一道课本例题的探究与拓展
在运动中探索在变化中思考
江苏省东台市五烈镇中学杨荫林
（获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖）
摘要在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。
在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。
关键词命题运动变化两圆内切、外切、外离、内含。
普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。
一. 原题中两圆内切
命题1如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD.
B
D
如图1 如图2
变化1如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有
命题2如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC.
设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立?
(1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC;
(6)S
⊿ACE :S
⊿BCF
=PE:PF．
变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有
命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD
如图3 如图4(甲
)
如图4(乙) 如图5(甲)
变化3 如果大圆静止，小圆向外运动，则得：
二.变化为两圆相交
命题4如图4，两圆相交于点P ，Q ，大圆的弦AD 交小圆于点B ，C.试探求∠APB 与∠CQD 的关系.
变化4如果大圆的弦AD 再与小圆相切,那么有
命题5如图5,两圆相交于点P,Q,大圆的弦AB 切小圆于点C.试探求∠APC 与∠BQC 的关系
.
如图5(乙) 如图6
变化5接图5(乙)如果AC 变化为两圆的外公切线,那么有
命题6如图6,两圆相交于点P,Q,AB 为外公切线,A,B 为切点,试探求∠APB 与∠AQB 的关系.
变化6如果大圆静止,小圆继续向外运动,则得下列情形.
三.变化为两圆外切
命题7如图7,两圆外切于点P,大圆的割线AD 交小圆于点B,C.试探求∠APB 与∠CPD 的关系.
变化7如果把上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APB 与∠CPD 的关系.
如图7 如图8
变化8如果大圆的割线切小圆于点C,那么有
命题8如图8,两圆外切于点P,大圆的割线AB切小圆于点C.试探求∠APC与∠BPC的关系.
变化9接上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APC与∠BPC的关系.
变化10接图8,如果AC变化为两的外公切线,那么有
命题9如图9,两圆外切于点P,AB为公切线,A,B为切点,试求∠APB的度数.
在大家的合作交流，探索研究中发现，上述命题中常要添置的辅助线是公切线或公共弦；需要运用弦切角定理、圆内接四边形的性质、切线长定理、三角形内角和的有关性质来探求两角相等或互补。
四．变化为两圆外离
命题10如图10(甲)(乙),两圆外离,大圆的割线AD交小圆于B,C.连心线O
1O
2
交大圆于E,
交小圆于F,直线AE,BF交于点P,直线DE,CF交于点Q.试问:∠APB与∠CQD相等或互补吗?为什么?
M
M
如图10(甲) 如图10(乙) 提示:如图10(甲)∠CQD=1800-∠DCQ-∠CDQ=1800-∠N-∠M=1800-(900-∠EFP)-(900- ∠FEP)=1800-∠APB,即∠APB与∠CQD互补.
命题11如图11(甲)(乙),两圆外离,大圆的割线AB切小圆于C.连心线O
1O
2
交大圆于E,
交小圆于F,直线AE,BE交直线CF于点P,Q.试问:∠APC与∠BQC相等或互补吗?为什么?
M
如图11(甲) 如图11(乙)
命题12如图12,两圆外离,AB 是公切线,A,B 为切点, 连心线O 1O 2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF 交于点P.(1)试问:∠APB=900吗?为什么?(2)求证:BD ∥AE,(3)求证:BD ⊥AC,(4)求证:∠AEB=∠
AFB
C
如图12 如图13(甲)
五.变化为两圆内含
命题13如图13(甲)(乙), 大圆的弦AD 交小圆于B,C.连心线O 1O 2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF 交于点P,直线DE,CF 交于点Q.试问:∠APB 与∠CQD 相等或互补吗?为什么?
E
E
如图13(乙) 如图14(甲)
命题14如图14(甲)(乙),两圆内含,大圆的弦AB 切小圆于C.连心线O 1O 2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BE 交直线CF 于点P,Q.试问:∠APC 与∠BQC 相等或互补吗?为什么?
