题分类汇编 选修4

十五、选修4

1.(山东理4)不等式|5||3|10x x -++≥的解集是 A .[-5,7] B .[-4,6]

C .

(][),57,-∞-+∞U D .

(][),46,-∞-+∞U

【答案】D

2.(北京理5)如图,AD ,AE ,BC 分别与圆O 切于点D ,E ,F , 延长AF 与圆O 交于另一点G 。给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA ; ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ~△ADG

其中正确结论的序号是 A .①② B .②③

C .①③

D .①②③

【答案】A

3.(安徽理5)在极坐标系中,点θρπ

cos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为

(A )2 (B )

942

π+

(C )

912

π+

(D )3

【答案】D

4.(北京理3)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是

A .(1,)

B .

(1,)

-

C . (1,0)

D .(1,π)

【答案】B

5.(天津理11)已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ?=?

=?

(t 为参数)若斜率为1的

直线经过抛物线C 的焦点,且与圆

()2

224(0)

x y r r -+=>相切,

则r =________. 【答案】2

6.(天津理12)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一 点,且2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相切,则

线段CE 的长为__________.

【答案】7

7.(天津理13)已知集合

{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t ??

=∈++-≤=∈=+-∈+∞??

??

,则集合

A B ?=________.

【答案】{|25}x x -≤≤

8.(上海理5)在极坐标系中,直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

【答案】

25

arccos

5

9.(上海理10)行列式

a b

c d (,,,{1,1,2}a b c d ∈-)的所有可能

值中,最大的是 。 【答案】6 (陕西理15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评10.分)

A .(不等式选做题)若关于x 的不等式

12

a x x ≥++-存在实数解,则实数a 的取值

范围是 。

B .(几何证明选做题)如图,,,90B D AE B

C AC

D ∠=∠⊥∠=o

,且

6,4,12AB AC AD ===,则BE = 。

C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴

建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线

13cos :4sin x C y θ

θ=+??

=+?(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则

AB

的最小值为 。

【答案】

(][),33,-∞-+∞U 4

2 3

11.(湖南理9)在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为cos ,1sin x y αα=??

=+?

(α为参数)在

极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为()cos sin 10

ρθθ-+=,则C1与C2的交点个数为

【答案】2

12.(江西理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为

【答案】

22

420x y x y +--= 13.(江西理15)(2)(不等式选做题)对于实数x y ,,若11,21,21

x y x y -≤-≤-+则的

最大值为

【答案】5

14.(湖南理10)设,x y R ∈,且0xy ≠,则

222211()(4)x y y x +

+的最

小值为 。

【答案】9

15.(湖南理11)如图2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4, AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ,则AF 的长为 。

【答案】23

16.(广东理14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5cos (0)sin x y θθπθ?=?≤

=??和25()4x t t R y t ?

=?∈??=?,它们的交点坐标为___________.

【答案】

25

(1,

)5

17.(广东理15)(几何证明选讲选做题)如图4,过圆O 外一点p 分别作圆的切线 和割线交圆于A ,B ,且PB =7,C 是圆上一点使得BC =5,

∠BAC =∠APB , 则AB = 。

【答案】35

18.(福建理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分,做答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题

目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换

设矩阵00a M b ??

= ?

??(其中a >0,b >0).

(I )若a=2,b=3,求矩阵M 的逆矩阵M-1;

(II )若曲线C :x2+y2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C’:1

y 4x 22

=+,求

a ,

b 的值. (2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C 的参数方程为

x y sin ααα?=?

?

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=??(为参数).

(I )已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半

轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,2π),判断点P 与直线l 的位置关系;

(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. (3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲 设不等式

1

1-x 2<的解集为M .

(I )求集合M ;

(II )若a ,b ∈M ,试比较ab+1与a+b 的大小.

(1)选修4—2:矩阵与变换

本小题主要考查矩阵与交换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分7分。

解:(I )设矩阵M 的逆矩阵

1

11

22x y M

x y -??= ???

,则

110.

01MM -??

= ??? 又2003M ??

= ???,所以112220100301x y x y ??????

= ? ? ?????

??,

所以

1122112211

21,20,30,31,,0,0,,

23x y x y x y x y ========即 故所求的逆矩阵

1

102.

103M -??

?= ? ? ?

?? (II )设曲线C 上任意一点(,)P x y ,

它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点'(',')P x y ,

则00a b ?? ??

?'',''x x ax x y y by y =?????=? ? ?=?????即 又点'(',')P x y 在曲线'C 上,

所以2

2''1

4x y +=,,

则22

221

4a x b y +=为曲线C 的方程,

又已知曲线C 的方程为

2

2

2

2

4,

1, 1.a x y b ?=?+=?=??故 又

2,

0,0, 1.a a b b =?>>?

=?所以 (2)选修4—4:坐标系与参数方程

本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想。满分7分。

解:(I )把极坐标系下的点(4,)

2P π

化为直角坐标,得P (0,4)。

因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程40x y -+=, 所以点P 在直线l 上,

(II )因为点Q 在曲线C 上,故可设点Q

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的坐标为,sin )αα, 从而点Q 到直线l 的距离为

2cos()4

)6d π

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απα++===++,

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由此得,当cos()1

α+=-时,d

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(3)选修4—5:不等式选讲

本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,满分7分。

解:(I )由|21|11211,0 1.x x x -<-<-<<<得解得

所以{|01}.M x x =<<

(II )由(I )和,a b M ∈可知0 故1.ab a b +>+

19.(辽宁理22)

如图,A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点,且EC=ED . (I )证明:CD//AB ;

(II )延长CD 到F ,延长DC 到G ,使得EF=EG ,证明:A ,B ,G ,F 四点共圆.

