§6 - 3 厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对易关系

一算符的一般运算规则和对易式

1 、算符之和与积

1 ) 单位算符I

对于任意的波函数，有

ψ=

ψ

I.

(6. 42)

2 ) 算符A?和B?相等

如果对于任意的波函数ψ,都有

ψψB A

??=, 则有 B A

??=. (6. 43)

3 ) 算符A ?与B ?之和B

A ??+ 对于任意的波函数ψ，有

ψψψB A B A

??)??(+=+. (6. 44)

显然：

A B B A

????+=+, (满足交换律)

C B A C B A

?)??()??(?++=++,

(满足结合律)

可证:

● 两个线性算符之和仍为线性算符.

● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。

4 ) 算符A

?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有

)?(?)??(ψψB A B A

=. (6. 45)

问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？

研究两个算符作用是否与次序有关？

2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即

0????≠-A B B A

. ● 对易式的定义

A B B A B A ????]?,?[-≡.

(6. 46)

若0]?,?[=B A

，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。

● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算

符，除非这两个厄米算符可对易。具体

而言，若A A

??=+，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++,

(6. 47)

只有当0]?,?[=B A

或B A A B ????=时，才有 B A B A ??)??(=+,

这时两个厄米算符A

?与B ?的积B A ??才是厄米算符。

● 对易式满足下列恒等式：

]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A

±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A

+=,

(6. 48)

]?,?[??]?,?[]?,??[C B A B C A C B A

+=.

3、 逆算符1?-A

若由 φψ=A ? 能够唯一地解出ψ，则有

φ1?-A ψ=.

若算符A

?的逆算符1?-A 存在，则有 I A A A A ==--????11.

可以证明，若A ?与B ?的逆算符均存在，则

有

111??)??(---=A B B A .

(6. 49)

二 学的基量子力本对易式

1、 动量算符的各个分量之间可对易

0]?,?[=y x p p

, 0]?,?[=z y p p

, 0]?,?[=x z p p

. 由坐标表象中的动量算符为

?-= i ?p

立即可证.

2、 量子力学的基本对易式（位置算符和动量

算符各分量之间的对易式，重要！）

αβ

βαδ= i ],[p x ,

(6.50)

其中z y x ,,,=βα或1, 2, 3，这里用了克罗内克符号

1,

0.

αβ

αβαβ=?δ=?≠?.

可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易

0]?,[=y p

x , 0]?,[=z p

x , 0]?,[=x p y , 0]?,[=z p

y , 0]?,[=x p

z , 0]?,[=y p z ;

动量算符的相同分量之间是不可对易的

i ]?,[]?,[]?,[===z y x p z p y p

x . 凡与经典力学量相对应的力学量之间的对易关系，均可由此导出。显然，克普朗

常量

在力学量的对易关系中起着关键性

的作用。 证明:

考虑坐标算符x 和动量算符的x 分量

x p

?. 对于任一波函数ψ，有 ψψx x p

x x ??

-= i ?,

ψψψψx

x x x x p

x ??

--=??-= i i )(i ?. 将以上两式相减，得

ψψ i )??(=-x p

p

x x x . 由于ψ 是体系的任意波函数，所以有

i ??=-x p p

x x x . 其它等式与此类似证明。（典型证法，要掌握）

三 角动量算符各分量之间的对易式

1、角动量算符各分量之间

(6. 51)

2、角动量算符平方与各分量之间

),,(.0]?,?[2z y x L L

==αα.

(6. 52)

3、

角动量算符各分量与空间坐标分量

之间

0],?[=x L

x ,

z y L

x i ],?[=,

y z L

x i ],?[-=, z x L

y i ],?[-=, 0],?[=y L y , x z L

y i ],?[=, （6. 53） y x L z i ],?[=,

x y L

z i ],?[-=, 0],?[=z L z . 由以上各式可以归纳出以下规则：从左到右，以x z y x →→→依次循环指标为正，任一指标“错位”则为负，相同指标则为零。

4、角动量算符各分量与动量坐标分量

之间

有类似（6. 53）的关系。 5、若令

y x L L L ?i ??±=±, (6. 54)

则有 ±±±=L L L

z ?]?,?[ , (6. 55)

z L L L ?2]?,?[ =-+.

(6. 56)

[例题21. 2 ] 试证明对易式z y L x i ],?[=.（要掌

握）

[证明] 利用基本对易式(21. 66)和对易式恒等式(21. 64)，可以得到

],??[],?[y p z p y y L y z x -=

],?[],?[y p z y p

y y z -= y y z z p y z y p z p y y y p

y ?],[],?[?],[],?[--+= ],?[y p

z y -= z i =.

