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自主招生专题复习实验理论

自主招生专题复习(实验理论)

安徽 王景民

物理学是一门实验科学,几乎所有的物理定律都来自于物理实验并不断地受到新的物理实验的检验,因此研究物理实验是每个对物理感兴趣的同学必须做的工作,正因为如此,物理实验在物理竞赛中也占有重要的地位,不论是全国物理竞赛,还是国际奥林匹克物理竞赛,实验内容都要占30%—50%的比例。

一、 有关实验的基础知识 (一)实验误差的概念

1、为什么要讨论测量误差 任何物质都有自身的各种各样的特性,反映这些特征的量所具有的客观真实数值,称为真值。测量的目的就是力图得到真值,但是由于测量的方法、仪器、环境和测量者本身都必然存在着某些不理想情况,所以测量不能无限精确,在绝大多数情况下,测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异,这就是测量误差,测量误差的大小反映我们的测量偏离客观真实数值的大小,反映测量结果的可信程度。

从某种意义上说,不给出测量误差的测量结果是没有意义的,是无法使用的,例如我们测量出某种合金的密度是(3.23

3

10)2.0m kg ?±,即说明这种合金的密度不会小于

33100.3m kg ?,不会大于33104.3m kg ?。如果用这种合金制造飞机,就可以估计出飞机

的最大和最小质量。相反,如果测出的密度没有误差范围,是没有实际使用意义的。

测量误差是反映测量结果好坏的物理量,它与实验的各个方面都有密切的关系,例如,我们要根据测量误差的限度制定实验方案,即确定实验原理和步骤,并选用器材,在实验操作过程中,要千方百计减小误差,最后,通过对实验数据的处理,确定实验结果的误差,由此可见,考虑实验误差是贯穿于实验全过程的事。

2、实验误差的分类

(1)绝对误差和相对误差 误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。 1)绝对误差:测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差,定义为: 绝对误差(?)=)

()(A x 真值测量值- 绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。

2)相对误差:绝对误差无法表示测量质量的高低,例如在测量上海到北京的距离时,如果绝对误差是1米,测量质量已很高;但是如果测量百米跑道时产生1米的误差,则测量质

量就不好了,为了说明测量质量的高低,我们还要引入相对误差的概念,其定义为: 相对误差(E )= 绝对误差(?)÷真值(A )

相对误差常用百分数的形式来表示:

%100??

=

A E

(2)系统误差和偶然误差 误差按其性质及其产生的原因,又可以分为系统误差和偶

然误差两种。

1)系统误差:系统误差的特征是带有确定的方向性,在相同的条件下,对同一量进行多次测量,误差的正负保持不变,如果测量值偏大,则总是偏大;如果测量值偏小,则总是偏小,系统误差的来源主要有以下几个方面:

原理误差:由于测量所依据的理论公式的近似性(不完善性)而造成的误差,例如,单

摆的周期公式

g l

T π

2=,它成立的条件是摆角趋近于零,否则就是一个近似公式;又如用

伏安法测电阻时,因忽略了电流表的分压作用或电压表的分流作用,测得的结果只能是近似值。

仪器误差:由于测量仪器本身的缺陷而造成的误差,例如尺子过长或过短、秒表零点不准、天平不等臂、砝码不够标准等等。

环境误差:由于测量时周围的环境(温度、压力、湿度等)不理想而造成的误差。例如在20℃时定标的标准电阻在30℃的环境中使用等。

很明显,由于系统误差有固定的偏向性,所以用多次测量求平均值不能减小系统误差,但如果我们找到了某个系统误差产生的原因,就可以采取一定的方法去减小它的影响,或者对测量结果进行修正。

2)偶然误差:偶然误差的特征是带有随机性(因此偶然误差也叫随机误差)。在测量中,如果已经基本消除了引起系统误差的一切因素,而测量结果仍然无规则地弥散在一定的范围内,这种误差叫偶然误差。偶然误差的可能来源是:测量者自身感官(如听觉、视觉、触觉)的分辨能力不尽相同,外界环境的干扰等等。