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20.(辽宁理23)

选修4-4:坐标系统与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为??

?==??sin cos y x (?为参数),曲线C2的参数方程为??

?==??

sin cos b y a x (0>>b a ,?为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,

射线l :θ=α与C1,C2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=2π

时,

这两个交点重合.

(I )分别说明C1,C2是什么曲线,并求出a 与b 的值;

(II )设当α=4π时,l 与C1,C2的交点分别为A1,B1,当α=4π

-

时,l 与C1,C2的交点

为A2,B2,求四边形A1A2B2B1的面积. 解:

(I )C1是圆,C2是椭圆.

当0α=时,射线l 与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a ,0),因为这两点间的距离为2,所以a=3.

α=

时,射线l 与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b ),因为这两点重

合,所以b=1.

(II )C1,C2的普通方程分别为2

2

2

21 1.

9x x y y +=+=和

α=

时,射线l 与C1交点A1的横坐标为

2

2x =

,与C2交点B1的横坐标为

310

.10x '=

α=-

时,射线l 与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x 轴对称,因此,

四边形A1A2B2B1为梯形.

故四边形A1A2B2B1的面积为

(22)()2

.

25x x x x ''+-= …………10分 21.(辽宁理24)

选修4-5:不等式选讲 已知函数)(x f =|x-2||-x-5|. (I )证明:3-≤)(x f ≤3;

(II )求不等式)(x f ≥x28-x+15的解集.

解:

(I )因为EC=ED ,所以∠EDC=∠ECD.

因为A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ,

所以CD//AB. …………5分

(II )由(I )知,AE=BE ,因为EF=FG ,故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC.

连结AF ,BG ,则△EFA ≌△EGB ,故∠FAE=∠GBE , 又CD//AB ,∠EDC=∠ECD ,所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠G BA=180°.

故A ,B ,G ,F 四点共圆 …………10分 解:

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(I )

3,

2,()|2||5|27,25,

3, 5.x f x x x x x x -≤??

=---=-<

当25,327 3.x x <<-<-<时 所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 (II )由(I )可知,

2

2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集; 当

225,()815{|535}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为; 当

25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为. 综上,不等式

2

()815{|536}.f x x x x x ≥-+≤≤的解集为 …………10分 22.(全国新课标理22)选修4-1:几何证明选讲

如图,D ,E 分别为ABC ?的边AB ,AC 上的点,且不与ABC ?的顶点重合.已知AE 的长为m ,

AC 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程2

140x x mn -+=的两个根.

(I )证明:C ,B ,D ,E 四点共圆;

(II )若90A ∠=?,且4,6,m n ==求C ,B ,D ,E 所在圆的半径.

解:

(I )连接DE ,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC,

AB AE

AC AD =.又∠DAE=∠CAB ,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB

所以C ,B ,D ,E 四点共圆.

(Ⅱ)m=4, n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.

取CE 的中点G ,DB 的中点F ,分别过G ,F 作AC ,AB 的垂线,两垂线相交于H 点,连接DH.因为C ,B ,D ,E 四点共圆,所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ,半径为DH.

由于∠A=900,故GH ∥AB , HF ∥AC. HF=AG=5,DF= 21

(12-2)=5.

故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为52

23.(全国新课标理23)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α

αα=??

=+?为参数)

,M 为1C 上的动点,P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r

,点P 的轨迹为曲线2C

(I )求

2

C 的方程;

(II )在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3π

θ=

与1C 的异于极点的交

点为A ,与2

C 的异于极点的交点为B ,求|AB|.

解:

(I )设P(x ,y),则由条件知M(2,

2Y X ).由于M 点在C1上,所以

??????????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ???????+=?=sin 44cos 4y x

从而2C 的参数方程为

4cos 44sin x y αα=??

=+?(α为参数)

(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.

射线

θ=

与1C 的交点A 的极径为

14sin

ρ=,

射线

θ=

与2C 的交点B 的极径为

28sin

ρ=.

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所以21||||AB ρρ-==24.(全国新课标理24)选修4-5:不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >. (I )当a=1时,求不等式()32f x x ≥+的解集.

(II )若不等式()0f x ≤的解集为{x|1}x ≤-,求a 的值. 解:

(Ⅰ)当1a =时,()32f x x ≥+可化为

|1|2x -≥.

由此可得 3x ≥或1x ≤-.

故不等式()32f x x ≥+的解集为

{|3x x ≥或1}x ≤-.

(Ⅱ) 由()0f x ≤得

30

x a x -+≤

此不等式化为不等式组

30x a x a x ≥??-+≤? 或30x a a x x ≤??

-+≤?

4

x a a x ≥???≤?? 或

2

x a

a a ≤???≤-??

因为0a >,所以不等式组的解集为

{}

|2

a

x x ≤-

由题设可得2a

-

= 1-,故2a =

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