第10讲 典型函数研究(学案)
第十讲典型函数研究
一、知识讲解
考点１ 一次函数的图像和性质
函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ； （1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；
（2）一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0
>k 时，函数是增函数，0 （3）0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数； 考点2 二次函数的图像和性质 函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做二次函数，它的定义域为是R ，图象是一条抛物线； （1）当=b 0时，该函数为偶函数，其图象关于y 轴对称； （2）当0>a 时，抛物线c bx ax y ++=2开口向上，二次函数的单调减区间为 (???-∞-a b 2,，单调增区间为)∞+???-,2a b ，值域为)∞+?? ?-,442a b ac ； （3）当0 (???-∞-a b 2,，单调减区间为)∞+???-,2a b ，值域为 ? ????-∞-a b ac 44,2； 考点3 函数图像的变换 四种基本的图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换和伸缩变换等等； （1）平移变换： Ⅰ、水平平移：函数)(a x f y +=的图像可以把函数)(x f y =的图像沿x 轴方向向左（a ＞0）或向右（a ＜0）平移a 个单位即可得到； Ⅱ、竖直平移：函数a x f y +=)(的图像可以把函数)(x f y =的图像沿y 轴方向向上（a ＞0）或向下（a ＜0）平移a 个单位即可得到； （2）对称变换： Ⅰ、函数)(x f y -=的图像可以将函数)(x f y =的图像关于y 轴对称即可得到； Ⅱ、函数)(x f y -=的图像可以将函数)(x f y =的图像关于x 轴对称即可得到； Ⅲ、函数)(x f y --=的图像可以将函数)(x f y =的图像关于原点对称即可得到； Ⅳ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称即可得到； （3）翻折变换： Ⅰ、函数)(x f y =的图像可以将函数)(x f y =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留)(x f y =的x 轴上方部分即可得到； Ⅱ、函数)(x f y =的图像可以将函数)(x f y =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留)(x f y =在y 轴右边部分即可得到 （4）伸缩变换： Ⅰ、函数)(x af y =(0)a >的图像可以将函数)(x f y =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； Ⅱ、函数)(ax f y =(0)a >的图像可以将函数)(x f y =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长（0＜a ＜1）或压缩（a ＞1）为原来的 1 a 倍得到． y=f(x) c b a o y x 利用《几何画板》研究函数． 分类讨论思想与数形结合思想 二、例题精析 【例题1】 对于每一个x ，设)(x f 取14+=x y ，2+=x y ，42+-=x y 三个函数中的最小值，用分段函数写出)(x f 的解析式，并求)(x f 的最大值． 【例题2】 已知二次函数b a bx ax x f +++=3)(2 为偶函数，其定义域为[]a a 2,1- ，则函数的 值域为 ． 二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是( ) A. ()+∞,0 B. [)+∞,2 C. (]2,0 D. [2,4] 【例题4】 已知二次函数)(x f 满足)2(f ＝－1，)1(-f ＝－1，且)(x f 的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【例题5】 作出函数)(x f ＝142 +-x x 的图象，并根据其图象作出下列函数的图象： (1))(x f y -=； (2) )(x f y -=； (3) )(x f y --=； (4) )1(+=x f y ； (5) 1)(+=x f y ； (6) )(x f y =； (7) )(x f y =． 函数32)(2+-=-x x m x f ，若函数)(x f 在]3,(-∞上是减函数，则实数m 的取值范围是 ． 三、课堂运用 【基础】 1.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中，0a c ?<，则函数的零点个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 2.已知二次函数)(x f y =满足)()6(x f x f =- (x ∈R)，且)(x f ＝0有两个实根1x 、 2x ，则1x ＋2x 等于( ) A ．0 B ．3 C ．6 D ．不能确定 【巩固】 1.二次函数bx ax y +=2和反比例函数b y = 在同一坐标系中的图象大致是（ ） 2.函数432--=x x y 的定义域为[ ]m ,0，值域为?? ? ???--4,425， 则实数m 的取值范围是 ． 【拔高】 1. 已知函数42+-=x y ＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1，3)，且)1(x f +-＝)1(x f --对任意实数 都成立，函数y ＝)(x g 与y ＝42+-=x y 的图象关于原点对称．求42+-=x y 与)(x g 的解析式． 2.已知二次函数)(x f 满足1)0(=f 和)1(+x f x x f 2)(=-. Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （1）求)(x f 的解析式； （2）求)(x f 在[]1,1-上的最大值和最小值． 四、课程小结 1.