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2016届物理一轮复习考点训练第四章第3课时《圆周运动》(新课标版)

第3课时圆周运动考纲解读 1.掌握描述圆周运动的物理量及它们之间的关系.2.理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件．

考点一圆周运动中的运动学分析

1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．

v ＝Δs Δt ＝2πr T

. 2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．

ω＝ΔθΔt ＝2πT

. 3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．

T ＝2πr v ，T ＝1f

. 4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．

a n ＝rω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T 2r . 5．相互关系：(1)v ＝ωr ＝2πT r ＝2πrf . (2)a n ＝v 2r ＝rω2＝ωv ＝4π2T 2r ＝4π2f 2r . 例1 如图1所示，轮O 1、O 3固定在同一转轴上，轮O 1、O 2用皮带连接且不打滑．在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，已知三个轮的半径之比r 1∶r 2∶r 3＝2∶1∶1，求：

图1

(1)A 、B 、C 三点的线速度大小之比v A ∶v B ∶v C ；

(2)A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ；

(3)A 、B 、C 三点的向心加速度大小之比a A ∶a B ∶a C .

解析 (1)令v A ＝v ，由于皮带转动时不打滑，所以v B ＝v .因ωA ＝ωC ，由公式v ＝ωr 知，当角

速度一定时，线速度跟半径成正比，故v C ＝12

v ，所以v A ∶v B ∶v C ＝2∶2∶1. (2)令ωA ＝ω，由于共轴转动，所以ωC ＝ω.因v A ＝v B ，由公式ω＝v r

知，当线速度一定时，角速度跟半径成反比，故ωB ＝2ω，所以ωA ∶ωB ∶ωC ＝1∶2∶1.

(3)令A 点向心加速度为a A ＝a ，因v A ＝v B ，由公式a ＝v 2r

知，当线速度一定时，向心加速度跟半径成反比，所以a B ＝2a .又因为ωA ＝ωC ，由公式a ＝ω2r 知，当角速度一定时，向心加速度

跟半径成正比，故a C ＝12

a .所以a A ∶a B ∶a C ＝2∶4∶1. 答案 (1)2∶2∶1 (2)1∶2∶1 (3)2∶4∶1 变式题组

1．[运动学分析]变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度．如图2所示是某一变速自行车齿轮转动结构示意图，图中A 轮有48齿，B 轮有42齿，C 轮有18齿，D 轮有12齿，则( )

图2

A ．该自行车可变换两种不同挡位

B ．该自行车可变换四种不同挡位

C ．当A 轮与

D 轮组合时，两轮的角速度之比ωA ∶ωD ＝1∶4

D ．当A 轮与D 轮组合时，两轮的角速度之比ωA ∶ωD ＝4∶1

答案 BC

解析该自行车可变换四种不同挡位，分别为A 与C 、A 与D 、B 与C 、B 与D ，A 错误，B 正确；当A 轮与D 轮组合时，由两轮齿数可知，当A 轮转动一周时，D 轮要转4周，故ωA ∶ωD ＝1∶4，C 正确，D 错误．

2．[运动参量的关系]如图3所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为R B ∶R C ＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕其中心的竖直轴转动时，由于摩擦的作用，B 轮也随之无滑动地转动起来．a 、b 、c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在运动过程中的( )

图3

A ．线速度大小之比为3∶2∶2

B ．角速度之比为3∶3∶2

C ．转速之比为2∶3∶2

D ．向心加速度大小之比为9∶6∶4

答案 D

1.传动的类型

(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)．

2．传动装置的特点

(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．

考点二圆周运动中的动力学分析

1．向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．

2．向心力的确定

(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．

(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力．

3．向心力的公式

F n ＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝mr 4π2T 2＝mr 4π2f 2 例2 某游乐场有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子下端连接坐椅，人坐在坐椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和坐椅看作一个质点，则可简化为如图4所示的物理模型，其中P 为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO ′转动．设绳长l ＝10 m ，质点的质量m ＝60 kg ，转盘静止时质点与转轴之间的距离d ＝4 m ．转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°.(不计空气阻力及绳重，绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2)求质点与转盘一起做匀速圆周运动时转盘的角速度及绳的拉力．

