艾滋病疗法的评价及疗效的预测论文
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
获奖等级：国家二等奖
摘要：本文主要研究艾滋病患者对艾滋病药物疗法效果的评价和预测问题。
在问题分析部分，我们对题目的背景，治疗效果的判定指标，最佳治疗终止时间，疗法的优劣等做了阐述，并对问题做了详细的分析。
对问题一，运用了两种方法来求解，第一种方法我们首先对艾滋病病人体内CD4细胞浓度和HIV病毒浓度的相关性，建立了微分方程，并基于数据统计的知识通过对大量数据的分析和处理，确定了该微分方程中的相关系数，利用微分方程对继续治疗的效果进行了预测。但该种方法需要对大量的统计数据分析，所以在数据量不够大，或者有数据存在偏差时，其预测的结果往往效果不好。所以想到了第二种方法，利用灰色理论中GM(1,1)模型对治疗效果进行预测。通过对其误差的分析，该方法能很好地对治疗效果进行预测，最后得到最佳治疗终止时间为19周。
对问题二，首先用灰色关联聚类法对附件二中CD4细胞浓度的不同测试时间进行等时间段分类，然后采用灰关联分析理论，以每一种方案，同一时间区域内CD4细胞浓度的统计学分析数据为评价指标，对四种治疗方案进行了评价，得到方案四为最优的治疗方案，在考虑对该疗法预测继续治疗效果，利用了灰色系统理论，建立GM(1,1)模型进行了预测，也得到了很好的治疗预测效果，最佳治疗终止时间为22周。
对问题三，在问题二的基础上，增加了药品的价格指标，同样利用灰关联分析，对四种治疗方法进行了评价，此时我们得到方案一为最优的治疗方案，最佳治疗终止时间为14周。
最后，对问题做了进一步研究，对所得到的结果进行说明。并为艾滋病药物治疗提出了一些建议。
本模型优点：直观、易懂、实用性强。
关键字：评价与预测数理统计相关性微分方程灰色关联
聚类法
灰关联分析评价指标 GM(1,1)模型
1、问题的重述
1.1、背景描述
艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。
现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir （茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV 浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。
1.2、需要回答的问题：
问题一：利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。
问题二：利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。
问题三：艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对问题二中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。
2、模型假设
2.1 假设病人在测试期间能持之以恒并且正确服药；
2.2 假设同时服药时药物之间不会因为互相影响而改变药性；
2.3 假设对病人测试的CD4和HIV的浓度正确无误；
2.4 忽略药品给病人带来的副作用，即忽略药物对病人身体其他方面的影响；2.5 假设接受实验的病人符合医学实验的条件；
2.6 忽略人体对HIV病毒的杀灭作用；
2.7 只考虑CD4细胞与HIV病毒之间的相互影响；
2.8 假设没有HIV病毒即正常人体内的CD4细胞浓度保持一个相对稳定范围；
3、符号说明
n:t时刻HIV病毒的数量；
HIV
n：t时刻CD4病毒的数量；
CD
4
注：其余局部变量符号在文章中给予说明。
4、问题的分析
4.1、对背景描述的理解
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）侵犯了人体免疫系统导致免疫功能严重低下，从而发生各种机会性感染和机会性肿瘤。艾滋病严重危害人的生命，自从1981年在美国发现以来，感染人数呈火箭式上升。全球已有6000余万人感染艾滋病病毒，已有2400万人死于艾滋病。艾滋病已成为全球第四位最大的杀手。在未来20年，艾滋病将导致7000万人丧生。我国自1985年发现第一例艾滋病以来，感染人数一直呈两位数递增。据联合国艾滋病规划署预测，到2010年，中国的艾滋病感染者数量会达到1000万。所以，可以这样说中国正处在艾滋病大流行的前沿。
人体免疫系统中有一种叫做CD4的Ｔ型细胞，它是HIV病毒的主要攻击目标。当HIV病毒不断侵蚀人体时，Ｔ型免疫细胞的数量急剧下降，人体的免疫能力也被破坏了。但是，HIV病毒在感染人体的过程，必须借助于CD4细胞表面的CCR5受体的帮助。CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。血液中CD4细胞测定是衡量机体免疫功能的一个重要指标，美国已将CD4数目为200/mm3作为诊断AIDS的一项指标。实验室可根据CD4数目/mm3将HIV感染分为三组：（1）CD4≥500；（2）CD4 200-499；（3）CD4<200。
艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。
目前针对爱滋病的治疗，主要包括以下几个方面，一是抗病毒治疗；二是针对发生机会性感染和肿瘤的治疗；三是机会性感染的预防；四是免疫调节疗法；五是营养和支持疗法。在本文所描述的为第一种抗病毒治疗；
4.2、治疗效果判定指标
国际上通用的是以病毒载量和CD4细胞的检测为标准。治疗后理想的效果是血浆中HIV病毒的水平在4周内应下降1个LOG以上，4-6个月内病毒载量降至血浆中检测不到的水平（病毒载量小于50拷贝/毫升）；CD4细胞计数测定是抗HIV药物治疗效果的重要判断指标，如果治疗有效，CD4细胞计数应该逐渐上升。
4.3、对最佳治疗终止时间的理解
由于一般长期服药，机体对药物的反应会降低，产生抗药性，所以在艾滋病病人刚服药时，药物的吸收率比较高，治疗效果明显，当随着时间的推移，病人对药物的吸收率会越来越小，治疗效果也会随之下降，如下图：
t 血
图一药浓度与疗效关系
由对治疗效果的判定指标，考虑当治疗后出现血浆中HIV病毒的水平在4周没有下降反而上升，并且CD4细胞计数开始下降时终止治疗。
4.4、疗法优劣的判定
在本文中，主要基于病人用药后体内测试的CD4细胞和HIV病毒浓度的变化来判定，当病人服药后体内的HIV病毒的浓度呈下降趋势，CD4细胞浓度呈上升趋势，则可以判定该疗法在这段时间段内有效，HIV病毒的浓度下降趋势和CD4细胞浓度上升趋势越明显，则可以说明在这段时间内该疗法越优秀。
4.5、问题一的分析
对问题一，考虑了病人体内的HIV病毒与CD4细胞相关性，因为HIV病毒对CD4细胞有杀灭作用，导致CD4浓度急剧下降，对艾滋病进行药物治疗后，药物杀死|减少了HIV病毒数，同时产生更多的CD4细胞，到少要有效地降低CD4减少的速度，人体免疫能力将会有所上升。同时由于HIV病毒与CD4细胞的变化率是跟初始的HIV病毒与CD4细胞数相关的，即若开始时刻HIV病毒很多，当开始治疗时，HIV病毒数将很快地减少，反之，则很慢；若开始时刻体内的CD4细胞比较多，那么CD4细胞数则增长很慢，或者稳定不变，反之，则它将会以较快的速率增长，这时治疗的效果就比较明显。通过全面的分析，可建立微分方程模型，并通过对数据统计的知识确定微分方程中的相关系数，来对问题进行预测。
上述方法虽不失为一种好的方法，但对大量实验数据的处理势必会遇到困难，而灰色理论中GM(1,1)也是较常用的数列预测模型。该模型在对数据处理方面有很大的优势，可以定义适当的序列算子，建立GM(1,1)模型，进行预测[1]。
4.6、问题二的分析
对于问题二，要对四种疗效的评价，比较四种疗法的优劣，并对较优的方案预测继续治疗的效果。
预测是借助于对过去的探讨去推测和了解未来的，在对艾滋病治疗的过程中，要对继续治疗效果的预测或者确定最佳的治疗终止时间，首先需要对过去的统计数据的分析，建立预测模型。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
在本问题中，对病人进行实验，由于病人感染艾滋病病毒的程度、病人自身
量存在不确定性，所以想到利用灰色理论方法，采用灰色关联理论分析对四种艾滋病药物疗法的评价，并建立白式微分方程对治疗的效果进行预测。
4.7、问题三的分析
对问题三，需要考虑药品的价格下对四种疗法的评价和预测，可以在问题二的基础上增加药品价格这一评价指标，再利用灰关联分析对这四种疗法做评价。
5、模型的建立与求解
5.1、问题一
5.1.1模型一的建立
由问题的分析中知道当HIV 病毒不断侵蚀人体时，HIV 病毒要攻击CD4细胞，导致CD4浓度急剧下降，对艾滋病进行药物治疗后，药物杀死了HIV 病毒，人体内的CD4的浓度将会有所上升。建立微分模型描述HIV 病毒与CD4细胞之间浓度的变化关系[1]。 假设在时间t 内HIV 病毒，CD4细胞的数量分别记作4,CD HIV n n 。
ⅰ、当病人体内存在HIV 病毒时，因为HIV 病毒与CD4细胞相关，HIV 病毒增加时，CD4细胞要减少。所以CD4细胞数量的改变量与HIV 病毒数量成正比，用微分方程表示为： HIV CD CD HIV CD CD n n a n c n a c n dt
dn ??-?=-=414144)( （5.1）
其中1a 为比例系数
ⅱ、当病人通过服用药物来控制体内HIV 病毒时，其治疗效果随时间推移越来越小，表示为；
b kt CD e a dt
dn +-?=24 （5.2）
ⅲ、因为HIV 病毒的增长率，与体内的CD4细胞数量成正比，表示为：
)421CD HIV HIV n b b n dt
dn ?+=（ （5.3）
即得到问题一的模型： ??
?????+?=?+??-?=-=+-HIV CD HIV HIV b kt HIV CD CD HIV CD CD n n b n b dt dn e a n n a n c n a c n dt dn 4212414144)( （5.4）
1.3问题一的另一种模型
要对上述模型一的求解，必须基于数理统计的方法，运用其原理对数据进行拟合，以便求出微分模型的相关系数，对问题一中继续治疗效果的预测。
但在对数据统计，发现数据拟合效果不好，经过分析，认为对病人进行实验时，由于病人感染艾滋病病毒的程度、病人自身身体情况、年龄、身体对病毒的
的量存在不确定性。所以想到利用灰色理论方法对治疗的效果进行预测。
知道要根据数列进行预测，即对系统变量的未来行为进行预测，灰色理论中GM(1,1)是较常用的数列预测模型。对问题一数据的分析，可以定义适当的序列算子，对算子作用后的序列建立GM(1,1)模型，进行预测[2]。
首先，定义原始数据序列为：
))(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0(n x x x x X =； ,4,3,2,1=n
引入二阶弱化算子2D ，令
))(,)3(,)2(,)1((00000d n x d x d x d x D X =； ,4,3,2,1=n
其中
))()1()((1
1)()0()0()0(0n x k x k x k n d k x ++++-=； ,4,3,2,1=n ; ,4,3,2,1=k
以及
))(,)3(,)2(,)1((2)0(2)0(2)0(2)0(2)0(d n x d x d x d x D X =; ,4,3,2,1=n
其中
))()1()((1
1)()0()0()0(2)0(d n x d k x d k x k n d k x ++++-=； ,4,3,2,1=n ; ,4,3,2,1=k
X 的AGD -1序列为
))(),2(),2(),1(()1()1()1()1()1(n x x x x X =
然后，再定义序列令
))(),4(),3(),2(()1()1()1()1()1(n z z z z Z =; ,4,3,2,1=n
其中
))1()((5.0)()1()1()1(-+=k x k x k z ； ,4,3,2,1=k
其中参数b a ,为b k az k x =+)()()1()0(的最小二乘估计所求；
参数a 的估计值为Y B B B a
T T 1)(?-=；GM(1,1)模型的时间响应式为： ;))1(()()()1()1(a b e a b x k x n k a +-=--n k ,,2,1 =
（5.5）
还原值为：
n k e a
b x e k x k x k x a k x
ak a ,...,2,1;))1()(1()(?)1(?)1(?)1(?)
