执信中学2010-2011学年度高三第二学期2月月考(理数)

2010-2011学年度

高三级数学科2月月考考试试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(共40分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项最符合题目要求的。 1．复数2

1(1)i

+的值是

（ ）

A ．2i

B ．-2i

C ．2

D ．-2

2．某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( ) A. 36 B.27

C. 9 D .18

3．三视图如右图的几何体的全面积是( )

A ．22+

B ．21+

C ．32+

D ．31+

4．有关命题的说法错误的是（ ）

A ．命题“若1,0232

==+-x x x 则”的逆

第3题图

1

1 1 主视图 侧视图 俯视图

否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则” B ．“x=1”是“0232

=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．对于命题使得R x p ∈?:012

<++x x ， 则01,:2≥++∈??x x R x p 均有

5．如果执行下面的程序框图，那么输出的S =（ ） A ．2450 B. 2500 C ．2550 D ．2652

6．已知向量(2,1),10,||52,||a a b a b b =?=+=

则=（ ）

A ．5

B ．10

C ．5

D ．25

7．某地为广州“亚运会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…19号、20号。若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（ ） A ．16 B ．21 C ．24 D ．90

8．已知函数|lg |||,(0)

()0,

(0)x x f x x ≠?=?=?，则方程0)()(2=-x f x f 的实根共有( )

A ．8个

B ．7个

C ．6个

D ．5个

第二部分非选择题(共110分)

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，共30分。 （一）必做题（9~13题）

9． 空间直角坐标系中，点M(5，1，-2)关于xoz 平面对称的点的坐标为 . 10．若函数2()lg(23)f x x ax =-+在区间),2[+∞上单调递增，则正实数a 的取值范围是 . 11. 接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发

热反应的概率为_________.（精确到0.01） 12．二项式831()2x x

-

的展开式中4

x 的项是 . 开始

K=1

0S =

50?

k ≤是

2S S k =+

1k k =+

否

输出S 结束

第5题

13．设变量x ，y 满足约束条件1

121

x y x y x y -≥-??

+≥??-≤?

，则目标函数2y z x =-的最

大值为 .

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选作一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 弧AB =弧AD , 过A 点的切线交CB 的延长线于E 点，若BE=2，CD=3，则AB=__________ .

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知曲线C 1:22x t

y t =+??

=?

（t 为参数），曲线C 2：

1cos sin 1

x y θ

θ=+??

=-? (θ为参数)，这两条曲线的公共点的个数是 个.

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知2()cos(

)sin()32

f x x x ππ

=-++ ∈x (R ). （1）求函数)(x f 的最小正周期; （2）当[,]63

x ππ

∈-

时，求函数)(x f 值域． 17．（本小题满分14分）

如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2， D 为CC 1中点。

（1）求证：AB 1⊥面A 1BD ；

（2）求二面角A －A 1D －B 的余弦值； （3）求点C 到平面A 1BD 的距离.

A

E

B

C

D

O

· 第14题

第17题

已知点P 到（0，3-），（0，3）的距离之和为4，设P 的轨迹是C ，并交直线1y kx =+ 于A 、B 两点

（1）求C 的方程;

（2）若以AB 为直径的圆过O 点,求此时k 的值;

（3）若A 在第一象限，证明：0k OA OB >?>

.

19． （本小题满分14分）

有人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都为

1

2

，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、第3站、……第100站，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次。若掷出正面，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子向前跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败大本营）时，此游戏结束。设棋子向前跳到第n 站概率为P n （1）求P 0,P 1，P 2； （2）求证：12n n 1()

P P 2

n n P P -----=-

；

（3）求99P 及100P .

如图，有一矩形钢板ABCD 缺损了一角（图中阴影部分），

边缘线OM 上每一点到D 的距离都等于它到边AB 的距离。 工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边

形，若AB=1米，AD=0.5米，问如何画切割线EF 可使剩 余部分五边形ABCEF 的面积最大？

21. （本小题满分14分）

已知函数(0)a

y x a x =+

> （1）求(0)a

y x a x

=+>的单调区间.

