九下专题复习11—圆的专题复习切线的证明
课题 圆的专题复习——切线的证明
教学任务分析：
教学目标
1．熟练掌握在圆中找垂直关系的方法，并运用其进行切线的证明.
2．通过证明圆的切线，掌握证明切线问题中常用的方法和常见的基本图形． 3．初步形成解决有关切线问题的解题经验，体会转化的思想．
教学重点 证明一条直线是圆的切线． 教学难点
找垂直关系．
教学过程设计：
问题与情境
师生活动
设计意图 【活动一】
1． 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． 判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由．
思考：
①本题你都用到了哪些知识？
②当题目没有具体角度的时候，你应该通过什么方式得到垂直？
学生审题，独立思考，并完成题目．
学生交流解法．
师生共同探讨解题思路．
1题从结论入手，要证切线，连半径，证垂直．同时从已知条件入手能得出一些角的具体度数，从而凑出90°；让学生明确证切线可以转化为证垂直．
【活动二】
2． 如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是弦，MN 是过点A 的直线， （1）若AB 等于半径长， ∠BAC =2∠BAN ．
求证：MN 是⊙O 的切线．
思考： 由“AB 等于半径长”，你想到了什么？ （2）连接BC ，若∠BAN =∠C ． 求证：MN 是⊙O 的切线．
学生审题，独立思考，并完成题目．
学生交流．
方法总结： 圆中半径很重要， 构造等腰常需要． 若有半径等于弦， 联想等边出角度．
2题第一问从已知入
手，由等边三角形得到60°，从而容易凑出证切线需要的
90°；让学生体会在证垂直过程中，灵活应用题目中的已知条件得到特殊三角形，从而得到具体角度，凑90°．
第二问中没有具体的角度，也不能由特殊
E A
B
C D O
O
C
M
N
B
A
思考：
本题中有垂直关系吗？你是如何得到的？
【变式】若C 是⊙O 上一点且AC 不经过圆心，∠BAN =∠C ． 求证：MN 是⊙O 的切线．
思考： ① 本题中你是如何构造垂直关系的？ ② 你都可以从由哪些基本定理得到
垂直关系？
学生审题，独立思考，并完成题目．
学生交流．
学生审题，独立思考．
小组讨论，学生交流展示．
师生共同总结垂直相关的知识：
① 直径所对的圆周角直角； ② 切线的性质； ③ 垂径定理；
④ 三角形内角和的一半得90°；
⑤ 平行关系（中位线）．
三角形得到角度，但
可以应用“直径所对的圆周角是直角”得到直角，再应用“同角或等角的余角相
等”去转换角；让学生明确当没有具体角度的时候，需要通过角的转换得到垂直．
变式中没有直径，因此不能得到90°的圆周角，需要添加辅助线，构造直径，进而转化为第二问的问题来解决，或者由三角形内角和的一半得到90°，或者应用垂径定理构造直角，进而转化角；让学生明确在题中没有直角的情况下，需要应用所学知识构造直角，转化角．
培养学生及时归纳总结的良好学习习惯．
C
A B
N M O O
M N B
A C
【活动三】
3．已知：如图，在△ABC中，
AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC 于D，DE⊥AC于E．
求证：DE是⊙O的切线．
思考：
①本道题中，你如何想到连接OD 的？如何想到连接AD的？
②你又是如何得到OD⊥DE的？
③你都用到了哪些相关知识？
学生审题，独立思考，并完成题目．
学生交流解题思路．
学生思考回答．
3题可用多种方法解
决，可以换角得到垂
直，或者通过平行关
系得到垂直，过程中，
有可能会用到“等腰
三角形三线合一”或
者“直径所对圆周角
是直角”等知识，鼓
励学生用多种方法解
决问题，注重让学生
总结对比出最优证
法，并关注图中的基
本图形．
【活动四】课堂小结
本节课你学到了什么？有什么收获？学生归纳总结本节课所学内容．
教师总结完善，并归纳本节课数学
思想方法．培养学生总结归纳的
习惯，强化所学知识
和技能方法．
【活动五】课堂反馈（2008年北京市中考题）
已知：如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD=∠A．判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．教师出示题目．
学生独立完成，检测学习情况．
检测学生本节课
的掌握情况，以方便
及时反馈和落实．
O
A
E B C
D
中考复习专题_圆切线证明
中考复习专题--------圆的切线的判定与性质
知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切.