0()1()1(=--=-+=+?=+- 由统计资料、灰色关联聚类法得到CD4在0，8，16，24，32，40时间段区间的序列为： )
2381.196,138,264,8.160,0877.133,8982.85())6(),5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x X 将上式分别代入此模型，由此得到CD4的模拟序列为；
0071
.05934.181)0071.05934.1814347.189())1(()1(?0071.0)0()1(-+=+-=+-k ak e a b e a b x k x 还原值为：
k ak a e x e e a b x e k x k x k x 0071.0)0(0071.0)0()1()1()0()0071
.05934.181)1()(1())1()(1()(?)1(?)1(?--=--=-+=+-- 可利用上面两式对CD4进行预测。这里给出6个预测值如下：
)
259.196,8748.194,5003.193,1355.192,7804.190,4347.189())12(?),11(?),10(?),9(?),8(?),7(?(?)0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x X
得到HIV 在0，8，16，24，32，40时间段区间的序列为； )
4833.3,9164.2,9391.2,9391.2,0272.3,0156.5())6(),5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0(==y y y y y y Y 经过检验合格后得到的时间响应序列为：
0177
.03141.3)0177.03141.30156.5())1(()1(?0177.0)0()1(+-=+-=+--k ak e a b e a b y k y 还原值为：
k
ak a e y e e a b y e k y 0177.0)0(0177.0)0()0()0177
.03141.3)1()(1())1()(1()1(?----=--=+ 其对HIV 的预测值为：
)
8212.3,7272.3,6356.3,5462.3,4589.3())11(?),10(?),9(?),8(?),7(?(?)0()0()0()0()0()0(==y y y y y Y
两者的数据随时间的分布如下图：
010203040
50607080
关于hiv 的变化曲线
时间（周）H I V 值
图（2）问题一中HIV 病毒数量变化曲线
0204060
80100120
关于CD4的变化曲线
时间（周）C D 4值
图（3）问题一中CD4细胞数量变化曲线
通过对上面图（2）可以看出：病人服药接受治疗后，在最初的时间里HIV 病毒的数量随时间下降，但经过第19周后其体内HIV 病毒的溶度开始反弹，出现此种现象原因可能是由于HIV 病毒对此中药物出现了显著的抵抗力使得药物对HIV 病毒的作用不显著，所以在此时就应该对病人终止治疗，或改变方案治疗。由此可以得到此种药物的最佳治疗终止时间为服用此药物后19周。而在此时CD4细胞的溶度变化幅度大不易进行判定。HIV 病毒的数量能体现总体的水平。
5.2、问题二
5.2．1 对治疗方案的评价
首先，用灰色关联聚类法对题目中附件二中CD4的不同测试时间进行等时间段进行分类；其分类区间为0 8 16 24 36 40等6个区间。
然后，对每一种方案、同一时间区域的CD4溶度进行统计学分析。
最后，采用现在评价方法比较先进的灰色关联分析对此四种艾滋病药物疗法进行评价，评价方案为此四种不同药物配方；评价指标为经过分类统计不同时间段的CD4的溶度。
确定评价方案：
对艾滋病采用药物疗法的四种方案如下：
方案一：600mg zidovudine 或400mg didanosine （去羟基苷）；
方案二：600 mg zidovudine 加2.25 mg zalcitabine （扎西他滨）； 方案三：600 mg zidovudine 加400 mg didanosine ；
