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高三数学中档题过关训练9-10

高三数学中档题过关训练(九)

1、已知函数f (x )=log 2(x +m ),且f (0)、f (2)、f (6)成等差数列. (1)求实数m 的值;

(2)若a 、b 、c 是两两不相等的正数,且a 、b 、c 成等比数列,试判断

f (a )+f (c )与2f (b )的大小关系,并证明你的结论.

2、在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,且2

7

2cos 2sin

42

=-+A C B , (1)求角A 的度数; (2)若a =3,b +c =3,求b 和c 的值.

3、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,过BC 1的

平面BC 1D ∥AB 1,平面BC 1D 交AC 于D . (1)求证BD ⊥平面ACC 1A 1;

高三数学中档题过关训练9-10

(2)若二面角C 1—BD —C 等于60°,求平面BC 1D 与平 面BCC 1B 1所成二面角的大小.(结果用反三角函数表示)

4、如图,点F (a ,0)(a >0),点P 在y 轴上运动,M 在x 轴上,N 为动点,且

=+=?PM PN PF PM ,00.

高三数学中档题过关训练9-10

(1)求点N 的轨迹C 的方程;

★(2)过点F (a ,0)的直线l (不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点,设点K (-a ,0),KA 与KB 的夹角为θ, 求证:0<θ<2

π.

高三数学中档题过关训练(十)

1、已知A (3,0),B (0,3),C (cos α,sin α).

(1)若BC AC ?=-1,求sin2α的值; (2)若13||=

+OC OA ,且α∈(0,π),求OB 与OC 的夹角.

2、如图,已知四边形ABCD 为直角梯形,AB ∥CD ,∠BAD =90°,P A ⊥平面ABCD ,CD =2,P A =AD =AB =1,E 为PC 的中点.

(1)求证:EB ∥平面P AD ;

高三数学中档题过关训练9-10

(2)求直线BD 与平面PCD 所成的角; (3)求二面角A —PC —D 的大小.

3、设等比数列{a n }中,公比q ≠1,S n =a 1+a 2+…+a n ,T n =

n

a a a 11121+++ . (1)用a 1,q ,n 表示

n

n

T S ; (2)若5

5

3311,,3T S T S T S -

成等差数列,求q ; (3)在(2)的条件下,设1

231121,1-+

++=

=n n a n

a a R a ,求证:49

4、已知函数f (x )=x 3-

2

1x 2

+bx +c . 若f (x )的图象有与x 轴平行的切线,求b 的取值范围;

高三数学中档题过关训练(九)答案

1、(1)由f (0)、f (2)、f (6)成等差数列,

可得2log 2(2+m )=log 2m +log 2(6+m ),

即(m +2)2=m (m +6)且m >0,解得m =2. 6分 (2)由f (x )=log 2(x +2),可得2f (b )=2log 2(b +2)=log 2(b +2)2, f (a )+f (c )=log 2(a +2)+log 2(c +2)=log 2[(a +2)(c +2)], ∵a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac , 9分 又a 、b 、c 是两两不相等的正数, 故(a +2)(c +2)=ac +2(a +c )+4>ac +4

ac +4=b 2+4b +4=(b +2)2,

∴log 2[(a +2)(c +2)]>log 2(b +2)2,即f (a )+f (c )>2f (b )

2、(1)由已知得2[1-cos (B +C )]-(2cos 2A -1)=2

7

∵cos (B +C )=-cos A ,

∴4cos 2A -4cos A +1=0,

∴(2cos A -1)2=0,即cos A =

2

1. ∴A =60°.

(2)∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc =(b +c )2-3bc , ∵a =

3,b +c =3, ∴3=9-3bc ,∴bc =2,

由???==+,2,3bc c b 解之得???==12c b 或?

??==21c b .

3、(1)连结B 1C 交BC 1于O ,则O 是B 1C 的中点,连结DO , ∵AB 1∥平面BC 1D ,AB 1?平面AB 1C ,

高三数学中档题过关训练9-10

平面AB 1C ∩平面BC 1D =DO , ∴AB 1∥DO ,∴D 是AC 的中点, ∵△ABC 是正三角形,∴BD ⊥AC ,

∵平面ACC 1A 1⊥平面ABC ,∴BD ⊥平面ACC 1A 1. (2)∵CC 1⊥平面ABC ,且CD ⊥BD , ∴C 1D ⊥BD ,

∴∠C 1DC 是二面角C 1—BD —C 的平面角, ∴∠C 1DC =60°,

设正三棱柱底边长为2,则DC =1,CC 1=

3,

作DE ⊥BC 于E ,∵平面BCC 1B 1⊥平面ABC ,

∴DE ⊥平面BCC 1B 1,作EF ⊥BC 1于F ,连结DF ,则DF ⊥BC 1,

∴∠DFE 是平面BC 1D 与平面BCC 1B 1所成二面角的平面角,

在Rt △DFE 中,DE =

2

3, 在Rt △DFE 中,EF =BE 2sin C 1BC =

7

2337323=?, ∴tan DFE =

3

7

337223=?=EF DE ,

∴平面BC 1D 与平面BCC 1B 1所成二面角的大小为arctan 3

7

. 4、(1)(方法一)设N (x ,y ),∵PM PN +=0,即P 是MN 的中点,

∴M (-x ,0),P (0,

2

y ), ∵PF PM ?=0,∴PM ⊥PF , ∴a

y

x y -?22=-1, ∴y 2=4ax 即为所求.

