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6历年高考数学概率与分布列汇编

第十一章高考概率与统计考点解析

概率与统计试题是高考的必考内容。当求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率，解此类题目常应用以下知识：

(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)

()(I card A card ＝n m ;

等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;

③ 依公式()m P A n

=求值;

④ 答，即给问题一个明确的答复。

(2) 互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1。 (3) 相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );

特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k

k n p p C --)1(。其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项。

(4) 解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：

第一步，确定事件性质??

???等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种。

第二步，判断事件的运算???和事件

积事件

即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件。

第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k

n n m P A n

P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?

=??

?+=+???=??=-??

等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解

第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复。

考点1 考查等可能事件概率计算

在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A 包含的

结果有m 个，那么P （A ）= n

。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助

不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。例1、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。 (I) 求所选3人都是男生的概率；

(II)求所选3人中恰有1名女生的概率； (III)求所选3人中至少有1名女生的概率。

解：(I) 所选3人都是男生的概率为 34361

.5C C =

(II) 所选3人中恰有1名女生的概率为 12243

.5C C C = (III) 所选3人中至少有1名女生的概率为122124243

C C C C C +=

考点2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算

不可能同时发生的两个事件A 、B 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B ，用概率的加法公式)()()(B P A P B A P +=+计算。

事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，则A 、B 叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为B A ?。用概率的法公式()()()B P A P B A P ?=?计算。

高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。例2、设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分则A 、B 、C 相互独立，由题意得：P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05

P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1，P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125………4分解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5

所以，甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分

（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴A

B C 、、相互独立，……………………………………7分 ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为

()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ??==??=……………………………10分

∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-??=-=……12分

考点3 考查对立事件概率计算

必有一个发生的两个互斥事件A 、B 叫做互为对立事件。即-

=A B 或-

=B A 。用概率的减法公

式()??

??-=_1A P A P 计算其概率。

高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。例3、甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5

221

与

。（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率。解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则

.53)(,21)(,52)(,21)(====

B P A P B P A P ∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A ?+?

52215321)()()(=?+?=?+?=?+?∴B A P B A P B A B A P

答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.2

（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为100

953532121=???=

P ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率.100

91100911=-

=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.100

考点4考查独立重复试验概率计算

若在n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n 次独立重复试验。若在1 次试验中事件A 发生的概率为P ，则在n 次独立惩处试验中，事件A 恰好发生k

次的概率为()()

n k

k n n P P C k P --=1。

高考结合实际应用问题考查n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率的计算方法和化归转化、

分类讨论等数学思想方法的应用。

例4、某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p 1，寿命为2年以上的概率为p 2。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。

（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

（Ⅲ）当p 1=0.8，p 2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）。解：（I ）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,5

1p 需要更换2只灯泡的概率为

;)1(213125p p C -

（II ）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p 1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p 1(1-p 2)，故所求的概率为);1()1(212

1p p p p -+-=

（III ）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p 5（其中p 为（II ）中所求，

下同）换4只的概率为4

15p C （1-p ）

，故至少换4只灯泡的概率为 .

34.042.

34.04.06.056.06.07.08.02.0,3.0,8.0).

1(4

32214

1553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当=??+=∴=?+===-+=p p p p p p C p p

考点5 考查随机变量概率分布与期望计算 1.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）0≥i P ，=i 1，2，...;（2）++21P P (1)

②常见的离散型随机变量的分布列：（1）二项分布

n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，

并且k

n k k

k P P -=(，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：

),(~p n B ξp ),;(p n k b q p C k

n k k n =- . （2）几何分布

在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：

2.法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。

例5、某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。解：ξ的取值分别为1，2，3，4。

1=ξ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P （1=ξ）=0.6。 2=ξ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故 .28.07.0)6.01()2(

=?-==ξP

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故 .096.08.0)7.01()6.01()3(=?-?-==ξP ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故 .024.0)8.01()7.01()6.01()4(=-?-?-==ξP

∴ξ的期望

李明在一年内领到驾照的概率为

1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976。

考点6考查随机变量概率分布列与其他知识点结合 1、考查随机变量概率分布列与函数结合

例6、某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。求ξ的分布及数学期望；解：分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A 1，A 2，A 3。由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5， P （A 3）=0.6。

客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3。相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3。

P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ??）

= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ）

=2×0.4×0.5×0.6 =0.24，

P （ξ=1）=1－0.24=0.76。所以ξ的分布列为 E ξ=1×0.76+3×0.24=1.48。 2、考查随机变量概率分布列与数列结合

例7、甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为

，且第一次由甲开始射击。求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。解：记A 为甲射击，B 为乙射击，则

前4次射击中甲恰好射击3次可列举为 AAAB ，AABA ，ABAA 其概率为P=

512

63878181818187818787=??+??+??

考点7 考查随机变量概率分布列性质应用

它有下面性质：①(0≥P i

②,121=++++ i p p p 即总概率为1；

③期望;11 +++=i i P x P x E ξ方差 +-++-=i i P E x P E x D 2

1)()(ξξξ

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查。

例8、随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品

20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．

（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；

（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

解：ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ==

=，50

(2)

0.25200

P ξ=== 20(1)0.1200P ξ==

=，4

(2)0.02200

P ξ=-== 故ξ的分布列为：

（2）60.63E ξ=?（3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为

()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =?+?---+-?=-≤≤

依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3%

例9、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．

解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数。 (Ⅰ)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”。

由等可能性事件的概率计算公式得232614

()1()1155C P A P A C =-=-=-=

(Ⅱ)ξ的所有可能值为0，1，2，3，4且2651(0)3P C ξ===，2644

(1)15

P C ξ===，

31(2)5P C ξ===，222(3)15P C ξ===，211

(4)15

P C ξ===从而知ξ分布列

所以0123431551515

E ξ=?+?+?+?+?