偶然误差是无法控制的,但它的出现却服从一定的统计规律。常见的一种规律是:大于真值和小于真值的测量值了现的机会相等;而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多;偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。因此,用增加测量次数求平均值的方法,可以减小偶然误差。

关于因仪器损坏,设计错误,操作不当而造成的测量错误,则不是测量误差。

(二)偶然误差

1、直接测量中偶然误差的估算 所谓直接测量,就是直接用测量仪器进行测量得到结果。

(1)单次测量的误差估算 在物理实验中,有时由于对测量的精度要求不高,或由于测量对象的不可重复性,对一个物理量的直接测量只进行一次,这种测量方法叫做单次测量。

单次测量结果的误差因测量工具的不同常有以下几种确定方法:

1)取测量仪器最小刻度的1/5或1/2作为测量误差,例如毫米刻度尺取0.2mm 或0.5mm 作为测量误差,一般温度计取0.2℃或0.5℃作为测量误差等等.

2)天平取其感量作为测量误差,例如物理天平可取0.02g,托盘天平可取0.1g 作为测量误差. 3)机械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操纵表的人难免按之过早或过迟,因此可取0.1s 或0.2s 作为测量误差.手动的电子秒表尽管可以显示0.01s,但由于同样的原因也只能取0.1s 或

0.2s 作为测量误差,0.01s 位上的数字是没有实际意义的.

4)电表(电压表、电流表)的测量误差有特定的确定方法:每个电表都有一个准确度级别(0.2级、0.5级、1级、2.5级、4级),电表的测量误差不会大于其量程和它的级别的百分阶段之一的乘积. 例如有一个0.5级的电流表,量程为3A,那么其测量误差

A A I 015.0%5.03=?≤?

5)电阻箱同样也用级别表示误差的大小,但电阻箱级别和电表的级别略有不同。n 级电阻箱的测量误差为其当时阻值与n%的乘积。

(2)多次测量结果和误差估算 测量某一个物理量时,为了减小偶然误差,在可能的情况下,应多次重复测量。如果在相同的条件下对某一物理量进行了n 次测量,各次测量分别为n x x x x ,,,,321 ,那么其平均值

n

x x x x n

x ++++=

321(1)

根据误差统计误差,可证明在一组测量n 次的数据中,其算术平均值x 最接近于真值,此算术平均值称为测量的最佳值。当测量次数n 无限增加时,最佳值将无限接近于真值。一般就将最佳值为多次测量的结果。

严格地说,误差是测量值和真值的差,但由于真值不可能得到,而且当测量次数多时,最佳值很接近于真值,因此可以用最佳值代替真值来估算误差。仍以上例来说明误差x ?的估算方法。

,

11x x x -=?

x

x x -=?22…

x

x x n n -=?

n x x x x n /)(21?+?+?=?

(3)测量结果的表示 测量结果应该包括数值、误差和单位三个部分。

通常将测量的结果写成x x x ?±=单位。其中x 是测量值,可以是一次测量值,也可以是多次测量的最佳值,x ?是绝对误差。为了更清楚地表示测量质量的好坏,还应同时写出其相对误差

%100??=

x x

E .

这里要说明两点:

①在误差运算的过程中,一般只取一到二位有效数字,最后表示绝对误差x ?的值一般只取一位而且应该和测量最佳值x 的最末一位对齐,为了确保误差范围的有效性,一般是只入不

舍。

②测量结果为x x ?±并不表示x 为x x x x ?-?+和两个值,而是表示x 一般在

x x x x ?+?-和这个范围之内。

2、间接测量中偶然误差的估算 所谓间接测量,就是应用直接测量得到的值,经过计算得到自己所需要的结果。例如测一块圆柱体金属的密度,可以先通过直接测量得到它的直径D 、高h 和质量m ,然后用公式

)

