角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理
一、基础概念
学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范证明步骤。
（1）角平分线的性质定理证明：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
推导过程：
已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，
垂足分别为点A、点B．
求证：PA＝PB．
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∵OC平分∠MON
∴∠1＝∠2
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO
∴PA＝PB
②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB．
（2）角平分线性质定理的逆定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
推导过程
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
（3）角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
②实际生活中的应用．
例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．
（4）角平分线的尺规作图
活动三：观察与思考：尺规作角的平分线
观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。
步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交
于A，B两点。
由作图可知： OA = OB
步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为
半径画弧，两弧交于点C。
由作图可知： AC = BC
步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。
由作图可知：定理，可得≌
同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。
二、【典型例题】
例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
例2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
例3.如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
图1-32
F
E D C B A 图1-31E
D C B A
例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m ，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系． （1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标．
例5. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ，问能否在AB 上确定一点E ，使△BDE 的周长等于AB 的长？若能，请作出点E ，并给出证明；若不能，请说明理由．
练习一
一、填空题：
1.如图1-31，△ABC 中，AD 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABC 交AD 于E , EF ⊥AB , 则AB = ，BF = ；
2.已知：如图1-32，在Rt △ABC 中，∠C = 90°, AC = BC , BD 平分∠ABC 交AC 于D , DE ⊥AB 于E ，若BC = 5, 则△DEC 的周长为 .
二、选择题：
1.如图1-33，△ABC 中，∠B = 42°, AD ⊥BC 于D ，E 是BD 上一点，EF ⊥AB 于F ，若ED = EF , 则∠AEC 的度数为（ ）； A. 60° B. 62° C. 64° D. 66°
2.给出下列命题：
① 垂直于同一条直线的两直线平行；
② 角平分线上的点到角两边的距离相等； ③ 三角形的三条角平分线相交于一点； ④ 全等三角形的面积相等；
其中原命题和逆命题都是真命题的共有（ ）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个 三、解答题：
如图1-34，已知：△ABC 中，∠BAC = 90°, AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，EF ⊥BC 交AC 于F ，
图1-33F E D
C B A A B
C
D E
F
图1-34
连接BF . 求证：BF 是∠ABC 的平分线.
【综合练习】
已知：如图1-35，△ABC 中，AB = 2AC , AD 平分∠BAC ，且AD = BD . 求证：DC ⊥AC .
例题答案
例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；
（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．
证明：（1）∵∠C ＝∠C ′＝90°（已知）， ∴AC ⊥BC ，AC ′⊥BC ′（垂直的定义）． 又∵AC ＝AC′（已知），
∴点A 在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC ＝∠ABC′．
（2）∵∠C ＝∠C′，∠ABC ＝∠ABC′，
∴180°－（∠C ＋∠ABC ）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC ＝∠BAC′， ∵AC ⊥BC ，AC′⊥BC′，
∴BC ＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
例2. 如图所示，已知△ABC 中，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，P 是AD 上一点，且D 点到PE 的距离与到PF 的距离相等，判断AD 是否平分∠BAC ，并说明理由．
解：AD 平分∠BAC ．
∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2．
又∵PE ∥AB ，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC ．
A
B
C
D
图1-35
例3.如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
解：AP平分∠BAC．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．
∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，
∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
同理PF＝PE，∴PD＝PF．
∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？
（2）请写出学校所在位置的坐标．
解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，
∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，
又∵点P到公路的距离是400m，
∴点P（学校）到铁路的距离是400m．
（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．
评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．
例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC＝AE．
又∵AC＝BC，∴AE＝BC．
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．
1.4 角平分线
练习一
【基础练习】一、1. AC, BD； 2. 52. 二、1. D；2. A. 三、提示：证AF = EF. 【综合练习】提示：作DE⊥AB, 证△ADC≌△ADE.
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-01
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.
角平分线定理
角平分线定理 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 ■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 ■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 ■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 ■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 ■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC 提供四种证明方法： 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 已知和证明1图 证明：方法1：（面积法） S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM：S△ACM=AB:AC 又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
证明2图 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC 方法2（相似形） 过C作CN‖AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB／AC=MB／MC 证明3图 方法3（相似形） 过M作MN‖AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB／AC=MB／MC
三角形内角平分线的性质定理的证明
三角形内角平分线的性质定理的证明 一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例. 二、证明 已知：如图，2∠1∠=. 求证： BC AC BD AD =. 方法一：利用平行线作等比代换. 证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BC AC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC. ∴BC AC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换. 如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CE AC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.
