用MATLAB解超定方程

用MATLAB解超定方程

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根据解的存在情况，线性方程可以分为:

?有唯一解的恰定方程组，

?解不存在的超定方程组，

?有无穷多解的欠定方程组。

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对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x 只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；

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独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，

一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解,

x=lsqnonneg(A,b)

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(3)矩阵求逆

行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为：

B=inv(A)

该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。

在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv

(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。因为M

ATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。

(4)除法运算

在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB 中，定义了矩阵的除法运算。矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。

矩阵左除：

C=A\B或C=mldivide(A,B)

矩阵右除；

C=A/B或C=mrdivide(A,B)

通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。也就是inv(A)*B。如果A是一个n2n矩阵，B是一个n维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则A\B就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。如果A接近奇异的，MATLAB将会给出警告信息。

如果A是一个m2n矩阵，其中m不等于n，B是一个m维列向量，或是由若干这样的列的矩阵，则X=A\B是不定或超定方程组AX=B的最小二乘解。通过QR

分解确定矩阵A的秩k，方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。如果k

B/A大体等效于B*inv(A) (B右乘A的逆阵)，但在计算方法上存在差异，更精确的，B/A=(A T\B T)T。

输入：A=[1 2 3;4 5 7;4 7 9];B=[1 3 7;3 5 7;8 5 1];

矩阵左除。输入：A\B

显示：ans =

-0.7500 -0.5000 -2.0000

5.7500 -3.5000 -18.0000

-3.2500 3.5000 15.0000

矩阵右除。输入：A/B

显示：ans =

-0.0217 0.4565 -0.0435

0.6522 0.3043 0.3043

-0.5652 1.8696 -0.1304

独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)

用Matlab解微分方程

用Matlab 软件求解微分方程 1．解析解 （1）一阶微分方程 求21y dx dy +=的通解：dsolve('Dy=1+y^2','x') 求y x dx dy -+=21的通解：dsolve('Dy=1+x^2-y','x') 求?????=+=1 )0(12y y dx dy 的特解：dsolve('Dy=1+y^2',’y(0)=1’,'x') （2）高阶微分方程 求解???-='==-+'+''. 2)2(,2)2(,0)(222πππy y y n x y x y x 其中，21=n ，命令为： dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-0.5^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x') 求042=-+'-'''x y y y 的通解，命令为： dsolve('D3y-2*Dy+y-4*x=0','x') 输出为： ans=8+4*x+C1*exp(x)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+1)*x)+C3*exp(1/2*(5^(1/2)-1)*x) （3）一阶微分方程组 求???+-='+='). (3)(4)(),(4)(3)(x g x f x g x g x f x f 的通解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','x') 输出为： f =exp(3*x)*(cos(4*x)*C1+sin(4*x)*C2) g =-exp(3*x)*(sin(4*x)*C1-cos(4*x)*C2) 若再加上初始条件1)0(,0)0(==g f ，则求特解： [f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1','x') 输出为： f =exp(3*x)*sin(4*x) g =exp(3*x)*cos(4*x) 2．数值解 （1）一阶微分方程

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲Matlab求解微分方程(组) 理论介绍:Matlab求解微分方程(组)命令 求解实例:Matlab求解微分方程(组)实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到得方程,绝大多数都就是微分方程,真正能得到代数方程得机会很少、另一方面,能够求解得微分方程也就是十分有限得,特别就是高阶方程与偏微分方程(组)、这就要求我们必须研究微分方程(组)得解法:解析解法与数值解法、 一.相关函数、命令及简介 1、在Matlab中,用大写字母D表示导数,Dy表示y关于自变量得一阶导数,D2y 表示y关于自变量得二阶导数,依此类推、函数dsolve用来解决常微分方程(组)得求解问题,调用格式为: X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组,如果没有初始条件,则求出通解,如果有初始条件,则求出特解、 注意,系统缺省得自变量为t 2、函数dsolve求解得就是常微分方程得精确解法,也称为常微分方程得符号解、但就是,有大量得常微分方程虽然从理论上讲,其解就是存在得,但我们却无法求出其解析解,此时,我们需要寻求方程得数值解,在求常微分方程数值解方 面,MATLAB具有丰富得函数,我们将其统称为solver,其一般格式为: [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明:(1)solver为命令ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb、ode15i之一、 (2)odefun就是显示微分方程在积分区间tspan上从到用初始条件求解、 (3)如果要获得微分方程问题在其她指定时间点上得解,则令tspan(要求就是单调得)、 (4)因为没有一种算法可以有效得解决所有得ODE问题,为此,Matlab提供了多种求解器solver,对于不同得ODE问题,采用不同得solver、 表1 Matlab中文本文件读写函数

Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供

数学应用软件作业6-用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解

数学应用软件作业6-用Matlab 求解微分方程(组)的解析解和数值解

注：上机作业文件夹以自己的班级姓名学号命名，文件夹包括如下上机报告和Matlab程序。 上机报告模板如下： 佛山科学技术学院 上机报告 课程名称数学应用软件 上机项目用Matlab求解微分方程(组)的解析解和数值解 专业班级姓名学号 一. 上机目的 1.了解求微分方程（组）的解的知识。 2.学习Matlab中求微分方程的各种解的函数，如 dsolve命令、ode45函数等等，其中注意把方程化为新的方程的形式。 3.掌握用matlab编写程序解决求解微分方程的问 题。 二. 上机内容 1、求高阶线性齐次方程：y’’’-y’’-3y’+2y=0。 2、求常微分方程组

2 210cos,2 24,0 t t t dx dy x t x dt dt dx dy y e y dt dt = - = ? +-== ?? ? ?++== ?? 3、求解 分别用函数ode45和ode15s计算求解，分别画出图形，图形分别标注标题。 4、求解微分方程 ,1 )0( ,1 '= + + - =y t y y 先求解析解，在[0,1]上作图； 再用ode45求数值解(作图的图形用“o”表示)，在同一副图中作图进行比较，用不同的颜色表示。 三. 上机方法与步骤 给出相应的问题分析及求解方法，并写出Matlab 程序，并有上机程序显示截图。 题1：直接用命令dsolve求解出微分方程的通解。 Matlab程序：

dsolve('D3y-D2y-3*Dy+2*y','x') 题2：将微分方程组改写为 5cos2exp(2) 5cos2exp(2) (0)2,(0)0 dx t t x y xt dy t t x y dt x y ? =+--- ? ? ? =-+-+- ? ? == ? ? ? ， 再用命令dsolve求解微分方程的通解。 Matlab程序： 建立timu2.m如下： [x,y]=dsolve('Dx=5*cos(t)+2*exp(-2*t)-x-y','Dy=-5*cos(t)+2*exp(-2*t)+x-y ','x(0)=2,y(0)=0','t') x=simple(x) y=simple(y)

利用matlab编写S函数求解微分方程

利用matlab编写S函数求解微分方程自动化专业综合设计报告 自动化专业综合设计报告

函数求解微S编写设计题目：利用 matlab 分方程 自动化系统仿真实验室所在 实验室： 郭卫平 指导教师： 律迪迪学生姓名 200990519114 班级文自0921 学号 成绩评定： 自动化专业综合设计报告

一、设计目的 了解使用simulink的扩展工具——S-函数，s函数可以利用matlab的丰富资源，而不仅仅局限于simulink提供的模块，而用c或c++等语言写的s函数还可以实现对硬件端口的操作，还可以操作windows API 等的，它的魅力在于完美结合了simulink 框图简洁明快的特点和编程灵活方便的优点，提供了增强和扩展sinulink能力的强大机制，同时也是使用RTW实现实时仿真的关键。 二、设计要求 求解解微分方程 y'=y-2x/y 自动化专业综合设计报告 y(0)=1 要求利用matlab编写S函数求解 三、设计内容（可加附页） 【步骤1】获取状态空间表达式。

在matlab中输入 dsolve(‘Dy=y-2*x/y','y(0)=1'， 'x') 得到 y=(2*x+1).^(1/2); 【步骤2】建立s函数的m文件。 利用21·用S函数模板文件。 以下是修改之后的模板文件sfuntmpl.m 的内容。 function [sys,x0,str,ts] = sfuntmpl(t,x,u,flag) %SFUNTMPL S-function M-file General template define you can With % M-file S-functions, you own ordinary differential system equations (ODEs), discrete % equations, and/or just about any type of algorithm to be used within a %