例10、厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；

（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期

望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P =-=-=

（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()217220

1360190

C P C ξ===，()11

3172

511190

C C P C ξ===，()23220

32190

C P C ξ===

01219019019010

E ξ=?

+?+?=．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率

()136271119095

P P B =-=-

．所以商家拒收这批产品的概率为2795．

例11、某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为5

4、5

3、5

2,且各轮问题能否正确回答

互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.

[解答过程]（Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5

P A =，

23()5P A =

，32

()5

P A =，∴该选手被淘汰的概率 112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125

=+?+??=

．

解法二：记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5

P A =，32()5P A =．∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125

=-??=

．

（Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5

P P ξ===，

1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====?=，12124312(3)()()()5525

P P A A P A P A ξ====?=

．

ξ∴的分布列为

181235252525

E ξ∴=?+?+?=

．

历年高考理科数学概率与分布列真题汇编

1. 2012年、（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2

次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分

的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望。 1. 解：记

i A 为事件“第i 次发球，甲胜”，i=1,2,3，则123()0.6,()0.6,()0.4P A P A P A ===。

（Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++，由互斥事

件有一个发生的概率加法公式得

123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=??+??+??0.352=。

即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 （Ⅱ）由题意知0,1,2,3ξ=。则：

123(0)()0.60.60.40.144P P A A A ξ===??=；

123123123(1)()P P A A A A A A A A A ξ==++0.40.60.40.60.40.40.60.60.6=??+??+??=0.408； (2)0.352P ξ==；

123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===??= 所以0.40820.35230.096 1.4E ξ=+?+?=

2. 2011年、(18)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数. 求X 的期望. 2.【解析】记A 表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种；

D 表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+ ……………………………3分

()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= ……………………………6分

(Ⅱ)D C =,()1()10.80.2P D P C =-=-=

(100,0.2)X B :,即X 服从二项分布, ……………………………10分所以期望 1000.220EX =?=. ……………………………12分

3．2010年、(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录

用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 3. 解： (Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用.

则 D=A+B·C,

()0.50.50.25,()20.50.50.5,()0.3,P A P B P C =?==??==

()()P D P A B C =+ =()()P A P B C +=()()()P A P B P C +=0.25+0.5×0.3=0.40.

(Ⅱ)x 服从二项分布，即：~(4,0.4)X B ，其分布列为：

(0)(10.4)0.1296,P X ==-=

34(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==??-= 2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==??-= 334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==??-=

(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6EX =?=.

4．2009年、19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。 4．解：记i A 表示事件：第i 局甲获胜，i=3,4,5

j B 表示事件：第j 局乙获胜，j=3,4

（Ⅰ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

34345345B A A B A A A B A =?+??+?? 由于各局比赛结果相互独立，故

34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =?+??+??

=34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A ++

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648

（II ）ξ的可能取值为2，3，由于各局比赛结果相互独立，所以

3434(2)()P P A A B B ξ==?+?=3434()()P A A P B B ?+?

=3434()()()()P A P A P B P B ?+?=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52

(3)1(2)P P ξξ==-==1.0.52=0.48 ξ的分布列为

2(2)3E P ξξ=?=+?

5．2008年、20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：

方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．

5．解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 1、B 2分别表示依方案乙需化验2次、3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 2独立。（Ⅰ）221B A A A +=，

51C 1)A (P 151==，51A A )A (P 25142==，5

2C C C C )B (P 13351

242=??=。

P(A )=P(A 1+A 2·B 2) =P(A 1)+P(A 2·B 2) =P(A 1)+P(A 2)·P(B 2) =525151?+=25

7 所以 P(A)=1-P(A )=

=0.72 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3.

P(B 1)=5

3C C C C C 1335243534

=?+，P(B 2)=52，P(ξ=2)=P(B 1)=53，P(ξ=3)=P(B 2)= 52，

所以E ξ=4.25

523532==?+?（次）。

6．2007年、（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．

6．解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

2()(10.4)0.216P A =-=，

()1()10.2160.784P A P A =-=-=．

（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．

(200)(1)0.4P P ηξ====，

(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，

(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． η的分布列为

2000.4E η=?+

7.【2012高考真题浙江理19】(本小题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．

(Ⅰ)求X 的分布列；

(Ⅱ)求X 的数学期望E (X )．

7.解： (Ⅰ) X 的可能取值有：3，4，5，6．

35395(3)42C P X C ===； 21543920

(4)42C C P X C ===；

12543915(5)42C C P X C ===； 3

(6)42C P X C ===．

(Ⅱ) 所求X 的数学期望E (X )为：E (X )＝4

()34564221142121i i P X i =?==?+?+?+?+=∑．

8.(2011年高考山东卷理科18)（本小题满分12分）

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.

8.【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为

0.60.50.52???+0.40.50.5??+0.60.50.5??=0.55.