二次函数的三种形式 （1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ． （2）顶点式：)0()(2≠+-=a h m x a y ，其中 ),(h m 为抛物线的顶点坐标． （3）两根式：)0())((21≠--=a x x x x a y ，其中1x 、2x 是抛物线与x 轴交点的横坐标． 2.利用配方法求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的对称轴方程为： x ＝－ a b 2． 3.若二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 对应方程42+-=x y ＝0的两根为1x 、2x ，那么函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 图象的对称轴方程为： x ＝ 2 21x x +＝－a b 2． 4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数． 五、课后作业 【基础】 1. 对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2 1 23+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_ _． 2．函数?? ? ??>+-≤<+≤+=)1(5)10(3) 0(32x x x x x x y 的最大值是________ ． 3．已知5+=mx y 和n x y +=的图象关于直线x y =对称，则=+n m ． 4．先作出函数2=－x )x (f 的图象，再分别作下列函数的图象： (1))(x f y -=； (2) )(x f y -=； (3) )(x f y --=； (4) )1(+=x f y ； (5) 1)(+=x f y ； (6) )(x f y =； (7) )(x f y =． 5．已知669)(2+-=x x x f ，解下列方程： （1）5)(=x f ； （2）x x f 9)(=． 【巩固】 1. 函数1 1 1-- =x y 的图象是（ ） 2.已知函数1)2(22 +-+=x a x y 在)4,(-∞上单调递减，则实数a 的取值范围 是 ． 3．若函数12)(++=a ax x f 的值在区间[]1,1-上有正也有负，则实数a 的范围是______． 4．函数162)(2+-=x x x f 在区间[－1,1]上的最小值是___，最大值是_____． 5．若二次函数22)(2 2 --+=m mx x x f 的图象的对称轴方程为 x ＝1，则= m ____________，顶点坐标为___________，单调递增区间为____________． 6．抛物线)0(2 ≠++=a c bx ax y 的对称轴是x ＝2，且经过点)0,3(P ．则a b c ++的值为（ ） Ａ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 7．若函数3)2(2 +++=x a x y ，],[b a x ∈的图象关于直线1=x 对称，求b 的值． 8．已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点为)0,3(),0,1(-，其形状与抛物线 22x y -=相同，求c bx ax y ++=2的解析式． 【拔高】 1．已知22444)(a a ax x x f --+-=在区间［0，1］内有最大值-5，求a 的值． 2．已知函数5)(2+-=ax x x f 满足)2()2(x f x f -=+，若],0[m x ∈时，函数 ]5,1[)(∈x f ，求实数m 的取值范围． 3．已知f x ax bx ()=+2，满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()，求f ()-2的取值范围. 课后作业题解析与参考答案 【基础】 1.【答案】2 2．【答案】4． 3．【答案】－4． 4．略 5．【答案】（1）31； （2）3 2 ，1． 【巩固】 1.【答案】B ． 【解析】 该题考查对x x f 1)(= 图象以及对坐标平移公式的理解，将函数x y 1 =的图形变形到11-=x y ，即向右平移一个单位，再变形到1 1 --=x y 即将前面图形沿x 轴翻转，再 变形到y ＝－1 1 -x ＋1，从而得到答案B ． 2.【答案】a ≤－2． 【解析】 由题意，有 42 ) 2(2≥-- a ， ∴ a ≤－2． 3．【答案】3 11-<<-a ． 【解析】由0<1+1+3=11)a )(a ()(f )(f －，得3 11-<<-a ． 4．【答案】－3 9． 【解析】∵27232=1+62=22 －－－ )x (x x )x (f ，可知其开口向上，且对称轴为2 3=x ， ∴ )x (f 最小值是3=1－)(f ，最大值是9=1)(f －． 5．【答案】－1，（1，－4），[),1+∞． 【解析】由对称轴方程为x ＝1，得1=m －，∴ 1=－ m ． 于是32=2－－x x )x (f ，∴其图象的顶点坐标为（1，－4），单调递增区间为[),1+∞． 6．【答案】B ． 【解析】 由抛物线对称轴是x ＝2，且经过点)0,3(P ，则必还经过点）（01,． 于是 0=++c b a ，故选Ｂ． 7．【答案】6． 【解析】由 1=22+a － 及 1=2 +b a ，得6= b ． 8．【答案】6422 ++-=x x y ． 【解析】由题意，直接得 )3)(1(2-+-=x x y ，即6422 ++-=x x y ． 【拔高】 1．【答案】a ＝－5 或 a ＝4 5． 【解析】 配方 22444)(a a ax x x f --+-=＝a a x 4)2 (42 -- -． 若 2 a ＜0，即a ＜0，最大值为)0(f ＝2 4a a --＝－5，a ＝1（舍去），a ＝－5； 若0≤2a ＜1，即0≤a ＜2，最大值为)2(a f ＝a 4-＝－5，a ＝45； 若2 a ≥1，即a ≥2，最大值为)1(f ＝2 4a --＝－5，a ＝1±（舍去）． ∴ a ＝－5 或 a ＝4 5 ． 2．【答案】]4,2[． 【解析】 由)2()2(x f x f -=+ 知函数的图象关于直线2=x 对称，∴4=a ， 即 1+2=5+4=22)x x x )x (f －（－． 又由],0[m x ∈时，函数]5,1[)(∈x f ，而5=4=0)(f )(f ，1=2)(f ， ∴ 4≤≤2m ． 3．【答案】()1025≤-≤f ． 【解析】 由()b a f +=1，()b a f -=-1可解得： ))1()1((2 1 )),1()1((2 1 --= -+= f f b f f a 将以上二式代入f x ax bx ()=+2，并整理得 ()()??? ? ??--+???? ??+=2)1(2122x x f x x f x f , ∴ ()()()1312-+=-f f f . 又 ∵214≤≤f ()，2)1(1≤-≤f , ∴ ()1025≤-≤f . 函数的表示方法 一、教学目标 １．总结函数三种表示方法． ２．了解三种表示方法的优缺点． ３．会根据具体情况选择适当方法． 4．利用数形结合思想，据具体情况选用适当方法解决问题的能力． 二、重点难点： 重点: １．认清函数的不同表示方法，知道各自优缺点． ２．能按具体情况选用适当方法． 难点 函数表示方法的应用． 三、合作探究 Ⅰ．提出问题，创设情境 我们在上节课里已经看到或亲自动手用列表格．写式子和画图象的方法表示了一些函数．这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．那么，请同学们思考一下，从前面的例子看，你认为三种表示函数的方法各有什么优缺点？在遇到具体问题时，该如何选择适当的表示方法呢？ 这就是我们这节课要研究的内容． 从所填表中可清楚看到三种表示方法各有优缺点．在遇到实际问题时，就要根据具体情况、具体要求选择适当的表示方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用． 四、精讲精练 例：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度． １．由记录表推出这5小时中水位高度y（米）随时间t?（时）变化的函数 解析式，并画出函数图象． ２．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？ 解：１．由表中观察到开始水位高10米，以后每隔1小时，水位升高0．05米，?这样的规律可以表示为： y=0．05t+10（0≤t≤7） 这个函数的图象如下图所示： ２．再过2小时的水位高度，就是 t=5+2=7时，y=0．05t+10的函数值，从解 析式容易算出：y=0．05×7+10=10．35 从函数图象也能得出这个值数． 2小时后，预计水位高10．35米． 就上面的例子中提几个问题大家思考： １．函数自变量t的取值范围：0≤t≤7是如何确定的？ ２．2小时后的水位高是通过解析式求出的呢，还是从函数图象估算出的好？ ３．函数的三种表示方法之间是否可以转化？ １．从题目中可以看出水库水位在5小时内持续上涨情况，?且估计这种上涨情况还会持续2小时，所以自变量t的取值范围取0≤t≤7，超出了这个范围，?情况将难以预计． ２．2小时后水位高通过解析式求准确，通过图象估算直接、方便．?就这个题目来说，2小时后水位高本身就是一种估算，但为了准确而言，?我认为还是通过解析式求出较好． ３．从这个例子可以看出函数的三种不同表示法可以转化，因为题目中只给出了列表法，而我们通过分析求出解析式并画出了图象，所以我认为可以相互转化． 练习： １．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m是边数n的函数． ２．用解析式与图象法表示等边三角形周长L是边长a的函数． 3、甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x秒后两车之间的距离为y米．求y随x（0≤x≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象． 五、课堂小结 通过本节课学习，我们认识了函数的三种不同的表示方法，并归纳总结出三种表示方法的优缺点，学会根据实际情况和具体要求选择适当的表示方法来解决 人教版初中数学八年级下册第19章《一次函数应用之行程问题》学案 核心素养 1.能看懂一次函数图象呈现的行程信息，会分析行程过程. 2.经历观察、对照、分析、想象、验证等过程体会数形结合的思想. 3.会解决“函数图象型行程问题”.会通过动手画简易草图分析行程的动态过程，并能构建一次函数模型解决实际行程问题. 【学习重点】准确地从函数图象中读取、理解行程信息，并解决问题. 【学习难点】对应函数图象，结合行程图，分析理解行程过程. 【学习过程】 一、知识回顾 小潘同学1000米跑步的路程S（米）与时间t（分钟）的关系如图所示：你能从图中获取哪些信息呢？ 二、例题讲解 类型一：表示距同地距离 例1：甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（） A．甲出发1.5h两人相遇 B．乙的速度是10km/h C．乙追上甲时离出发点的距离 D．甲比乙晚到B地3h 追加问题：甲出发几小时后，两人相距2千米？ 小结： 1.分析题应做到由“形”到“数”，由“数”到“形”. 2.“追上”就是求两个函数图象的交点，即由两个函数组成方程组的解就是交点 的横纵坐标. 3.常用解析式相减=两者相距多远（距同地的距离时） 练习： 1.“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子总结惨痛教训后，决定和乌龟再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发 所行的时间，1y表示乌龟所行的路程，2y表示兔子所行的路程．下列说法中： ①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟 在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处上了乌龟．正确的有：（） A．1个B．2个C．3个D．4个 类型二：表示两者间的距离 例2：例2：已知 A、B 两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发， 甲车以60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往B 地，乙车从B 地沿此公 路匀速开往 A 地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程 y（千米）与甲车的行驶时间 x （小时）之间的函数关系如图所示: （1）乙车的速度为___________千米/时,a=_____________,b=______________. （2）求甲、乙两车相遇后y 与 x之间的函数关系式． （3）当甲车到达距 B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程． 