2016年江苏数学高考试卷含答案和解析

2016年江苏数学高考试卷

一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）

1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B=______．2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是______．3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是______．4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是______．5．（5分）函数y=的定义域是______．

6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是______．

7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是______．

8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.

则a9的值是______．

9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是______．

10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是______．

11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是______．12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是______．13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.?=4.?=﹣1.则?的值是______．

14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是______．

二、解答题（共6小题.满分90分）

15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．

（1）求AB的长；

（2）求cos（A﹣）的值．

16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC 的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？

18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．

（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；

（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t 的取值范围．

19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．

（1）设a=2.b=．

①求方程f（x）=2的根；

②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；

（2）若0＜a＜1.b＞1.函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点.求ab

的值．

20．（16分）记U={1.2.….100}.对数列{a n}（n∈N*）和U的子集T.若T=?.定义S T=0；若T={t1.t2.….t k}.定义S T=++…+．例如：T={1.3.66}时.S T=a1+a3+a66．现设{a n}（n∈N*）是公比为3的等比数列.且当T={2.4}时.S T=30．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）对任意正整数k（1≤k≤100）.若T?{1.2.….k}.求证：S T＜a k+1；（3）设C?U.D?U.S C≥S D.求证：S C+S C∩D≥2S D．

附加题【选做题】本题包括A、B、C、D四小题.请选定其中两小题.并在相应的答题区域内作答.若多做.则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．【选修4—1几何证明选讲】

21．（10分）如图.在△ABC中.∠ABC=90°.BD⊥AC.D为垂足.E 为BC的中点.求证：∠EDC=∠ABD．

B.【选修4—2：矩阵与变换】

22．（10分）已知矩阵A=.矩阵B的逆矩阵B﹣1=.求矩阵AB．

C.【选修4—4：坐标系与参数方程】

23．在平面直角坐标系xOy中.已知直线l的参数方程为（t为参数）.椭圆C的参数方程为（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A.B两点.求线段AB的长．

24．设a＞0.|x﹣1|＜.|y﹣2|＜.求证：|2x+y﹣4|＜a．

附加题【必做题】

25．（10分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知直线l：x﹣y﹣2=0.抛物线C：y2=2px（p＞0）．

（1）若直线l过抛物线C的焦点.求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．

①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p.﹣p）；

②求p的取值范围．

26．（10分）（1）求7C﹣4C的值；

（2）设m.n∈N*.n≥m.求证：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．

2016年江苏数学参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题.每小题5分.满分70分）

1．（5分）已知集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.则A∩B={﹣1.2}．

【分析】根据已知中集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.结合集合交集的定义可得答案．

【解答】解：∵集合A={﹣1.2.3.6}.B={x|﹣2＜x＜3}.

∴A∩B={﹣1.2}.

故答案为：{﹣1.2}

【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算.难度不大.属于基础题．

2．（5分）复数z=（1+2i）（3﹣i）.其中i为虚数单位.则z的实部是5．【分析】利用复数的运算法则即可得出．

【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i.

则z的实部是5.

故答案为：5．

【点评】本题考查了复数的运算性质.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．

3．（5分）在平面直角坐标系xOy中.双曲线﹣=1的焦距是2．【分析】确定双曲线的几何量.即可求出双曲线﹣=1的焦距．

【解答】解：双曲线﹣=1中.a=.b=.

∴c==.

∴双曲线﹣=1的焦距是2．

故答案为：2．

【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质.考查学生的计算能力.比较基础．

4．（5分）已知一组数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5.则该组数据的方差是

0.1．

【分析】先求出数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数.由此能求出该组数据的方差．

【解答】解：∵数据4.7.4.8.5.1.5.4.5.5的平均数为：

=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1.

∴该组数据的方差：

S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．

故答案为：0.1．

【点评】本题考查方差的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意方差计算公式的合理运用．5．（5分）函数y=的定义域是[﹣3.1]．

【分析】根据被开方数不小于0.构造不等式.解得答案．

【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0.

解得：x∈[﹣3.1].

故答案为：[﹣3.1]

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域.二次不等式的解法.难度不大.属于基础题．6．（5分）如图是一个算法的流程图.则输出的a的值是9．

【分析】根据已知的程序框图可得.该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值.模拟程序的运行过程.可得答案．

【解答】解：当a=1.b=9时.不满足a＞b.故a=5.b=7.

当a=5.b=7时.不满足a＞b.故a=9.b=5

当a=9.b=5时.满足a＞b.

故输出的a值为9.

故答案为：9

【点评】本题考查的知识点是程序框图.当循环次数不多.或有规律可循时.可采用模拟程序法进行解答．

7．（5分）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.则出现向上的点数之和小于10的概率是．

【分析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．

【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1.2.3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2次.