（Ⅱ）ξ取的可能结果为0,1,2,3,则

(0)P ξ

==0.40.50.5??=0.1;

(1)P ξ==0.60.50.5??

+0.40.50.5??+0.40.50.5??=0.35; (2)P ξ==0.60.50.52???+0.40.50.5??=0.4; (3)P ξ

==0.60.50.5??=0.15. 所以ξ的分布列为

9.(2011年高考江西卷理科16)（本小题满分12分）

某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4

杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．（1）求X 的分布列；

（2）求此员工月工资的期望．

9.解析：（1）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，

则444

8()(0,1,2,3,4)i i C C P x i i C -=

==，所以所求的分布列为

（2）设Y 表示该员工的月工资，则Y 的所有可能取值为3500，2800，2100，

相对的概率分别为

170，1670，5370

，所以11653

()3500280021002280707070E Y =?+?+?=．所以此员工工资的期望为2280元．

10. (2011年高考天津卷理科16)（本小题满分13分）

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .

10.【解析】（Ⅰ）（i ）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3)i A i =,则

32322531

()5

C C P A C C ==.

（ii ）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=23A A ?,又

11122

32232222

531

()2

C C C C C P A C C +==,且23,A A 互斥,所以23117()()()2510P B P A P A =+=+=. （Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为0,1,,2, P(X =0)=279

(1)10100

-=,

P(X =1)=127721(1)101050C ?-=, P(X =2) =2749()10100

所以X 的分布列是

X 的数学期望()E X =0100?+150?+2100?=5

11. (2011年高考湖南卷理科18)（本小题满分12分）某商店试销某种商品

20天，获得如下数据：结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．

.将频率视为概率. ()I 求当天商店不进货的．．．．

概率； ()II 记X 为第二天开始营业时该商品视为件数，求X 的分布列和数学期望.

11.解：

()I ()“当天商店不进货”P =()件”“当天商品销售量为0P +()件”

“当天销售量为1P 10

205201=+= ()II 由题意知，X 的可能取值为2，3.

()==2X P ()件”“当天销售量为

1P 4

205== ()==3X P ()件”“当天商品销售量为

0P +()件”“当天销售量为2P +()件”“当天销售量为3P

205209201=++= 故X 的分布列为所以X 的数学期望为

4342=?+?=EX .

12.(2011年高考重庆卷理科17)（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）

某市公租房房屋位于A.B.C 三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中: （Ⅰ）若有2人申请A 片区房屋的概率;

（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。

12.解析：（Ⅰ）所有可能的申请方式有4

3种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有2

242C 种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为2

244

327

C = （Ⅱ）ξ的所有可能值为1,2,3.又

()431

1327p ξ===，()()

243422142327

C p ξ-===，()

234344339C A p ξ=== 综上知，ξ的分布列为：

1 2 3 p

1427

从而有1144651232727927

E ξ=?

+?+?= 13.（2009浙江卷理）（本题满分14分）在1,2,3,

,9这9个自然数中，任取3个数．

（I ）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；

（II ）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数

1,2和2,3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．

13.解析：（I ）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则1

2453

910

()21

C C P A C ==；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（II ）随机变量

ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为

所以ξ的数学期望为012122123

E ξ=?+?+?= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

14.（2009北京卷理）（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.

14.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.

（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为

()1114

1133327

P A ????=-?-?=

? ?????. （Ⅱ）由题意，可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min ）.

事件“2k ξ=”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（k =0，1，2，3，4），

∴()()441220,1,2,3,433k

P k C k ξ-????=== ? ?????

，

∴即ξ的分布列是

∴ξ的期望是0246881812781813

E ξ=?+?+?+?+?=.

15.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．

(1) 写出ξ的分布列； (2) 求数学期望E ξ． 15.解：（1）ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30

1(0)64P ξ== 3(5)32P ξ== 15(10)64P ξ== 5

(15)16P ξ== 15(20)64P ξ== 3(25)32P ξ== 1

(30)64P ξ==

（2）315

15315101520253015326416643264

E ξ=?+?+?+?+?+?=.

历年高考文科数学概率与统计真题汇编

1.2012、（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。

2.2011、(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 2.【解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；

E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买. (I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+ ……………………………3分

()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= ……………………………6分

(II)D=C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, ……………………………9分

P(E)=2

230.20.80.384C ??=. ……………………………12分

3. 2010、(19)(本小题满分12分)

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率． 3.解：（Ⅰ）记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

D 表示事件：稿件被录用。则C B A D ?+＝，

25.05.05.0)(=?=A P ，5.05.05.02)(=??=B P ，3.0)(=C P ，

)()(C B A p D p ?+=，

)()(C B P A p ?+= )()()(C P B P A p += 3.05.025.0?+= 40.0=

（Ⅱ）记0A 表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；

1A 表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用； 2A 表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用.