(方法二)设N (x ,y ),M (x 0,0),P (0,y 0) 则).,(),,(),,(0000y y x PN y a PF y x PM

-=-=-=

由PM 2PF =0,得ax 0+y 02=0,

由PN +PM =0,得(x +x 0,y -2y 0)=0,

即???=-=+,02,000y y x x ∴?????=-=,

2

,00y y x x 代入①得,y 2=4ax 即为所求. (2)设l 的方程为y =k (x -a ),

由???-==),

(,42a x k y ax y 消去x ,得y 2-k a

4y -4a 2=0,

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1y 2=-4a 2,

KA =(x 1+a ,y 1)

,KB =(x 2+a ,y 2),

KA 2KB =(x 1+a )

(x 2+a )+y 1y 2=x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2 =)44()4(2

22122221a y a y a a y y +?++a 2-4a 2 =41(y 12+y 22)-2a 2>4

1

(2|y 1y 2|)-2a 2 =

2134a 2-2a 2=0, ∴cos θ|

|||KB KA KB KA >0, ∴0<θ<2π.

高三数学中档题过关训练(十)答案

1、(1)AC =(cos α-3,sin α),BC =(cos α,sin α-3),

∴由AC 2BC =-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, ∴cos α+sin α=

32, 两边平方,得1+sin2α=94

,∴sin2α=-9

5.

(2)OC OA +=(3+cos α,sin α), ∴(3+cos α)2+sin 2α=13,

∴cos α=

2

1

,∵α∈(0,π), ∴α=

3

π

,sin α=

2

3, ∴233),23,21(=

?OC OB C , 设OB 与的夹角为θ,则cos θ23

323

3|

|||=

=OC OB OC OB ∴θ=6π即为所求.

高三数学中档题过关训练9-10

2、(1)取PD 的中点F ,连结AF 、EF , 则EF

21

CD ,又BA 2

1

CD , ∴EF BA ,

∴四边形ABEF 为平行四边形,∴EB ∥F A ,

又∵EB ?平面P AD ,F A ?平面P AD , ∴EB ∥平面P AD .

(2)∵P A ⊥平面ABCD ,P A ?平面P AD ,

∴平面P AD ⊥平面ABCD , 又∵CD ⊥AD , ∴CD ⊥平面P AD ,又CD ?平面PCD ,

∴平面PCD ⊥平面P AD ,∵P A =AD ,F 为PD 的中点,

∴AF ⊥PD ,∴AF ⊥平面PCD ,又∵BE ∥AF ,∴BE ⊥平面PCD ,连结DE ,则∠BDE 为直线BD 与平面PCD 所成的角,

在Rt △PCD 中,2

6

4221212122=

+=+==

CD PD PC DE , ∴在Rt △ABD 中,222=+=AB AD BD ,

∴在Rt △BDE 中,cos BDE =23

2

26=

=BD DE , ∴∠BDE =30°, 即直线BD 与平面PCD 所成的角为30°.

(3)过F 作FG ⊥PC 于G ,连结AG ,由三垂线定理得,AG ⊥PC , ∴∠FGA 为二面角A —PC —D 的平面角,

∵Rt △PFG ∽Rt △PCD , ∴

PC PF CD FG =,∴3

1622

2=?

=?=PC

PF

CD FG , 在Rt △AFG 中,tan FGA =263

122

=

=FG AF , ∴∠FGA =arctan 26

, 即二面角A —PC —D 的大小为arctan

2

6.

3、(1)S n =q q a n --1)1(1,而{n a 1

}是以11a 为首项,q 1为公比的等比数列,

∴1211

11)1(111]

)1

(1[1--=--=--=n n n n n n q a S q q a q q

q a T , ∴n n T S =a 12q n -1

. (2)由已知得:-3a 12,a 12q 2,a 12q 4成等差数列,

∴2a 12q 2=-3a 12+a 12q 4, ∵a 1≠0,∴q 4-2q 2-3=0,

∵q 2>0,∴q 2=3,q =±3.

(3)∵a 1=1,q 2=3,∴a 2n -1=a 1q 2n -

2=(q 2)n -

1=3n -

1, ∴123333211-++++=n n

n R ,,3

3332313132n n n R ++++= 两式相减,得

n

n n n

n n n n n n R 331232333

11)31

(1331313113212-?-=---=-++++=-

∴4

9323314949

n n n

n R 4、f ′(x )=3x 2-x +b ,

f (x )的图象上有与x 轴平行的切线,则f ′(x )=0有实数解,

即方程3x 2-x +b =0有实数解,由Δ=1-12b ≥0, 得b ≤

12

1.