例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线.
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线.
圆的切线专题证明题
1、.已知：如图，CB 是⊙O 的直径，BP 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AC 平行于OP ． (1)求证：AP 是⊙O 的切线．(2)若∠P=60°，PB=2cm ，求AC ． 2、⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，D E ⊥AC 于E.求证：DE 为⊙O 的切线 3、、如图，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，作D E ⊥BC 于E 。（1）求证：DE 为⊙O 的切线（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，∠A=30°.AB=8，求DG 的长 4、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线． 5、如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ．求证：BD 是⊙O 的切线； 6 ．如图，在中， ，以 为直径的分别交、于点、，点在的延长 线上，且 求证：直线 是⊙0的切线； O A B P E C
7、如图 9，直线n切⊙O于A，点P为直线n上的一点，直线PO交⊙O于C、B，D在线段AP上， 连接DB，且AD=DB。（1）判断DB与⊙O的位置关系,并说明理由。（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长 8、如图10，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。（1）若∠CPA=30°，求PC的长（2）若P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的值。 9．如图，MN为⊙O的切线，A为切点，过点A作AP⊥MN，交⊙O的弦BC于点P. 若PA=2cm，PB=5cm，PC=3cm，求⊙O的直径． 10．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线． 11、如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O 的切线交AD的延长线于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长. F E D A C O B P M B D C O N
中考数学专题圆的切线精华习题
中考数学专题圆的位置关系 第一部分真题精讲 【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tan C=1 2 ，求⊙O的直径． A 【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。 【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点， A ∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°. ∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点，∴AB=AC． 在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=1 2 ，∴EC=4 tan DE C =. （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC= 在Rt △DCB 中， BD=tan DC C ?= BC=5. ∴AB=BC=5. ∴⊙O的直径为5. 【例2】已知：如图，⊙O为ABC ?的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF，使得BA平分CBF ∠，过点A作AD BF ⊥ 于点D.（1）求证：DA为⊙O的切线；（2）若1 BD=， 1 tan 2 BAD ∠=，求⊙O的半径.
(完整版)证明圆的切线经典例题
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直? 例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与O 0相切. 证明：连结OE, AD. ?/ AB是O 0的直径， ??? AD 丄BC. 又??? AB=BC , ???/ 3= / 4. —— ? BD=DE，/ 1 = / 2. 又??? OB=OE , OF=OF , ???△ BOF ◎△ EOF ( SAS) ???/ OBF= / OEF. ??? BF与O O相切， ?OB 丄BF. ???/ OEF=9O°. ?EF与O O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA 与O O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ?/ AD 是/ BAC 的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2= / 1+ / DAC. ???/ 2= / B+ / DAB , ???/ 1 = / B. ?/ AE 是O O 的直径, ? AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切. ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, 证明二：延长AD 交O O 于E ,连结 ?/ AD 是/ BAC 的平分线, ? BE=CE , ? OE 丄 BC. ???/ E+/ BDE=90 0. ?/ OA=OE , ???/ E=/ 1. P P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 圆的切线证明拔高题训练 1.如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作 ，垂足为，连接． 求证：直线与相切； 若，，求的长． 2.如图，已知，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接 ． 若，，求边的长； 取的中点，连接，试证明与相切． 3.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，， 于点，交的延长线于点． 1 / 25
