沈阳化工大学材料力学大题

6.1
试求图示格梁中截面1-1、2-2、3-3上的剪力和弯矩，这些截面无限接近于截面C或截面D.设F、q、a均为已知。
（b）解：、求反力。
=0,400FD-600F=0
FD=300N
Y=0,-FA+FD-F=0
FA=100N
.求内力。
1-1 截面
FS1=-FA=100N,M1=-FA*0.2=-20Nm
2-2截面：
FS2=-FA=100N,M2=-FA*0.4=-40Nm
3-3截面：
FS3=F,M3=-F*0.2=-40Nm
（d）解：、求反力
C=0, FD*a+qa*a/2-ME-F*2a=0
FD=5/2qa
Ｙ=0,FC+FD-qa-F=0
FC=-qa/2
求内力
1-1截面：
FS1=-qa， M1=-qa*a/2=-qa2/2
2-2截面：
FS2=FC-qa=-3/2*qa
M2=FCa-qa*3/2*a=-qa2


6.3设已知图示各梁的载荷F、a、ME和尺寸a
（1）列出梁的剪力方程和弯矩方程；（2）作剪力图和弯矩图；（3）确定丨FS丨max及丨M丨max
（a）解：.内力方程
求解内力时，应对杆件分段进行。该梁应分成AC、CB段。
AC段，1-1截面：
FS1=q（2a-x1），
M1=-Me-q（2a-x1）2a-x1/2
=qa2-q/2（2a-x1）
CB段，2-2截面：
FS2=0,M2=-Me=-qa2
画内力图
内力最大值
丨FS丨max=2qa
丨M丨max=3qa2
（b）解：求反力。
经受力分析，由静力学平衡方程可求的A、B两点反力。
FA=0，FB=F
内力方程
该梁应分成AC、CB两段
AC段，1-1截面：
FS1=0, M1=0
CB段，2-2截面：
FS2=-F，M2=Fa-F（x2-a）
画内力图
内力最大值
丨FS丨max=F，丨M丨max=Fa
（d）解：求反力
经受力分析，由静力学平衡方程可求得C、E两点反力
FC=FE=40kN
内力方程
该梁应分为AC、CD、DE、EB四段
AC段，1-1截面：
FS1=-30x1，M1=-30x1*x1*x1/2=-15x12
FS2=-30*1+FC=10Kn
M2=FC（x2-1）-30（x2-0.5）=10x2-25
DE段，3-3截面：
FS3=-10kN, M3=-10x3+15
EB段，4-4截面：
FS4=30（4-x4），M4=-15（4-x4）2
画内力图
内力最大值
丨FS丨max=30kN，丨M丨max=15kNm
6.4 作图示系统的剪力图和弯矩图
解：求反力
分析BC段：FB=FC=25Kn
分析ABD段：FA=75kN
MA=-200KNm
内力方程
分别分析ABD段梁和BC段梁，AD段、DB段、BE段、EC段各取一个截面，写出每一截面的内力方程（方程略）
画内力图

6.5作图示刚架的弯矩图。
（a）解：求反力
A=0, FC*2a-q*3a*3/2*a=0
FC=4/9*qa
x=0，q*3a-FAx=0
FAx=3qa
Y=0,FC-FAY=0
FAy=9/4*qa
内力方程 只写出弯矩方程。
AB段。1-1截面：
M1=qx1x1/2-FAxx1
=1/2qa2-3qax1
BC段，2-2截面：M2=FC*x2=9/4qax2
画弯矩图
注意弯矩图画在受力一侧
（b）解：内力方程
本结构应分为3段进行内力分析：
AB、BC、BD段。分别写出各段内力方程（方程略）
画弯矩图

6.7 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图和载荷图。已知梁上没有集中力偶。
解：首先把结构分成3个区域（3段）：
AB、BC、CD。由载荷集度、剪力和弯矩间的关系可知：AB段没有载荷集度，弯矩呈斜线；CB段也没有载荷集度，同时剪力为零所以弯矩呈水平线;CD段有