102A A A +=

1296.0)4.01()(40=-=A p ，

3456.0)4.01(4.0)(31

41=-??=C A P ，

)()()()(10102A P A P A A P A P +=+=

3456.01296.0+=

4752.0=，

5248.04752.01)(1)(22=-=-=A P A P 。

4.2009、(20)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1

局。

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率。

4.解：记i A 表示事件：第i 局甲获胜，i 3,4,5=

j B 表示事件：第j 局乙获胜，j=3,4

（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则

4343B B A A A ?+?=，由于各局比赛结果相互独立，故

)()()()()()()()(434343434343B P B P A P A P B B P A A P B B A A P A P +=?+?=?+?=52.04.04.06.06.0=?+?=。

（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

54354343A B A A A B A A B ??+??+?=，由于各局比赛结果相互独立，故

)()(54354343A B A A A B A A P B P ??+??+?= 648

.06.04.06.06.06.04.06.06.0)()()()()()()()()

()()(5435434354354343=??+??+?=++=??+??+?=A P B P A P A P A P B P A P A P A B A P A A B P A A P

5.2008、 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． 5．解：设1A 、2A 分别表示依方案甲需化验1次、2次。 B 表示依方案乙需化验3次；

A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知2A 与

B 独立，且12A A A B =+

121

44212123155531112

(),(),()555

A C C P A P A P

C A C C ======

12121127

()()()()()55525

P A P A A B P A P A P B =+=+=+?=

∴ 8

()1()0.7225

P A P A =-==

6.（2011四川文）17．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小

时还车的概率分别为

14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、1

；两人租车时间都不会超过四小时．

（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．

本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 6.解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则

111()1424P A =--=，111

()1244

P A =--=．

答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14、1

．

（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则

1111111111113

()()()()4244222442444

P C =?+?+?+?+?+?=．

答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为3

7. （2011重庆文）17．（本小题满分13分，（I ）小问6分，（II ）小问7分）

某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（I ）没有人申请A 片区房源的概率；

（II ）每个片区的房源都有人申请的概率。 7.【解析】17．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题。

（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A 片区房源”的申请方式有24

种。

记“没有人申请A 片区房源”为事件A ，则

44216

().813

P A ==

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.

记“申请A 片区房源”为事件A ，则1

().3

P A =

由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，没有人申请A 片区房源的概率为

004

441216(0)()().3381

P C ==

（II ）所有可能的申请方式有34

种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有

1212334243()C C C C C 或种.

记“每个片区的房源都有人申请”为事件B ，从而有

12123

34243444

3644

()(()).99333C C C C A P B P B =====或

8．甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投

中相互之间没有影响，求：

（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；

（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率． 8.解：

（1）P 1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46． 6分

（2）P 2=［12C 0.6（1－0.6）］·［2

2C （0.7）2

（1－0.7）0

］=0.2352． 12分

9．工人看管三台机床，在某一小时内，三台机床正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.85，

且各台机床是否正常工作相互之间没有影响，求这个小时内：（1）三台机床都能正常工作的概率；

（2）三台机床中至少有一台能正常工作的概率． 9.解：（1）三台机床都能正常工作的概率为P 1=0.9×0.8×0.85=0.612． 6分

（2）三台机床至少有一台能正常工作的概率是 P 2=1－（1－0.9）（1－0.8）（1－0.85）=0.997． 12分

10．甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8．（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率． 10.解：设甲投中的事件记为A ，乙投中的事件记为B ，

（1）所求事件的概率为：

P=P （A ·B ）+P （A ·B ）+P （A ·B ） =0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8

=0.94． 6分（2）所求事件的概率为：

P=C 2

30.72×0.3×C 130.8×0.22=0．042336．

12分

11．沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方

通过（绿灯亮通过）的概率分别为

31，21，3

，对于在该大街上行驶的汽车，求：（1）在三个地方都不停车的概率；（2）在三个地方都停车的概率；

（3）只在一个地方停车的概率． 11.解：（1）P=

31×21×32=91

． 4分

（2）P=32×21×31=9

8分（3）P=32×21×32+31×21×32+31×21×31=18

．

12分

12．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动．已知开关第一次闭合后，出现红灯和

出现绿灯的概率都是

，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯

的概率是

31，出现绿灯的概率是32，若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是5

3，出现绿灯的概率是5

（

（2）三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的概率是多少？ 12.解：（1）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是

21×3

，如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为

21×5

3． ∴第二次出现红灯的概率为21×31+21×53=15

． 6分

（2）由题意，三次发光中，出现一次红灯，两次绿灯的情况共有如下三种方式：

①出现绿、绿、红的概率为

21×52×53； ②出现绿、红、绿的概率为21×53×32

；

③出现红、绿、绿的概率为21×32×5

； 10分

所求概率为21×52×53+21×53×32+21×32×52=75

． 12分

13．口袋里装有红色和白色共36个不同的球，且红色球多于白色球．从袋子中取出２个球，

若是同色的概率为1

，求： (1) 袋中红色、白色球各是多少？

(2) 从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的概率为多少？

13.解：（1）令红色球为x 个，则依题意得22362236361

x x C C C C -+=, （3分）

所以2

27218350x x -+?=得x=15或x=21，又红色球多于白色球，所以x=21．所以红色球为２

１个，白色球为１５个．（ 6分）

（2）设从袋中任取３个小球，至少有一个红色球的事件为A ，均为白色球的事件为B ，

则P （B ）=1－－P （A ）＝3

336

1C C - ＝191204 （12分）

14．加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为

910876

、、、987

，且各道工序互不影响（1）求该种零件的合格率

（2）从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率

（3）假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率

（用最简分数表示结果） 14.解：（1）该种零件合格率为198763109875P =

???= （2）该种零件的合格率为35，则不合格率为2

，从加工好的零件中任意取3个，

至少取到2件合格品的概率2233

23332381()()()555125

P C C =+=

（3）恰好连续2次抽到合格品的概率

22233223223216()1()()1()5555555625

P =??+??+??=

15．如图，用D C B A ,,,表示四类不同的元件连接成系统

D C ,至少有一个正常工作时，系统M 正常工作.已知元件D C B A ,,,正常工作的概率依次为0.5， 0.6，0.7，0.8，求元件连接成的系统M 正常

工作的概率)(M P .