4(2

h D m ?=πρ

计算出密度。因为计算中所用的直接测量值都是有误差的,所以算出来的间接测量值当

然也是有误差的。下面就讨论在不同类型的计算中,怎样由直接测量的误差得到间接测量的误差。

设x 为间接测量的量,而A 、B 、C …为直接测量的量,它们之间满足一定的关系,即x=f(A,B,C …).如果各直接测得量表示为

;;;C C C B B B A A A ?+=?+=?+=将这些量代入f(A,B,C …)中,便可以求得 ,x x x ?±= x x

E x ?=

其中),,,( C B A f x =为间接测得量的最佳值,x ?是间接测得量的绝对误差。

(1)加法运算中的误差 若x=A+B+C+…

则 +?±+?±+?±=?±)()()(C C B B A A x x ±?±?±?±+++=C B A C B A 其中最佳值 +++=C B A x

绝对误差 ±?±?±?±=?C B A x

由于A 、B 、C 都是互相独立的,它们的绝对误差可能为正,也可能为负。在最不利的情况下,可能出现的最大误差是 +?+?+?=?C B A x 。我们规定此可能的最大误差为x 的误差。

(2)减法运算中的误差 若x=A-B-C-…

则 -?±-?±-?±=?±)()()(C C B B A A x x ±?±?±?±---=C B A C B A 其中最佳值 ---=C B A x 绝对误差

按前面所讲,在最不利情况下,取 +?+?+?=?C B A x

由此可见,加减运算结果的绝对误差等于各直接测得量的绝对误差之和。 (3)乘法运算中的误差 若B A x ?=

则)()(B B A A x x ?±??±=?±

))(()()(B A A B B A B A ?±?±+?±+?±+?= 其中最佳值B A x ?=

绝对误差))(()()(B A A B B A x ?±?±+?±+?±=?

由于为二级小量))((B A ?±?±(即比A ?或B ?更小的小量),可以忽略不计,所以,)()(A B B A x ?±?+?±?=?.在最不利的情况下,取A B B A x ??+??=?,于是相对误差为

B A x E E B B A A B A A B B A x x E +=?+?=???+??=?=

(4) 除法运算中的误差 若

B A x =

))(()

)((B B B B B B A A B B A A x x ??±?±?±=

?±?±=

?+

2

2)(B B A B B A A B B A ?-???±??±??±?=

忽略二级小量

(2

B

B A A B B A ??±??±?=)

2B B

A A

B B

A ??±??±+=

其中最佳值

B A x =

绝对误差

2

B

B

A A

B x ??±??±=

?,在最不利的情况下,取

2

B

B

A A

B x ??+??=

?.相

对误差为

A B B

B A A B x x E n ???+??=?=

2

=B B

A

A ?+

? B A E E +=

由此可见,乘除运算结果的相对误差等于各直接测得量的相对误差之和.这个讨论虽然是从两个因子乘除的运算中推导出来的,但可以推广到任意多个因子乘除的运算中去,如果加、减、乘、除运算中有的因子是公认的理论值或测量值,那么可以不考虑它的误差。

(5)乘方和开方运算中的误差

若)(,的相对误差表示的相对误差

则A E E n E x A x A A n n

?==。如果n 是整数就是乘方运算,如果n 是分数就是开方运算。

(6)三角函数运算的误差

若 A A x A x cos ,sin ??=?=则 若 A A x A x sin ,cos ??=?=则 若 A A x tgA x 2

sec ,??=?=则

若 A A x ctgA

x 2

csc ,??=?=则 若 tgA A A x A x ???=?=sec ,sec 则 若 ctgA A A x A x ???=?=csc ,csc 则

上列式中A x ??和分别表示x 和A 的绝对误差。限于数学工具,以上公式我们不作推导。

掌握了间接测量的误差传递公式,不但可以在实验结束后估算出实验结果可能的误差,还可以在实验前帮助我们确定实验方案和改进实验操作。请看下面一例:

试用单摆测量某地的重力加速度,可提供的工具除了单摆之外还有米尺、秒表等,要求测得的g 的相对误差小于1%。

根据单摆的周期公式

2

242T l

g g l T ππ==可知 根据误差传递公式可知 T l g E E E 2+=

因为要求%1

mm mm E l l l 1000%2.02=≥?=

周期是用秒表测量的,以开、停表都有0.2秒的误差计,s t 4.0=?,因此总计时

s s E t t t 200%2.04

.0=≥?=

这样我们在实验中用摆长为1m 左右的单摆,用秒表测出它摆动100次左右

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的时间,即可达到题设的要求.

