函数定义域
1.函数的定义域就是使函数式的集合 常见的三种题型确定定义域: 2.(1)已知函数的解析式,就是 如:①)
()
(x g x f y =
,则; ②)()(*2N n x f y n ∈=,则; ③0)]([x f y =,则; ④)(log )(x g y x f =,则;
⑤tan y x =,则; ⑥()f x 是整式时,定义域是全体实数。
(2)复合函数f [g(x )]的有关定义域,就要保证内函数g(x )的域是外函数f (x )的域.
(3)实际应用问题的定义域,就是要使得有意义的自变量的取值集合. 例1。求下列函数的定义域
(1)1
2y |x |
=
+-例2 (1)若)(x f 的定义域为[-1,1],求函数)1(+x f 的定义域
(2)若)1(+x f 的定义域是[-1,1],求函数)(x f 的定义域
若函数f(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)·f(x -a)(0<a <)的定义域是()
A. B .[a ,1-a ] C.[-a ,1+a ] D.[0,1]
等腰梯形ABCD 的两底分别为02,,45AD a BC a BAD ==∠=,作直线MN AD ⊥交
AD 于M ,交折线ABCD 于N ,记AM x =,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数,并写出函数的定义域。
2
1?
例3 如图,等腰梯形ABCD 内接于一个半径为r 的圆,且下底AD =2r ,如图,记腰AB 长为x ,梯形周长为y ,试用x 表示y 并求出函数的定义域
一、求下列函数的定义域
(1)x
y 111+
= (2)()
2
1434
3
2
-+--=
x x x
y
(3)()02112++-=x x y
(5)函数y =1122---x x (6) y =1
132
---x x
x ;
函数值域
一、函数值域基本知识
1.定义:在函数中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。
2.确定函数的值域的原则
①当函数用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;
②当函数用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合;
()y f x =()y f x =()y f x =
③当函数用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地,常见函数的值域:
1.一次函数的值域为R.
2.二次函数,当时的值域为,
当时的值域为.,
3.反比例函数的值域为. 题型一:二次函数的值域(最值)
1、二次函数, 当其 定义域为时,其值域为
2、二次函数在区间上的值域(最值) 首先判定其对称轴与区间的位置关系 (1)若,则当时,是函数的最小值,最大值为中较大者;当时,是函数的最大值,最大值为中较小者。
(2)若,只需比较的大小即可决定函数的最大(小)值。 特别提醒:
①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;
②若给定的区间形式是等时,要结合图像来确函数的值域;
()y f x =()y f x =()0y kx b k =+≠()2
0y ax bx c a =++≠0a >24,4ac b a ??
-+∞????
0a <24,4ac b a ??
--∞ ???
()0k
y k x
=
≠{}0y R y ∈≠)0()(2≠++=a c bx ax x f )0()(2≠++=a c bx ax x f R ()()22
4 044 04ac b y a a
ac b y a a ?-≥>???-?≤?
)0()(2≠++=a c bx ax x f [],m n 2b
x a
=-[],m n [],2b m n a -
∈0a >()2b
f a
-(),()f m f n 0a <()2b
f a
-(),()f m f n [],2b
m n a
-
?(),()f m f n [)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞
③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1:已知 的定义域为,则的定义域为。
例2:已知,且,则的值域为。
题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为,值域为 2、形如:的值域:
(1)若定义域为时,其值域为 (2)若时,我们把原函数变形为,然后利用(即的
有界性),便可求出函数的值域。 例4:当时,函数的值域。 (2)已知,且,则的值域为。
题型四:二次分式函数的值域
一般情况下,都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在;③分子、分母必须是既约分式。
例6:;
例7:;
例8:;
()
2
2f x x --[)3,-+∞()f x ()2
11f x x -=+()3,4x ∈-()f x )0(≠=k x
k
y {}0x x ≠{}0y y ≠cx d
y ax b
+=
+b x R x a ??∈≠-????
c y R y a ??∈≠
????
[],x m n ∈d by
x ay c
-=-[],x m n ∈x (]3,1x ∈--1321
x
y x -=+()3
12x f x x
-+=-[)3,2x ∈-()f x 22dx ex c
y ax bx c
++=++x 221
6
x x y x x +-=+-222
1
x x y x +-=-4
32
+=x x
y
例9:求函数的值域
题型五:形如
这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。
例10:求函数在时的值域 题型六:分段函数的值域:
一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11:
例12:
题型七:复合函数的值域
对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13:
例14:
几种经典求值域的方法
例1:已知函数,,求函数的值域。
()21
1,21
x y x x x -=∈-+∞++y ax b =+x x y -+=142[]8,1x ∈-[]4,4-21++-=x x y 2
41y x x =-++)11y x =-≤≤y =()112
--=x y {}2,1,0,1-∈x
例2:求函数的值域。
例3:求函数的值域。 例4:求函数
例1.求函数的值域
例2.求函数在区间的值域
例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域 例3:求函数的值域
例1:求函数的值域
例1:求函数的值域
例2.求函数的值域 例3.求函数的值域
例1:求函数的值域
1y =()1y x =≥y =322+--=
x x y x
x x y 4
22++=]4,41[∈x 2
256y x x =-++125
x
y x -=+2y x =21)45)(125(2
2
++-+-=x x x x y 23102--+=x x x y 223
1
x x y x x -+=-+
例1:求函数
例2.求函数在区间上的值域 例3:求函数的值域
例1 求函数的值域
例2:求函数的值域:
例1:求函数的值域
例1:求函数y =|x +1|+|x -2|的值域 例2.求函数的值域
例3.求函数的值域 例4. 求函数的值域
例1、(1)求函数的值域。
(2)求函数的值域
2:求下列函数的值域:
(1)y =;
(2)y =
y x =x
x y 1
+
=()+∞∈,0x (
)x x x f -++=1112
++=
x x y 2211212x x y x x -+??=> ?