（2）请写出2

2(0)c y x c x

=+>的单调区间（不需要证明过程）.

（3）利用（1）、（2）的结做出推广，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只要结论，不必证明），并求函数2

211

()()()n

n F x x x x

x

=+++（n 是正整数）在区间1[,2]2

上的最大值和最小值.

A

B

C

D

F E

第20题图

O M

参考答案

一．选择题 BDAC CCBB

二．填空题 9.（5，-1，-2） 10.7

04（，） 11. 0.94 12.7

4

-

13.不存在 14. 6 15. 2 三．解答题

16.解：（1）22()cos

cos sin sin cos 33

f x x x x ππ=++ ……….2分 13cos sin cos 22

x x x =-++ ………..3分

=

13cos sin 22

x x + ……………..4分 =sin(

)6

x π

+ …………….5分

21T π

π∴=

=……………6/分 (2)20633

x x πππ-≤≤∴≤≤ .………..8分

0sin(

)16

x π

∴≤+≤ .……..11分

f(x)的值域是[0,1]. ………..12分

17. 解答：解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AO ∴⊥平面11BCC B ．

连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为

1BC CC ，的中点，

1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．

在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，

1AB ∴⊥平面1A BD ．…………………5分

A B

C

D

1

A 1

C

1

B

O

F

（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于

F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．

1AF A D ∴⊥，

AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．

在1AA D △中，由等面积法可求得45

5

AF =， 又11

22

AG AB =

= ， 210

sin 4

455

AG AFG AF ∴=

==

∠． 6

cos 4

AFG ∴=

∠…………………10分 （Ⅲ）1A BD △中，1115226A BD BD A D A B S ==

=∴=△，，，1BCD S =△．

在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B 的距离为3． 设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由11A BCD C A BD V V --=得11

1

333

BCD A BD S S d =

△△， 132

2

BCD A BD S d S ∴=

=△△．

∴点C 到平面1A BD 的距离为

2

2

． …………………14分 解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA

的方向为x y z ，，轴的正方向建立空

间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，

，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=- ，，，(210)BD =-

，，，1(123)BA =- ，，．

12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=

， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．

(113)AD =--

，，，1(020)AA = ，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，

100AD AA ?=?∴?=?? ，，n n 3020x y z y ?

-+-=?∴?=?

?，，03y x z =??∴?=-??，．

令1z =得(301)=-，，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，

1AB ∴

为平面1A BD 的法向量．

cos

4222AB AB AB -->==

=-

n n ． ∴二面角1A A D B --的大小为θ，6

cos 4

θ∴=

．…………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ），1AB

为平面1A BD 法向量，

1(200)(123)BC AB =-=- ，，，，，．

∴点C 到平面1

A BD 的距离11

22

222BC AB d AB -=== ．…………………14分 18.解：（1）由题意得P 的轨迹是椭圆，且3c =，2a =，故222

1b a c =-=

故其方程为：22

214

y x += …………………3分

（2）依题意设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，∵以AB 为直径的圆过O 点，

∴0OA OB ?=

∴12120x x y y +=…………………4分

x z

A

B

C D

1

A

1

C

1

B

O F

y

联立：22114y kx y x =+??

?+

=??消元得 （4+22)230k x kx +-=

∴122

12202434k x x k x x k ??>?

?

+=-?+?

-?

=?+?

…………………..7分 ∴212121212(1)(1)()1y y kx kx k x x k x x =++=+++ ………………8分

=22222232444

44k k k k k k --++-+=++ ………………9分

∴22

12122244314044k k x x y y k k -+--+=

==++ ………10分 ∴1

2k =±

………………11分 (3) ∵2OA =2211x y +, 2OB =2

2

22x y +

∴2OA -2OB =2

211x y +-(22

22x y +)=12121212()()()()x x x x y y y y +-++-…………12分 =1212121221212122

()()[()2][()]

()[(1)()2]

6()4x x x x k x x k x x x x k x x k k

x x k =+-+++?-=-+++=-?