[例题21. 3] 试证明角动量算符三分量之间的对易式(21. 67) （要掌握）。

[解] 利用基本对易式(21. 66)和对易式恒等

式(21. 64)，可以得到

x y y x y x L L L L L L

????]?,?[-= )??()??()??()??(y z z x z x y z p z p y p x p z p x p z p z p

y -----= z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p

y ????????+--= y z z z y x z x p z p x p y p x p z p z p y p

z ????????-++- y z x z y z x z p x z p p y p z p x p z p y z p

????????--+= )??()??(x y z z p y p x z p p

z --=z L ?i = , 同理可得：

x y z z y z y L L L L L L L

?i ????]?,?[ =-= , y z x x z x z L L L L L L L

?i ????]?,?[ =-= . 以上三个关于分量的对易式，在形式上可以

合写成一个矢量公式：

L L L

i ??=?, (21. 76)

上式可以看成是角动量算符的定义式，是经典物理学中根本不可能存在的关系式。在经典物理学中，所有物理量都是可对易的，因此对任何矢量A 总有A ? A = 0. 然而，在量

子力学中，角动量算符L

?的各分量互不对易，满足式(21. 76)，由此决定了角动量的一系列异乎寻常的性质。

§6-4 共同本征函数(量子力学中的核心问题)

一不同力学量同时有确定值的条件和共同本征函数

通常，对大量的、完全相同的、均处在用波函数 描述的状态体系的集合多次测量力学量A，然后对所得的结果求平均，则

将会得一个平均值。每一次测量的结果将围绕平均值有一个涨落

τψψd )?(*)?(222

?-=-=?A A A A A . (6. 57)

若令2

2

,B B A A ?=??=?,

(6. 58)

对于任意两个力学量A 和B ，普遍的不确定关系为（省略证明）

],[2

1

B A B A ≥???.

(6. 59)

可见：

●如果[A,B]≠0，则一般来说?A和?B

不可能同时为零，即A与B不可能

同时具有确定值，或者说，它们不

可能具有共同本征态。

●如果[A,B]=0，则可以找到使?A=0

和?B=0同时得到满足的态，即可

以找到这两个算符的共同本征态。

●可以证明，一组算符具有共同本征

函数的充要条件是，这组算符中的

一维谐振子的本征值问题

一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一

般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于

第五章思考题

第五章思考题 1．简述定态微扰论的基本思想。 解答：量子力学体系的哈密顿算符∧H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧时，若可以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分∧ ∧∧'+=H H H )0( ||||)0(∧∧'>>H H ，其中 )0() 0() 0()0(n n n E H ψψ=∧，即∧)0(H 的本征值)0(n E 和本征函数 )0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。 满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧ 'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以λ的幂级数展开 ???+++=+++= )2(2)1()0()2(2)1()0(n n n n n n n n E E E E ψλλψψψλλ ) 0(n E 与)0(n ψ称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧)0(H 的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。 2．非简并定态微扰论的适用条件是什么？ 解答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)0()0(m n m n E E H -<<'，一是要求 微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)0()0(m n E E -较大。 3．证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。

解答：能量的二级修正)0()0(2) 2(||m n nm m n E E H E -''=∑，若)0(n E 为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中n m ≠的任一项0)0()0(<-m n E E ，故)2(n E 永为负值。 4．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简 并能级情况可用非简并态微扰处理？ 解答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。对于f 度简 并能级,)0(k E 如选择的f 个独立的)0(αψk 已使H '对角化，即 αβαββαδψψH H k k '>='<)0()0(||， 此时αααH E k '=)1(，对应的零级近似波函数为)0(αψk ，虽然能级)0(k E 是简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。 5．量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同? 解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程),(),(t x H t t x i ψψ=?? 具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。 6．非简并态微扰为什么不适用于所谓近简并情况？

厄米算符的对易关系(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 §6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42)

2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+,

(满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为 线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄 米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有

)?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律， 即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义

A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米 算符，除非这两个厄米算符可对 易。具体而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有

§6 - 3 厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42) 2 ) 算符A?和B?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有

ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++,

(满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45)

问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算

符，除非这两个厄米算符可对易。具体 而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式： ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=,

量子体系本征值问题的解法

量子体系本征值问题的解法 关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子 摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。 Solution methods of the eigenvalues for Quantum System Keywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution. . 引言

厄米算符的对易关系

§6 - 3 厄米算符的对 易关系 一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψψ=I . (6. 42) 2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+

对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ??

对于任意的波函数ψ，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。

● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。具体 而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式： ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=, (6. 48) ]?,?[??]?,?[]?,??[C B A B C A C B A +=.

厄米算符的对易关系

厄米算符的对易关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

§6 - 3 厄米算符的对易关系 一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ ψ=I . (6. 42) 2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数?,都有ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数?，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满 足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符.

● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数?，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符 研究两个算符作用是否与次序有关 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若 ]?,?[B A ? 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。 具体而言，若A A ??=+ ，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当 0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有

量子力学习题解答-第3章

第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 2 21??,2Q F Q F i σσ?? ??≥ ????? 2. 广义统计诠释 设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 * ()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 2 n n n Q q c = ∑ 这与用*?Q Q dx =ψψ? 计算方法等价。 如果力学量?Q 具有连续谱的本征函数系 '*'?()(), ()()(), q q q q Qf x qf x f x f x dx q q δ==-? 任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为

输运方程的本征值问题

输运方程本征值 无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)'' t E v t E f E E E t dE d φφφφ∞Ω?=????Σ?+Σ→→∫∫?r r r ??r ?? （1） (,,,)E t φφ=r ?其中 简记为 1(,) '''''t E f d dE v t φφφφ?=????Σ+Σ?∫∫?r ? （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源 都包括在内。 把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２） 可以简记为 1v t φφ?=?L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φ?=r ?r ? ， 代入（2），并用(,,) ()E T t ?r ?除两边，得到： {} ''''' T v f d dE T T ?????????Σ+ΣΩ=∫∫? 左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故 {} ''''' T v f d dE T T ???λ? ?????Σ+ΣΩ==∫∫? 这就把原方程分离成了两个方程 T T λ?= （4） ） v λ ??=L (5a) （4）的解是 0 t T T e λ= (6)

其中的λ是方程（5）的本征值。这样我们就把求解与时间 有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与 本征函数问题。 容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面 Σ增加了v λ；当0λ=时，两者没有差别。当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未 变，只能是俘获截面增大）。物理上是相应于一个超临界 系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。 由于这虚拟俘获 v λ符合1v 律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。 也可以采用k 本征值，此时方程为 ' 111'''' ()''''4 t s f v t f dE d E dE d k ????χν?π ?+??+Σ?=Σ+Σ∫∫∫∫??? （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂 变源进行人为调整） 采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得 能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。 除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的 第三章。 注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。

第九章多体问题

第九章多体问题 迄今为止，我们的讨论墓本土局限于单拉子体系。本章将把讨论推广到多拉子休系。自然界实际存在的体来一般都是多杜子体来。因此童子力学多体问题的研究不仅有巨夭的理论意义，而且有极大的实际价值。 但是，应该指出，量子力学的多体问题远比单休问题复杂。这不仅因为，当拉子之问具有相互作用时，多拉子体系的薛定译方程一般无法求解，通常只能借助各种近似方法，按体来的各种不同性质以及和实比较时要求的绮确度，求近似解。而且还因为，多杜子体系，特All 是全同拉子休余，还具有新的单拉子休系所没有的特性。而这些特性又要求发展一些断的处理方法，比方二次量子化方法，等等。 另外还要指出，本章的内容不同于量子统计物理学。本章只限于讨论温度为零的情况，只讨论真空平均值或者纯量子态的平均值，不涉及系综平均值，不涉及温度。 本章将先讨论全同拉子的一般特性，然后讨论两个确单的多拉子休来一一氮分子和氮原子的问题，介绍海特(Heitler 卜伦敦(London)理论，托马斯(Thomas )-费米f Fermi)方法。再进一步讨论研究全同拉子体系最重要的表象一一杠子数表象，介绍二次量子化方法。以及自洽场理论，哈特利(Hart ree)一福克(Fock)近似，巴T (Bardeen)-库柏(Cooper)--许瑞弗(Schriffer )超导理论，玻戈留博夫(Bogoiiubov)-华拉ti (Valatin )u,v 正则变换方法，这是非微扰理论中最重要的方法之一。另外，还将介绍超流理论和近似二次量子化方法。本章的许多理论和方法、即使现在，仍然在许多领域中有重要的实月价值。 9.1全同粒子的性质 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内案固有属性完全相同的粒子为全同杜子。例如所有的电子是全同粒子，所有质子是全同粒子，但质子和电子不是全同粒子。 全同粒子的最重要的特点是:在同样的物理条件下，它们的行为完全相同。因而用一个全同粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的变化。 在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。在量子力学中，由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠。在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪个是第一个粒子的波，哪个是第二个粒子的波。也就是说，无法区分哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。因此，全同粒子在量子力学中是不可区分的。我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。 从全同性原理出发，可以推知.由全同粒子组成的体系具有下述性质: (1)全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。 讨论一个由N 个全同粒子组成的体系，第i 个粒子的全部变量用i q 表示，i q 包括坐标、 自旋等等，体系的哈密顿算符是),,,,,,,,(?1t q q q q H n j i ，由于全同粒子不可区分性，将两个粒子 i 和]互换，体系的哈密顿算符保持不变: ),,,,,,,,(1t q q q q H n j i =),,,,,,,,(1t q q q q H n i j (9. 1 .1) (9.1.1)式表示哈密顿算符具有交换不变性。全同粒子体系的薛定愕方程是 =??t t q q q q i n j i ) ,,,,,,(1 ? ),,,,,,,,(1t q q q q H n j i ),,,,,,,,(1t q q q q n j i ? （9.1.2）