基本事件总数为n=6×6=36.

出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10.

出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：

（4.6）.（6.4）.（5.5）.（5.6）.（6.5）.（6.6）.共6个.

∴出现向上的点数之和小于10的概率：

p=1﹣=．

故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意对立事件概率计算公式的合理运用．

8．（5分）已知{a n}是等差数列.S n是其前n项和.若a1+a22=﹣3.S5=10.

则a9的值是20．

【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组.求出首项和公差.由此能求出a9的值．

【解答】解：∵{a n}是等差数列.S n是其前n项和.a1+a22=﹣3.S5=10.

∴.

解得a1=﹣4.d=3.

∴a9=﹣4+8×3=20．

故答案为：20．

【点评】本题考查等差数列的第9项的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意等差数列的性质的合理运用．

9．（5分）定义在区间[0.3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．

【分析】画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象即可得到答案．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象如下：

由图可知.共7个交点．

故答案为：7．

【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象.作出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0.3π]上的图象是关键.属于中档题．

10．（5分）如图.在平面直角坐标系xOy中.F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点.直线y=与椭圆交于B.C两点.且∠BFC=90°.则该椭圆的离心率是．

【分析】设右焦点F（c.0）.将y=代入椭圆方程求得B.C的坐标.运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.结合离心率公式.计算即可得到所求值．

【解答】解：设右焦点F（c.0）.

将y=代入椭圆方程可得x=±a=± a.

可得B（﹣ a.）.C（ a.）.

由∠BFC=90°.可得k BF?k CF=﹣1.

即有?=﹣1.

化简为b2=3a2﹣4c2.

由b2=a2﹣c2.即有3c2=2a2.

由e=.可得e2==.

可得e=.

故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1.考查化简整理的运算能力.属于中档题．

11．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.其中a∈R.若f（﹣）=f（）.则f（5a）的值是﹣．【分析】根据已知中函数的周期性.结合f（﹣）=f（）.可得a值.进而得到f（5a）的值．

【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1）上.f（x）=.

∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a.

f（）=f（）=|﹣|=.

∴a=.

∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣.

故答案为：﹣

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用.函数的周期性.根据已知求出a值.是解答的关键．

12．（5分）已知实数x.y满足.则x2+y2的取值范围是

[.13]．

【分析】作出不等式组对应的平面区域.利用目标函数的几何意义.结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域.

设z=x2+y2.则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方.

由图象知A到原点的距离最大.

点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离最小.

由得.即A（2.3）.此时z=22+32=4+9=13.

点O到直线BC：2x+y﹣2=0的距离d==.

则z=d2=（）2=.

故z的取值范围是[.13].

故答案为：[.13]．

【点评】本题主要考查线性规划的应用.涉及距离的计算.利用数形结合是解决本题的关键．

13．（5分）如图.在△ABC中.D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.?=4.?=﹣1.则?的值是．

【分析】由已知可得=+.=﹣+.=+3.=﹣+3.=+2.=﹣+2.结合已知求出2=.2=.可得答案．【解答】解：∵D是BC的中点.E.F是AD上的两个三等分点.

∴=+.=﹣+.

=+3.=﹣+3.

∴?=2﹣2=﹣1.

?=92﹣2=4.

∴2=.2=.

又∵=+2.=﹣+2.

∴?=42﹣2=.

故答案为：

【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算.平面向量的线性运算.难度中档．

14．（5分）在锐角三角形ABC中.若sinA=2sinBsinC.则tanAtanBtanC的最小值是8．

【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出

sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.进而得到

tanB+tanC=2tanBtanC.结合函数特性可求得最小值．

【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）

=sinBcosC+cosBsinC.sinA=2sinBsinC.

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC.①

由三角形ABC为锐角三角形.则cosB＞0.cosC＞0.

在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC.又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②.

则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC.

由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣

.

令tanBtanC=t.由A.B.C为锐角可得tanA＞0.tanB＞

0.tanC＞0.

由②式得1﹣tanBtanC＜0.解得t＞1.

tanAtanBtanC=﹣=﹣.

=（）2﹣.由t＞1得.﹣≤＜0.

因此tanAtanBtanC的最小值为8.

当且仅当t=2时取到等号.此时tanB+tanC=4.tanBtanC=2.

解得tanB=2+.tanC=2﹣.tanA=4.（或tanB.tanC互换）.此时A.B.C均为锐角．

【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识.有一定灵活性．

二、解答题（共6小题.满分90分）

15．（14分）在△ABC中.AC=6.cosB=.C=．

（1）求AB的长；

（2）求cos（A﹣）的值．

【分析】（1）利用正弦定理.即可求AB的长；

（2）求出cosA、sinA.利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中.cosB=.

∴sinB=.

∵.

∴AB==5；

（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角.

∴sinA=.

∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．

【点评】本题考查正弦定理.考查两角和差的余弦公式.考查学生的计算能力.属于基础题．

16．（14分）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.D.E分别为AB.BC 的中点.点F在侧棱B1B上.且B1D⊥A1F.A1C1⊥A1B1．求证：

（1）直线DE∥平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．

【分析】（1）通过证明DE∥AC.进而DE∥A1C1.据此可得直线DE∥平面A1C1F1；

（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D.进而可得平面

B1DE⊥平面A1C1F．

【解答】解：（1）∵D.E分别为AB.BC的中点.

∴DE为△ABC的中位线.

∴DE∥AC.

∵ABC﹣A1B1C1为棱柱.

∴AC∥A1C1.

∴DE∥A1C1.

∵A1C1?平面A1C1F.且DE?平面A1C1F.

∴DE∥A1C1F；

（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱.

∴AA1⊥平面A1B1C1.

∴AA1⊥A1C1.

又∵A1C1⊥A1B1.且AA1∩A1B1=A1.AA1、A1B1?平面

AA1B1B.

∴A1C1⊥平面AA1B1B.

∵DE∥A1C1.

∴DE⊥平面AA1B1B.

又∵A1F?平面AA1B1B.

∴DE⊥A1F.

又∵A1F⊥B1D.DE∩B1D=D.且DE、B1D?平面B1DE.

∴A1F⊥平面B1DE.

又∵A1F?平面A1C1F.

∴平面B1DE⊥平面A1C1F．

【点评】本题考查直线与平面平行的证明.以及平面与平面相互垂直的证明.把握常用方法最关键.难度不大．

17．（14分）现需要设计一个仓库.它由上下两部分组成.上部的形状是正四棱锥P﹣A1B1C1D1.下部的形状是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示）.并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

（1）若AB=6m.PO1=2m.则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当PO1为多少时.仓库的容积最大？

（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.可得PO1=2m 【分析】

时.O1O=8m.进而可得仓库的容积；

（2）设PO1=xm.则

O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=?m.代入体积公式.求出容积的表达式.利用导数法.可得最大值．

【解答】解：（1）∵PO1=2m.正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

∴O1O=8m.

∴仓库的容积V=×62×2+62×8=312m3.

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m.

设PO1=xm.

则O1O=4xm.A1O1=m.A1B1=?m.

则仓库的容积V=×（?）2?x+（?）

2?4x=x3+312x.（0＜x＜6）.

∴V′=﹣26x2+312.（0＜x＜6）.

当0＜x＜2时.V′＞0.V（x）单调递增；

当2＜x＜6时.V′＜0.V（x）单调递减；

故当x=2时.V（x）取最大值；

即当PO1=2m时.仓库的容积最大．

【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积.导数法求函数的最大值.难度中档．

18．（16分）如图.在平面直角坐标系xOy中.已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一点A（2.4）．

（1）设圆N与x轴相切.与圆M外切.且圆心N在直线x=6上.求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点.且BC=OA.求直线l的方程；

（3）设点T（t.0）满足：存在圆M上的两点P和Q.使得+=.求实数t 的取值范围．

【分析】（1）设N（6.n）.则圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.从而得到|7﹣n|=|n|+5.由此能求出圆N的标准方程．

（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.则圆心M到直线l的距离：d=.由此能求出直线l的方程．

（3）=.即||=.又||≤10.得t∈[2﹣

2.2+2].对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.由此能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵N在直线x=6上.∴设N（6.n）.

∵圆N与x轴相切.∴圆N为：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2.n＞0.

又圆N与圆M外切.圆M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0.即圆M：（（x ﹣6）2+（x﹣7）2=25.

∴|7﹣n|=|n|+5.解得n=1.

∴圆N的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．

（2）由题意得OA=2.k OA=2.设l：y=2x+b.

则圆心M到直线l的距离：d==.

则|BC|=2=2.BC=2.即2=2.解得b=5或b=﹣15.

∴直线l的方程为：y=2x+5或y=2x﹣15．

（3）=.即.即||=||.

||=.

又||≤10.即≤10.解得t∈[2﹣2.2+2].

对于任意t∈[2﹣2.2+2].欲使.

此时.||≤10.

只需要作直线TA的平行线.使圆心到直线的距离为.

必然与圆交于P、Q两点.此时||=||.即.

因此实数t的取值范围为t∈[2﹣2.2+2].．

【点评】本题考查圆的标准方程的求法.考查直线方程的求法.考查实数的取值范围的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意圆的性质的合理运用．

19．（16分）已知函数f（x）=a x+b x（a＞0.b＞0.a≠1.b≠1）．

（1）设a=2.b=．

①求方程f（x）=2的根；

②若对于任意x∈R.不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立.求实数m的最大值；