求证：直线是的切线； 若，，求的长． 4.如图，的边为的直径，与圆交于点，为的中点，过作于． 求证：； 求证：为的切线； 若，，求的长． 5.在中，直角边为直径的半圆，与斜边交于，点是边的中点，连接 ， ① 与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况． ②若、的长是方程的根，求直角边的长．
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 6.如图，是的直径，． 求证：是的切线； 若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值． 7.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点， ，． 求证：是的切线； 求证：； 3 / 25
点是的中点，交于点，若，求的值． 8.已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作 于． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 9.如图，是的外接圆，，弦，，， 交的延长线于点． 求证：； 求的长； 求证：是的切线．
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 10.如图，是的直径，垂直于弦于点，且交于点，是延长线上一点，若． 求证：是的一条切线； 若，，求的长． 11.如图，以为直径的半圆交于点，且点为的中点，于点，交半 圆于点，的延长线交于点． 求证：为半圆的切线； 若，，求的长． 12.如图，是的直径，点是上的一点，． 5 / 25
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
中考专题解析切线证明
专题解析——切线证明 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o ．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接 OC ，证明∠OCD ＝90o 即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o ． ∵∠CAB ＝30o ，∴BC ＝2 1 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝ 2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o ． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o 即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 图1 图2
圆的切线判定证明题电子教案
圆的切线判定证明题
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 交x 轴于A 、B 两点，直线FA ⊥x 轴于点A ，点D 在 FA 上，且DO 平行于⊙O 的弦MB ，连DM 并延长交x 轴于点C . （1）判断直线DC 与⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）设点D 的坐标为（-2，4），试求MC 的长及直线DC 的解析式. 2．在Rt △ABC 中，BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 与点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ． （1）设⊙O 是△BDE 的外接圆，求证:AC 是⊙O 的切线; （2）设⊙O 交BC 于点F ，连结EF ，求EF AC 的值． （1）证明： （2）解: 3．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DAB ＝22.5o，延长AB 到点C ，使得∠ACD ＝45o． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AB ＝22，求BC 的长． 4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分 BDE ∠．
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB =AC ，点D 在弧BC 上运动，过点D DE 交AB 的延长线于点E ，连结AD 、BD ． （1）求证：∠ADB =∠E ； （2）当点D 运动到什么位置时，DE 是⊙O 的切线？请说明理由． （3）当AB =5，BC =6时，求⊙O 的半径． 6． 如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ． （1）求证：∠ACO =∠BCD ． （2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径． 7. 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥ AC ，垂足为E . （1）求证：AB =AC ； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； （3）若⊙O 的半径为5,∠BAC =60°,求DE 的长. E C A
初中数学九年级《圆的切线证明及计算》公开课教学设计
圆的切线证明及计算（教案） 一、教学目标： 1、复习直线和圆的位置关系，以d和r的关系强化学生对切线判定定理的理解。 2、使学生把握好切线判定和切线性质的基本要素，理解切线问题中常用的辅助线———过 切点的半径。 3、通过对切线长定理的推导分析，提高学生对图形知识的系统化认识，在实际解题中提高 学生对两条切线的边、角关系的理解与应用。 4、强化基础知识的同时，通过中考切线问题考试热点的讲解，提高学生对切线证明及切线 计算问题的理解;对考试中常见的动点问题，提出动点问题静态化的思考。 5、 二、教学重点：整固切线的有关定理；理解切线问题中常用的辅助线 三、教学难点：切线的证明思想，对动点问题的分析思考方法 四、教学过程： 1.回顾知识要点： 通过演示回顾直线和圆的位置关系，用距离d和半径r的关系引导学生对切线判定定理、和切线性质定理进行理解。把握好判定中的两个要素，理解切线问题中一般辅助线的作法。 学生对知识要点表格的完成达到对知识要点的巩固，并在d=r ?直线l与⊙O相切的条件下扼要说明切线的判定定理和切线的性质定理，使学生记住关键字词，理解解题中的一般方法。 2.基础练习： 通过对简单题型的练习，认识切线定理的一般应用方法，在同一图形变换不同的问法，分别从边和角的角度进行理解。