映射例题答案:
例1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是?为什么?
设A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},对应关系是f(x)=2x+1,x属于A
设A={1,4,9},B+{-1,1,-2,2,-3,3}对应关系是‘A中的元素开平方’
设A=R,B=R,对应关系是f(x)=x的3次方,x属于A
设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1,x属于A
解析:1、是一一映射,且是函数
2、不是映射(象是有且唯一)
3、是一一映射,且是函数
4、是映射,但不是函数,因为B中不是所有值在A中都有对应。
例2、设A={a,b,c},B={0,1},请写出两个从A到B的映射
从A到B的映射共有2^3=8个:
(a,b,c)→(0,0,0);
(a,b,c)→(0,0,1);
(a,b,c)→(0,1,0);
(a,b,c)→(1,0,0);
(a,b,c)→(0,1,1);
(a,b,c)→(1,0,1);
(a,b,c)→(1,1,0);
(a,b,c)→(1,1,1)。
例3、假设集合m={0 -1 1} n={-2 -1 0 1 2} 映射f:M→N 满足条件“对任意的x属于M ,x+f(x) 是奇数”,这样的映射有____个
①当x=-1时,x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数,相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M,都有x+f(x)是奇数”
f(-1)=-2,0,2
②当x=0时,x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M,都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1
③当x=1时,x+f(x)=1+f(1)恒为奇数
f(1)=-2,0,2
综上①②③可知,只有第②种情况有限制,所以这样的映射共有3×2×3=18个
例4、设集合A={-1,0,1} B={2,3,4,5,6 } 从A到B的映射 f满足条件:对每个X∈A 有 f(X)+X为偶数那么这样的映射f的个数是多少?
映射可以多对一,要让f (X )+X =偶数,当X =-1和1时,只能从B 中取奇数,有3,5两种可能,当X =0从B 中取偶数有2 4 6三种,则一共有2×2×3=12个
以后你学啦分步与分类就很好理解啦,完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m 种不同的方法,在第二类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n 中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m 种不同的方法,做第二步有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n 种不同的方法
例5:已知:集合{,,}M a b c =,{1,0,1}N =-,映射:f M N →满足()()()f a f b f c ++=,那么映射
:f M N →的个数是多少? 思路提示:满足()()()0f a f b f c ++=,则只可能00001(1)0++=++-=,即()f a 、()f b 、()f c 中可以全部为0,或0,1,1-各取一个.
解:∵(),(),()f a N f b N f c N ∈ ∈ ∈,且()()()0f a f b f c ++=
∴有00001(1)0++=++-=.
当()()()0f a f b f c ===时,只有一个映射;
当()()()f a f b f c 、、中恰有一个为0,而另两个分别为1,1-时,有326?=个映射.因此所求的映射的个数为167+=.
评注:本题考查了映射的概念和分类讨论的思想.
例6.给出下列四个对应:
① ② ③ ④
其构成映射的是 ( ) A 只有①② B 只有①④ C 只有①③④ D 只有③④ 答案:B
提示:根据映射的概念,集合A 到集合B 的映射是指对于集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有唯一确定的值与之相对应,故选择B .
例7.若函数()f x 满足()()(),f x y f x f y x y R +=+ (∈),则下列各式不恒成立的( )
(0)
0A f = (3)3(1)B f f =
11()(1)22
C f f = ()()0
D f x f x -?< 答案:D
提示:令0y =有()()(0)f x f x f =+,(0)0f ∴=,A 正确.
令1x y ==,有(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)f f f f f f f =+=++=,B 正确. 令12x y ==,有111(1)()()2()222f f f f =+=,11()(1)22
f f ∴=,C 正确. 令y x =-,则(0)()()f f x f x =+-.
由于(0)0f =,()()f x f x ∴-=-,
于是当0x y ==时,()()0f x f x -?=,故()()0f x f x -?<不恒成立,故选D . 例8.已知集合{04}P x x =≤≤,{02}Q y y =≤≤,下列不表示从P 到Q 的映射是( )
1:2A f x y x →= 1:3
B f x y x →= 2:3
C f x y x →= :
D f x y x →= 答案:C
提示:C 选项中2:3f x y x →=,则对于P 集合中的元素4,对应的元素83
,不在集合Q 中,不符合映射的概念.