又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ， 则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC. 延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠21 3∠+=.又∠ACB 2 12∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BC AC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换. 第一种情况：当BC AC ≠ 时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BC BD AC AE =，而E CA E B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BC AC BD AD =.
角平分线定理
2 1O E D A B C 第十一讲 角平分线定理 【学习目标】 1、掌握角平分线的定理和逆定理。 2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。 3、进一步掌握推理证明的方法，拓发展演绎推理能力，培养思维能力。 【知识要点】 1、 角平分线性质定理的证明及应用。 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理解释：“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”，定理即表明这两条垂线段相等。 2、 角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。 逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 3、 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 4、用尺规作角的平分线： 【典型例题】 例1、 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2。 求证：OB = OC 。 例2、已知，如图，CE ⊥AB ,BD ⊥AC ,∠B =∠C ，BF =CF 。求证：AF 为∠BAC 的平分线。
例3、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置. 例4、如右图，E 、D 分别是AB 、AC 上的一点，∠EBC 、∠BCD 的角平分线交于点M ，∠BE D 、∠EDC 的角平分线交于N . 求证：A 、M 、N 在一条直线上. 证明：过点N 作NF ⊥AB ，NH ⊥ED ，NK ⊥AC ，过点M 作MJ ⊥BC ，MP ⊥AB ，MQ ⊥AC ∵EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC ∴NF __________NH ，NH __________NK ∴NF __________NK ∴N 在∠A 的平分线上 又∵BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M 在∠A 的__________上 ∴M 、N 都在∠A 的__________上 ∴A 、M 、N 在一条直线上 例5、如图1，OC 平分∠A O B ，P 是OC 上一点，D 是OA 上一点，E 是OB 上一点，且PD =PE ，求证：∠+∠=?P D O P E O 180。
角平分线的性质定理和判定定理(含答案)
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理 一、 知识点(抄一遍)： 1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线. 2. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题 1. 证明角平分线的性质定理. （注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理： ∵ ， ∴ . 4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O 点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线. 5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD. B
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD. 7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ； （2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD. O
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案 1. 证明角平分线的性质定理. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC 平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2 ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 2. 证明角平分线的判定定理. 已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90° 在Rt △PDO 和Rt △PEO 中 PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ． O O
角平分线定理在几何证明题中的妙用
角平分线定理在几何证明题中的妙用 颜庆波 利用角平分线的有关定理，我们不但可以用尺规作图的方法将角二、四、八、…等分，而且还可以利用它们简捷地证明几何问题。 例1 如图1，OC平分∠A O B，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：∠+ 1 O 8 0。 D E P ∠=? O P 例2 如图2，在?A B C中，∠B A C的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。
初二数学几何证明难题 例３：已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） A F G C E B O D
例４：已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA ＝o 15．求证：△PBC是正三角形． 例５：已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN 于E、F．
求证：∠DEN＝∠F． 例６：如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．求证：CE＝CF．（初二）
例７：如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．求证：AE＝AF．（初二） 例８：设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求证：PA＝PF．（初二）E
例９：已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．
七年级数学下册 角平分线的性质教案
第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
角平分线性质定理及逆定理的证明
角平分线的性质与判定 教学目标： 1、 能够对角平分线的性质定理及逆定理进行严密的证明。 2、 能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。 教学重点：定理的证明及应用。 教学难点：定理的证明。 教学过程： 一.复习引入： 在第二章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出了角平分线的性质。 你还记得角平分线的性质吗？你能用推理的方法证明它们的真实性吗？ 角平分线的性质：___________________________________________________ 角平分线的性质的逆命题是： 二、新课学习： 知识点一、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D 求证：CF ＝DF. 证明： 应用格式： 例 1.已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。求证：PE=PF 知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 已知：如图5，点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC ＝PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 应用格式： 例2. 已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。 知识点三. 关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 已知：如图6，AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线 求证：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 证明： 三、课堂总结：总结本节课的收获 四．课堂检测 1、有一点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 一定是 的交点 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则= 图4
角平分线的性质定理和判定(经典)
角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？ 第三部分：典型例题
例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间？直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm， 2 1 N P F C B A
三角形角平分线性质资料讲解
三角形内角平分线定理 三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则 BD/DC=AB/AC 应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 三角形外角平分线的性质定理： 三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明. 角平分线性质定理 角平分线的性质： 1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 证明 ●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条
邻边成比例． 即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC. 证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF. S△ABD：S△ACD=BD：CD 又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC 所以BD/CD=AB/AC. 1.角平分线可以得到两个相等的角。 角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。 如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。 2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。 如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：
CD=BD ∵∠DCA=∠DBA ∠CAD=∠BAD AD=AD ∴△ACD≌△ABD ∴CD=BD 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD： 作BE=BD交射线AS于E，如图1： ∵BE=BD， ∴∠BED=∠BDE， ∴∠AEB=∠ADC 又∵∠BAE=∠CAD,
角平分线的性质定理教案
角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）
例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。
角平分线的性质典型例题
【典型例题】 例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ; （2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）. 分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路. 证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知）， ??? ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）. 又??? AO AC （已知）， ???点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. ? / ABC=Z ABC. （2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, ?180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC, ??? AC L BC, AC L BC, ?BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）. 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性. 例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由. 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证. 解：AD平分Z BAC ??? D到PE的距离与到PF的距离相等， ???点D在Z EPF的平分线上. ? Z 1 = Z 2. 又??? PE// AB ???/ 1 = Z 3.