进一步巩固切线问题中辅助线的作法。 例1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，若∠OBA = 36°， 则∠AOB=（） 例2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2， 若∠OBA = 30°，则OB的长为（） A ．B．4 C ．D．2 d＞r ?直线l与⊙O相离 d 中考中圆切线证明习题 1、如图， PA 为⊙ O 的切线， A 为切点，过 A 作OP 的垂线 AB ，垂足为点 C,交⊙O 于点 B,延长 BO 与⊙ O 交于点 D ，与 PA 的延长线交于点 E, 求证： PB 为⊙ O 的切线； 2、如图，AB=AC ，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于 M 求证：DM 与⊙O 相切. 3、如图，已知： AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且∠ CAB=300 ，BD=OB ，D 在 AB 的延 长线上 . 求证：DC 是⊙O 的切线 4、已知：如图， A 是e O 上一点，半径 OC 的延长线与过点 1 AC OB ． 2 （1）求证： AB 是e O 的切线； 2）若 ACD 45°， OC 2，求弦 CD 的长． P D BC ， A 5、已知：如图，在Rt△ABC中， C 90o，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E ，且CBD A． 1）判断直线BD与e O的位置关系，并证明你的结论； 2）若AD:AO 8:5 ，BC 2，求BD的长． B 6、已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ ABC 交AE 于点M,经过B,M 两点的⊙ O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O的直径. （1）求证：AE 与⊙ O 相切； 1 （2）当BC=4,cosC=1时，求⊙ O的半径. 3 7、已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2 ACD=90 。 求证：CD 是⊙O 的切线. 10、如图，等腰三角形 ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。以 BC 为直径作⊙ O 交AB 于点 D ， 交 AC 于点 G ，DF ⊥AC ，垂足为 F ，交 CB 的延长线于点 E (1)求证：直线 EF 是⊙O 的切线； (2)求 CF:CE 的值。 11、如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是弦，∠ BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D ，DE ⊥AC ，交 AC 的 延 长线于点 E ，OE 交AD 于点 F ．⑴求证： 12、如图， Rt △ ABC 中， ABC 90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点 D ，E 是边BC 的中 点，连接 DE ． (1)求证：直线 DE 是⊙O 的切线； 2)连接 OC 交DE 于点 F ，若OF CF ，求 tan ACO 的值． 13、如图，点 O 在∠APB 的平分线上，⊙ O 与PA 相切于点 C ． (1) 求证：直线 PB 与⊙O 相切； F G E O E B 中考复习专题 --------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 例8 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900 . 求证：CD 是⊙O 的切线. [习题练习] 例1如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上两点，并且OC=OD ，求证：AC=BD ． 例2已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC?交于点E ，求证：△ DEC 圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长. 证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD． 证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值． 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值． 切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝ OB ，点C 在圆上，∠CAB ＝30o．求证：DC 是⊙O 的切线． 思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC ，BC ． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90o． ∵∠CAB ＝30o，∴BC ＝21 AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝2 1 OD ．∴∠OCD ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接 OC ，弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线． 图1 图2 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明 CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90o即可． 证明：连接OD ． ∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ， ∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ． ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90o．∴∠ODC ＝90o． ∴DC 是⊙O 的切线． 【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证：AC 平分∠DAB ． 思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径． 