量子力学练习题

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是 ，他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设，解决了 的问题。 2．按照德布罗意公式 ，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为 玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能 量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ， 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?； 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值， 。

力学量本征值问题的代数解法

第九章 力学量本征值问题的代数解法 本征值问题的解法: 分析解法，代数解法 §9.1 一维谐振子的Schr?dinger 因式分解法 升、降算符 一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为 2 22 2 121x p H μωμ + = 采用自然单位（1===ωμ ）， （此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位） 则 2 2 2 121x p H + = 而基本对易式是[]i p x =,。 令)(2 1ip x a +=，)(2 1ip x a -= + 其逆为)(2 1a a x += + ，)(2 a a i p -= + 。 利用上述对易式，容易证明(请课后证明) 1],[=+ a a 将两类算符的关系式)(2 1a a x += + ，)(2 a a i p -= + 代入一维谐振子的Hamilton 量2 2 2 12 1x p H + =，有 ??? ??+=??? ? ?+=+ 21?21N a a H 上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N +=?。 由于N N ??=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ ψψψψa a a a N

所以N ?为正定厄米算符 二、Hamilton 量的本征值 下面证明，若N ?的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值n E 为（自然单位，ω ） ??? ? ? +=21n E n ， ,2,1,0=n 证明：设|n >为N ?的本征态( n 为正实数)，即 n n n N =? 利用1],[=+a a 及a a N +=?容易算出 ++=a a N ],?[，a a N -=],?[ 因此n a n a N -=],?[。 但上式 左边n na n a N n N a n a N -=-=??? 由此可得n a n n a N )1(?-=。 这说明，>n a |也是N ?的本征态，相应本征值为)1(-n 。 如此类推，从N ?的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ?的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2 ，… 相应的本征值为 n ，1-n ，2-n ，… 因为N ?为正定厄米算子，其本征值为非负实数。 若设最小本征值为0n ，相应的本征态为0n ，则 00=n a 此时 0000?n n a a n N ===+ 即0n 是N ?的本征值为0的本征态，或00 =n 。此态记为>0|，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为2/ω 。

量子力学第四章习题

4-18 如果算符βα ?,?满足下列对易规则：1????=-αββα，求证：1?????-=-n n n n βαββα（n 为正整数）。 4-19 参考矢量情况下的斯密特正交化步骤，试阐述由属于同一本征值而并一定正交的本征函数构成正交函数的方法。 4-20 有两个归一化的但不是正交的波函数1φ及2φ，? =αφφdt 2*1（实数），10<<α，试将1φ及2φ进行叠加组成两个正交归一化的函数1ψ及2ψ。 4-21 证明一维谐振子不管处于哪一个定态，它的动量都没有确定值。 4-22 电子在原子大小范围（数量级为10-10m ）内运动，试用测不准关系估计电子的最小能量。 4-23 质量为m ，速度为v ，能量为E=1/2mv 2的粒子沿x 轴方向运动，其位置测量的误差为x ?，设v x t /?=?，试由测不准关系 2 1≥???p x ，导出能量和时间的测不准关系 2 1≥???t E 4-24 求证力学量x 与F( p x )的测不准关系x p F F x ??≥???2))()((2/122 4-25 设),(?p x F 是x ，p 的多项式，证明[]x F i F p ??-=??,? ，[] p F i F x ??=??,? 4-26 计算：[]??????????? ???????r r p r p r p r p ?,?,1,,?,?,1,?2222 。 4-27 设算符B A ?,?不可对易，[]c B A ??,?=，但C ?和A ?及B ?可对易，即[][]0?,?,0?,?==C B C A ，试计算：[][][])?(,?,,?,?,??B f A e A B A B n λ 。其中n 为正整数，λ为参变量， f 为任何可以表示为正幂级数的函数。 4-28 设算符B A ?,?不可对易，[] c B A ??,?=但C ?和A ?及B ?可对易，即[][]0?,?,0?,?==C B C A ，试证Glauber 公式：C A B C B A B A e e e e e e e ? 2/1???2/1????==-+ 。 4-29 证明：[][][][][][] ++++=-A B B B A B B A B A e A e B B ?,?,??!31?,?,?!21?,????? （提示：考虑B B e A e f ???)(λλλ-=按λ展开，然后令=1） 4-30 设B A ?,?与[]B A ?,?对易，证明[][]B A B n B A n n ?,???,?1-= ， [][] B A A n B A n n ?,???,?1-=

量子力学周世勋习题解答第五章

第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ）