不等式大全
1
不等式选讲
()()()()()3
3
10020||()1.2.3.a b c a b c abc a b c ax b c c ax b c ax b c ax b c c c ax b c x a x b c x a x b c c a b a b a b +++∈≥==+>>?+>+<-+<>?-<+<-+
-≥-+-≤>-≤±≤+，，，，当且仅当时，等
号成立．
或；，
，型不等式的
解法，一般用零三个正数的算术平均—几何平均不等式
绝对值不等式的解法
绝对值的三点分段讨角不等式
论法或数形结合法．注意等号成立的条件．
R 12122
2
2
22
2
1
21
2n 11222
12
1212()(b b b )()4.0
n n n n n n n n
a a a
b b b a a a a b a b a a a a b b b b b b b ??∈++?+++?+≥++?+==?===?==R ，，，，，，，，则
，当且仅当或时等柯西不等式
号成立．
2
()()222
1.
1
19
2222a b c a b c abc bc ca ab a b b c c a b c c a a b
++=≤++(+)(+)(+)+++++已知正数，，满足求证：
；求
例1的最小值．()()
1
1.111
111111
()3()()()
322
29.1
11.11199
abc bc ca ab a b c
a b c a b c a b c b a c b a c a b b c c a b a c b c a a b b c a c abc bc ca ab a b c
=++++++=++++=++++++≥+?+?+?=≤
≤++++：证明：
因为所以，即解析()()()()()222
2
222222
2[][2(2)(2)]22241.
2223132224a b b c c a b c c a a b b c c a a b a b b c c a a b b c c a a b c b c c a a b a b b c c a a b c b c c a a b
(+)(+)(+)++++++++++≥+++++????(+)(+)(+)++=++≥+++(+)(+)(+)===+++++由柯西不等式得，
，
将，代入得，当且仅当时，有
3
()2
2
2
222
18820.
288200444
0 4.4 4.
333
x y z x y x y xy z z x y t z t z z z y x +=-(+)-(+)==-+--+-+=?≥≤≤≤≤≤≤方法：显然，
所以，是方程的两个实根．由证明：，得同理可得，222824444
33 3.
333
x y z x y z x y z x y z ∈++=++=≤≤≤≤≤≤已知，，，且，，
求证：，变式，训练
R ()()()()222222222
2
282411(11)2428 4.
44
4 4.
33
y z x y z x y z y z x x x y z +=-+=-++≥+-?≥-≤≤≤≤≤≤方法：显然，，根据柯西不等式有，即，解得同理可得，
4
()()2
2211222(2021110.)a a b c abc a b
b c b c c a
m x x x m x ≥+++++∈-≤-≤+设正实数，，满足，求
的最小值；已知，解关于例2浙江不等式选的考R ()()()
2222
2223
1()[2(2)(2)]2221.
2223
a b c a b b c c a a b b c c a
a b c a b c a b c abc a b b c c a +++++++≥+++++++++≥≥≥+++：运用柯西不等式与基本不等式求最小值，绝对值不等式问题可用零点分段法进行分类讨论去绝对值．：根据柯西不等式有解析，
，
所以分析()2111111221111
11.
12
x m x m
x x m x m x x m x m x x x m x m
m m x x m m m m m m x x m x ≥
-≤--≤-????-≤+-≤+??≥
即 ① 或 ②
由①得 或 或
5
1
1.
12
111
1.
1122
11
11[)2
1
1[)2
m m m x x m m m m m m x x x m m m m m ≥?
??-∈?≤
当时，解集为；
当时，解集为，；
当时，解集为，．
()()
()()()
()()()()
()
()
()()
12121212222
1212[]().
1316221 (2010[]56)f x a b f a f b x x x x f x f x x x S x y x y x x a y b S a b x x a b f x f x =≠-<-=+-+-+--==∈-<已知函数的定义域为，，且，对于定义域内的任意实数，，都有
设，当且仅当，时，取得最小值，求，的值；在的条件下，证明：对任意，，，变式训练浙江模有
拟 成立．
6
()()()()()()()()()222
2
2
2
2
21121212121131622261621.
3162211
551.655262.
55
66
.
62x y x y x x y x y x x y x y x
x y S x x x x f x a f x x x b ??+++-+-+--??≥+-+-+--=+----====>-≤-<-≤==解析：故，由柯西不等式得，
当且仅当时等号成立，
即，，取得最小值证明：不妨设当时，显然有；
()()()()()()()()()()()()()()()
121212121212
2112125
6
55555.26366
5
[]6
x x f a f b f x f x f x f a f b f x f x f a f x f b x a x b x a b x x x x x a b f x f x ->=-=
-+-≤-+-<-+-=-+-=---<-=∈-<当时，因为，
故故对任意，，，有成立．
7
()
()22121
11222011233.
2323x y z x y x x
y y
y
x y z xy yz zx x
z x y
z
+=+++<<++=-+
+
≥--已知，，是正数，且，求的最小值；若，，，且，求证：
例3()() 12：中可通过分子分母同除以平方项将欲求式子的形式向已知式子的形式转化，再分析考虑应用柯西不等式；基于同样的思路，中通过将欲求式子各项同乘分子实现目标．
()2222
22
22
2241
1211221421
()()121421
112[(1)(4)][()(
)]
61214y
x x x y y
x y
y x x y y x x y
x
y
+=+++++
=+++=+++++
+
解：析
8
o
2
21
112(14)6
12
14212211
411211414162y
x
x y x y y x y
y x x x y x
y
≥+
?++?=+++
+==++++
，
当且仅当时，即，()()22
22
2
222232323232323.
23
222 3 3.3 3.
y
z x x y z y
z x y xy z yz
x zx
x y z x y z x y z x y z xy yz zx xy yz zx x y z ++
---=
+
+
---(++)
≥
(++)-++=+++++≥++=≤++<所以、
又所以
9
()
22333223232313(23)4
1
(2323)43.t x y z t y z x t x y z
t t =++-≥+()++≥
---=++≥+=令，
则()()2
2
222
11
2102511
(5)11
(5)022 4.
5011a ac c ab a a b a c a ab ab ab a a b a c ab a a b ab a a b a c ab a a b ++-+(-)
=-+-+++
(-)
=-+++-+
(-)
≥++=-==-=解析：当且仅当，，时等号成立．
2
211
021025a b c a ac c ab a a b >>>++-+(-)
设变式训，练 求
的最小值
Fhi
10
八个著名的不等式
第八讲 几个著名的不等式 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式 定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则 ()2 221 1n n b a b a b a Λ++≤()( ) 2 22212 222 1 n n b b b a a a ΛΛ++?++ 等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。 [一般形式的证明] 作函数 ()()()() ( ) ( ) )(22 2 222122112 2 22212 2 222 11≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ 0≤?∴ 此时04412122 1≤?? ? ????? ??-??? ??=?∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a ?? ? ????? ??≤??? ??∴∑∑∑===n i i n i i n i i i b a b a 12122 1，得证。 [向量形式的证明] 令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ = ()()( ) 2 22212 222 1 2211cos n n n n b b b a a a B A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++?+++= ≤=++=?θ ()1cos 1≤≤-θ 两边同时平方得： ()2 221 1n n b a b a b a Λ++≤()( ) 2 22212 222 1 n n b b b a a a ΛΛ++?++，得证。
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
不等式公式
不等式公式，是两头不对等的公式，是一种数学用语。 常用的不等式的基本性质： ①a>b,b>c→a>c; ②a>b →a+c>b+c; ③a>b,c>0 → ac>bc; ④a>b,c<0→ac
扩展：若有y=x1×x2×x3.....X n且x1+x2+x3+...+X n=常数P,则Y的最大值为((x1+x2+x3+...+X n)/n)n 绝对值不等式公式： | |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b| | |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b| 证明方法可利用向量，把a、b 看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。 柯西不等式： 设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有 (a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^ 2) 当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。 排序不等式： 设a1,a2,…an；b1,b2…bn均是实数，且 a1≥a2≥a3≥…≥an,b1≥b2≥b3≥…≥bn;则有a1b1+a2b2+…+anbn（顺序和）≥a1b2+a2b1+a3b3+…+aibj+…+anbm（乱序和） ≥a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（逆序和）,仅当 a1=a2=a3=…an,b1=b2=b3=…=bn时等号成立。
几个著名的不等式.doc