例9.集合{3,4}A = ,{5,6,7}B = ,那么可建立从A 到B 的映射个数是__________,从B
到A 的映射个数是__________.
答案:9,8
提示:从A 到B 可分两步进行:第一步A 中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6或7),第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.则不同的映射种数1339N =?=.反之从B 到A ,
道理相同,有22228N =??=种不同映射.
例10.如果函数3()()f x x a =+对任意x R ∈都有(1)(1)f x f x +=--,试求(2)(2)f f +-的值.
解:∵对任意x R ∈,总有(1)(1)f x f x +=--,
∴当0x =时应有(10)(10)f f +=--,
即(1)(1)f f =-.∴(1)0f =.
又∵3()()f x x a =+,∴3(1)(1)f a =+.
故有3(1)0a +=(,则1a =-.∴3()(1)f x x =-.
∴33(2)(2)(21)(21)26f f +-=-+--=-.
映射的概念 【教学目标】 知识与技能 1.了解映射的概念,会判断一个对应是否为映射; 2.正确区分映射与函数的概念. 过程与方法 1.渗透特殊与一般的思想; 2.类比函数概念,得出映射的概念. 情感、态度、价值观 1.感知函数概念是映射概念的生长点,了解知识间的相互关系,进而更好地从整体上系统的掌握知识; 2.强化类比的思维方式; 3.开阔视野,体验数学的抽象性,为进一步学习打下心理基础. 【重点难点】 重点:明确映射的概念;把握映射与函数的属种关系.难点:明确映射的概念. 【教学过程】 一、创设情境,引入课题
问题:判断以下对应是否为集合A到集合B的函数: A={平面内周长为5的所有三角形},B={平面内所有点},f:三角形→三角形的外心. (幻灯片操作:注意标题“问题的提出”上有触发器) 提问1:什么是函数? 答:设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有惟一的元素y和它对应,这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y=f(x). 提问2:上述问题中哪一点不符合函数的概念? 答:函数概念中对集合A,B要求是非空数集,而上述问题中A为平面内周长为5的所有三角形,B为平面内所有点,A和B都不是数集,仅这点不符合函数的概念.导语:尽管A和B不是数集,但这种一般集合之间的对应在数学中是非常有意义的,我们把这种一般集合之间的单值对应称为映射,本节就来研究一下映射的概念和性质.板书课题映射 二、学生活动,建构数学 提问3:你能否举出一些一般集合之间单值对应的例子?
学生交流: 1°对于任何一个实数a ,数轴上都有惟一的点P 与之对应; 2°对于坐标平面内任何一个点A ,都有惟一的有序实数对(,)x y 与之对应; 3°对于任意一个三角形,都有惟一确定的面积与之对应; 4°我们班的每一位同学,都有惟一确定的学号与之对应. 探究:我们班全体同学组成的集合为A ,全体同学的学号组成的集合为B ,那么A 中的元素与B 中的元素之间有什么样的对应关系呢? 对于A 中的每一个元素,在B 中都有惟一的元素与之对应.(板书) 三、数学理论,数学运用 (一) 映射的概念 一般地,设A 、B 是两个非空集合,如果按某种对应法则f ,对于A 中的每一个...元素,在B 中都有惟一.. 的元素与之对应,那么,这样的单值对应.... 叫做集合A 到集合B 的映射(mapping ),记作“f: A →B ”. 这个定义蕴含映射的4个特点: (1) 有序性,从A 到B 的映射与从B 到A 的映射属于不同的映射;
高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理:周俞江 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题, 每小题5分,共60分). 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ,则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A Y B=( ) A . {}|0x x ≤ B .{}|2x x ≥ C .{0x ≤≤ D .{}|02x x << 3 .在下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.x x y y ==,1 B .1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D .2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是( ) 5.0≤f 不是映射的是A .1:3f x y x ?? →= B .1 :2 f x y x ??→= C .1:4f x y x ??→= D .1:6f x y x ??→= 6.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ). A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数,则k 的范围是( ) A .2-≥k B .2-≤k C .2->k D .2- 9.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 10.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数,则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-,则函数)(x f 的解析式可以是( ) A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是( ) A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是 A .增函数 B .减函数 例4.已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。 解:∵log 4log 4m n <, ∴ 4411 log log m n < , 当1m >,1n >时,得4411 0log log m n << , ∴44log log n m <, ∴1m n >>. 当01m <<,01n <<时,得4411 0log log m n <<, ∴44log log n m <, ∴01n m <<<. 