八年级数学上册第12章角平分线定理使用中的几种辅助线作法(人教版)
角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C，AD 是∠BAC 的平分线，BE⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 证明：延长BE 交AC 于点F 。 因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD 为∠BAC 的对称轴， 又因为BE⊥AD 于Fs ， 所以点B 和点F 关于AD 对称， 所以BE=FE= 1 2 BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB。 因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C， ∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C， 所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C， 所以∠FBC=∠C，所以FB=FC ， 所以BE= 12FC=12（AC －AF ）=1 2（AC －AB ）， 所以1 ()2 BE AC AB =-。 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP＋∠BCP=180°。 证明：经过点P 作PE⊥AB 于点E 。 因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2， 所以PE=PD 。 在Rt△PBE 和Rt△PBC 中 BP BP PE PD =?? =? 所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL ）， 2 1F E D C B A N P E D C B A
所以BE=BD 。 因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ， 所以AE=CD 。 因为PE⊥AB，PD⊥BC， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt△PCD 中 PE PD PEB PDC AE DC =?? ∠=∠??=? 所以△PAE≌Rt△PCD， 所以∠PCB=∠EAP。 因为∠BAP＋∠EAP=180°， 所以∠BAP＋∠BCP=180°。 三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 例题、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 证明：过点P 作PE⊥AB 于点E ，PG⊥AC 于点G ，PF⊥BC 于点F ． 因为P 在∠EBC 的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC， 所以PE=PF 。 同理可证PF=PG 。 所以PG=PE ， 又PE⊥AB，PG⊥AC， 所以PA 是∠BAC 的平分线， 所以∠1=∠2。 2 1P F E C B A
角平分线性质练习题集
４ 分层练习, 评价自我 活动四 做一做 练习一： 判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ） （2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ） （3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二 判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三 如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。 (2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？ ５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想 （1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？ （2）你感悟到了什么？ ６ 布置作业，指导学习
1、必做题：教材：第2题。 2、选做题：教材：第3题。 板书设计 角平分线的性质角平分线的判定 ∵PA=PB ∵OP平分∠AOB， 又∵PA⊥OA，PB⊥OB 又∵PA⊥OA, PB⊥OB ∴OP平分∠AOB ∴PA=PB 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等 测试目标：探索并掌握角平分线性质 11.3角平分线性质（1） 一、选择题 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误 的是( ) A．PC = PD B．OC = OD C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC 2．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，D E⊥AB于E， A B C D O P D C
角平分线的性质定理及判定定理
流 河 路公 北 M 区 C B A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示： ∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示： ∵ ∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） 基础闯关 1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为 2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。 3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。 4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 5.三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 6.到一个角的两边距离相等的点在 ． 7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流 与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ． 8．三角形中，到三边距离相等的点是 （A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点． 9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 O D P E B A 第3题图 D A B C 2 1D A P O E B 第4题图
第二节角平分线定理
第二节角平分线定理 【知识点拨】 1、三角形内角平分线的性质定理： 三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明） 2、三角形外角平分线性质定理： 三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。 3、常见问题 对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。 【赛题精选】 例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。 求CD的长。 例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。 求A D·DC的值。（2001年全国竞赛题）
【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。 对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。 例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。 求证：BC AC AB ID AI +=。 例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分 ∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。 试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀 请赛题） 【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2 211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。 本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。 例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。求证：AC ∥DF 。
角平分线性质定理以及逆定理