Q
如图14(乙)
通过上述图形的运动变化,我们发现“变中有不变”的道理,
因此,学会用运动变化的观点去观察研究几何图形的性质,从中探索和发现某些规律性的东西,这样有助于培养学生利用迁移规律,促进知识、技能的广泛而积极的迁移.在教学中,鼓励他们自主学习,独立思考,合作交流,探索实践创新,在发展他们求同思维的同时,注重发展学生的求异思维,积极培养他们良好的思维品质,努力提高他们的学习质量.
一道课本三角习题的多解和变式探究
一道课本三角习题的多解和变式探究 罗文军 刘娟娟 （甘肃省秦安县第二中学，741600）（甘肃省秦安县郭嘉镇槐川中学，741609） 在历年高考真题中，有部分解三角形试题以对角互补的四边形为载体（例如2014年新课标Ⅱ卷文科第17题和2015年四川卷理科19题）.主要考查余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换等知识，考查函数与方程、数形结合和化归与转化的思想，考查推理论证能力和运算求解能力，旨在考查学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，具有很好的区分度和选拔功能.从源头来看，这类试题可以看成如下的源自苏教版课本必修5第11章解三角形第17页习题11.2的第13题. 题目、如图1，已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为2AB =， 6BC =，4AD CD ==，如何求出四边形ABCD 的面积？ 本文对这道课本习题探究和变式探究，以期达到对学生解答这 类以对边互补的四边形为载体的解三角形问题求解起引导作用. 一、解法探究 将四边形问题转化为解三角形问题是所有解法探求的关键，在已知四边形四条边长的基础上，求某个内角大小是解题的主攻方向，掌握这两点，问题可迎刃而解. 分析1、连对角线BD ，将四边形分解成ABD ?和BCD ?.注意对角互补关系180A C +=o ，分别运用余弦定理表示出公共边BD ，解方程组可得cos A ，从而得到A 和C 的度数.明确了ABD ?和BCD ?的两边一角之和，利用三角形面积公式可得解. 解法1、如图2，连结BD .在ABD ?、BCD ?中分别应用余弦定理，可得 22222224224cos 64264cos BD A BD C ?=+-????=+-???? 因为四边形ABCD 为圆内接四边形，有180A C +=o ，从而 222016cos 5248cos BD A BD A ?=-??=+??，可得1cos 2A =-，120A =o ，所以60C =o . 于是1124sin12064sin 608322 ABD BCD ABCD S S S ??=+=???+???=o o 四边形. 解法2、如图3，在BC 边上取点E ，使得BE BA =，连结DE 合BD .
高中数学一道课本习题的应用——谈基本不等式的延伸
一道课本习题的应用 严兆永 （南京外国语学校仙林分校 210046） 苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修5）》第98页第14题：“…，试研究线段 GH ，KL ，EF ，MN 与代数式2a b + 211a b + 之间的关系，…”． 能够得到结论：2 211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立． 这是对课本第十三章第四节“基本不等式”的整理和引申，定理本身的证明在此不再重复．笔者结合自己的教学实践，谈谈这道题的结论在求最值和不等式证明中的应用． 一、求最大（小）值 【例1】若,x y 恒成立，则a 的最小值是 ． 分析：由题意有y x y x a ++≥恒成立，转化为求 y x y x ++的最大值，由基本不等式有 22)()(222y x y x y x +=+≤+，故2≤++y x y x ，所以2≥a ． 评析：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质，方能求得最值得结果． 【例2】若12311,,, ,a a a a 成等差数列，且22111100a a +≤，则1121a a a S +++= 的最 大值为 ． 略解：111102111a a a a a a +==+=+ ， )(11)(221111121a a a a a S +=+++=∴ ， 由“基本不等式”2 222b a b a +≤+有：210221121111≤+?≤+a a a a ，当且仅当111a a =时取等号，故255≤S ，即1121a a a S +++= 的最大值为255． 评析：倒序相加，由等差数列的性质为基本不等式的运用做好准备． 【例3】已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，则y x 14+的最小值为 ． 错解：xy xy y x 144214=≥+，又xy y x 21≥+=，得21≤xy ，有21≥xy ，所以y x 14+的最小值为8．
一道课本例题的探究开发