图4

解析半径R ＝d ＋l sin θ＝10 m

由受力分析图可知：

F T ＝mg cos θ

＝????600×54 N ＝750 N F ＝mg tan θ＝450 N

由F 向＝ma 向得

a 向＝F m

＝7.5 m/s 2，a 向＝Rω2，ω＝ a 向R ＝32

rad/s 答案 32 rad/s 750 N

解决圆周运动问题的主要步骤

(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；

(3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源；

(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．

递进题组

3．[汽车转弯的动力学分析](2013·新课标Ⅱ·21) 公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图5所示，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )

图5

A ．路面外侧高内侧低

B ．车速只要低于v c ，车辆便会向内侧滑动

C ．车速虽然高于v c ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动

D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c 的值变小

答案 AC

解析当汽车行驶的速率为v c时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A正确．当速率稍大于v c时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速率稍小于v c时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．v c的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D错误．

4．[动力学分析]如图6所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q 上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是()

图6

A．Q受到桌面的支持力变大

B．Q受到桌面的静摩擦力变大

C．小球P运动的角速度变大

D．小球P运动的周期变大

答案BC

解析

根据小球做圆周运动的特点，设细线与竖直方向的夹角为θ，故F T＝mg

cos θ，对金属块受力分析由平衡条件F f＝F T sin θ＝mg tan θ，F N＝F T cos θ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的

支持力不变，静摩擦力变大，A选项错误，B选项正确；设细线的长度为L，由mg tan θ＝mω2L sin

θ，得ω＝

L cos θ，故角速度变大，周期变小，故C选项正确，D选项错误．

考点三圆周运动的临界问题

1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．

2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．

3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．

例3如图7所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T.(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：

图7

(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？

(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？

解析(1)若要小球刚好离开锥面，

则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：

mg tan θ＝mω20l sin θ

解得：ω20＝

g l cos θ

即ω0＝

l cos θ＝

2 2 rad/s.

(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mg tan α＝mω′2l sin α

解得：ω′2＝g l cos α，即ω′＝ g l cos α

＝2 5 rad/s. 答案 (1)52 2 rad/s (2)2 5 rad/s 递进题组

5．[临界问题分析]如图8所示，物体P 用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它随杆转动，若转动角速度为ω，则( )

图8

A ．ω只有超过某一值时，绳子AP 才有拉力

B ．绳子BP 的拉力随ω的增大而不变

C ．绳子BP 的张力一定大于绳子AP 的张力

D ．当ω增大到一定程度时，绳子AP 的张力大于绳子BP 的张力

答案 AC

解析 ω较小时，AP 松弛，绳子BP 的拉力随ω的增大而增大，故A 选项正确，B 选项错误．当ω达到某一值ω0时，AP 刚好绷紧．物体P 受力分析如图所示，其合力提供向心力，竖直方向合力为零．故F BP >F AP ，C 选项正确，D 选项错误．

6．[临界问题的分析与计算]如图9所示，细绳一端系着质量M ＝8 kg 的物体，静止在水平桌面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m ＝2 kg 的物体，M 与圆孔的距离r ＝0.5 m ，已知M 与桌面间的动摩擦因数为0.2(设物体受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，现使物体M 随转台绕中心轴转动，问转台角速度ω在什么范围时m 会处于静止状态．(g ＝10 m/s 2)

图9

答案 1 rad/s ≤ω≤3 rad/s

解析设角速度的最小值为ω1，此时M 有向着圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半

径向外，由牛顿第二定律得：F T－μMg＝Mω21r，设角速度的最大值为ω2，此时M有背离圆心运动的趋势，其受到的最大静摩擦力沿半径指向圆心，由牛顿第二定律得：F T＋μMg＝Mω22r，要使m静止，应有F T＝mg，