角平分线性质定理以及逆定理教案 姓名性别男年级初二总课时：课时第次课 教学 内容 角平分线定理以及逆定理 重点难点角平分线定理 角平分线的逆定理 教学 目标 掌握角平分线定理以及逆定理 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通： 针 对 性 授 课 角平分线定理以及逆定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示： ∵点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） ∴ 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示： ∵ ∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） 探究一应用角平分线性质证明线段相等--------------------性质 如图2，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证：CF＝EB． 1．要证CF＝EB，可以证明哪两个三角形全等？ ___________________________________________________． 2．这两个三角形是什么三角形？已知什么？还需要证明什 么？ ___________________________________________________． 3．还需证明的结论成立吗？为什么？ ___________________________________________________． 4．讨论总结：根据以上的分析，本题的证明过程应该怎么书写呢？ O D P E B A 图2
变式1．已知，如图BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于D ，求证：PM ＝PN 。 C N P M D B A 变式2.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC,求证:BE=CF. D F C B A E 变式3. 如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，DF AC ⊥，垂足为 F ，且BD CD =． 求证：BE CF =． 探究二 应用角平分线性质证明两角互补 如图3，AC 平分∠BAD ，CD ＝CB ，AB ＞AD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ． 求证：∠CBA ＋∠ADC ＝180?． 1．由于∠CDF ＋∠ADC ＝180?，要证∠CBA ＋∠ADC ＝180?，只需证明哪两个角相等？为此要证哪两个三角形全等？ ___________________________________________________． 2．怎样证明1中的两个三角形全等？ ________________________________________________________________________． 3．讨论总结：在利用角平分线性质解题时，应注意步骤的完整性，不要漏掉什么？ ________________________________________________________________________． 图3 Ｄ Ｅ Ｂ Ａ Ｆ Ｃ
(新)角平分线性质定理及逆定理练习题
角平分线性质定理及逆定理练习 一．选择题（共11小题） 1．（2011?衢州）如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射 线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 2．（2011?恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足 为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） 3．（2010?柳州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD=3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ） A ． 5cm B ． 4cm C ． 3cm D ． 2cm 4．（2010?鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点 E ，D F ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 6 D ． 5 5．（2009?临沂）如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为 A ， B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ． P A=P B B ． P O 平分∠APB C ． O A=OB D ． A B 垂直平分OP 6．（2007?中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ． 三条中线的交点 B ． 三条高的交点 C ． 三条边的垂直平分线的交点 D ． 三条角平分线的交点 7．（2006?贵港）已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC=：，则△ABD 与△ACD 的面积之比为（ ） A ． 11 B ． 5.5 C ． 7 D ． 3.5 A ． 3：2 B ． ： C ． 2：3 D ． ：
角平分线的性质定理和判定经典
角平分线的性质定理和判定 令狐采学 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等： ①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1. 已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平 分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC辨别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是几多？ 第三部分：典典范题 例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点 E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，
PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间？直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求 证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且 DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积． 【变式练习】如图，D、E、F辨别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等． 求证：AD平分∠BA C． 第四部分：思维误区 一、忽视“垂直”条件 例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。 第五部分：方律例律 （1）有角平分线，通常向角两边引垂线。 （2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。经常使用办法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然
三角形内外角平分线定理上课讲义
三角形内外角平分线 定理
三角形内角与外交平分线定理 一、内角平分线定理 已知：如图所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。 证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。 则： BA/AE=BD/DC; ∵ ∠BAD=∠AEC ；（两线平行，同位角相等） ∠CAD=∠ACE ；（两线平行，内错角相等） ∠BAD=∠CAD ；（已知） ∴ ∠AEC=∠ACE ；（等量代换） ∴ AE=AC ； ∴ BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。 思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分 线。 ABC AD BAC AB BD AC CD ∠=在中，若为的平分线，则：
求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； ∵∠BAD=∠CAD；（已知） ∴ DE=DF； ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴ BA/AC=BD/DC 结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。 二、外角平分线定理 已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线。 证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC ∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等） ∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等） ∠DAF=∠DAC；（已知） ∴∠CEA=∠ECA；（等量代换） ∴ AE=AC； ∴ BA/AC=BD/DC 。