当01m <<,1n >时,得4log 0m <,40log n <, ∴01m <<,1n >, ∴01m n <<<. 综上所述,m ,n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<. 例5.求下列函数的值域: (1)2log (3)y x =+;(2)22log (3)y x =-;(3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 解:(1)令3t x =+,则2log y t =, ∵0t >, ∴y R ∈,即函数值域为R . (2)令2 3t x =-,则03t <≤, ∴2log 3y ≤, 即函数值域为2(,log 3]-∞. (3)令2247(2)33t x x x =-+=-+≥, 当1a >时,log 3a y ≥, 即值域为[log 3,)a +∞, 当01a <<时,log 3a y ≤, 即值域为(,log 3]a -∞. 例6 .判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 x 恒成立,故()f x 的定义域为(,)-∞+∞, 2()log )f x x -= 2 log =- 2 log =- 2log ()x f x =-=-, 所以,()f x 为奇函数。 例7.求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 解:令2 2 3 132()2 4u x x x =-+=-- 在3[,)2+∞上递增,在3 (,]2 -∞上递减, 又∵2 320x x -+>, ∴2x >或1x <, 故2 32u x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减, 又∵13 2log y u =为减函数, 所以,函数213 2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减。 例8.若函数2 2log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞上是增函数,a 的取值范围。 解:令2 ()u g x x ax a ==--, 1集合 题型1:集合的概念,集合的表示 1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( ) A .}33|{=+x x B .},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .},01|{2 R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A .()()A C B C B .()()A B A C C .()()A B B C D .()A B C 4.下面有四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2; (4)x x 212 =+的解可表示为{ }1,1; 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 题型2:集合的运算 例1.若集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =?,则m 的值为( D ) A .1 B .1- C .1或1- D .1或1-或0 例2. 已知{25}A x x =-≤≤,{121}B x m x m =+≤≤-,B A ?,求m 的取值范围。 解:当121m m +>-,即2m <时,,B φ=满足B A ?,即2m <; 当121m m +=-,即2m =时,{}3,B =满足B A ?,即2m =; 当121m m +<-,即2m >时,由B A ?,得12 215m m +≥-??-≤? 即23m <≤; ∴3≤m 变式: 1.设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =,求实数a 的取值范围。 A B C 集合练习题 一、选择题(每小题5分,计5×12=60分) 1.下列集合中,结果是空集的为() (A)(B) (C)(D) 2.设集合,,则() (A)(B) (C)(D) 3.下列表示①②③④中,正确的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.满足的集合的个数为() (A)6 (B) 7 (C) 8 (D)9 5.若集合、、,满足,,则与之间的关系为() (A)(B)(C)(D) 6.下列集合中,表示方程组的解集的是() (A)(B)(C)(D) 7.设,,若,则实数的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 8.已知全集合,,,那么 是() (A)(B)(C)(D) 9.已知集合,则等于() (A)(B) (C)(D) 10.已知集合,,那么() (A)(B)(C)(D) 11.如图所示,,,是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是() (A)(B) (C)(D) 12.设全集,若,, ,则下列结论正确的是() (A)且(B)且 (C)且(D)且 二、填空题(每小题4分,计4×4=16分) 13.已知集合,,则集合 14.用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15.设全集,,,则的值为 16.若集合只有一个元素,则实数的值为三、解答题(共计74分) 17.(本小题满分12分)若,求实数的值。 18.(本小题满分12分)设全集合,, ,求,,, 19.(本小题满分12分)设全集,集合与集合,且,求, 20.(本小题满分12分)已知集合 , ,且 ,求实数 的取值范围。 21.(本小题满分12分)已知集合 , , ,求实数的取值范围 22.(本小题满分14分)已知集合 , ,若 ,求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ,},{2A x y x y B ∈==,},2{A x a x y y C ∈+==,若满足B C ?, 求实数a 的取值范围. 已知集合}71{<<=x x A ,集合}521{+<<+=a x a x B ,若满足 }73{<<=x x B A ,求 实数a 的值.必修一函数经典例题
高一数学必修一函数经典题型复习
高中数学必修一集合经典习题
必修一函数的单调性专题讲解(经典)