如图11-1所示的比重瓶是一种有准确的固定体积的容器(瓶中装满液体,然后将塞子盖上,多余的液体会从塞子中央的细管中溢出,这

样便保持了瓶中液体一定的体积),要求用此瓶测定一种小金属粒的密度,可提供的仪器还有天平、砝码和蒸馏水。

这个实验的原理不复杂,先测了金属粒的质量0m ,再测出装满水的比重瓶的质量1m 最后将金属粒放进装满水的比重瓶中,测出带金属粒和水的比

重瓶的质量2m 。这样,被金属粒排出的水的质量便是)(221m m m -+,这部分水的体积是

水ρ/)(201m m m -+,这也就是金属粒的体积,于是金属粒的密度便是

图5-1

ρρ?-+=

2

010

m m m m

实验操作中一个有待决定的问题是:金属粒是多放一些好还是少放一些好?因为ρ的相对误差

ρρE E E E m m m m ++=-+)(2010

其中水ρ有公认值,故

ρE 可以忽略。

201)(3201m m m m

E m m m -+?=

-+

对同一架天平来说,m ?是确定的,不难看出,当金属粒放得比较多时,上面两式的分母都比较大,相对误差就比较小.因此尽量多放些金属粒,能减小实验结果的误差.

(三)有效数字及其运算

1、有效数字 如上所述,用实验仪器直接测量的数值都含有一定的误差,因此测得的数据都只能是近似数,由这些近似数通过计算而求得的间接测量值也是近似数。为了使间接测量结果合理些,对近似数的表示和计算都有一些规则,以便确切地表示测量和运算结果的近似性。

从仪器上读出来的数值,经常有一位数是估计出来的,或多或少存在着误差。例如米尺的最小刻度是mm(0.001m),那么用米尺测量长度可读到十分之一毫米(0.0001m).0.001m 这一位可以从米尺上读出来,是可靠的,0.001m 位前面的数都是可靠数,0.0001m 这一位是测量者估读出来的,估读的数字因人而异,因此是有疑问的,称为存疑数。由于0.0001m 位已存疑,在它以后各位数的估读已无必要。我们把可靠数加上最后一位存疑数,一起记录下来,统称为有效数字。

在应用有效数字进行数据处理时应注意以下几点:

(1)自然数1,2,3,4,5,6,7,8,9如出现在测量中,均为有效数字。“0”出现在其它数字之后或之间为有效数字,如出现在其它数字之前就不是有效数字了,它们只起定位作用。例如0.08020,前面两个零不是有效数字,后面四个数都是有效数字,因此它有四位有效数字。

(2)读数时,必须按照仪器要求读出测量值,即使末位是“0”,也不能任意舍去。在数学中我们认为2.10cm 、2.100cm 、2.1000cm 是相同的,而在物理中却表示了用三种不同的测量工具所测量的结果,其估读的可疑数分别在0.01cm 、0.001cm 、0.0001cm 这些位上,所以我们决不能在测量结果后面任意加上或丢掉“0”。

(3)有效数字是由测量对象和测量仪器所决定的,单位的换算不能改变有效数字的位数,因而必须注意单位换算时的正确表示法。例如将3.70m 化成毫米单位,不能写成3700mm 而

应该用指数表示法写成mm 3

1070.3 ,仍表示三位有效数字;将280mm 换成以米作单位,不能写成2.8m,而要写成2.80m 。

2、有效数字的运算法则 在有效数字运算过程中,为了做到不因运算而引进“误差”或损失有效位数,以不影响测量结果的精确度为原则,人们对有效数字的近似运算法则作了统一规定。

(1)有效数字的加减 我们通过下面两个例子的运算,了解一下加、减运算中有效数字的取法。

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计算时,我们在存疑数下面加横线,以使之与可靠数字相区别,在相加结果35.37中,由于第三位数“3”已为存疑数字,后面的一位便毫无意义,按四舍五入的原是处理,本例应向前进位,与成35.4,有效数字为3位。同理,相减的结果应该为22.72,舍去了尾数“4”,有效数字为4位。