一道课本例题的探究开发 663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇 课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨. 题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形. (1)相似吗？与ABC ASR ?? (2)求正方形PQRS 的边长. 分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ?∽ABC ?.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解. 解：（1）ASR ?∽ABC ?.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ?∽ABC ? . （2）由（1）可知ASR ?∽ABC ?.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得 设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得： 所以正方形PQRS 的边长为24cm. 此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页 .BC SR AD AE =，cm χ. 24=χ60 4040χχ= -
的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。 变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。 分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长. 解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF. 所以△AHG ∽△ABC. 所以 则 解得： 所以矩形EFGH 的周长为56cm. 变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。求正方形HEFG 的面积。 分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。 . AD AN BC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=. 2=χ
由一道课本例题带来的日常教学思考
由一道课本例题带来的日常教学思考 发表时间：2013-06-13T09:29:21.560Z 来源：《少年智力开发报》2013学年36期供稿作者：张进辉 [导读] 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。 江西省抚州市东乡二中张进辉 对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思. 一、课本上的一道例题： 浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58 书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处. ⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？ ⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？ 问题解决——谜底： 二、例题教学后的反思： 对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。 从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。 三、题目变式教学 题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。． 变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达 P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。 变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短
数据库课本例题
Use basetest 【例1】查询全体学生的记录 【例2】查询全体学生的姓名和性别。 【例3】查询全体学生的姓名和出生年份。 【例4】在例3的基础上，将字段名替换成中文名显示。 【例5】显示学生表student中前5行数据。 【例6】查询学生课程表sc中选修了课程的学生学号。 【例7】查询SC表中选修了课程的学生学号、姓名、院系、课程号和成绩。 【例8】以student为主表查询例7。 【例9】查询表student中年龄大于20岁的学生姓名性别和各自的年龄大小。 【例10】查询年龄在21岁到23岁（包括21和23岁）之间的学生信息。 【例11】查询所有姓黄的学生的姓名、性别、年龄、院系 【例12】查询数学系（MA）学生的姓名、性别和年龄。 【例13】查询没有选修课（cpni）的课程名和学分。 【例14】查询cs系中男生的学号和姓名。 【例15】查询在sc表中选课了的女生的学号和姓名。 【例16】按学生年龄的降序对学生进行排序。 【例17】按院系、学号等对学生情况进行分组。 【例18】按院系、学号等对女学生情况进行分组。 【例19】按院系、性别查看学生的平均年龄。 【例20】在例19的基础上使用WITH CUBE关键字。 【例21】在例19的基础上使用WITH ROLLUP关键字。 【例22】求sc表中选修了课程的学生的总成绩。 【例23】计算选修了课程学生的平均成绩。 【例24】查询选修了课程的学生选修课程的数目 【例25】查询CS系中年龄最大的学生的姓名以及年龄 【例26】查询学号为05007的学生的选修课程的平均成绩和最高成绩 【例27】查询选修了课程5的学生信息，并计算平均成绩和最高成绩，以成绩高低排序。 查询所有系中年龄最大的学生的姓名以及年龄 【例28】查询选修了课程6的学生学号和姓名 【例29】查询选修了数据库的学生信息。 【例30】查询选修了课程6的学生学号、姓名和性别。 【例31】查询除了IS系的其他系中年龄不大于IS系中最小年龄学生的学生信息。 【例32】查询IS系的学生以及年龄大于20岁的学生。 【例33】对例32使用UNION ALL子句。