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数． 函数的三种表示法 (1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系． 一、选择题 1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0) C ．y ＝50x (x >0) D ．y ＝100x (x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点 到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果f (1x )＝x 1－x ，则当x ≠0时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12 )的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4 D ．30 6．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( ) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________． 三、解答题 10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式． 11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1 1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345 Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]． 2019-2020年高考数学大一轮复习 2.7函数的图象学案 理 苏教版 导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质． 自主梳理 1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等． 2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象． 3．利用基本函数图象的变换作图： (1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到． (2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(00)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸 长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解) (3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称； ⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称； ⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称； ⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到； ⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到． 自我检测 1．(xx·北京改编)为了得到函数y ＝lg x ＋3 10 的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所 有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度． 2．(xx·烟台一模)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)． ①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)． 3．函数f (x )＝1 x －x 的图象关于________对称． 4．使log 2(－x ) 函数的三种表示方法－－教学设计 学习目标： １．由实例了解函数的三种表示方法． ２．理解函数三种表示方法的优缺点． ３．初步会建立函数模型综合运用函数三种方法解决问题． 重点: 认清函数的不同表示方法，理解三种方法的优缺点． 难点 函数三种表示方法的综合应用． 导学过程： 一、引入新课： 我们在上两节课里了解了函数有三种表示方法分别称为列表法、解析式法和图象法．那么，这三种表示函数的方法各有什么优缺点？ 二、展示目标与自学内容1 问题1：物理实验中，小华想知道弹簧的拉伸长度l(cm)与所挂重物质量m(kg)的关系。由实验数据得出下表： 受力后弹簧的长度l 是所挂重物m 的函数吗？若是,写出函数解析式。 问题2：有一辆出租车，前5公里内的起步价为5元，超过5公里后，每超过1公里加收2元，有一位乘客坐了x （x ＞5）公里，他付费y 元.用含x 的式子表示y ，y 是x 的函数吗？ 问题3：如图是某地某一天的气温变化图. 图象中的两个变量是函数关系吗？ 在哪个时间内气温一直在升高？ 在哪个时间内气温在降低？ 三、互学 同桌交流讨论：从上面的三个问题中，你发现表示函数的三种方法各有什么优缺点？ 四、导学1 引导学生分析每个问题中的函数关系。并通过下表的完成来比较三种方法的优缺点（用∨或×表示） 表示方法 全面性 准确性 直观性 形象性 列表法 m/kg 0 1 2 3 3.5 ... l/cm 10 10.5 11 11.5 11.75 ... T / 解析式法 图象法 五、自学2 学生根据自学指导看书80页中例4自学。 自学指导： 1、表中数值反应了哪两个变量之间的关系？它们是函数关系吗？ 2、由图19.1-9如何得出这个图象的解析式，此时自变量范围是什么？ 3、图象是如何反应了水位的变化规律？你是如何求出再过2小时的水位的？ 4、函数的三种表示方法是如何转化的？ 六、导学2 师生交流自学指导内容，引导学生在交流中体会函数三种表示方法在实际问题中可以互相转化。通过每个问题的解答进一步明确函数的三种方法的优缺点。由此加强学生用数形结合解决问题的意识。 七、训练与拓展： 1、 用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l 是边长a 的函数. 2、 2.