方案四：600 mg zidovudine 加400 mg didanosine ，再加400 mg nevirapine （奈韦拉平）；
确定评价指标：
5.2．2 问题二模型的建立
5.2.2.1 灰色关联分析算式[3]
奠基于灰关联公理与灰关联差异信息空间gr LY ，并考虑其领域性与规范区间性，则灰色关联系数))(),((0k x k x i γ算式为：
(max)
)((min)(min)))(),((00x k x x k x k x i i ζζγ+?+=
(5.6)
式中
)(min min (min)0k x i k
i ?=
是gr LY 中下环境参数
)(max max (max)0k x i k i ?=
是gr LY 中上环境参数]1,0[∈ζ为分辨系数，一般按最少信息原理取5.0，即5.0=ζ。聚集灰关联系数))(),((0k x k x i γ在各点n k ,,3,2,1 = 的值，得灰关联度算式如下： ∑==n
k i i k x k x n x x 1
00))(),((1),(γγ (5.7)
5.2.2.2 评价模型的建立与求解
假设需要评价的有m 个方案，n 个指标；
各方案的数据序列表示为：
???????''''='''''='''''='))(),3(),2(),1(())(),3(),2(),1(())(),3(),2(),1((2222211111n x x x x x n x x x x x n x x x x x m m m m m
指标序列为：
???????''''='''''='''''='))(),(),(),(()())2(),2(),2(),2(()2())1(),1(),1(),1(()1(321
321321n x n x n x n x n x x x x x x x x x x x m m m 将指标模式序列作初值化即；
)()(k x k x INIT ='
对于此模型，各指标极性为：
(max))(),3(),2(),1(O L p n x x x x ∈''''
选取各指标的制高点值，并对其进行初始化值。 按建立差值序列。)()()(00k x k x k i i -=?
由式5.6对关联系数和灰关联度进行求解
基于初值化的灰关联序)(INIT γ判断比较，选择最佳方案；
5.2.2.3 问题二模型的结果
然后由灰色关联系数可以得到其相应的灰关联度；
9061
.0),(8925
.0),(8736.0),(8658
.0),(40302010====x x x x x x x x γγγγ 基于初始化的灰关联序)(INIT γ为：
),(),(),(),(10203040x x x x x x x x γγγγ>>>
最佳选择方案（Lin Qi ）如下：
1234x x x x
由此可以得到治疗的最佳方案为方案四、其次是方案三、再次是方案二和最后是方案一。
关于CD4的变化曲线
时间（周）C D 4值
图四 方案四的CD4细胞数量随时间变化曲线
根据对网上资料的收集，其在治疗期间如果其CD4的溶度下降量超过一个平衡点，要想得到好的效果，必须换一个药物配方。我们定义这个平衡点40,%10CD n ,其中4,0CD n 为艾滋病患者开始治疗时CD4的溶度。
从统计的数据可以得到其最佳的治疗终此时间为：22周
通过判定用GM （1，1）对此方案进行预测；
其原始序列为：
)
843.2,9862.2,9923.2,2469.3,1723.3,8356.2())6(),5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x X
用GM(1,1)模型预测6组数据如下：
)5618.2,6075.2,6540.2,7013.2,7494.2,7984.2())12(?),11(?),10(?),9(?),8(?),7(?(?)0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x X
5.3、问题三
对问题三，在问题二的基础上，多考虑了药品的价格，同样利用灰色关联分析，对这四种治疗方案作评价；