.. 【本讲教育信息 】 一 . 教学内容： 几个著名的不等式 二、本周教学目标： 1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点． 2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想． 3、能将基本不等式推广到一般形式． 4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世界的联系。 三、本周知识要点： 定理 1：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则 ( ac bd ) 2 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) 当且仅当 ad bc 时等号成立。 定理 2：（柯西不等式的向量形式）设α，β是平面上的两个向量，则 当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立． 定理 3：（柯西不等式的一般形式）给定两组实数 a 1， a 2， ， a n ； b 1， b 2， ，b n 有 n n n ( a i b i ) 2 ( a i 2 ) ( b i 2 ) ，（ *） i 1 i 1 i 1 当且仅当 a i kb i (i ，， ， n ) 时等号成立。 1 2 n n n f ( x) ( a i 2 )x 2 (2 a i b i )x b i 2 证明： i 1 i 1 i 1 （ 1）若 a i 全为 0，则结论显然成立； n 2 （ 2）若 a i 不全为 a i 0，则 i ， f (x) 为首项系数大于 0 的一元二次函数，并且
.. n f ( x) (a i x b i ) 2 ( x) 的判别式 i 1 ，故 f n n n (2 a i b i )2 4 a i 2 b i 2 i 1 i 1 i 1 ，即 n n n ( a i b i )2 ( a i 2 ) ( b i 2 ) i 1 i 1 i 1 显然，当且仅当 a i kb i (i ，， ， n) 时等号成立。 1 2 定 理4 ： 设 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 为 任 意 实 数 ， 则 这个不等式通常称为三角形不等式 定理 5： n 个正数的算术—几何平均不等式： a 1 a 2 a n 其中， n 称为这 n 个正数的算术平均， 几何平均．这个不等式通常称为算术－几何平均不等式，它表明： 于它们的几何平均． n a 1a 2 a n 称为这 n 个正数的 n 个正数的算术平均不小 【典型例题】 设 a ， b ， c 为正数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，求证： (a 1 )2 (b 1 ) 2 (c 1 )2 100 例 1. a b c 3 1 (12 12 12 )[( a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 ] 证明： 左边＝ 3 a b c
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
几个著名不等式
几个著名不等式 1 著名不等式 柯西不等式对于任意两组实数和有 上述不等式只有当时，等号才能成立．证明因为对任意x，有 将上式展开得 上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以 当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则 这时 所以上述不等式只有当 时等号才能成立。 如令，则得
柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若 则 其中 例１若都是正数，求证 证明构造两个实数列 则由柯西不等式得 即 *赫勒德尔不等式由柯西不等式 可得
但 所以有 同理有 一般地有 现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）．设 共k个实数列设 共k个 再令
则有 但 所以 所以 即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立． 上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明． 由证明知，不等式 对无穷多个自然数k=2m成立． 现在假设不等式对m=k成立． （是k个数列）≤ 但是左边
所以 即不等式对m=k-1也成立。由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立．例２设非负实数满足 求证． 证明当n=1时，结论显然正确． 假设命题在n=k时正确，非负实数满足 则成立． 现设为k+1个非负实数，满足 +要证 令，则由归纳假设 但是，因为，所以 所以
证毕 如果令． 这里均为正实数，则得 现在证明下面不等式 其中均为正有理数，且 证明 上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当为正无理数且满足条件时，上述不等式当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明． 最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式． 对于，得
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞
例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。
【高中数学】公式总结(均值不等式)
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
不等式的证明及著名不等式知识梳理及典型练习题
不等式的证明及着名不等式 一、知识梳理 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3____3abc ，当且仅当________时， 等号成立． 即三个正数的算术平均________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均________它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ____n a 1a 2…a n ，当且仅当______________时，等号成立． 2．柯西不等式 一、二维形式的柯西不等式 二维形式的柯西不等式的变式: .,,,,, )( 1等号成立时当且仅当则都是实数若二维形式的柯西不等式定理bc ad d c b a =22222) ())((bd ac d c b a +≥++bd ac d c b a +≥+?+2222)1(bd ac d c b a +≥+?+2222)2 ( .,,,,, )( 2等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当是两个向量设柯西不等式的向量形式定理βαββαk k =≤.,:1221等号成立时当且仅当式得二维形式的柯西不等平面向量坐标代入b a b a ，=2 221122212221)()()(b a b a b b a a +≥++式： 得三维形式的柯西不等将空间向量的坐标代入，2 332211232221232221)()()(b a b a b a b b b a a a ++≥++++.)3,2,1(,,,,等号成立时使得或存在一个数即共线时当且仅当 ，i kb a k i i ===221221222221212211)()(R,y ,x ,y , )( 3y y x x y x y x x -+-≥+++∈那么设二维形式的三角不等式定理
高中数学x基本不等式--三项注意
基本不等式----三大注意事项例题解答 基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，基本不等式“(0,0)2 a b ab a b +≥>>”沟通了两个正数的“和”与“积”之间的关系，利用它可以解决求最值或者不等式证明问题.在运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，造条件满足应用情境后再解决问题. 因此需要掌握一些变形技巧，注意三大方面. 一个技巧： 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如22 2a b ab +≥逆用就是22 2a b ab +≤，2a b ab +≥ (0,0)a b >>逆用就是2()2 a b ab +≤等． 两个变形： (1) 222 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ (,)a b R +∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b =时取等号） (2) 22 2()22 a b a b ab ++≤≤ (,)a b R ∈（当且仅当a b =时取等号)． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 例题. 一、注意运用不等式链 例1 已知0a >，0b >，1a b +=，求 11a b +的最大值. 解析：由0a >，0b >，又2 112a b a b +≤+，因为1a b +=，所以21112a b ≤+，所以11a b +4≥，当且仅当12 a b ==时，等号成立. 评注：本题利用基本不等式链简化了问题，是题目的证明思路一目了然.
世界数学史上的十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式． 一、平均不等式（均值不等式） 设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数． 当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立． 平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一． 设，，…，是个正的变数，则 （1）当积是定值时，和有最小值，且 ； （2）当和是定值时，积有最大值，且
两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值． 在中，当时，分别有， 平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立； （3），当且仅当时等号成立； （4），当且仅当时等号成立． 二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数，，…，；，，…，，有 ，其中等号当且仅当 时成立． 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是： （1），，则
（2） （3） 柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位． 三、闵可夫斯基不等式 设，，…，；，，…，是两组正数，，则 （） （） 当且仅当时等号成立． 闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式： 右图给出了对上式的一个直观理解． 若记，，则上式为
四、贝努利不等式 （1）设，且同号，则 （2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或 时，有，上两式当且仅当时等号成立． 不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式 已知（）是个正实数，，则 上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式 （1）若，则 ； （2）若，则
不等式知识点详解
考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>? <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
6几个著名的不等式1doc
6几个著名的不等式 在不等式的证明中，掌握一些常用的不等式是必要的，下面我们对几个常用的著名不等式作一介绍。 1 基本原理 先介绍排序不等式，设n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 是两组实数，且 n a a a 21，n b b b 21， 我们将n n b a b a b a 2211称为这两组实数的顺序积和，将1121b a b a b a n n n 称为这两组实数的倒序积和，设n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列，则称 n i n i i b a b a b a 2121为这两组实数的乱序积和。 对于这3类积和我们有如下结论： 定理1（排序不等式）设n a a a 21，n b b b 21， n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列，则有 1121b a b a b a n n n n i n i i b a b a b a 2121 n n b a b a b a 2211， 等号全成立的充要条件是n a a a 21或n b b b 21. 证 我们先用数学归纳法证明. n i n i i b a b a b a 2121n n b a b a b a 2211 （1） 当2 n 时，因为 )(12212211b a b a b a b a 0))((1212 b b a a ， 所以 2 n 时，（1）式成立。 假设对于k n 时（1）式成立，即 k i k i i b a b a b a 2121k k b a b a b a 2211， 其中k i i i ,,,21 是1,2,k , 的一个排列，那么对于1 k n ，设121,,, k i i i 是1,2， 1, k 的一个全排列，则当11 k i k 时，由归纳假设知， 121121 k k i k i k i i b a b a b a b a
基本不等式求最值的类型与方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
人教新课标版数学高二人教A选修4-5教案 第12课时 几个著名的不等式之二 排序不等式