如图，正方形ABCD 的边长为2，动点P 从C 出发，在正方形的边上沿着C →B →A 的方向匀速运动 （点P 与A 不重合）.设P 的运动路程为x ，则下列图 象中表示△ADP 的面积y 关于x 的函数关系的是（ ） 五、课堂小结 八、小结： 这节课的学到了哪些数学知识? 这节课的学习获得什么数学方法？ A B C D P 学案14：函数的表示法 【课前预习,听课有针对性】 1. 若()23,(2)(),()f x x g x f x g x =--=则的表达式为 （ ） A ． 2x+1 B ． 2x —1 C ．2x —3 D ． 2x+7 2．已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 （ ） A ．2)(x x f = B ．)1(1)(2≥+=x x x f C ．)1(22)(2≥+-=x x x x f D ．)1(2)(2≥-=x x x x f 3．若一次函数y=f (x)在区间[]1,2-上的最大值为3，最小值为1，则y=f (x)的解析式为_____________． 4．若二次函数y=f (x)过点()()()0,3,1,4,1,6-，则f (x)=_______________. 5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= 11-x ,则f(x)= ___ 【及时巩固,牢固掌握知识】 A 组 夯实基础，运用知识 6. 下列各函数解析式中，满足)(21)1(x f x f = +的是（ ） A ． 2x B ． 21+x C ． x -2 D ． x 21log 7．已知32)121(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于（ ） A ．41- B ． 41 C ． 23 D ． 2 3- 8. 若2 )(,2)(x x x x e e x g e e x f --+=-=，则)2(x f 等于 （ ） A ．)(2x f B ． )]()([2x g x f + C ．)(2x g D ． )()(2x g x f ? 9. 已知221111x x x x f +-=??? ??+-，则)(x f 的解析式可取为（ ） A ．21x x + B ． 212x x +- C ． 212x x + D ．－21x x + B 组 提高能力，灵活迁移 10. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则( ) A ．a=2,b=2 B ． a= 2 ,b=2 C ．a=2,b=1 D ．a= 2 ,b= 2 11. 若函数)(x f 满足关系式1()2()3f x f x x -=，则的表达式为__________. 12. 设函数1 1)(+=x x f 的图象为1C ，若函数)(x g 的图象2C 与1C 关于x 轴对称，则)(x g 的解析式为________________. 13．已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式。 14．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ） A ．42-x B ．42 +x C ．2)4(+x D ． 2)4(-x 1.4.1正弦函数、余弦函数的图像学案 学习目标 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 30~ P 33，找出疑惑之处） 1.请在右图中分别作出角 3 611π π，的三角函数线。 2.遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，面对一个新函数，一般采用什么方法画图象？ 3.如何在直角坐标系下描出点)3 sin ,3( π π ？ ①代数法：73.1314.3≈≈，π ②几何法：利用弧度与弧长的关系以及三角函数线 二、新课导学 ※ 预习探究 探究任务一：如何画正弦函数的图像？ 步骤一：如何画出正弦函数x y sin =在[]π2,0∈x 上的图像？ 1.在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.； 2.在相应坐标系内，在x 轴上将区间[]π2,0分成12等份； 3.在相应坐标系内，将单位圆中12个角的正弦线进行右移到相应角的位置得到点列 ())12....3,2,1(sin ,=i x x i i 。. 4.通过刚才描点（x 0,sinx 0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，你能得到什么？ 步骤二：如何画出正弦函数x y sin =在R x∈上的图像？ 探究任务二：余弦函数的图像 x0ππx y cos = （2）方法2：用以前学过的诱导公式 cosx=________（用正弦式表示），你能根据这一关系利用x y sin =的图像画出y=cosx的图象吗？ 探究任务三：（1）观察所得正弦函数与余弦函数的图象，有五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？完成x x y sin = x y cos = （2）你能在同一个直角坐标系中画出x y x y cos , sin= =的图像吗？ 2 3π 2 π 一、学习目标 增强对一次函数性质、图象的理解和综合运用能力 二、重点、难点 教学重点：一次函数性质、图象运用 教学难点：一次函数性质、图象运用 三、学习方法 自主学习为主，合作学习为辅 四、知识结构 （一）温故知新 变量： ； 常量： ； 1：在函数3b-2a=1中，常量是 ，变量是 ，若a 是b 的函数，则其表达式是 . 2、 自变量， 函数. 函数值. 2、下列关系式中，y 不是x 的函数的是（ ） A. 1 2y x = B. 22y x = C. 0)y x =≥ D. 0)y x =≥ 例3、下列图中，不表示某一函数图象的是（ ） A B C D 3、一次函数y=kx+b(k ≠0,k,b 为常数) 当k>0,y 随x 的增大而增大；当k<0,y 随x 的增大而减小 当k>0,b>0时图象经过 象限；当k<0,b>0时图象经过 象限 当k>0,b<0时图象经过 象限；当k<0,b<0时图象经过 象限 （二）典型例题 例1. 直线23y x =-+与x 轴交于点A ，直线3y x =-与x 轴交于点B ，且两直线的交点为点C,求△ABC 的面积 例2、已知函数26 y x =--. （1）求当4 x=-时y的值，当x2 y=-时x的值; （2）画出函数的图像； （3）如果y的取值范围是-4≤x≤2，求x的取值范围. 