在上面的例子中,如果我们按照位数对齐相加或相减诸数,并以其中存疑位数最靠前的量为基准,事先进行四舍五入,取齐诸量的尾数,则可简化运算过程,而结果仍然相同。仍用上面两个算式为例,具体算法如下:

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这个结论可以推广到多个量相加或相减的运算中去。

(2)有效数字的乘除 我们通过下面两个例子的运算,了解一下乘、除运算中有效数字的取法

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计算过程中,凡是有存疑数字参于运算而得到的量都是不可靠的。在

运算结果中,存疑数字只保留一位,其后面的存疑数字是没有意义的。因此上面两个例子的结果分别为110和173,有效数字都是三位。从以上两个例子中可以看到,两个量相乘(或除)的积(或商)其有效数字与诸因子中有效数字位数最少的相同。这个结论可以推广到我个量相乘除的运算中去。

(3)有效数字的乘方、开方 按照确定乘法运算结果有效位数的方法,可知乘方运算

n A x 的结果,x 的有效位数应与其底数A 的有效位数相同。当n 是分数时,就是开方运算,

也可看作是乘方的逆运算,根的有效位数与被开方数的有效位数相同。

以上这些结论,在一般情况下是成立的,但也有例外/只要我们掌握了有效数字的意义和存疑数了取舍的原则,是不难处理的。

还应该指出,有效数字讲的是实验数据记录和运算的规则,它不能代替绝对误差和相对误差的计算。在实验中,如果两者发生矛盾,以误差计算法则为准。如果因为各项误差的积累,使间接测量的绝对误差较大,这样就便得根据有效数字运算法则算出来的本来应该可靠的位数也产生了误差,那么就将这一位数作为存疑数,后面多余的存疑数全部舍去。

(四)系统误差

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系统误差具有确定的方向性,因此找出其产生的原因后,可采取适当的措施减小或消除此之外它。下面讨论几种常见的系统误差及解决的方法。

1、由实验原理的不完善带来的系统误差 以伏安法电阻为例,不论是图11-2(a )所示的电流表外接,还是图11-2(b )所示的电流表内接, 都旧有系统误差的,对此系统

误差,有两种办法处理,一种是对实验结果进行修正,另一种是地实验线路进行补偿。 以图5-2(a )线路为例,如果事先已知电压表的内阻 ,即可对实验结果进行修正,如果电压表和电流表的读数分别为U 和I ,则可解得

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如果电压表的内阻未知,则可改进实验线路,进行电流补偿(图5-3(a ))或电压补偿(图5-3(b ))。仔细地调节滑动变阻器R ,使电流表的读数为零。此时因为a 、b 两点等势,所以电压表的

读数就是x R 的电流,这样就消除了由于电流表分压及电压表分流而带来的系统误差。

注意,图5-3只是电流补偿和电压补偿的原理图,在实际操作中,还须有一些附加部件。例如在电流计上必须串一个滑动变阻器以保护电流

计,电路未调平衡时将滑动变阻器置于阻值最大

处,随着逐渐调平衡慢慢减小滑动变阻器的阻值

直至零。

2、由于测量仪表不准确带来的系统误差 图5-3所示的补偿电路解决了由于实验原理不完善带来的系统误差。但电压表和电流表的准确度是很有限的(一般中学里用的电表都是

2.5

图5-2

图5-4

级的,即使大学专业实验室中的电表也只有0.5级),这会给测量结果带来较大的误差。

为了用准确程度要高得多的电阻代替电表来测量X R ,我们可以这样来分析一下图5-3(a )的电路,将R 分画成两个电阻21R R 和(图5-4)。我们假定有四个电阻

231,,R R R R R R R A =+==右上左下左上‖ ,X R R =右下,根据欧姆定律

左下左上右上R IR IR A U

R X /=

=

左上

左下

右上R R R ?=

这样,如果左上左下右上R R R ,,三个电阻都已知,X R 也就测得了。

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将图5-4改画成图5-5,321,,R R R 都用电阻箱。这就是我们熟知的惠斯通 电桥。电阻箱的准确度要比电表高得多 ,中学里用的多数为0.2级,稍好一些 的即可达0.02级。