数学模型之微分方程及其MATLAB求解

数学模型之微分方程及其MATLAB求解 ---卫星轨迹等经典例题求解分析1. 考虑初值问题画图 y'''?3y ''?y 'y = 0 y(0) = 0 y '(0) =1 y ' '(0) = ?1 2、 3、 【实验步骤与程序】 1. M -文件建立m函数文件

function y=f(t,x) y=[x(2);x(3);9*x(3)^2+x(1)*x(2)]; 求解微分方程，命令如下： x0=[0;1;-1]; [t,y]=ode45(@mm,[0,2.5],x0); plot(y(:,1),y(:,2)); figure(2); plot3(y(:,1),y(:,2),y(:,3))

2、M -文件建立m函数文件 function dx=appollo(t,x) mu=1/82.45; mustar=1-mu; r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2); r2=sqrt((x(1)-mustar)^2+x(3)^2); dx=[x(2) 2*x(4)+x(1)-mustar*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mustar)/r2^3 x(4) -2*x(2)+x(3)-mustar*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];

求解微分方程，命令如下： x0=[1.2;0;0;-1.04935751]; options=odeset('reltol',1e-8); [t,y]=ode45(@appollo,[0,20],x0,options); plot(y(:,1),y(:,3)) title('Appollo卫星运动轨迹') xlabel('x') ylabel('y')

用matlab求解常微分方程

实验六 用matlab 求解常微分方程 1．微分方程的概念 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为 0),,",',,()(=n y y y y t F 如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为 )()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++-- 若上式中的系数n i t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。 2．常微分方程的解析解 有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy 可化为 dt y dy =+1,两边积分可得通解为 1-=t ce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解. 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。 一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程 ),,",',()1()(-=n n y y y t f y 设)1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组 ?????????====-),,,,(''''2113221n n n n y y y t f y y y y y y y 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。 3．微分方程的数值解法 除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。考虑一阶常微分方程初值问题 ???=<<=000)()),(,()('y t y t t t t y t f t y f

Matlab解微分方程(ODE+PDE)

常微分方程： 1 ODE解算器简介(ode**) 2 微分方程转换 3 刚性/非刚性问题(Stiff/Nonstiff) 4 隐式微分方程(IDE) 5 微分代数方程(DAE) 6 延迟微分方程(DDE) 7 边值问题(BVP) 偏微分方程(PDEs)Matlab解法 偏微分方程： 1 一般偏微分方程组(PDEs)的命令行求解 2 特殊偏微分方程(PDEs)的PDEtool求解 3 陆君安《偏微分方程的MATLAB解法 先来认识下常微分方程(ODE)初值问题解算器(solver) [T,Y,TE,YE,IE] = odesolver(odefun,tspan,y0,options) sxint = deval(sol,xint) Matlab中提供了以下解算器： 输入参数： odefun：微分方程的Matlab语言描述函数，必须是函数句柄或者字符串，必须写成Matlab

规范格式(也就是一阶显示微分方程组)，这个具体在后面讲解 tspan=[t0 tf]或者[t0,t1,…tf]：微分变量的范围，两者都是根据t0和tf的值自动选择步长，只是前者返回所有计算点的微分值，而后者只返回指定的点的微分值，一定要注意对于后者tspan必须严格单调，还有就是两者数据存储时使用的内存不同(明显前者多)，其它没有任何本质的区别 y0=[y(0),y’(0),y’’(0)…]：微分方程初值，依次输入所有状态变量的初值，什么是状态变量在后面有介绍 options：微分优化参数，是一个结构体，使用odeset可以设置具体参数，详细内容查看帮助 输出参数： T：时间列向量，也就是ode**计算微分方程的值的点 Y：二维数组，第i列表示第i个状态变量的值，行数与T一致 在求解ODE时，我们还会用到deval()函数，deval的作用就是通过结构体solution计算t 对应x值，和polyval之类的很相似！ 参数格式如下： sol：就是上次调用ode**函数得道的结构体解 xint：需要计算的点，可以是标量或者向量，但是必须在tspan范围内 该函数的好处就是如果我想知道t=t0时的y值，不需要重新使用ode计算，而直接使用上次计算的得道solution就可以 [教程] 微分方程转换为一阶显示微分方程组方法 好，上面我们把Matlab中的常微分方程(ODE)的解算器讲解的差不多了，下面我们就具体开始介绍如何使用上面的知识吧！ 现实总是残酷的，要得到就必须先付出，不可能所有的ODE一拿来就可以直接使用，因此，在使用ODE解算器之前，我们需要做的第一步，也是最重要的一步，借助状态变量将微分