联立得ω1＝1 rad/s，ω2＝3 rad/s

则1 rad/s≤ω≤3 rad/s

考点四竖直平面内圆周运动绳、杆模型

1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”．

2．绳、杆模型涉及的临界问题

绳模型杆模型

常见类型

均是没有支撑的小球均是有支撑的小球

过最高点的临界条件由mg＝m

r得

v临＝gr

由小球恰能做圆周运动得v临＝0

讨论分析

(1)过最高点时，v≥gr，F N

＋mg＝m

r，绳、圆轨道对球

产生弹力F N

(2)不能过最高点时，v

在到达最高点前小球已经脱离

了圆轨道

(1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿

半径背离圆心

(2)当0

r，F N背

离圆心，随v的增大而减小

(3)当v＝gr时，F N＝0

(4)当v>gr时，F N＋mg＝m

r，F N指向圆

心并随v的增大而增大

例4如图10甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F N，小球在最高点的速度大小为v，F N－v2图象如图乙所示．下列说法正确的是()

图10

A ．当地的重力加速度大小为R b

B ．小球的质量为a b

R C ．v 2＝c 时，杆对小球弹力方向向上

D ．若c ＝2b ，则杆对小球弹力大小为2a

答案 B

解析通过题图乙分析可知：当v 2＝b ，F N ＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即

mg ＝m b R ，g ＝b R ，A 错误；当v 2＝0，F N ＝a 时，重力等于弹力F N ，即mg ＝a ，所以m ＝a g ＝a b R ，B 正确；v 2>b 时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故v 2＝c 时，杆对小

球弹力的方向竖直向下，C 错误；v 2＝c ＝2b 时，mg ＋F N ＝m 2b R

，解得F N ＝mg ＝a ，D 错误．变式题组

7．[竖直面内圆周运动的绳模型]2013年6月20日，我国第一位“太空教师”王亚平老师在运动的“天宫一号”内给中小学生上了一堂物理课，做了如图11所示的演示实验，当小球在最低点时给其一初速度，小球能在竖直平面内绕定点O 做匀速圆周运动．若把此装置带回地球表面，仍在最低点给小球相同的初速度，则( )

图11

A ．小球仍能在竖直平面内做匀速圆周运动

B ．小球不可能在竖直平面内做匀速圆周运动

C ．小球可能在竖直平面内做完整的圆周运动

D ．小球一定能在竖直平面内做完整的圆周运动

答案 BC

解析因为王亚平老师在运行的“天宫一号”内做实验时，小球处于完全失重状态，而把该装置带回地球表面时，由于重力作用，小球不可能在竖直平面内做匀速圆周运动，A 错误，B 正确；若在最低点给小球的初速度比较大，小球可能在竖直平面内做完整的圆周运动，C 正确，D 错误．

8．[竖直面内圆周运动的杆模型]如图12所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( )

图12

A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g(R＋r)

B．小球通过最高点时的最小速度v min＝gR

C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

答案 C

解析小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，故A、B均错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N与小球重力在背离圆心方向的分力F mg的合力提供向心力，即：F N－F mg＝ma，因此，外侧管壁一定对小球有作用力，而内侧管壁无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误．

高考模拟明确考向

1．(2014·新课标全国Ⅰ·20)如图13所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是()

图13

A．b一定比a先开始滑动

B．a、b所受的摩擦力始终相等

C．ω＝kg

2l是b开始滑动的临界角速度

D．当ω＝2kg

3l时，a所受摩擦力的大小为kmg

答案AC

解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：f a＝mω2a l，当f a＝kmg时，

kmg ＝mω2a l ，ωa ＝ kg l

；对木块b ：f b ＝mω2b ·2l ，当f b ＝kmg 时，kmg ＝mω2b ·2l ，ωb ＝ kg 2l ，所以b 先达到最大静摩擦力，选项A 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a ＝mω2l ，f b ＝mω2·2l ，f a

kmg ，选项D 错误． 2．(2014·安徽·19)如图14所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动