3、由外界环境带来的系统误差 用

量热器做热学实验时,实验系统和外界的热交换是一个比较难解决的问题,此时我们可以用“异号抵消”的思想来减小这一系统误差。

在用混合法测定冰的熔解热的实验中,将量热器假定成一个完美的绝热系统,但这在职实验中是无法做到的,我们采用“异号抵消”法来尽量减小量热器和周围环境之间的热传递给实验结果带来的系统误差。

在实验过程中,环境温度θ可以认为是不变的。适当选取量热器内水的初温1T 和水、冰的质量,使量热器在实验的前一部分时间内向周围环境放热,在实验的后一部分时间内从周围环境吸热,并尽量使整个实验过程中量热器与环境的热交换前后彼此抵消。这样便可以认为量热器是一个很好的绝热系统。

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怎样才能使量热器的放、吸热基本相同呢?我们以时间t 为

横轴,以量热器温度T 为纵轴,可得如图11-6所示的图线。AB

是冰块投入前的自散热线,BCD 是冰的熔解线,DE 是自然吸热线,从θt t 到1这段时间内,量热器的温度高于室温θ,量热器向

周围环境放出来的热量可用BFC 这个曲边三角形的面积1S 来表示(暂不作证明)。从2t t 到θ这段时间内,量热器的温度低于室

温θ,量热器从周围环境吸收的热量可用曲边三角形CGD 的面积2S 来表示,适当地控制水的初温和水、冰的质量,使21S S 与相差不多,即可认为量热器与外界基本没有热交换。

T T 图5-6

(五)图线法处理实验数据

1、图线法的作用和优点 物理实验中的图线法,是用作图来得到实验结果,它是一种应用得很广泛的处理实验数据的方法。特别是在有些科学实验的规律和结果还没有完全掌握或还没有找到明确的函数表达式时,采用作出的图线来表示实验结果,能形象、直观地显示出物理量变化的规律。

图线法有取平均的效果。一般的图线是根据许多组数据拟全出来的平滑曲线或直线,这样的图线就有多次测量取平均的作用。

图线法还可以帮助我们发现某些错误。如果在描图过程中发现某个点偏离得特别远,则提示测量或数据计算中可能有错误,应重新测量或进行校对。

2、作图线的规则

(1)作图线必须用坐标纸,我们一般采用毫米方格纸 坐标纸的大小根据实验数据的有效位数来确定,一般的原则是:测量数据中的可靠数字在图线中也应该是可靠的,测量数据中的存疑数字在图线中应该是估画的,即坐标中的最小格对应于测量值的有效数字中可靠数字的最后一位。

(2)坐标轴的坐标与比例 通常以横轴代表自变量,纵轴代表因变量。在坐标轴的末端近旁标明所代表的物理量及单位。作图线时,根据需要横轴和纵轴的标度可以不同,两轴的交点也不一定要从零开始。要力求整个图线比较对称地占据整个图纸,不要偏在一角或一边。

(3)图线的标点与连线 根据测得的数据,用削尖的铅笔在坐标图纸上对应地以“⊙”标出各数据的点。同一坐标纸上如有不同的图线,应当用不同的符号,如“+”,“△”等来标点。当数据点标好后,用直尺或曲线板等作图工具,把它们连成直线或光滑曲线。除特殊情况(如校准曲线)外,绝不允许连成折线,也不允许连成“蛇线”。图线不一定通过每个数据点,但要求数据点在图线两旁有较均匀的分布。

(4)在坐标纸上应标明图的名称,一般要求在图纸上部附近的空旷位置写出简要完整的图名,文字要用仿宋体。

3、用图解法求直线的斜率和截距

如果图线为直线,其函数式为y=kx+b ,那么可以从图线上解出其斜率k 和截距b 。具体

求法是在直线上任意取两点21222111,),,(),(P P y x P y x P

但和两点不能靠得太近,一般取在靠近直线两端的地方。在直线上确定这两点的坐标之后,即可列出方程组

??