MATLAB求解常微分方程数值解

利用MATLAB求解常微分方程数值解

目录 1. 内容简介 (1) 2. Euler Method(欧拉法)求解 (1) . 显式Euler法和隐式Euler法 (2) . 梯形公式和改进Euler法 (3) . Euler法实用性 (5) 3. Runge-Kutta Method(龙格库塔法)求解 (6) . Runge-Kutta基本原理 (6) . MATLAB中使用Runge-Kutta法的函数 (8) 4. 使用MATLAB求解常微分方程 (8) . 使用ode45函数求解非刚性常微分方程 (8) . 刚性常微分方程 (9) 5. 总结 (10) 参考文献 (11) 附录 (12) 1. 显式Euler法数值求解 (12) 2. 改进Euler法数值求解 (12) 3. 四阶四级Runge-Kutta法数值求解 (13) 4. 使用ode45求解 (14)

1.内容简介 把《高等工程数学》看了一遍，增加对数学内容的了解，对其中数值解法比较感兴趣，这大概是因为在其它各方面的学习和研究中经常会遇到数值解法的问题。理解模型然后列出微分方程，却对着方程无从下手，无法得出精确结果实在是让人难受的一件事情。 实际问题中更多遇到的是利用数值法求解偏微分方程问题，但考虑到先从常微分方程下手更为简单有效率，所以本文只研究常微分方程的数值解法。把一个工程实际问题弄出精确结果远比弄清楚各种细枝末节更有意思，因此文章中不追求非常严格地证明，而是偏向如何利用工具实际求解出常微分方程的数值解，力求将课程上所学的知识真正地运用到实际方程的求解中去，在以后遇到微分方程的时候能够熟练运用MATLAB得到能够在工程上运用的结果。 文中求解过程中用到MATLAB进行数值求解，主要目的是弄清楚各个函数本质上是如何对常微分方程进行求解的，对各种方法进行MATLAB编程求解，并将求得的数值解与精确解对比，其中源程序在附录中。最后考察MATLAB中各个函数的适用范围，当遇到实际工程问题时能够正确地得到问题的数值解。 2.Euler Method(欧拉法)求解 Euler法求解常微分方程主要包括3种形式，即显式Euler法、隐式Euler法、梯形公式法，本节内容分别介绍这3种方法的具体内容，并在最后对3种方法精度进行对比，讨论Euler法的实用性。 本节考虑实际初值问题 使用解析法，对方程两边同乘以得到下式

实验七用matlab求解常微分方程

实验七 用matlab 求解常微分方程 一、实验目的： 1、熟悉常微分方程的求解方法，了解状态方程的概念； 2、能熟练使用dsolve 函数求常微分方程（组）的解析解； 3、能熟练应用ode45\ode15s 函数分别求常微分方程的非刚性、刚性的数值解； 4、掌握绘制相图的方法 二、预备知识： 1．微分方程的概念 未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为 0),,",',,()(=n y y y y t F 如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为 )()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++-- 若上式中的系数 n i t a i ,,2,1),( =均与t 无关，称之为常系数。 2．常微分方程的解析解 有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy 可化为 dt y dy =+1,两边积分可得通解为 1-=t ce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解. 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。 一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n 阶方程 ),,",',()1()(-=n n y y y t f y 设) 1(21,,',-===n n y y y y y y ，可将上式化为一阶方程组 ?????????====-),,,,(''''2113221n n n n y y y t f y y y y y y y 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。 3．微分方程的数值解法 除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程无限世界，应用中主要依靠数值解法。考虑一阶常微分方程初值问题

最新Matlab求解微分方程(组)及偏微分方程(组)

最新Matlab 求解微分方程(组)及偏微分方程(组) 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,, ,f t t t t 上的解，则令 tspan 012[,,,]f t t t t =(要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.

(整理)Matlab解微分方程.