-??221
1
x y x -=+y =
x x y -++=11y =2
16x y -=1
3
22+-=x x y 262x +22
2410
22x x x x ++++
(3) (4)y
例1求函数(
,)的值域
例2求函数(,,)的值域.
例5 求函数 的值域
例1. 求函数的值域
例5.求函数的值域
()f x [,]x a b ∈a b <()f x =[,]a b
x k k ∈a b <0k >x x y -+-=533x 2
x y ++=
2
1x x y -+=
例6、求函数 的值域
例1设计一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白,左右各留5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
例2已知函数f (x )=,x ∈[1,+∞
(1)当a =时,求函数f (x )的最小值 (2)若对任意x ∈[1,+∞,f (x )>0恒成立,试求实数a 的取值范围
一、求下列函数的定义域和值域
(1)|1||4|y x x =-++(2)2sin 2sin x
y x
-=+
1
1
22+-=x x y x
a
x x ++22)2
1
)
(3)245
(2)2x x y x x -+=>-(4)22
221
x x y x x -+=++
(5)x
y 111+=
(6)x
x y -=
||1
二、求抽象函数的定义域:
(1)已知函数f (x )的定义域为(0,1),求f (x 2)的定义域;
(2)已知函数f (2x+1)的定义域为(0,1),求f (x )的定义域;
(3)已知函数f (x+1)的定义域为[-2,3],求f (2x 2-2)的定义域.
三、综合问题
1.若函数a
ax ax y 1
2+-=的定义域是一切实数,求实数a 的取值范围。
2、设12)12(-=-x f x ,则f (x )的定义域是。
3、设函数y =lg(x 2-x-2)的定义域为A,,函数y =
1
2
++x x 的定义域为B,则A B = 。
4、若函数y =f (x )的定义域是[-2, 4], 则函数g (x )=f (x )+f (-x )的定义域是( )
(A )[-4, 4] (B )[-2, 2] (C )[―4, ―2] (D )[2, 4] 5、已知f(2x )的定义域为[1,2],则函数f(x)的定义域为。
6、函数()x f 的定义域是[]0,1-,那么函数()2+=x f y 的定义域是______
7、已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,求M 的取值范围。
四、求下列函数的值域:
(1)求函数)1(,11≥++-=x x x y 的值域
(2)求函数1062++=x x y 的值域。
(3)求函数]2,2[,2-∈=x y x 的值域。
(4)求函数6522++-=x x y 的值域。 若上题中改为x ∈[0、2)呢?
(5)求函数2
21
22
+-+=
x x x y 的值域。
(6)求函数??
?
??≠-+=
32,2332x x x y 的值域。
(7)求函数x x y 21--=的值域
(9)求函数x
x y 1
+=的值域
(10)求函数13+--=x x y 的值域。
映射
一种特殊的对应:映射
(1)(2)(3)(4)1.对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有一个(或几个)元素与此相对应。
2.对应的形式:一对多(如①)、多对一(如③)、一对一(如②、④)3.映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。
4.注意映射是有方向性的。
5.符号:f:AB集合A到集合B的映射。
6.讲解:象与原象定义。
再举例:1?A={1,2,3,4} B={3,4,5,6,7,8,9} 法则:乘2加1 是映射
2?A=N+B={0,1} 法则:B中的元素x除以2得的余数是映射
3?A=ZB=N* 法则:求绝对值不是映射(A中没有象)
4?A={0,1,2,4} B={0,1,4,9,64} 法则:f:ab=(a-1)2是映射
一一映射
观察上面的例图(2)得出两个特点:
1?对于集合A中的不同元素,在集合B中有不同的象(单射)
2 集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象(满射)即集合B中的每一个元素都有原象。
解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f
幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 (1)y x = (2)12 y x = (3)2y x = (4)1y x -= (5)3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出: 3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)x >0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数log a y x =(a >0且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 幂函数的定义:一般地,形如y x α=(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数. ②性质 对数函数的性质:定义域:(0,+∞);值域:R ;
过点(1,0),即当x =1,y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1)x >0时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上,y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数, 在(0,+∞)上, 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1.已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =- (4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解:2 20230 m m m m ?+>??-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2.比较大小: (1)1122 ,1.7 (2)33 ( 1.2),( 1.25)--(3)1125.25,5.26,5.26---(4)30.5 30.5,3,log 0.5 例3.已知幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于原点对称,求m 的值. 解:∵幂函数223 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点, ∴2 230m m --≤,∴13m -≤≤; ∵m Z ∈,∴2 (23)m m Z --∈,又函数图象关于原点对称, ∴2 23m m --是奇数,∴0m =或2m =. 例4、设函数f (x )=x 3, (1)求它的反函数; (2)分别求出f - 1(x )=f (x ),f - 1(x )>f (x ),f - 1(x )<f (x )的实数x 的范围. 解析:(1)由y =x 3两边同时开三次方得x =3y ,∴f - 1(x )=x 3 1 . (2)∵函数f (x )=x 3和f -1 (x )=x 3 1 的图象都经过点(0,0)和(1,1).
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--