五、技能训练 一、选择 1．下列说法不正确的是（） A．一次函数不一定是正比例函数B．不是一次函数就一定不是正比例函数C．正比例函数是特殊的一次函数D．不是正比例函数就不是一次函数 2．已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过点A(-2，0)且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积为（） A．4 B．5 C．6 D．7 3．一次函数y＝x－1的图象不经过（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 4．已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则（） A．y随x的增大而减小B．y随x的增大而增大 C．当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小 D．不论x如何变化，y不变 5．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1 2019-2020学年高三数学第一轮复习 14 函数的表示法----求解析式 教学案（教师版） 一、课前检测 1．若函数()f x 满足2(1)2f x x x +=-，则f = . 答案：6- 2.已知()()()23,2f x x g x f x =++=，则()g x = . 答案：21x - 3. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 答案：()123f x x =- 或()21f x x =-+ 二、知识梳理 求函数解析式的题型有： 1.已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 解读： 2.已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； 解读： 3.已知函数图像，求函数解析式； 解读： 4.()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； 解读： 5.应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 解读： 三、典型例题分析 例1 设2211(),f x x x x +=+ ，求()f x 的解析式. 答案：()22f x x =- 变式训练1：设(cos )cos 2,(sin )f x x f x =求的解析式. 答案：()2sin 1f x x =- 变式训练2：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+， 求)]([x g f . 答案：()22f x x =-，()33g x x x =-，642[()]692f g x x x x =-+- 小结与拓展：配凑法 例2 设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f 的解析式. 答案：2()56f x x x =-+ 变式训练1：已知21lg f x x ??+= ???，求)(x f 的解析式. 答案：2()lg 1f x x =- 变式训练2：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f 的解析式. 答案：2()21f x x x =++ 小结与拓展：换元法 例3 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+， 求()f x 的解析式； 答案：()27f x x =+ 变式训练1：已知12()3f x f x x ??+= ??? ，求)(x f 的解析式. 答案：1()2f x x x =- 第十九章一次函数 19.1.1 变量与函数 第一课时变量与常量 学习任务 1.认识变量、常量. 2.学会用含一个变量的代数式表示另一个变量. 3.了解常量与变量的关系. 素读检测 1.汽车以60km/h的速度匀速前进，行驶里程为s km，行驶的时间为t h，填写下面的表格，s的值随t的值的变化而变化吗？ 2.电影票的售价为10元/张，如果第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？ 3.当圆的半径r分别为10 cm、20 cm、30 cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？ 4.用10m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3m、3.5m、4m、4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？ 问题辨析 1.上面4个问题反映了不同事物的变化过程,说一说其中哪些量的数值是变化的，哪些量的数值是不变的？ 2.写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？ ⑴用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式：，其中变量是，常量是； ⑵购买单价是0.4元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系： ，其中变量是，常量是； ⑶运动员在4000m 一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t (s )与跑步的速度v (m /s )的关系： ，其中变量是，常量是； ⑷银行规定：五年期存款的年利率为2.79%,则某人存入x 元本金与所得的本息和y （元）之间的关系：，其中变量是，常量是. 当堂检测 1.汽车在匀速行驶过程中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么对于等式s =vt ， 下列说法正确的是（ ） A.s ,v ,t 三个量都是变量 B.s 与v 是变量，t 是常量 C.v 与t 是变量，s 是常量 D.s 与t 是变量，v 是常量 2.