表三 药品价格表
其中药品的价格极性(min)O L P ∈；
运用问题二相同的解法对此问题进行求解；
3714
.0),(3904
.0),(3627.0),(4482
.0),(4
0302010====x x x x x x x x γγγγ 基于初始化的灰关联序)(INIT γ为：
),(),(),(),(20403010x x x x x x x x γγγγ>>>
最佳选择方案（Lin Qi ）如下：
2431x x x x
关于CD4的变化曲线
时间（周）C D 4值
图五 方案一的CD4随时间变化曲线
由此可以得到治疗的最佳方案为方案一、其次是方案三、再次是方案四和最不好的是方案二。用问题二同样的方法对最佳治疗时间进行分析，结果为：14周，其原始序列为：
)
2994.2,5389.2,5881.2,7884.2,8061.2,9718.2())6(),5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x X 用GM(1,1)模型预测6组数据如下：
)
9091.1,9693.1,0313.2,0953.2,1623.2,2294.2())12(?),11(?),10(?),9(?),8(?),7(?(?)0()0()0()0()0()0()0(==x x x x x x X
6、结果分析与模型的检验
6.1、问题一的结果分析
基于问题一的模型，主要可以得到的结果有：
（1）病人接受治疗后，由图（2）可以看出在最初时间段内，体内的HIV 病毒随时间增加呈下降趋势，但下降趋势会越来越小，不难想象到，服药一段时间后，HIV 病毒会产生抗药性，药物对HIV 病毒的杀灭作用越来越小，当出现继续服药HIV 病毒不随时间而减少，则认为该终止该方案的治疗；
（2）由图（3）看出病人服药后，随体内HIV 病毒数量的降低，CD4细胞数量呈上升趋势，在HIV 病毒数量增加时，CD4细胞的数量上升趋势下降，逐渐呈下滑趋势，如同生物数学中的捕食模型，所以在问题一种引入微分方程描述二者关系是合理的。
6.2、问题二的结果分析
在问题二中，用灰关联分析对四种疗法的优劣进行评价，得到124x x x x >>> 即治疗的最佳方案为方案四、其次是方案三、再次是方案二、最不好的是方案一。说明在进行药物组合疗法时，方案四的组合是最好的。
6.3、问题三的结果分析
对问题三得到的结果2431x x x x 即说明在增加了药物价格做为方案的评价指标后，治疗的最佳方案改为方案一、其次是方案三、再次是方案、最不好的是方案二。
问题二中最不好的方案此时确成了本问题中最优的方案，表面上不好理解，但是根据常识也可以知道，商品的价值在绝大多数情况下正比于商品的价格，所以在经济上最优的方案往往并不是价值最大的方案。这和实际情况吻合。 为了对模型的优劣作评价，接下来将对模型进行了检验。
6.4、对GM(1,1)模型的检验；
1，误差的求取；
残差序列
))(?)(,),2(?)2(),1(?)1(())(,),2(),1(()0()0()0()0()0()0()0(n x n x x x x
x n ---== εεεε 相对误差序列
{}1|))()
(|,|,)2()
2(||,)1()
1((|)0()0()0(n n x n x x k ?==?εεε 2，绝对关联度ε的求取 |s|=|)]1()4([21)]1()([1
2
x x x k x n k -+-∑-=| |∑-=-+-=12)]1(?)4(?[21)]1(?)(?[||?n k x x x k x s | 从而
|
?||?|||1|?|||1s s s s s s -+++++=
ε 3，计算均方差比 C ∑==n
k k x n x 1
)(1 12
1
221
2
21))((1)(1))((1S S C k n S k n x k x n
S n k n k =-==-=∑∑==εεε
4,小误差概率的计算：
)6745.0|)((|1S k P p <-=εε
由上面的误差分析可以得到，用GM(1,1)模型能很好的对艾滋病疗法疗效的预测。
7、模型的进一步讨论
7.1、对数据统计的进一步讨论