15.解：由A ，B 构成系统F ，由C ，D 构成系统G ，

那么系统F 正常工作的概率

)](1[)(B A P F P ?-=，系统G 正常工作的概率为)(G P =由已知，得752.0)()()(=?=G P F P M P ，故系统M 正常工作的概率为0.752.

16．有一批种子，每粒发芽的概率为3

，播下5粒种子，计算：（Ⅰ）其中恰好有4粒发芽的概率；（Ⅱ）其中至少有4粒发芽的概率；

（Ⅲ）其中恰好有3粒没发芽的概率. （以上各问结果均用最简分数作答）

16.解：（Ⅰ）24380)3

1()32

??C ,（Ⅱ）2431122433224380)32()31()32(5445=+=+C

（Ⅲ）243

40243410)32()31(2

335=?=C

17．袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率. （1）摸出2个或3个白球；（2）至少摸出一个黑球.

17.解：（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A 、B ，

则 73

)(,73)(4

325482325=?==?=C C C B P C C C A P ∵A 、B 为两个互斥事件 ∴P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=7

6 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为

…………6分

（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则

P （C ）=14

4845=C C 至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件

其概率为14

131411=-………………12分

18．为了支持三峡工程建设，某市某镇决定接受一批三峡移民，其中有3户互为亲戚关

系,将这3户移民随意安置到5个村民组

① 求这3户恰好安置到同一村民组的概率;

② 求这3户中恰好有2户安置到同一村民组的概率.

18.解：①3户任意分配到5个村民组，共有53

种不同分法，3户都在同一村民组共有5种方法，3户

都在同一村民组的概率为35

0.045

=，∴3户都在同一村民组的概率为0.04 ②恰有2户分到同一村民组的结果有22

35,C A 种∴22353

0.485C A =∴恰有2户分到同一村民组的概率为0.48

19．某制药厂设甲、乙两个研究小组,独立研制治疗禽流感的新药物.

(1)设甲小组研制出新药物的概率为0.75，乙小组研制出新药物的概率为0.80，求甲、

乙两组均研制出新药物的概率；

(2)设甲、乙两组研制出新药物的概率相同。若该制药厂研制出新药物的概率为0.64，

求甲小组研制出新药物的概率.

19.解：(1）0.80×0.75=0.60……………………………………………5分

（2）设甲研制出的概率为P ，1-（1-P ）2

=0.64………………10分解得P=0.40……………………11分

答：(1)甲、乙两组均研制出新药的概率为060；

(2)甲研制出的概率为0.40.……………12分

20．在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜

甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率． 20.解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：

第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为1P ＝20.4)(1-×20.5＝2

0.3＝0.09 ∴ 乙连胜四局的概率为0.09．（2）丙连胜三局的对阵情况如下：第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．

当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．

当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．

故丙三连胜的概率2P ＝0.4×2

0.6×0.5＋（1-0.4）×2

0.5×0.6＝0.162．

21.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．

（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．

21.[解答过程]（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．

2()(10.6)0.064P A =-=， ()1()10.0640.936P A P A =-=-=．

（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．

0B 表示事件：

“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：

“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1

213()0.60.40.432P B C =??=．

01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=．

22.某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为5

4、5

3、52、5

1，且各轮问题能否正

确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示）

22. [解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则14()5

P A =，

23()5

P A =

，32()5P A =，41()5P A =

，∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率为

412341234432496()()()()()5555625

P P A A A A P A P A P A P P ===???=

．

（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率

3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++1424331015

555

125

+?+??=．

23.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有1

持金卡，在省内游客中有

持银卡。（I ）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

（II ）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

解:（I ）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.

设事件A 为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则116302

362

()7

==C C P A C 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是2

. …………………………………6分

（II ）设事件B 为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：

事件B 1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B 2为“采访该团2人,持金卡1人，

持银卡1人”两种情况，则112

96211222363644

()()()105

=+=+=C C C P B P B P B C C

所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44

105

. ……………………12分

24.（2009北京卷文）（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是

，遇到红灯时停留的时间都是2min. （Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率. 24.解:（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为

()1114

1133327P A ????=-?-?=

? ?????

. （Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 为事件B ，这名学生在上学路上

遇到k 次红灯的事件()0,1,2k B k =.则由题意，得()4

0216

381P B ??== ???

，

()()1

322

12142412321224,33813381P B C P B C ????????==== ?

? ???

??????

. 由于事件B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，

∴事件B 的概率为()()()()0128

P B P B P B P B =++=.

25.（2009江西卷文）（本小题满分12分）

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：

(1) 该公司的资助总额为零的概率；

（2）该公司的资助总额超过15万元的概率． 25.解：（1）设A 表示资助总额为零这个事件，则

11()264P A ??

???

（2）设B 表示资助总额超过15万元这个事件，则

666

11111

()15622232

P B ??????=?+?+= ? ? ???????