载荷集度，弯矩呈抛物线。因A、B、D点的剪力图有突变，所以在A、B、D三点处有集中力。做出的弯矩图和载荷图见图。

6.8 已知梁的弯矩图如图所示，试做剪力图和载荷图。
解：按弯矩图走势，可把结构分成三个区域：由载荷集度、剪力和弯矩间的关系可知：整个结构上没有载荷集度；因ABC三点弯矩图有转折，所以集中力；因CD两点弯矩图有突变，所以有集中力偶。做出弯矩图

6.9 6.10改图















7.2矩形截面悬梁臂如图，已知l=4m,b/h=2/3,q=10kN/m,〔〕=10MPa.
试确定梁的横截面尺寸。
解：内力
剪力梁的内力方程（弯矩方程），画弯矩图。由弯矩图可知固定端截面为危险截面。Mmax=ql2/2
强度计算
=Mmax/Wz=ql2/bh2/6〔〕
h9ql2/2〔〕=9*10*103*42/10*106=0.416m=416mm
B=2h/3，取b=278mm
7.3 20a工字钢梁的支撑和受力情况如图所示。若〔〕=160MPa，试求许用载荷F。
解：求反力
经过受力分析，由静力学平衡方程可求得A、B两点的反力
FA=FB=F/3
内力
建立梁的内力方程（弯矩方程），画出弯矩图。由弯矩图可知B、C截面的弯矩绝对值相等，为最大：Mmax=2F/3
强度计算
由附录钢表差得：N0.20a工字钢的 Wz=273cm3
max=Mmax/Wz〔〕
F3Wz〔〕/2=56880N=56.88Kn
7.6 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用拉应力〔〕=40MPa，许用压应力〔〕=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T行横截面倒置，即翼缘在下成为形，是否合理？何故？
解：求反力
经过受力分析，由静力学平衡方程可求的B、D两点的反力
FB=30Kn，FD=10KN
内力
建立梁的内力方程（弯矩方程），画弯矩图。因梁的横截面只有一个对称面，以及铸铁的材料，所以应对正负弯矩极值所在的截面惊醒分析。
丨MB丨=20kNm MC=10kNm
强度计算
首先计算截面的yC:
yC=Aiyi/Ai=200*30*215+200*30*100/200*30*2=157.5mm
计算Izc：
Izc=200*303/12+（200*30*200+15-157.5）2+30*2003/12+30*200*（157.5-100）2=6.0125*107mm4
求B截面的最大应力
Bt=丨MB丨（230-157.5）103/Izc=20*103*（230-157.5）*10-3/6.0125*10-5=24.1MPa〔〕
Bc=MB157.5*10-3/Izc=10*103*157.5*10-3/6.0125*10-5=26.1MPa〔〕
由计算结果可知，梁的强度是满足的，安全。若载荷不变，但将T行横截面倒置，即翼缘在下成为形，则计算出的拉应力和压应力与上面的计算结果正相反，将导致最大拉应力大于许用拉应力〔〕，
梁的强度不能确定，梁不安全，所以不合理。

7.8 试计算在均布载荷作用下，圆截面简支梁内的最大正应力和最大切应力，并指出它们发生于何处。
解：求反力
FA=FB=q*12=5Kn
内力
建立梁的内力方程（剪力方程、弯矩方程），画剪力图和弯矩图
FSmax=5kN，Mmax=5/4kNm

求应力
max=Mm

ax/Wz=5/4*103//32*503*(10-3)2=1.02*108Pa=102MPa

max=4/3 *(FSmax/A)=4/3*(5*103)//4*502*(10-3)2)3.4*106Pa=3.4MPa


7.11 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度l=1m。若胶合面上的许用切应力为0.34MPa，木料的许用弯曲正应力为=10MPa，许用切应力为〔〕=1MPa,试求许用载荷F.
解：内力
求出最大剪力和最大弯矩：
FSmax=F,丨Mmax丨=Fl