证明：连接OC ． ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ． 【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直 图3 2、如图，AB 是O O 的直径，/ A = 30°，延长 OE 到D,使BD= OB (OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； 圆与特殊角度 1.已知，如图，在△ ADC 中， 长线 上，连接BF,交AD 于点E (1)求证：BF 是eO 的切线； ADC 90，以DC 为直径作半圆eO ，交边AC 于点F ,点B 在CD 的延 BED 2 C . (2)若BF FC , AE 3，求eO 的半径. 3 .如图，AB 是O O 的直径，点 D 在O O 上,OC/ AD 交O O 于E , (1)求证： ； 2)求证：CD 是O O 的切线? 证明： 点F 在CD 延长线上，且 BOC ADf =90 . 4.如图，在O O 中，弦 AE BC 于 D, BC 6 , AD 7 , BAC 45 (1) 求O O 的半径。 (2) 求DE 的长。 19.如图，已知直线 PA 交O O 于A 、B 两点，AE 是O O 的直径，C 为O O 上一 点， 且AC 平分/ PAE 过点C 作CDL PA 于D. (1) 求证：CD 是O O 的切线； (2) 若 AD DG 1： 3, AB=8，求O O 的半径. C B O P ZI C O D A B E 32?已知：如图，AB 是O O 的直径，BD 是O O 的弦，延长BD 到点C,使DGBR 连结AC 过点D 作D 巳 AC,垂足为E . 21?如图，已知 △ ABC ，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交 AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE 交AC 于点 M , AD ABC 勺角平分线，且 AD BE ,垂足为点H . (1) 求证：AB 是半圆O 的切线； (2) 若 AB 3, BC 4，求 BE 的长. 圆与三角函数 22.如图，在△ ABC 中，/ 0=90° , AD 是/ BAC 的平分线, (1) 求证：B0是O O 切线； (2) 若 BB 5, DO3,求 AC 的长. 解： O 是AB 上一点，以OA 为半径的O O 经过点D (1)求证：ABAC ⑵求证：DE 为O O 的切线; A A A 初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC, ∴∠1=∠2. ∵DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C 圆切线证明题 1.如图，PA为O O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交O O于点B,延长B0与O O交于点D,与PA的延长线交于点E, 求证：PB为O 0的切线; 2如图，AB=AC AB是O 0的直径，O O交BC于D, DML AC于M 求证：DM与O O相切. 3如图，已知：AB是O 0的直径，点C在O O上，且/ CAB=30, BD=OB D在AB的延长线上 求证：DC是O 0的切线 3.已知：如图，A是LI 0上一点，半径0C的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC , 1 AC OB ? 2 (1)求证：AB是L O的切线；一一 (2 )若丄ACD=45°OC=2，求弦CD 的长. / \ 4.知：如图，在Rt A ABC中，? C=90〃，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的 圆与AC, AB 分别交于点D, E ，且.CBD A . (1 )判断直线BD 与LI O 的位置关系，并证明你的结论; 已知：如图，在 △ ABC 中, D 是AB 边上一点，圆 0过D B C 三点，.DOC2. ACD 90。 (1) 求证：直线AC 是圆0的切线； ,如图，AB=AC D 为BC 中点，O D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与O D 相切. 如图，等腰三角形 ABC 中，AC= BC= 10，AB= 12。以BC 为直径作O O 交AB 于点D,交AC C B 于点G DF 丄AC 垂足为F ,交CB 的延长线于点 E 。 ⑴求证：直线EF 是O O 的切线； 如图，Rt △ ABC 中，N ABC = 90°以AB 为直径作O O 交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE . (1)求证：直线DE 是O O 的切线; 如图，点 O 在/ APB 的平分线上，O O 与PA 相切于点 C. (1) 求证：直线 PB 与O O 相切; 23.(2008年南充市)如图，已知］的直径』垂直于弦二 于点二，过」点作’ 交；的延长线于点 」，连接并延长交J U 于点；，且_［「__［」 . E B 第1题 B 第2题 A 第3题第4题 圆的切线的证明 圆的切线的证明题，从直线与圆有无公共点来看，有两大类型：一是直线与圆有公共点； 二是直线与圆没有公共点。从具体的证明方法来看又分为多种类型 一、直线与圆有公共点 总体思路：“连”（连接圆心与公共点），证垂直。 (一)利用相似证垂直 1.如图，AB 是圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，弦CD ⊥AB 与点E,且PC 2=PE ×PO. (1)求证：PC 是圆O 的切线. (二)利用全等证垂直 2.如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的圆O 交AB 于点D,E 、F 是圆O 上的两点， 连接AE 、CF 、DF ，满足EA=CA. (1)求证：AE 圆O 的切线. (三)利用勾股定理证垂直 3.如图，圆O 的直径AB=12,点P 是AB 延长线上一点，且PB=4,点C 是圆O 上一点，PC=8. 求证：PC 是圆O 的切线. (四)利用平行线证垂直 4.如图，△ABC 内接于圆O,CD 平分∠ACB 交于圆O 于D,过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 的延长线于P 、Q. 求证：PQ 是圆O 的切线. B B (五)利用角的转化证垂直 5.如图，△ABC 是圆O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是圆O 外一点，且∠DBC=∠A, 连接OE 并延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C. (1)求证：BC 是圆O 的切线. 