对一道课本试题的变式
对一道课本习题的变式、推广与思考 波利亚指出：“拿一个有意义又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个题目就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域。” 题目：已知ABC ?两个顶点()()0,6,0,6B A -，边BC AC ,所在直线的斜率之积等于9 4-，求顶点C 的轨迹方程。（北师大版数学选修2-1第三章§1椭圆习题3-1A 组第8题） 一、动手实践，掌握方法 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是()6,66 ,621-≠≠-= +=x x x y k x y k ， 根据题意，9 4 21- =?k k ，所以 9 4 362 2-=-x y ，化简，得()6,6116362 2 -≠≠=+x x y x 所以顶点C 的轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 评析：（1）典型的用直接法求动点的轨迹方程，注意6,6-≠≠x x ，一方面它保证了直线BC AC ,的斜率的存在性，另一方面符合C 为ABC ?的一个顶点，C B A ,,不能共线。 （2）题目的几何条件包括“两个定点、一个动点、一个定值，两条直线的斜率，一个等量关系”。 （3）轨迹是椭圆，去掉左右顶点。 二、引进参数，化静为动 变式1、已知两个定点()()()00,,0, a a B a A -，动点C 满足直线BC AC ,的斜率之积等于()0≠m m ，试讨论动点C 的轨迹。 分析：首先确定动点C 的轨迹方程，然后依据方程判定它的轨迹。 解析：设()y x C ,，则直线BC AC ,的斜率分别是 a x y k a x y k -=+= 21,，()a x + - ≠，根据题意，m k k =?2 1 ， 所以m a x y =-2 22，化简，得动点C 的轨迹方程122 22=-ma y a x ，所以 1、当0 m 时，动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线，去掉它的两个顶点； 2、当0 m 时 （1）若1-=m ，则动点C 的轨迹方程为2 2 2 a y x =+，所以它的轨迹是圆心在原点，半径为a 的圆，去掉 与x 轴的两个交点； （2）当01 m -时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，去掉左右顶点； （3）当1- m 时，2 2ma a - ，所以动点C 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆去掉左右顶点。 评析：引进参数，化静为动，培养学生分类讨论的数学思想，发展学生的数学思维能力。注意到变式1并没有改变题目中的几何关系，但是参数值及它的的符号决定了轨迹的不同形式——圆、椭圆、双曲线，这也从一个侧面说明三种曲线之间有着内在的联系，可以想象当参数m 由()+∞→≠→-→∞-001变化时，动点 c 的轨迹由焦点在y 轴上的椭圆，变为圆，再变为焦点在x 轴上椭圆，然后蜕变为焦点在x 轴上的双曲线，
人教版五年级课本例题及课后作业1-4单元
第一章小数乘法 一、计算 1、直接计算。 3.5×3= 0.72×5= 2.05×4= 12.4×7= 1.2×0.8= 0.56×0.04= 6.7×0.3= 0.29×0.07= 0.86×7= 0.37×0.4= 7×0.86= 0.6×0.39= 2、竖式计算 2.3×12= 2.4×6.2= 3.7× 4.6= 6.5× 8.4= 3.5×16= 12.5×42= 1.8×23×= 1.06×25= 27×0.43= 3、近似数 得数保留一位小数： 0.8×0.9 1.2×1.4 0.37×8.4 得数保留两位小数： 1.7×0.45 0.86×1.2 2.34×0.15 4、脱式计算 72×0.81+10.4 7.06×2.4-5.7 50.4×1.9-1.8
5、简便计算 4.8×0.25 2.33×0.5×4 1.5×105 1.2×2.5+0.8×2.5 0.25×4.78×4 0.65×201 0.034×0.5×0.6 102×0.45 二、填空题 1、一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数（） 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数（） 2、根据简便计算方法填空： 0.7×1.2= ×0.7 （0.8×0.5）×0.4= ×（×0.4） （2.4+3.6）×0.5= ×0.5+3.6× 3、根据65×39=2535，在下面的（）里填上合适的数。 25.35=（）×（） 2.535=（）×（） 253.5=（）×（）0.2535=（）×（） 4、在下面的○里填上“＞”或“＜”。 756×0.9○756 1×0.94○1 4.25×1.1○4.25 31.4×1.2○31.4 三、解决问题 1、非洲野狗的最高速度是56千米/时。鸵鸟的最高速度是非洲野狗的1.3倍，鸵鸟的最高速度是多少呢？ 2、蓝鲸的体重是150吨，体长25.9米。世界上最大的一个巨杉，质量是蓝鲸的18.7倍，高是蓝鲸体长的3.2倍，这棵巨杉重多少吨？高多少米？ 3、小娟加印了14张照片，每张照片0.55元，她一共花了多少钱？ 4、要下雨了，小丽看见远处有闪电，4秒后听到了雷声，闪电的地方离小丽多远？（雷声在空气中的传播速度是0.34千米/秒） 5、宣传栏的长为1.2米，宽为0.8米。现在宣传栏的玻璃碎了，需要换一块玻璃，已知玻璃每平方米为16.5元，买这块玻璃要多少钱？
一道课本例题的探究与拓展
在运动中探索在变化中思考 江苏省东台市五烈镇中学杨荫林 （获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖） 摘要在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。 在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。 关键词命题运动变化两圆内切、外切、外离、内含。 普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。 一. 原题中两圆内切 命题1如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD. B D 如图1 如图2 变化1如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有 命题2如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC. 设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立? (1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC; (6)S ⊿ACE :S ⊿BCF =PE:PF． 变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有 命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD
由一道课本习题引发的思考
由一道课本习题引发的思考 九年义务教育八年级数学上配套练习册 P 65第11题: 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形, 思考 由命题的条件，根据平行线判定定理易知： AM/CN MC/ NB,由此得命题1： 命题1已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形, 求证：AM CN ，MC /NB 思考二 由命题的条件结合三角形全等的判定定理可知，有三对全等三角形，故得命题: 命题2已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：△ACN 也血CB, △AEC 也 JMFC, △ECN 也△CB 思考三 由命题2的结论，根据全等三角形的性质，可得到一些相等的线段和相等的角， 从而得到 命题： 命题3已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：⑴ AN=BM,CE=CF,AE=MF,NE=FB, (2)/NAC= /BMC; ZANC= JMBC; ZAEC= / MFC; 山东省五莲县洪凝初中 王爱仁 求证: 图1
JCEN= /CFB
思考四 因为/ ACM # NCB=60 ,所以/ MCN=6D ,再由命题3的结论可知CE=CF 则△ ECF 为等边三 角形，得命题： 命题4已知：如图3,点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AN 交 思考五 _ 由命题4的结论知，/ EFC=60°，故/ EFC=/FCB ，所以EF I AB ，得命题: 命题5已知;如图3,点C 为线段AB 上一点,^ACM, ACBN 是等边三角形,AN 交MC 于点 BM 交CN 于点F. 求证：AN=BM MrzT -[y 、. 思考八 由^ ACN^A MCB 可知，/ CAN=/ CMB 所以/ A0B2 MAO ￡ AMO ^ MAO ￡ AMC ：+ CMB ^ MAO 乂 CAN # AMChMAC+^AMC=60 +60° =120° ,可得命题： 命题6已知;如图4,点C 为线段AB 上一点,AACM, ACBN 是等边三角形,AN,BM 相交于 点O. MC 于点 E ，BM 交CN 于点F. ⑴求证: AN=BM; (2)求证: △CEF 为等边三角形 若AN 、MC 交于点E,BM 、 NC 交于点F ，求证：EF IAB 图4
课本练习题