1.【2012高考浙江文11】某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为_____【答案】160

2.【2012高考湖北文11】一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。【解析】设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有

4256

a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.

3.（2102福建文）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是 _ . 【解析】设应抽取的女运动员人数是x ，则

5698=-x ，易得12=x .

4.【2012高考江苏2】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取名学生．

【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由3

50=15334

++知应从高

二年级抽取15名学生。

5.【2012高考四川文3】交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（）

A 、101

B 、808

C 、1212

D 、2012 【解析】根据分层抽样的概念知

2521129612+++=，解得808=N ，故选B

6.【2012高考湖北文2】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表

则样本数据落在区间[10,40]的频率为 A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65

【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为

23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为

0.4520

=.故选B. 7.【2012高考安徽文18】（本小题满分13分）

若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过．．．1mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不

合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：mm）, 将所得数据分组，得到如下频

．．．

（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率；（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。

【解析】（I

（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为0.50.20.7

+=，

（Ⅲ）合格品的件数为

5000

20201980

?-=（件）。

答：（Ⅱ）不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1,3]内的概率为0.7

（Ⅲ）合格品的件数为1980（件）

8.【2012高考广东文17】（本小题满分13分）

某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].

（1）求图中a的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.

【解析】（1）依题意得，

，解得0.005

a=。

（2）这100名学生语文成绩的平均分为：

550.05650.4750.3850.2950.0573

?+?+?+?+?=（分）。

（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055

?=，

数学成绩在[60,70)的人数为：

1000.420

??=，

数学成绩在[70,80)的人数为：

1000.340

??=，

数学成绩在[80,90)的人数为：

1000.225

??=

所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510

----=。

高中数学统计与概率知识点(原稿)

高中数学统计与概率知识点（文）第一部分:统计一、什么是众数。一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数。众数的特点。 ①众数在一组数据中出现的次数最多；②众数反映了一组数据的集中趋势，当众数出现的次数越多，它就越能代表这组数据的整体状况，并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是，当一组数据大小不同，差异又很大时，就很难判断众数的准确值了。此外，当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时，用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。 3.众数与平均数的区别。众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据；平均数是一组数据中表示平均每份的数量。二、.中位数的概念。一组数据按大小顺序排列，位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时，为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。三 .众数、中位数及平均数的求法。 ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时，首先要先排序(从小到大或从大到小)，然后根据数据的个数，当数据为奇数个时，最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时，最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时，就用各数据的总和除以数据的个数，得数就是这组数据的平均数。四、中位数与众数的特点。 ⑴中位数是一组数据中唯一的，可能是这组数据中的数据，也可能不是这组数据中的数据； ⑵求中位数时，先将数据有小到大顺序排列，若这组数据是奇数个，则中间的数据是中位数；若这组数据是偶数个时，则中间的两个数据的平均数是中位数； ⑶中位数的单位与数据的单位相同； ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数； ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关，它一定是一组数据中的某个数据，其单位与数据的单位相同；（6）众数可能是一个或多个甚至没有；（7）平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。

全国三卷理科数学高考真题及答案

普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =，，A B =I {}0{}1{}12，{}012，，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++

8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线（）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，，，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+

2019年全国高考文科数学试题分类汇编之统计与概率

一、选择题： 1.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田，这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，???，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（） A ．1x ，2x ，???，n x 的平均数 B ．1x ，2x ，???，n x 的标准差 C ．1x ，2x ，???，n x 的最大值 D ．1x ，2x ，???，n x 的中位数 2.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（） A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 5.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（） A． 4 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 6.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（） A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 二、解答题： 7.（新课标1）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得 16 1 1 9.97 16i i x x = == ∑，1616 222 11 11 ()(16)0.212 1616 i i i i s x x x x == =-=-≈ ∑∑， 16 2 1 (8.5)18.439 i i = -≈ ∑，16 1 ()(8.5) 2.78 i i x x i = --=- ∑，其中i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16 i=???．（1）求(,) i x i(1,2,,16) i=???的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25 r<，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

中考数学统计和概率专题训练

中考数学统计和概率专题训练 1. （2012福建）“六?一”前夕质监部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品，以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图；类别儿童玩具童车童装抽查件数 90 请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题：（1）分别补全上述统计表和统计图；（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童车的合格率为90%、85%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，请估计购买到合格品的概率是多少？【答案】解：（1）童车的数量是300×25%=75，童装的数量是300－75－90=135；儿童玩具占得百分比是（90÷300）×100%=30%。童装占得百分比1－30%－25%=45%。补全统计表和统计图如下：类别儿童玩具童车童装抽查件数 90 75 135 （2）∵儿童玩具中合格的数量是90×90%=81，童车中合格的数量是75×85%=63.75，童装中合格的数量是135×80%=108， ∴从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，购买到合格品的概率是 8163.75108 84.25% 300++=。

2.（2012湖北）“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．【答案】解：（1）60÷10%=600（人）．答：本次参加抽样调查的居民有600人。（2）喜爱C粽的人数：600－180－60－240=120，频率：120÷600=20%；喜爱A粽的频率：180÷600=30%。据此补充两幅统计图如图：（3）8000×40%=3200（人）．答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人。（4）画树状图如下：

高考数学概率与统计知识点汇编

高中数学之概率与统计求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝)()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数n ; 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; 依公式 ()m P A n = 求值; 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B); 特例：对立事件的概率：P(A)＋P(A )＝P(A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P(A ·B)＝P(A)·P(B); 特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质?? ?? ???等可能事件互斥事件独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算 ?? ?和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件：独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 例1．在五个数字12345，，，，中，。例2．若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）． [解答过程]0.3提示:13 35C 33. 54C 10 2P ===?