在对数据进行统计时，忽略了年龄带来的影响，在问题中，由数据的统计分析，可以看出各个年龄人群出现的频度相当，为简化对数据的统计，忽略了年龄所造成的影响。但是经过详细周密考虑之后，认为把年龄这个变量引入到模型二中，这样能使模型更贴近现实。首先对数据按疗法进行分类，然后再对接受每一类疗法的病人又按年龄分类，求出各个年龄段在在四种疗法中的最佳终止治疗的时间，就可以对不同年龄段人群考虑适合的疗法。总之，整个过程就是一个分类择优的问题。至于如何分类如图（）给出了分类择优的算法：
2 … n-1 n
图（四） 分类择优流程
分类择优算法：
:1step 将全部病人按接受治疗的种类来划分成四类4,3,2,1,=i L i ；
:2step 在各类疗法的病人中，再进一步按年龄的阶段来划分),(i L age g ； :3step 按年龄的各个阶段，求出每个年龄段最佳的疗法。
通过以上算法，可以针对不同年龄段人群给予适合他们的不同疗法。
过程一过程二
7.2、对不同偏好人选择疗法的说明
对问题二和问题三的求解发现，问题二中最不好的方案此时确成了本问题中最优的方案，这主要是因为考虑了药品价格这一因素，灰关联分析对这一组评价指标是综合的对指标进行了分析，从而分析出最优的方案。灰关联分析得出的最优方案为单位费用产生的最大疗效。而在现实生活中，由于感染艾滋病病毒的人经济水平不相同，其偏好也会不相同，有的人看重疗效而不看重费用，有的人经济水平低故更看中费用，有的人希望单位费用能得到的疗效更高。
7.3、艾滋病药物治疗给药方式的建议
通过对本文题的了解和认识，知道了一旦感染上艾滋病就目前医学条件，很难对艾滋病病毒彻底根治，对艾滋病进行药物治疗是一个长期的过程，长期服用同种药物，艾滋病病毒会产生一定的抗药性，最后使得药物的作用越来越小，所以建议，在对艾滋病药物治疗时，应选择多种药物配合，或轮流给药，即为目前艾滋病药物治疗广泛采取的鸡尾酒疗法原理。
艾滋病药物治疗，是一个长期的过程，艾滋病的药物治疗对病人的经济情况是一个很大的考验，它需要很大的资金支持，这也是非发达国家艾滋病猖獗的一个原因。建议对艾滋病采用药物进行治疗时，可以采取间歇性给药，即如（图一）所示的在治疗达到最好效果时，既终止对艾滋病病毒的药物治疗，认为此时主要有以下几方面好处：（1）可以减少艾滋病治疗的费用；（2）可以训练病人体内的免疫细胞的活性；（3）可以减少艾滋病病毒的抗药性；
8、模型的评价与推广
8.1、问题一的评价
问题一中利用微分模型预测继续治疗的结果，由于该微分模型是来源于实际统计数据，所以它的统计结果很容易验证，可信度也很高，但该类模型需要对大量的统计数据分析，所以在数据量不够大，或者有数据存在偏差时，其预测的结果往往效果不好。
在本问题中，在对病人体内CD4细胞和HIV病毒数量进行测试时，由于病人的年龄、身体情况、患病的程度、病人对抗艾药物的抗药性和自身身体对艾滋病的抵抗力等的不同，在接受药物治疗后，体内的HIV病毒、CD4细胞数量的变化往往存在很大差异，所以在对微分模型进行拟合时，效果不好。
而灰关联分析，则可以很好的解决上述面临的问题。其优势可参见参考文献[1]。
8.2、问题二的评价
对问题二，采用灰关联分析，通过对大量实验数据的分类和统计建立了评价指标，对艾滋病疗法做了评价，该评价模型易于验证，可信度高。
8.3、问题三的评价
在问题三中，考虑药品费用，再用灰关联分析进行评价时，模型能很好的求解出评价指标下整体的最优方案，但对其中单一评价系统欠考虑。
8.4、模型的推广
本问的模型可以推广到生物数学模型中的捕食问题，还可以推广到医学治疗中免疫细胞对外来病毒的抵御等问题。本模型首先联系实际，具有很强的推广性和实用性，可以将它推广到生物数学模型中的捕食问题、医学治疗中免疫细胞对外来病毒的抵御问题、竞争问题、食饵模型等；对于灰色关联度，灰色预测可以
实用很多的预测方面，就如股市预测，需求预测，成本预测等等很多方面。
参考文献
[1]姜启源等，数学模型（第三版），高等教育出版社，2003
[2] 刘思峰等，灰色系统理论及其应用（第三版），科学出版社，2004
[3]邓聚龙，灰色系统基本方法（第二版），华中科技大学出版社，2004