1、（求出下列各圆的周长。 （1）r=2.6dm (2 ) r=5.5cm (3 ) d=12cm (4 )r=15dm 2. 一辆自行车车轮的外直径是0.71米。如果车轮平均每分转100周，这辆自行车每分前进多少米？ 3.一张圆桌桌面的直径是1.8米，桌面的面积是多少平方米？ 4.淘气沿一个圆形花坛走一圈，走了18.84米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ 5、在一张长8厘米、宽6厘米的长方形纸上剪一个最大的洞，这个圆的面积是多少？剩余部分的面积是多少？ 6、圆规两脚间的距离为1.5cm, 那么所画圆的周长和面积各是多少？ 7、沿一块直径为20米的圆形菜地围一圈篱笆，篱笆的长是多少？菜地的占地面积是多少？ 8、有个圆形喷水池的周长是12.56米，它的占地面积是多少平方米？ 9、一根绳子长64.8米，在一棵大树的树干上绕了10圈后还余2米。这棵树树干的横截面面积是多少？ 10、画一个长4厘米、宽3厘米的长方形，再在长方形中画一个最大的圆。求出圆的面积和剩余部分的面积。 11、在一块草坪中间有一个喷水头，最远可以喷4米。喷水头转动一周可以浇灌多大面积的草坪？ 12、钟表的分针长15厘米，时针长12厘米。 （1）１小时分针针尖走过了多少厘米？ （２）一小时分针针尖扫过的面积是多少平方厘米？ １３、用两根长度都是６．２８厘米的铁丝，分别围成一个圆和一个正方形，哪个图形的面积大？相差多少平方厘米？ １４、小方绕一个圆形花坛走一圈是２５．１２米。这个花坛的占地面积是多少平方米？ １５、一只钟的时针长３厘米。一昼夜时针针尖走过了多少厘米？ １６、一只羊被拴在草地中央，绳子长６米。小羊能吃到草的面积是多少？ １７、某汽车的轮胎外直径为６０厘米，汽车行驶１千米，轮子大约转了几圈？（结果保留整数） １８、在直径是４米的圆形花坛外面有一条宽１米的环形小路，这条小路的面积是多少？ １９、现在有一根长１２５．６米的绳子，要围一块尽可能大的土地。你认为该怎么围？围成的是什么图形？面积是多少？ ２０、（１）２０米比２５米少百分之几？ （２）２５米比２０米多百分之几？ ２１、光明小学篮球队有２５人，合唱队有４０人。合唱队人数比篮球队人数多百分之几？题中把（）看作单位“1”，“合唱队人数比篮球队人数多百分之几”是指（）是（）的百分之几。 1
一道课本习题的探究
一道课本习题的探究 江西省吉安师范学校杨文光(343000) 习题已知数列{}n a 的第1项是1、第2项是2、以后各项由12n n n a a a =+(3n ≥)给出，写出这个数列的前5项．(人教社2003年6月第1版的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上)110P ) 问题能否求出这个数列的通项公式？解析设112()n n n n a pa q a pa +=+，与n a = 1 2 n n a a +比较系数，得 112515151 ()222n n n n a a a a ++=+.或1152 n n a a +=1 215 15 ()22 n n a a +，从而有11515151 ()222 n n n n a a a a +++=+(2n ≥)①或1 11515 15 ()222 n n n n a a a a +++=(2n ≥)②．对于①，因215153 22 a a ++=，故数列151 {}2 n n a a ++ 是首项为53 2 +，公比为(51)/2+的等比数列， 于是有1 1515351()222 n n n a a ++++=③； 对于②，同理可得 1 n a +1 153515()222 n n a +=④．由③－④，得1 11 1 (51)(1 5)522n n n n n a +++++= ， 故所求数列的通项公式为 11 1 (15)(15)52n n n n a ++++=． 练习 1(人教社2003年6月第1版的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上)135P 复习参考题A 组5(1)的改编题)在数列{}n a 中，11a =， 22a =，212n n n a a a ++=+，求它的通项公式． (答案：(12)(12)22 n n n a += ．) 2(2005年高考广东卷)已知数列{}n x 满足 21/2x x =，1 2()/2n n n x x x =+，3,4,n ="，若lim n x x →∞ 2=，则1x =( ) A ．3/2 B ．3 C ．4 D ．5 (提示：由12()/2n n n x x x =+，得1/2n n x x += 1 2 /2n n x x +，于是1/2n n x x +=1 2 /2n n x x +="= 211/2x x x +=．所以11lim(/2)n n x x x x →∞ +=． 即1lim n x x x →∞ =+1lim /23n x x →∞ =．故选(B)．) 用矩阵法求平面的法向量 福建省漳州市立人学校 林明金(363000) 高中数学课标教材选修2—1第三章主要介绍用向量法解决立体几何中点、线、面的问题．从3.6节以后研究直线与平面、平面与平面的位置关系及夹角、以及点与面的距离都是借助平面的法向量来求解，而教材中介绍求平面的法向量都是采用待定系数法．如何让学生快速、高效地求出平面的法向量， 无疑十分重要．笔者在教学实践中引导学生采用矩阵法求平面的法向量，取得了明显的效果：省时，高效，易求．1引例 例1(湘教版P 123页练习题1)已知平面内有三个点(,3,)、(,,)B 、(6,3,)，求平面的一个法 44福建中学数学2008年第2期 21A 4127C