强度计算
正应力：max=丨Mmax丨/Wz=Fl/bh2/6〔〕，F3.75Kn
切应力：max=3/2*FQmax/A〔〕,F10Kn
胶合面上的切应力：=FSmax/Izb〔〕，F3.825kN
综合上面计算结果，取：许用载荷〔〕=3.Kn
7.12 如图梁由两根36a工字钢毛姐而成。铆钉的间距为s=150mm，直径d=20mm，许用切应力〔〕=90MPa。粱横截面上的剪力FS=40kn。试校核铆钉的剪切强度
解：确定截面参数：
由附录型钢表查得：N0.36a工字钢的
h=360，A=76.480cm2，b=136，Iz=15800cm4
确定组合截面的参数：
Iz=2Iz+A*（h/2）2=2*15800+2*76.48*1802=81159cm2
S*Zmax=A*2h/2=1376.6cm2
强度计算
max=Fs*S*Zmax/Iz*b=40*103*1376.6*103/84459*104*136=0.499MPa
铆钉上的切应力：
=FSmax/2A=0.499*150*136/2*/4*202=16.2MPa〔〕
铆钉的强度是安全的。


9.3构建受力如图所示。（1）确定危险点的位置（2）用单元体表示危险点的应力状态（3）写出各个面上已知的应力分量表达式
解：（a）危险点为构件上的个点
应力状态为
=F/A=F/d2/4
(b)危险点为右段外缘各个点
应力状态为
max=2Me/Wt=32Me/d3
(c)危险点为左端截面上、下两点
应力状态为
max=M/Wz=32Fl/d3
=Me/Wt=16Me/d3
（d）危险点为外边缘各点
应力状态为
=F/A=F/d2/4，=Me/Wt=16Me/d3
9.5d 在图示单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab上的应力。应力的单位为MPa
解：（1）解析法 按应力的符号规则，x=-50MPa，y=100MPa，xy=0.
由几何关系可知 =-30
=xy）/2+（xy）/2-xy
=-50+100/2+-50-100/2=-12.5MPa
=（xy）/2+xy
=-50-100/2）=64.95MPa
9.6f 已知应力状态下如图所示，图中应力单位为MPa。试用解析法和图解法求：（1）主应力大小，住平面位置（2）在单元体上绘出平面位置及主应力方向（3）最大切应力
解：（分析法）按应力的符号规则，x=-20MPa，y=30MPa，xy=20
由几何关系可知，=-30
｝=xy/2+202=
（2）=-2xy/x-y=-2*20/-20-30=0.8
0=19.33或0=109.33
（3）｝==)2
=32MPa

（图解法略）
9.7b 在图示应力状态中，试用解析法和图解法求出指定斜截面上的应力。应力的单位为MPa。
解：（解析法） 按应力的符号规则，x=（xy）/2+xy/2-xy
=52.32MPa
=xy）/2+xy=-18.66MPa
图解法略


9.10 试求单元体的三个主应力及最大切应力。画出单元体的三向应力圆，应力单位为MPa。
解：（a）由图看出，=0为其中一个主应力，可将其视为右图所示的平面应力状态，则
｝==4

0-30/2
=
所以1=51.1MPa，2=0，3=-41.4MPa
max=1-3/2=46.1MPa
(c)由图看出，=50为其中一个主应力，可将其视作所示的平面的应力状态，则
｝==30/2
=
所以1=57.7MPa，2=50，3=-27.7MPa
max=1-3/2=42.7MPa


9.12对题9.10中各应力状态，写出四个常用强度理论的相当应力。设=0.30.如材料为中碳钢，指出该用哪一强度理论。
解：10（a）1=51.1MPa，2=0，3=-41.1MPa。
所以
r1=1=51.1MPa
r2=1-（13）=51.1-0.3（-41.4）=63.4MPa
r3=1-3=51.1+41.1=92.2MPa
r4=[(1-2)2+(1-3)2+(3-1)2]=80.0MPa
应该用第三、第四强度理论


10（c）1=57.7MPa，2=50，3=-27.7MPa。
所以
r1=1=57.7MPa
r2=1-（13）=57.7-0.3（50-27.7）=64.4MPa
r3=1-3=57.7+27.7=85.4MPa
r4=[(1-2)2+(1-3)2+(3-1)2]=81.8MPa
应该用第三、第四强度理论

9.15 炮筒横截面如图所示。在危险点处，t=550MPa，r=-350MPa，
第三个主应力垂直于图面是拉应力，且其大小为420MPa。试按第三和第四强度理论，计算其相当应力。
解：r3=1-3=550+350=900MPa
r4=[(1-2)2+(1-3)2+(3-
1)2]=842.6MPa
第十章 组合变形
10.4 矩形截面折杆ABC，受力F的作用如图，已知α=arctg，α=l/4.如果l=12h，试求杆内横截面上的最大正应力，并做危险截面的正应力分布图。
解：∵α=arctg，tgα= 可将截面分解为：
Fx=F·cosα=，Fy=F·sinα=
危险截面为A截面其上轴力FN=-Fy=-
弯矩MA=Fx·l-Fy·α=-·=
∴A截面上的最大拉、压应力分别为
σmax=+=
σmin=
应力分布图如右图
10.6 一拉杆如图所示，截面原为边长为a的正方形，拉力F与轴杆重合，后因使用上的需要，开一个a/2的切口，试求杆内的最大拉、压应力，最大拉应力是截面削弱前拉应力的几倍？
解：截面削弱前拉应力为σ=,开切口后m-m截面上的轴力为FN=F，弯矩M=F·。
刀杆内的最大拉、压应力均在m-m截面上，且
max=
min=
不难看出最大拉应力是截面削弱前拉应力的8倍。
电动机的功率为9Kw,转速715r/min，带轮直径D=250mm，主轴外伸部分长度l=120mm，主轴直径d=40mm，若[]=60Mpa,试用第三强度理论校核轴的强度。
解：轴上作用的外力偶矩为m=9.55
由受力分析知，m=(2F-F)·D/2
∴F=2m/D=2*120/0.25=962N
∴主轴外伸部分上作用的最大弯矩M=3Fl=3*96*0.12=346N·m
根据第三强度理论
r3
∴该轴强度足够。
已知圆片铣刀切削力FZ=2.2kN，径向力Fr=0.7kN，试按第三强度理论计算刀杆直径d，已知铣刀杆的许用应力[]=80Mpa。
解：1.轴的计算简图如图b所示，由平衡分析可求得：
在竖直平面内，右端轴承上的竖向支反力Yc=400N，
在水平面内，右端轴承上的水平支反力Zc=1257N。
2.扭矩图与弯矩图
①AB轴段上作用的扭矩为
T=FzD/2=2.2*0.09/2*103=99N·m（见图c）
②根据铅锤力做出铅锤平面内的弯矩图MZ(图d)
③根据

水平力做出水平面内的弯矩图My（图e）
由于铅锤平面最大弯矩为48N·m，水平面最大弯矩
为150.8N·m，均发生在圆片铣刀所在的B截面，
故为危险截面，其上合成弯矩的最大值为
M=
对于圆轴，其最大正应力发生在最大合成弯矩所在的截面上
3.强度计算
按第三强度理论进行强度校核

∴d≥
10.15 折轴杆的横截面积为边长12mm的正方形。用单元体表示A点的应力状态，确定其主应力
解：1.如图建立坐标系，∵ ∴Fx=2kN, Fy=1Kn, Fz=-2kN
2.对A截面
FN=-2kN， FSy=Fy， FSx=Fx
My=0.1Fx+0.2Fz=0.6kN·m
Mx=0.1F=0.1kN·m
T=0.2Fy=0.2kN·m
3.应力计算
正应力：
扭转切应力：
弯曲切应力：
总切应力：
A点的应力状态如图所示，其中最大，最小切应力为：
∴A点的主应力为
第十一章 能量法
11.01 车床主轴如图，在转化为当量轴以后，其抗弯度刚度EI可以作为常量，试求在载荷F作用下，截面C的挠度和前轴承B截面处的转角。
解：1.求出A.B两点的支反力分别为F/4(↓)和5F/4（↑）



2.分别写出AB.BC的弯矩方程 M(x1)=-Fx1/4， M(x2)=-Fx2
3.为求出C点的挠度，在C的单位力1，



写出该单位力作用下的弯矩方程
利用莫尔定理，可求出C点的挠度：

4.为求B截面转角，在B截面加一单位力偶，



此时的单位力弯矩方程为：M(x1)=x1/4a
∴( )
与所设力偶方向相反。
图示折杆的横截面为圆形，在力偶Mc作用下，试求折杆自由端的线位移和角位移。
解：在Mc作用下，水平杆只发生扭转变形，树脂杆只发生向前的弯曲变形。

T(x1)=Me
M(x2)=Me



为求折杆端的线位移，在自由段加一水平
向前的单位力，得：

∴
为求折杆端的角位移，在此加一单位力偶（如图）

∴θ=
=
=
11.03 钢架各赶的材料相同，但是横截面积不同，所以抗弯刚度EI不同，试求在F力作用下，截面A的位移和转角。
解：1.受力分析知：A、D两点反力均为向上的，F/2
∴两竖杆上无弯矩作用
水平杆上：M(x2)=(F/2)x2
M(x1)=(F/2)x1




2.为求A点位移，在A点加一水平单位力1，（如图）
水平杆上：

∴

3.为求A点转角，在A点加一单位力偶（如图），此时，
A、D两点反力分别为1/l（↓）和1/l（↑）
水平杆上：

∴θ
( )
试求图示各梁截面B的挠度和转角。EI为常数。
解：1.画出结构在外载作用下的弯矩图





2.欲求B载的转角，在B处加一单调力偶，并画出结构在单该位力偶作用下的弯矩图




3.用图乘法求θB
θB=（ ）
4.欲求B处挠度，在B处加一单位力，画出结构在单位力作用下的弯矩图，用图乘法求ΔB




ΔB=
10.04钢架受力如图，各杆的EI相等，求D点的水平位移和截面C的转角。
解：1.求外载作用下A、D两点的支反力，并画弯矩图M








2.D点加水平单位力1.求A、D两点的支反力，并画弯矩图图乘可求D点的水平位移
Δ=（→）
3.C截面加单位力偶1，求A、D两点的支反力，并画弯矩图图乘可求C截面的转角。




11.05钢架手里如图，EI相等，求C点的铅锤位移和水平位移
解：1.画出外载F、q作用下的弯矩图M







2.C点加铅锤单位力1，并画弯矩图图乘可求C点水平位移。
Δcv=






3.C点加水平单位力1，并画弯矩图图乘可求C点水平位移。
ΔCH=
10.06钢架AC和CD两部分的I=3*103cm4，E=200GPa，试求截面D的水平位移和转角。F=10kN，l=1m。
解：1.画出外载F、2F作用下的弯矩图M







2.D点加水平单位力1，并画弯矩图图乘可求D点水平位移
ΔDH=
=





3.D点加单位力偶1，画弯矩图图乘可求D截面转角。

第十三章 压杆稳定
13.2如图所示压杆，其直径为d，材料为Q235钢，试问：
1.哪一根杆件的临界压力大；
2.如d=160mm，E=205GPa，σP=200MPa，两个杆件的临界力。








解：1.
又图13-6克制，柔度越小，临界应力就越大（而Fσr=σσrA），所以（b）图中杆件的临界压力就大。
2.

两杆件均为大柔度杆件，其临界压力均用欧拉公式计算，分别为

13.3 Q235钢之城的矩形截面杆的受力和两端约束如图所示。在A、B处用螺栓夹紧。已知l=2.3m，b=40mm，h=60mm，材料的E=205GPa，σP=200MPa，试求该杆的临界压力。





解：首先，假设在xoy平面内失稳，此时杆件为两端铰支。

其临界应力可用欧拉公式计算，故

其次，假设在xoz平面内失稳，此时杆件为两端固定。

为中柔度压杆，其临界压力用直线公式计算，得

最终，比较可知，在xoy平面内失稳，因此临界压力为Fcr=275.4kN
13.5设如图所示千斤顶的最大承载压力为150kN，螺杆内经d=52mm，l=50cm，材料为Q235钢，E=200GPa，σP=200MPa，安全洗漱为nst=3，试比较其稳定性。
解：压杆可简化为右图所示

所以为中柔度杆，用公式计算临界压力

安全
13.8蒸汽机车的连杆如图，截面为工字形，材料为Q235钢，连杆所受的最大轴向压力
为465kN，连杆在摆动平面内发生弯曲时，两端可认为铰支，在与摆动平面垂直的平面内发生弯曲时，则可认为是两端固定，试确定其工作安全系数。
解：首先，靠炒在摆动平面内失稳弯曲时

故为小柔度杆，不会失稳
其次，考察在与摆动平面相垂直的平面内失稳弯曲时。

为中柔度压杆，其临界压力用直线公式计算，得

最后，工作安全系数为 n=
13.9 如图所示结构中，梁AB为14号普通热轧工字钢，支撑柱的直径d20mm。二者的材料均为Q235钢，E=206GPa， p=200MPa,=165MPa.A、C、D三处均为球形铰链约束。已知F=25Kn，l1=1.25m，l2=0.55m，规定的稳定安全系数nst=3.0.试校核此结构是否安全。
解：此结构中AB承受弯曲与拉伸的组合作用，属于强度问题;支撑柱CD承受压力，属于稳定问题。
梁AB的强度校核
梁AB在C处弯矩最大，故为危险截面，其上之弯矩和轴向力分别为

于是可得，最大正应力为
max=+=15.63/102*10-6+21.65/21.5*10-4=163MPa
此值略大于，但不超过5%，所以梁是安全的
压杆CD的稳定校核
由平衡条件求得CD柱的轴力为
NCD=2Psin300=2.5kN

压杆CD属于大柔度杆，用欧拉公式计算其临界力，得

压杆的工作安全系数为

所以CD柱也稳定，整个结构安全。



概念
屈服极限：塑性材料破坏时的应力叫做屈服极限。
强度极限：脆性材料破坏时的应力叫做强度极限，也可称为破坏强度或破坏应力。一般用标称应力来表示。根据应力种类的不同，可分为拉伸强度(σt)、压缩强度(σc)、剪切强度(σs)等。
许用应力：在强度计算中，对极限应力除以大于1的因数所得到的应力。脆性：【σ】=nb/n(n=2~2.5)；塑性：【σ】=σs/n（n=1.2~2.5）。
惯性半径：也叫回转半径；物体的转动惯量除以物体质量的商的正二次方根。（任一截面对某轴的惯性矩除以该截面面积所得商的平方根值。） iy=√Iy/A;iz=√Iz/A
主应力：主平面上的正应力叫做主应力。
主平面：在单元体中，三个相互垂直的面均无切应力，这种切应力等于零的平面叫主平面。
超静定次数：约束力的数目减去平衡方程的数目，也就是多余约束反力的个数。
问答
在

拉、压、剪、弯、扭各基本变形下的内里名称？ 拉、压的内力为轴力；剪的内力为剪力；弯的内力为剪力、弯矩；扭的内力为扭矩。
矩形、圆形界面的惯性矩和抗弯截面模量的表达式？ 矩形：Zz=bh3/12；Wz=bh3/6。圆形：Zz=πD4/64;Wz=πD3/32
四种常用强度理论的相当应力表达式？ （1）σr1=σ1；（2）σr2=σ1-μ(σ2+σ3);（3）σr3=σ1-σ3；（4）σr4=√1/2[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]。
计算杆件在组合变形下的应力和变形时可应用（叠加）原理。
连接件发生剪切变形时，主要校核其（剪切强度）和（挤压强度）。
单向拉压和纯剪切时胡克定律的表达式？ 单向拉压：σ=Eε；纯剪切：σ=Gγ。
杆、轴、梁的区别？ 杆主要发生拉伸、压缩、扭转、弯曲、剪切变形；轴主要发生扭转变形；梁主要发生弯曲变形。
低碳钢材料试件从受力到拉断经历了（弹性阶段）、（屈服阶段）、（强化阶段）、（局部颈缩阶段）。
纯梁弯曲正应力公式中的Iz是指梁的横截面对哪一轴的惯性矩？ 横截面对中性轴z轴的惯性矩。
能够确切反映圆轴扭转变形程度的物理量是（单位长度扭转角θ）。