+………………13分

∵A 点在第一象限，∴120x x -> 又0k >

∴2OA -2OB =()()0OA OB OA OB +->

∴0OA OB -> ∴OA OB >

………………14分

19.解：（1）棋子在第0站为必然事件，故概率为P 0=1，若掷一次出正面则P 1=1

2

，棋子可从第0站向前跳两站直达第2站，也可先跳到第1站，再跳到第2站。故

2P =111222?+=3

4

。 ………………3分

（2）证明：棋子向前跳到第n 站(2≤n ≤99)的情况有两种：

第一种，棋子先向前跳到第n-2站,又掷出反面。其概率为

2

2

n P -………………5分 第二种，棋子先向前跳到第n-1站,又掷出正面。其概率为

1

2

n P -………………6分 ∴n P =

22n P -+12n P -，………7分 ∴12n n 1()

P P 2

n n P P -----=-………8分 （3）解： ∵101P P 2-=-，∴由（2）知是{}1

n n P P --是首项为101

P P 2

-=-，公比为1

2

-

的等比数列。………9分 101P P 2-=- ,2211P P ()2-=-,3321P P ()2-=-,…, 9999981

P P ()2

-=-

以上各式相加得：

991299999911

[1()]

11111122P 1()()...()12223321()2

----=-+-++-==-+?--

1009912[1()]

23

P -=

………………12分 而第100站只能从第98站直达这一种情况。故

98100989911211111

P [()]22332332

P =

=+?-=+? ………………14分

20 .解：由条件得，边缘线OM 是以点D 为焦点，直线AB 为准线的抛物线的一部分.以O 为原点，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D(0，

14)，M(11,24

) 易求得OM 所在的抛物线方程：2

1

(0)2

y x x =≤≤

…2分

要使如图五边形面积最大，则必有EF 所在直线 与抛物线相切，设切点为P(2

,t t )，则直线EF 的

方程：2

2y tx t =-，∴求得E(2141

,84

t t +)，F （0，2t -）………………4分 A

B

C

D F E

第19题图

O

M P

x

y

∴22221141(14)()28464DEF

t t S t t t ?++=??+==4211681

64t t t

++? （102t <<）……6分

设4211681()64t t g t t ++=?，4222'

2248161(121)(41)()6464t t t t g t t t

--+-+== ∴()g t 在3(0,

]6单减，31

[,]62

单增……………9分 ∴3

6

t =

时DEF S ?取得最小值，此时五边形ABCEF 的面积最大. ……………10分 此时E 、F 的坐标分别E(

31

,34

)，F （0，112-）.

即沿直线EF 所在线段切割可使五边形ABCEF 面积最大。

21.解：（1）()f x 的定义域是(,0)-∞∪(0,)+∞，2'

22

()1a x a

f x x x -=-=

由'()0f x >解得x a x a ><-或，

∴()f x 单增区间是 (,),)a a -∞-+∞和（； 由'()0f x <解得00x a a x <<-<<或，

∴()f x 的单减区间是 (,0))a a -和（0,. ………………4分 (2)函数2

2(0)c

y x c x

=+

>的单增区间是4(,)c +∞和4(,0)c -；单减区间是4(,]c -∞-和4(0,)c . ………………8分

(3)推广：(0)n

n

a

y x a x =+

>，n 为正整数 当n 是奇数时，函数(0)n n a y x a x

=+>在2)n a （0,上是减函数，在2,)n

a +∞（上是增函

数，在2)n a ∞（-,-上是增函数，在2,0)n a （-上是减函数. 当n 是偶数时，函数(0)n

n a y x a x

=+

>在2)n a （0,上是减函数，在2,)n

a +∞（上是增函数，在2)n a ∞（-,-上是减函数，在2,0)n a （-上是增函数. ………………10分

2211

()()()n n F x x x x x

=+++

=0212323223231111()()...()...()n

n r n r n n

n n n n n n n r n C x

C x C x C x x x x x ----+

++++++++ ………………12分

由此，F （x ）在1[,1]2

上减函数，在[1,2]上是增函数

max ()F x =199

(2)()()()224

n n F F ==+ ………………13分

min ()F x =1(1)2n F += ………………14分