选修4_5 不等式选讲 几个著名的不等式之二：排序不等式 一、引入： 1、问题：若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min ，25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？ 分析： 二、排序不等式： 1、基本概念： 一般地，设有两组数：1a ≤2a ≤3a ，1b ≤2b ≤3b ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利用排列组合的知识，我们知道共有6个不同的和数，它们是：
根据上面的猜想，在这6个不同的和数中，应有结论： 同序和332211b a b a b a ++最大，反序和132231b a b a b a ++最小。 2、对引例的验证： 3、类似的问题： 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟。那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？ 分析：
4、排序不等式的一般情形： 一般地，设有两组实数：1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b ，且它们满足： 1a ≤2a ≤3a ≤…≤n a ，1b ≤2b ≤3b ≤…≤n b ， 若1c ，2c ，3c ，…，n c 是1b ，2b ，3b ，…，n b 的任意一个排列，则和数n n c a c a c a +++ 2211在1a ，2a ，3a ，…，n a 与1b ，2b ，3b ，…，n b 同序时最大，反序时最小，即： 112122112211b a b a b a c a c a c a b a b a b a n n n n n n n +++≥+++≥+++- ， 等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。 分析：用逐步调整法 三、典型例题： 例1、已知c b a ,,为正数，求证： abc c b a a c c b b a ≥++++2 22222。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 （2）若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2)2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则 22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d a c b d ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知 c b a ,,为两两不相等的实数，求证： ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：
重要的著名不等式
Ptolemy（托勒密）不等式 若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC ³ AC×BD。等号成立ÛA,B,C,D四点共圆 证明： 在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD 因为△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 又有比例式AB/AC=AE/AD 而∠BAC=∠DAE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD 仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”） 所以命题得证 Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式 设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z≥2*(p+q+r) 证明： 设P为△ABC内任一点(包括边界)，点P到边AB、BC、CA的距离分别为PD1、PD2、PD3，则： PA＋PB＋PC≥2(PD1＋PD2＋PD3)。 设f（x) = x² + y²+ z² - 2(xycosa + yzcosb + zxcosc) = x² - 2(ycosa + zcosc)x + (y² + z² - 2yzcosb) 则△= 4(ycosa + zcosc) ² - 4(y² + z² - 2yzcosb) = - 4 [ y² ( 1 - cosa² ) + z² ( 1 - cos²c ) - 2yzcosacosc + 2yzcos ( a + c ) ] = - 4(y²sin²a + z²sin²g - 2yzsinasing) = - 4(ysina - zsing)²≤0 ∴f≥0，即不等式 设x、y、z R，且a+b+c=л，则永远有x²+y²+z²≥2(xycosa + yzcosb + zxcosc)成立。 可证得如下的几何不等式：设P为△ABC内任一点(包括边界)，∠APB、∠PBC、∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3，则PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)；∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3，则
(word完整版)高中数学基本不等式及其应用教案
基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式
1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；
不等式的经典公式和经典例题讲解
不等式的证明规律及重要公式总结 重 要 公式 1、2 2 2 )2 ( ,2b a ab ab b a +≤≥+（可直接用）ca bc ab c b a ++≥++?222 2、),(1122 22 2+∈+≥≥+≥+R b a b a a b b a b a （要会证明） 3、0(3333≥++≥++c b a abc c b a 即可） 4、33abc c b a ?≥++，3 )3 (c b a abc ++≤；),,(+∈R c b a 5、||||||||||b a b a b a +≤+≤-，),,(R c b a ∈ 证明方法 方法一：作差比较法： 已知：1=++c b a ，求证：3 1222≥++c b a 。 证：左－右=)1333(31222-++c b a ])(333[3 12 2221c b a c b a ++-++====的代换 0])()()[(3 1 222≥-+-+-=a c c b b a 方法二：作上比较法，设a 、b 、c +∈R ，且c b a ≠≠，求证：b a a c c b c b a c b a c b a +++>222 证：a c c b b a b c a c a b c b c a b a b a a c c b c b a a c c b b a c c b b a a c b a c b a ---------+++??===)()()(222右左 当a>b>0时1)(0,1>?>->? -b a b a b a b a 当0