第十六章 偏微分方程的数值解法 科学研究和工程技术中的许多问题可建立偏微分方程的数学模型。包含多个自变量的微分方程称为偏微分方程(partial differential equation)，简称PDE 。偏微分方程问题，其求解是十分困难的。除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 16.1 几类偏微分方程的定解问题 一个偏微分方程的表示通常如下： (,,,,)x x x y y y x y A B C f x y Φ+Φ+Φ=ΦΦΦ (16.1.1) 式中，,,A B C 是常数，称为拟线性(quasilinear)数。通常，存在3种拟线性方程： 双曲型(hyperbolic)方程：240B AC ->； 抛物线型(parabolic)方程：240B AC -=； 椭圆型(ellliptic)方程：240B AC -<。 16.1.2 双曲型方程 最简单形式为一阶双曲型方程： 0u u a t x ??+=?? (16.1.2) 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程： 22222u u a t x ??=?? (16.1.3) 描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为：

222220 0,(,0)()()t u u a t x t x u x x u x x t ?ψ=???=>-∞<<+∞ ????? =?? ??=-∞<<+∞ ??? (16.1.4) 边界条件一般有三类，最简单的初边值问题为： 22222120 00,0(,0)(0,)(),(,)()0()t u u a t T x l t x u x l u t g t u l t g t t T u x x t ?ψ=???==<<<?? (16.1.8) 方程可以有两种不同类型的定解问题： (1) 初值问题： 2200,(,0)()u u a t x t x u x x x ????-=>-∞<<+∞? ????=-∞<<+∞ ? (16.1.6) (2) 初边值问题： 2212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<

用MATLAB解常微分方程

实验四求微分方程的解 一、问题背景与实验目的 实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程， 真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限 的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组） 的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组） 的数值解法（近似解）. 对微分方程（组）的解析解法（精确解），Matlab 有专门的函数可以用，本实 验将作一定的介绍. 本实验将主要研究微分方程（组）的数值解法（近似解），重点介绍Euler 折线 法. 二、相关函数（命令）及简介 1. dsolve （'equ1','equ2'；…）：Matlab 求微分方程的解析解.equ1、equ2、… 为方 程（或条件）.写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数， 用用D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推. 2. simplify （s ）:对表达式s 使用maple 的化简规则进行化简. 例如： syms x sim pl ify （si n （x ）A2 + cos （x ）^2） an s=1 3. [r,how]=simple （s ）:由于 Matlab 提供了多种化简规则，simpie 命令就是 对表达 式s 用各种规则进行化简，然后用r 返回最简形式，how 返回形成这种 形式所用的规则. 例如： syms x [r,how]=sim ple （cos （x ）A2-si n （x ）A2） r = cos （2*x ） how = comb ine 4. [T,Y] = solver （ odefun,tspan,y ））求微分方程的数值解. 说明： （1）其中的 solver 为命令 ode45、ode23、ode113 ode15s ode23s 、ode23t 、 ode23tb 之一. ⑶ 在积分区间tspan=[t 0,t f ]上，从t o 到t f ，用初始条件y 求解. ⑵odefu n 是显式常微分方程: 詈 f(t ，y) y(t 0) y o

偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，

Matlab求解微分方程组及偏微分方程

第四讲 Matlab 求解微分方程(组) 理论介绍:Matlab 求解微分方程(组)命令 求解实例:Matlab 求解微分方程(组)实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程,绝大多数都就是微分方程,真正能得到代数方程的机会很少、另一方面,能够求解的微分方程也就是十分有限的,特别就是高阶方程与偏微分方程(组)、这就要求我们必须研究微分方程(组)的解法:解析解法与数值解法、 一.相关函数、命令及简介 1、在Matlab 中,用大写字母D 表示导数,Dy 表示y 关于自变量的一阶导数,D2y 表示y 关于自变量的二阶导数,依此类推、函数dsolve 用来解决常微分方程(组)的求解问题,调用格式为: X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组,如果没有初始条件,则求出通解,如果有初始条件,则求出特解、 注意,系统缺省的自变量为t 2、函数dsolve 求解的就是常微分方程的精确解法,也称为常微分方程的符号解、但就是,有大量的常微分方程虽然从理论上讲,其解就是存在的,但我们却无法求出其解析解,此时,我们需要寻求方程的数值解,在求常微分方程数值解方面,MATLAB 具有丰富的函数,我们将其统称为solver,其一般格式为: [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明:(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一、 (2)odefun 就是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解、 (3)如果要获得微分方程问题在其她指定时间点012,,,,f t t t t L 上的解,则令tspan 012[,,,]f t t t t =L (要求就是单调的)、 (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题,为此,Matlab 提供了多种求解器solver,对于不同的ODE 问题,采用不同的solver 、