?+=+=b kx y b kx y 2211

解方程组,得直线斜率

1212x x y y k --=

如果x 坐标的起点为零,则可直接从图线上读取直线与y 轴的交点的y 的坐标,就是直

线的截距b 。如果x 坐标轴的起点不为零,则要在图线上再取一点),(333y x P 有

3

1

21

23

31

21

23x x x y y y b b

x x x y y y --=+--=

要注意的是321,,P P P 都要由图线上取得,不可用原来的实验数据点。为了减少误差,这三个点的确良x 坐标可取整数,读坐标值时,只要读取它们的y 坐标即可。

4、曲线化直 在实验中,会遇到各种各样的函数形式,其中一次函数的图线最容易精确绘制,并且可以根据图线求出所需要的数据(一般是求出图线的斜率k 和截距b ,然后再根据k 和b 求出所需实验结果)。所以,我们常通过一些变换,将曲线函数化成直线函数,这一工作可称为“化直”。

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下面具体说明怎样将上述函数“化直”:

(1)抛物线,设y=Y ,X x =2

(2)双曲线,设y=Y ,X x =1 (3)平方反比,设y=Y ,X x =21

(4)指数曲线,设X x Y y ==,ln

作了上列变换后,再作Y ~X 图线,便可得到直线。

5、图线法求实验结果 图线法求实验结果的一般步骤是: (1)改变实验条件多次重复测量,得到一系列实验数据; (2)进行数据变换,得到直线形函数 (3)拟合出图线(直线);

(4)求出图线的斜率k 和截距b ;

(5)从k 和b 中间求出所需要的实验结果。

6、图线法探索物理规律 在已知物理规律(如上例中已知

k m m T 0

2+=π

)时,可

以用图线法来求实验结果;如果物理规律尚不清楚,也可以用图线法来探索物理规律。

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先看一个物理学史上的事例:欧姆当年研究电压、电流和电阻三者之间的关系时,非但没有测量电压、电流、电阻的电表,连电压、电流、电阻的概念都没有。他以导线的长度L 代表电阻,以放在通电导线旁边的小磁针的偏转角度θ代表电流强度,得到如下实验数据:

我们可以通过以下步骤来探索当电压一定时,电流(θ)和电阻(L )的关系。

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(1)以纵轴代表θ,横轴代表L ,作出θ~L 图线(图11-8)

(2)根据图11-8初步判断θ与L 成反比关系,因此再算出一系列

θ1值,并试作L

~1

θ

线(图11-9),得到一条不

过原点的直线。这说明θ与L 不成反比关系,但θ1和L 却成线性关系。

(3)设b

kL +=θ

1

,其中k 为图线的斜率,b 为图线在纵轴上的截距,上式可化成

L k b

k

b kL +=+=

11

θ

(4)在图线上取两点:

)1033.2,140(),1050.0,16

(2221--??P P

θ300 200 100

图5-8

图5-9

求出图线的斜率

2

210015.01614010)50.033.2(--?=-?-=k

从图11-9中可直接看出图线的截距2

1030.0-?=b ,所以 20015.020.0==k b

这个式子和我们今天常用的全电路欧姆定律已完全一样了,式中6600代表电动势,20代表内阻。

7、图线法的局限性 由于图线一般都是靠目视而拟合出来的(这种方法叫直觉拟合),因此在拟合过程中人的因素难免要起作用。同一组数据,两个人通过直觉拟合得到的结果一般不可又红又专完全一样,这就说明图线法处理数据的过程又会给实验结果带来一些新的“误差”。因此,直觉拟合作图法是一种比较粗略的数据处理方法,一般不讨论结果的误差。

(六)线性回归法

直觉拟合法最大的缺陷就是无法克服连线时的主观随意性,也就是说,直接拟合很难找到一条离各个数据点最近的图线。那么是否可以通过严格的数学方法找到这条最佳的图线呢?这就是下面要讨论的问题。

1、线性回归法(最小二乘法) 假定变量x 和y 的关系是线性的 y=kx+b

其图线是一条直线。

在实验中测得n 组数据)2,1)(,(n i y x i i =现在的问题是怎样根据这些数据确定上面线性方程中的k 和b 。为了理论上计算的需要,假定),(i i y x 中只有i y 是有误差的。在实际处理实验数据据时,可以把两个变量中相对业说误差较小的变量作为x 。