在△ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高为h ，则△ABC 的面积ah S 2 1 =，当高h 为定值时，上述式子中（ ） A.S 、a 是变量，21、h 是常量 B.S 、a 、h 是变量，2 1 是常量 C.a 、h 是变量，S 是常量 D.S 是变量，2 1 、a 、h 是常量 3.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率η与时间t 之间的关系中，下列说 法正确的是（ ）. A.数100和η，t 都是变量 B.数100和η都是常量 C.η和t 是变量 D.数100和t 都是常量 4.汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t 小时，则汽车离开甲站所 走的路程s （千米）与时间t （小时）之间的关系式是（ ）. A.1060s t =+ B.60s t = C.6010s t =- D.1060s t =- 19.1.1 变量与函数 第二课时 函数 学习任务 １.经过回顾思考认识变量中的自变量与函数． ２．进一步理解掌握确定函数关系式． ３．会确定自变量取值范围． 素读检测 1.如图是某日的气温变化图： （1）气温T 随着t 的值的变化而变化吗？ 2019-2020年高中数学《1.2.2函数的表示法1》学案新人教A版必修 1 学习目标 1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 19~ P21，找出疑惑之处） 复习1： （1）函数的三要素是、、 . （2）已知函数，则，= ，的定义域为 . （3）分析二次函数解析式、股市走势图、银行利率表的表示形式. 复习2：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、新课导学 ※学习探究 探究任务：函数的三种表示方法 讨论：结合具体实例，如：二次函数解析式、股市走势图、银行利率表等，说明三种表示法及优缺点. 小结： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值. ※典型例题 例1 某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数. 变式：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数. 反思：例1及变式的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？ 例2 邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元. 每封x克（0 函数图象学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2.7函数图象 考情分析 1．考查函数图象的识辨． 2．考查函数图象的变换． 3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数． 基础知识 1．函数图象的变换 2.图象变换: (1)平移变换:熟记口决:左加右减,上加下减 ()y f x =的图象向左平移(0)a a >个单位得到函数()y f x a =+的图象; ()y f x =的图象向右平移(0)b b >个单位得到函数()y f x b =-的图象; ()y f x =的图象向上(下)平移(0)h h >个单位得到函数()y f x h =±的图象. (2)对称变换: ()y f x =-与()y f x =的图象关于y 轴对称; ()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称; ()y f x =--与()y f x =的图象关于原点对称; (3)翻折变换： ①|()|y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留x 轴上方部分，并把x 轴下方部分翻折到x 轴的上方即可. ②(||)y f x =的图象：先画出()y f x =的图象，然后保留y 轴右侧部分，并把y 轴右侧部分翻折到y 轴的左侧即可. 2．等价变换 例如：作出函数y ＝1－x 2的图象，可对解析式等价变形 y ＝ 1－x 2???? y ≥01－x 2≥0 y 2＝1－x 2 ???? y ≥0y 2＝1－x 2 ?x 2＋y 2＝1(y ≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图． 3．描点法作图 方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 注意事项 1.数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置． 2．(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称． (2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系． 3．明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径． (1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． (2)函数解析式的等价变换． (3)研究函数的性质． 题型一 作函数图象 【例1】?分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1； 一次函数复习导学案 一、 正比例函数和一次函数的定义 1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）y=-15x + (2)y=-5x (3)y=-3-5x (4)y=x 2-(x-1)(x-2) (5)x 2-y=1 2. 当k_____________时，()2323 y k x x =-++-是一次函数； 3、已知y=(m2-m)x 1 m +，当m_______，y 是x 的正比例函数。 二、图像及其性质 1函数x m y )1(-=(1≠m ),y 随着x 的增大而增大,则（ ） A.m <0 B.m >0 C.m <1 D.m >1 2、（2008.天津）已知一次函数y=kx －k ，若y 随着x 的增大而减小，则该图象经过（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第一、二、四象限 C 、第二、三、四象限 D 、第一、三、四象限 3、一次函数y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________。 