二、直线与圆的公共点未知 总体思路：“作”垂直(圆心到直线的垂线)，证相等(垂线与半径). (一)利用角平分线证相等 1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AE ⊥BC 于E,∠ADC 的平分线交AE 于O,以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B. 求证：CD 与圆O 相切. (二) 利用面积法证相等 2.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C 为圆心，半径为作圆C. 求证：圆C 与AB 相切. 练习： 1.(2017*乐山改编)如图，以AB 边为直径的圆O 经过点P ，且∠ACP=60°,D 是 AB 延长线上一点，PA=PD. 求证：PD 是圆O 的切线. 2019 届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线. 在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙ O上某一点 A，证明 l 是⊙ O的切线，只需连OA，证明 OA⊥ l 就行了，简称“连 半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于 D，交 AC于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证： EF与⊙ O相切 . 证明：连结 OE， AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴ AD⊥ BC. 又∵ AB=BC， ∴∠ 3=∠ 4. ⌒ ⌒ ∴ BD=DE，∠ 1=∠ 2. 又∵ OB=OE， OF=OF， ∴△ BOF≌△ EOF（ SAS） . ∴∠ OBF=∠ OEF. ∵ BF与⊙ O相切， ∴OB⊥ BF. ∴∠ OEF=90. ∴EF与⊙ O相切 . 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例 2如图，AD是∠ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证： PA与⊙ O相切 . 证明一：作直径 AE，连结 EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠ DAB=∠ DAC. ∵PA=PD， ∴∠ 2=∠ 1+ ∠ DAC. ∵∠ 2=∠ B+∠ DAB， ∴∠ 1=∠ B. 又∵∠ B=∠ E， ∴∠ 1=∠ E ∵ AE是⊙ O的直径， ∴ AC⊥ EC，∠ E+∠EAC=90. ∴∠ 1+∠ EAC=90. 即 OA⊥ PA. ∴PA 与⊙ O相切 . 证明二：延长 AD交⊙ O于 E，连结 OA， OE. ∵AD是∠ BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥ BC. ∴∠ E+∠ BDE=90. ∵OA=OE， ∴∠ E=∠ 1. ∵PA=PD，∴∠ PAD=∠ PDA. 又∵∠ PDA=∠ BDE, ∴∠ 1+∠ PAD=90 即 OA⊥ PA. ∴ PA与⊙ O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O的直径，⊙ O交 BC于 D， DM⊥ AC于 M 求证： DM与⊙ O相切 . 证明一：连结 OD. ∵A B=AC， ∴∠ B=∠ C. 中国最大的教育门户网站 E 度网https://www.wendangku.net/doc/c94420744.html, 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．A B 是O 的直径，AB AC ⊥，B C 交⊙O 于P Q ，是A C 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接O P ，证明OP PQ ⊥即可． 证明：连接O P ，P A ， A B 是⊙O 的直径，90APB ∠=?∴． 在R t A P C △中，Q 是A C 的中点， PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴． 又O P O A =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴． A B A C ⊥ ，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形A B C D 中，以腰C D 为直径的⊙1O 恰与另一腰A B 相切，求证：以腰A B 为直径的⊙2O 也与腰C D 相切． 分析：要证明以腰A B 为直径的⊙2O 与腰C D 相切，因为⊙2O 的半径是A B 的一半， 由切线的定义可知，C D 如果与⊙2O 相切，则2O 到C D 的距离应等于半径 12 A B ，所以过2 O 作2O E C D ⊥，证明212 O E A B = 即可． 证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =， 作21DF O O ⊥于F ，作2O E C D ⊥于E ， A B 与⊙1O 相切，121O O O D =∴． 211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠ ，∴△≌△， 2O E DF =∴． A B C Q P O A B C D E F 1O 2O A B 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. ` (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： } （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①要证直线垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线； （2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. ， （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. \ 2、与圆有关的计算： （1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所中考中圆的切线证明习题集锦
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