我们对回归直线提了的标准是:要求从各数据点到回归直线的竖直距离平方之和为最小,也就是说,要求出k 和b 等于什么值时,各数据点到回归直线的竖直距离平方之和取得极小值。由于数学知识的限制,这里不介绍具体推导,只给出结论供使用:

n y

x xy S n y y S n x x S xy yy xx ∑∑-

∑=∑-

∑=∑-

∑=22

2

2

)()( 那么斜率

xx xy S S k =

截距

式中符号∑表示求和,如果共有n 个数据点,那么

n n n

n

n n y x y x y x xy y y y y x x x x y y y y x x x x ++=∑++=∑++=∑+++=∑+++=∑22112

2

22

1222

22

122121

这个计算过程看起来比较复杂,但在职电脑使用日益普及的今天,用电脑来完成这样的工作很方便。一些功能比较齐全的计算器具有二维统计功能,也能自动完成这些计算。

在统计理论中还给出一个叫做相关系数的量,它主要表征x 、y 两个变量相关的程度。从图线上看,如果x 、y 的相关程度高,那么数据点都比较靠近拟合出来的图线;如果相关程度低,那么数据点就比较分散。相关系数

yy

xx xy S S S r ?=

当x 与y 完全不相关时,r=0;当x 与y 正相关,即回归直线的斜率为正时,r>0;当x 与y 负相关,即回归直线的斜率为负时,r<0;当所有数据点都在回归直线上时,1

=r 。所以,r 的数值只能在(-1)和(+1)之间。图11-10说明了数据点分布情况不同时的相关系数。

(2)线性回归法的误差 由于线性回归法是建立在严格的统计理论基础上的,因此可以计算回归直线方程的系数k 和b 的误差,同样由于数学方面的原因,这里只给出计算结果:

k 的相对误差:

2)11

(

2--=

n r E k k 的绝对误差: k E k k =?

b 的绝对误差: k

n x b ?∑=?2

b 的相对误差: b b E b /?=

有了k 和b 的误差,便可以确定k 和b 的有效位数了:使k 和b 只保留一位存疑数,即让误差的位数和k 、b 的最末一位数相同。

3、线性关系显著的标准 由对相关系数r 的讨论可知,对一个实际问题,只有当相关系数r 的绝对值大到一定程度时,才可以用回归直线来近似地表示变量x 和y 之间的关系,即可以认为x 与y 成线性关系。因此,要有一个标准,在这个标准之上,就可以认为x 与y 线性关系显著。

线性关系显著的标准与数据点的个数有关,下面我们给出两个变量达到线性关系显著标准的相关系数的最小值(此值还与显著性水平有关,这里列出的是显著性水平a=0.01时的相

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下面用一个很简单的例子来说明线性回归法处理实验数据的具体做法。

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(1)对以上数据进行线性回归处理

950

.1000.856

.7652.11)(22

=-=∑-∑=n x x S xx 28

.85000.83405

9.510)(2

2=-=∑-∑=n y y S yy 000.835

.58750.870.76?-

=∑∑-∑=n y x xy S xy

605

.6950.188

.12==

=

xx xy

S S k 06953

.0000.8750.8605.6000.835.58=?-=∑-∑=n x k n y b (2)计算相关系数及误差

9988

.028

.85950.188.12=?=

=

yy

xx xy S S S r

020

.0281

9988.01

2

)11(2

2=--=--=

n r E k

17

.014.0000.852

.112=?=?÷∑=?k n x b

(3)根据以上计算,可以得到下列结论

①电流I 和电压U 的相关系数为0.9988,因为0.9988>0.834,因此是显著相关,说明I 和U 成线性关系。

②回归直线的截距b=0.06953,而b b b ?<=?,18.0,因此可以认为回归直线过原点,说明I 和U 成正比。

③导体的电阻

Ω?=Ω?=?=

23310514.110605.61101k R 20.0==k R E E

Ω=Ω??=?=?3)020.0105.1(2k E R R 因此 Ω±=)3151(R