4.函数y＝2x－3与x轴的交点A的坐标是，与y轴的交点C 的坐标是，△AOC的面积是. 三、. 待定系数法确定一次函数的解析式 类型一、利用表格信息确定函数关系式 例题1小明根据某个一次函数关系式填写了下表: 其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是（）。 A.0 B.1 C.2 D.3 类型二.利用点的坐标求函数关系式 .已知直线y=kx+b，经过点A(0,6),B(1,4) （1）写出表示这条直线的函数解析式。 （2）如果这条直线经过点P(m,2), 求m的值。 （3）求这条直线与x 轴，y 轴所围成的图形的面积。 函数的表示法 【教学目标】 掌握函数的三种表示方法,通过函数的各种表示及其相互转化来加强对函数概念的理解. 【重点难点】 重点：函数的三种表示方法． 难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【教学过程】 一、情景设置 我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，两个函数是否相同的判定方法， 那么函数的表示方法常用的有哪些呢？ 、、。 二、探索研究 1．结合 1.2.1的三个实例，讨论三种表示方法的定义: 解析法: 图像法： 列表法： 2．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x). 思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么? 解析法的特点: 图像法的特点： 列表法的特点： 三、教学精讲 三种表示法应该注意什么？ ①函数图象既可以连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定 义域；不是所有的函数都能用解析法表示。 ③图像法：根据实际情景来决定是否连线； ④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。 例1．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 第1次第2次第3次第4次第5次第6次 王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分88.2 78.3 85.4 80.3 75.7 82.6 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变 化特点。 例2.已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式 答案:① f(x)=x2-2x-1 例3.①已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式. ②已知f(x+1 x )= x2+1 x2 + 1 x ,求f(x)的解析式 答案:①f(x)=x2-1(x≥1) ②f(x)=x2-x+1(x≠1) 四、课堂练习 1.已知f(x)是一次函数,且ff(x)]=4x-1,求f(x) 答案:f(x)=x-1 3 或f(x)=-2x+1 2.周长为l,的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架围城图形的面积y关于的函数表达式，并写出它 授课学案 学生姓名： 授课教师： 班主任： 科目： 上课时间： 年 月 日 时— 时 函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用，因此同学们要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. 一、基础知识 1．作函数图象的一个基本方法------基本函数法 2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法． 一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关的图象， 这就是函数的图象变换．在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． (1)平移变换 函数y=f(x+a)(a ≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a|个单位而得到； 函数y=f(x)+b(b ≠0)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象向上(b ＞0)或向下(b ＜0)平移|b|个单位而得到． (2)伸缩变换 函数y=Af(x)(A ＞0，A ≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)成原来的A 倍，横坐标不变而得到． 函数y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长（0<ω<1）或缩短（ω>1）成原来的 1 倍，纵坐标不变而得到． (3)对称变换 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘ （2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上，∴ 2b －y = f (2a －x)即y + f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。 （充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0) ∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。 故点P ‘ （2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上，而点P 与点P ‘ 关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是 f (a +x) = f (a －x) 即f (x) = f (2a －x)【学案】 函数的表示方法
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