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式：普查：对调查对象的全体进行调查；抽样调查：对调查对象的部分进行调查；总体：所要考察对象的全体；个体：总体中每一个考察的对象；样本：从总体中所抽取的一部分个体；样本容量：样本中个体的数目（不带单位）；平均数：对于n 个数12,,,n x x x ，我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数；中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数；众数：一组数据中出现次数最多的那个数据；方差：2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数；标准差：S ，即方差的算术平方根；极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差；频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数；频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率； ★ 频数和频率的基本关系式：频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1；扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比；会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图；频数样本容量各基础统计量频数的分布与应用 2、 3、

二、概率的基础知识必然事件：一定条件下必然会发生的事件；不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件； 2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件； 3、概率：某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)； P (必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1； ★概率计算方法： P(A) = ———————————————— 例如注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回．．，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 4 25 1、确定事件事件A发生的可能结果总数所有事件可能发生的结果总数运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 …………

高考理科历年数学真题及答案

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，养殖收入增加一倍新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）

A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（）

2020高考数学分类汇编--概率统计

2020 年普通高等学校招生全国统一考试一卷理科数学 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i,y i）（i 1,2, ,20）得到下面的散点图：由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度 x 的回归方程类型的是 2 A ． y a bx B ． y a bx C． y a be x D． y a bln x 19.（12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的另一人轮空；每场比赛的胜者两人，与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束 . 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空 .设每场比赛双方获胜的概率都为1， 2 （1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（ 3）求丙最终获胜的概率 . 5．D 6． B 7．C 8． C 1 19．解：（ 1）甲连胜四场的概率为． 16 （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 20

个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得 x i i1 60 ，比赛四场结束，共有三种情况： 1 甲连胜四场的概率为； 16 1 乙连胜四场的概率为 1 ； 16 1 丙上场后连胜三场的概率为 1 ． 8 1 1 1 3 所以需要进行第五场比赛的概率为 1 1 1 1 3 ． 16 16 8 4 （3）丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 1 ． 8 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500份订单未配货，预计第二天的新订单 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32 名 18．（ 12 分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据 x i ,y i i 1,2, ,20 ，其中 x i 和 y i 分别表示第 i 负、轮空结果有 1 ，1 ， 1 16 8 8 因此丙最终获胜的概率为 1 1 1 1 7 8 16 8 8 16

历年高考数学真题全国卷版

历年高考数学真题全国卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(完整版)2017年高考数学试题分类汇编之概率统计,推荐文档

2017 年高考试题分类汇编之概率统计一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2017 课标I 理）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A. 1 4 B. 8 C. 1 2 D. 4 （第1 题）（第2 题） 2.（2017 课标III 理）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年1月至2016 年12 月期间月接待游客量（单位万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（） A.月接待游客量逐月增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月 B.年接待游客量逐年增加 D. 各年1月至6 月的月接待游客量相对7 月至12 月，波动性更小，变化比较平稳 3.（2017 课标Ⅱ文）从分别写有 1,2,3,4,5 的5 张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）1 A.10 1 B.5 3 C.10 2 D.5 4.（2017 课标I 文）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位： kg ）分别为x1 , x2 ,?x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（） A.x1, x2 ,?x n的平均数 C.x1, x2 ,?x n的最大值 B.x1, x2 ,?x n的标准差 D.x1, x2 ,?x n的中位数 5.（2017 天津文）有5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5 支彩笔中任取2 支不同颜色的彩笔，则取出的2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为（

高中数学统计与概率测试题

高中数学统计与概率测试题 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

高中数学统计与概率测试题一选择题 1．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( ) A． 1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100 2．某班级在一次数学竞赛中为全班同学生设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图，则以下说法不正确的是（） A．获得参与奖的人数最多 B．各个奖项中三等奖的总费用最高C．购买奖品的费用平均数为元 D．购买奖品的费用中位数为2元3．滴滴公司为了调查消费者对滴滴打车出行的真实评价，采用系统抽样方法从2000人中抽取100人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2，，2000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的100人中，编号落入区间[1,820]的人做问卷A，编号落入区间[821,1520]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（） A． 23 B． 24 C． 25 D． 26

4．为了解城市居民的环保意识，某调查机构从一社区的120名年轻人、80名中年人、60名老年人中，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中老年人抽取3名，则n＝( ) A． 13 B． 12 C． 10 D． 9 5 ,,, A B C D四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车概率是 A．1 3 B． 1 2 C． 5 9 D． 2 3 6．如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图根据频率分布直方图，下列说法正确的是 ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 7．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（） A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

历年全国卷高考数学真题大全解析版

全国卷历年高考真题汇编三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ．【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ，【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2 3sin a A ．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =

高考数学复习专题：统计与概率(经典)

11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，．二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1，这12位同学购书的平均费用是（） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率组距时速8070605040开始 10n S ==， S p

高考数学统计与概率汇编分类理

高考数学统计与概率汇编分类理（福建）如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A. 1 4 B.13 C.12 D.23 （福建）(1+2x)3的展开式中，x 2 的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10 （广东）甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A. 12 B.35 C.23 D.34 （湖北）已知随机变量ξ服从正态分布() 22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 （辽宁）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）= A ． 1 8 B ． 1 4 C ． 25 D ． 12 （全国2）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。【精讲精析】选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有1 44C =种；取出的2本画册， 2本集邮册，此时赠送方法有2 46C =种。总的赠送方法有10种。（全国新）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34 （全国新）5 12a x x x x ? ???+- ???????的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40

六年数学统计与概率

课题统计课时 3 教学目标知识与能力：经历收集数据、整理数据、分析数据的活动，体现统计在实际生活中的应用。在运用统计知识解决实际问题的过程中，发展统计观念。过程与方法：感受统计与现实生活实际的联系。情感与态度：在学习活动中形成解决问题的一些基本策略，获得成功的学习体验，树立学习数学的自信心学习重难点会收集、整理和分析数据。重难点指引可以收集数据、整理数据、分析数据的活动，体现统计在实际生活中的应用。导案学习生成单 1、创设情境分析上面的数据，，你能够得到到哪些信息？ 2、平均数、中位数、众数 3、出示教材第83页第4题图， 4、下图是某地区6—12岁儿童平均体重情况。 5、下图是某日部分城市空气质量日报， 6、学校气象小组测得上周星期一至星期五的室外气温，日期星期一星期二星期三星期四星期五平均气温一.自主探索我们班要和希望小学的六（1）班建立手拉手班级。你准备怎样向他们介绍我们班的情况呢？（1）列出几个你想调查的问题，全班交流后，选择3个问题开展调查。（2）你需要收集哪些数据？与同伴交流收集数据的方法。（3）实际开展调查，把数据记录下来，并进行整理。二.合作交流 1、回想一下，什么是平均数、众数和中位数？ 2、回答下面的问题。（1）怎样整理六（1）班家庭成员人数的调查结果？可以画条形统计图，并提出一些问题。（2）用折线统计图表示月平均气温变化有什么好处？（3）假如小芳买课外书用了20元钱，那么小芳的零花钱共有多少元？（4）除了上面的扇形统计图与折线统计图，你还学了哪些统计图？举例说明集中统计图各自的特点。三.达标检测 1、看图回答下面的问题：（1）从统计图中可以看出，随着年龄的增长，

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

高中数学概率与统计测试题

概率与统计 1.如果一个整数为偶数的概率为 (1)a+b 为偶数的概率； (2)a+b+c 为偶数的概率。 0.6 ，且 a,b,c 均为整数，求 2.从 10 位同学 (其中 6 女，4 男)中随机选出 3 位参加测验，每位女同学能通过测验的概率 43 均为，每位男同学能通过测验的概率均为，求55 (1)选出的 3 位同学中，至少有一位男同学的概率； (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球， 4 个红球，甲首先从中取出 3 个球，乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球，凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率； (2)甲，乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币， 3 个 5 角硬币， 4 个 1 角硬币，从中任取 3 个，求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片，其号码分别位 1，2，3?，10，从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率； (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为ξ，求ξ的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后，会出现白球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球 1 的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下次出现红球、绿球的概率2 1 2 3 2 分别为, ；若前次出现绿球，则下次出现红球、绿球的概率分别为, ，记第 n(n ∈ 3 3 5 5 N,n ≥1) 次按下后，出现红球的概率为P n

(1)求P2的值； (2)当 n∈N,n ≥2 时，求用P n 1表示P n的表达式； (3)求P n关于 n 的表达式。 7.有甲、乙两个盒子 ,甲盒子中有 8 张卡片 ,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1 ，三张写有数字 2 ；乙盒子中有 8 张卡片，其中三张写有数字 0，两张写有数字1，三张写有数字 2 ， (1) 如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少？ (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望。 8.甲、乙两位同学做摸球游戏，游戏规则规定：两人轮流从一个放有 1 个白球， 3 个黑球， 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一个后立即放回，另一个人接着取，取出后也立即放回，谁先取到红球，谁为胜者，现甲先取 (1) 求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率； (2) 求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙，当A或 B 是合格品并且 C 是合格品时，甲是正品；当 A， B 都是合格品或者 C 是合格品时，乙是正品。若 A 、 B、C 合格的概率均是 P，这里 A ，B，C 合格性是互相独立的。 (1) 产品甲为正品的概率P1是多少？ (2)产品乙为正品的概率P2 是多少？ (3)试比较P1与P2的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1) 求前二次取出的都是二等品的概率； (2) 求第二次取出的是二等品的概率； (3)用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取的件数，求ξ的分布列及数学

2018年高考数学计数原理、统计、概率分类汇编

2018年高考数学计数原理、统计、概率分类汇编一、选择题 1.【2018全国一卷3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2.【2018全国一卷10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC 的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则 A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3

3.【2018全国二卷8】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． B ． C ． D ． 4.【2018全国三卷5】的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 5.【2018全国三卷8】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 6.【2018浙江卷7】设0

全国高考理科数学历年试题分类汇编

全国高考理科数学历年试题分类汇编（一）小题分类集合（2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（）（A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量

1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图（2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数（2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（）