2018高考数学(理科)模拟考试题(五)
(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·山东重点中学联考]定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ?B }，若集合M ＝{1,2,3,4,5}，集合N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则集合M －N 的子集个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．无数个
2．[2017·河南平顶山检测]设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，则z 1·z 2＝( )
A ．－4＋3i
B ．4＋3i
C ．－3－4i
D ．－3＋4i
3．[2016·湖北七校联考]已知命题“已知a ，b ，c 为实数，若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．[2017·沈阳模拟]已知θ∈???
?－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能
取值是( )
A ．－3
B ．3或13
C ．－13
D ．－3或－1
3
5．[2016·吉大附中一模]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )
6．[2016·重庆测试]设x ，y 满足约束条件?????
x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，
最小值为3a －3，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．[1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
7．[2016·洛阳第一次联考]已知(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5则2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝( )
A ．10
B ．5
C ．1
D ．0
8．[2017·四川联考]已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
9．[2017·兰州诊断]若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个
单位长度，平移后的图象关于点????π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在???
?－π2，π6上的最小值
是( )
A ．－12
B ．－3
2
10．[2017·桂林联考]已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|FA |，则AB 的长度为( )
B ．2
11．[2017·南昌调研] 18世纪法国数学家蒲丰(George －Louis Leclerc de Buffon)做了一个著
名的求圆周率的实验，如图，在桌面内均匀画出相距为a 的一簇平行直线，细针长度为l ???
?l ≤a 2，
随机向桌面抛掷针的次数是n ，其中针与平行线相交的次数是m ，则圆周率π的估计值为( )
12．[2016·天津高考]已知函数f (x )＝?????
x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，
log a
x ＋1＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上
单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )
∪????
??
34 ∪????
??34
第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．[2016·山东高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．
14．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.
15．[2017·太原质检]已知向量AB →与AC →的夹角为120°，|CB →－CA →|＝2，|BC →－BA →|＝3，若向量AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为________．
16．[2017·杭州模拟]已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2
＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝
2sin B ＋1
2cos B ＋1
，则角A 等于________．
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3
＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1.
(1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋1
b 2n －1·b 2n ＋1
，求数列{c n }的前n 项和．
18．[2016·武汉调研](本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：
(1)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；
(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间． 附：b ＝∑n i ＝1x i y i
－n x － y －
∑n i ＝1x 2i －n x 2，y －＝b x －＋a .
19．[2016·山东高考](本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．
(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝1
2AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．
20．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W .
(1)求曲线W 的方程；
(2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE ，CF 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1
k 2
.
21．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln 2x
x . (1)求f (x )在[1，a ](a >1)上的最小值；
(2)若关于x 的不等式f 2(x )＋mf (x )>0只有两个整数解，求实数m 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·黄冈质检](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θcos 2θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过点P (0,2)作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求1|PA |＋1
|PB |的值．
23．[2016·广州综合测试](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥1
2的解集；
(2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，求实数b 的取值范围．
参考答案(五)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意) 1．[2016·山东重点中学联考]定义集合A －B ＝{x |x ∈A 且x ?B }，若集合M ＝{1,2,3,4,5}，集合N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则集合M －N 的子集个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．无数个 答案 C
解析 1,3,5∈N ，M －N ＝{2,4}，所以集合M －N 的子集个数为22＝4个，故选C. 2．[2017·河南平顶山检测]设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，则z 1·z 2＝( )
A ．－4＋3i
B ．4＋3i
C ．－3－4i
D ．－3＋4i 答案 D
解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1＝2－i ，所以z 2＝－2－i ，z 2＝－2＋i ，z 1·z 2＝(2－i)·(－2＋i)＝－3＋4i ，故选D.
3．[2016·湖北七校联考]已知命题“已知a ，b ，c 为实数，若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 D
解析 原命题为真命题，逆命题为“已知a ，b ，c 为实数，若a ，b ，c 中至少有一个等于0，则abc ＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.
4．[2017·沈阳模拟]已知θ∈???
?－π2，π2且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则tan θ的可能
取值是( )
A ．－3
B ．3或13
C ．－13
D ．－3或－1
3 答案 C
解析 解法一：由sin θ＋cos θ＝a 可得2sin θ·cos θ＝a 2－1，由a ∈(0,1)及θ∈????－π2，π2，得sin θ·cos θ<0且|sin θ|<|cos θ|，θ∈???
?－π4，0，从而tan θ∈(－1,0)，故选C.
解法二：用单位圆中三角函数线的知识可知θ∈( －π
4，0 )，从而tan θ∈(－1,0)，故选C. 5．[2016·吉大附中一模]“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )
答案 B
解析 俯视图是正方形，曲线在其上面的投影恰为正方形的对角线且为实线，选B. 6．[2016·重庆测试]设x ，y 满足约束条件?????
x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，
最小值为3a －3，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．[1，＋∞)
C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线ax ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(3,9)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大；当平移到经过该平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，相应直线ax ＋y ＝0的斜率的取值范围是[－1,1]，即－a ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]，选C.
7．[2016·洛阳第一次联考]已知(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5则2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝( )
A ．10
B ．5
C ．1
D ．0 答案 D
解析 看似二项式展开，实则是导数题目． 求导得10(2x －1)4＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，
令x ＝0，得a 1＝10，令x ＝1，得2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝0，故选D.
8．[2017·四川联考]已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，则异面直线PA 与MN 所成角的大小是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90° 答案 A
解析 取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则OM 綊12BC ，ON 綊1
2PA ，∴∠ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角．由MN ＝BC ＝4，PA ＝43，得OM ＝2，ON ＝23，
∴cos ∠ONM ＝ON 2＋MN 2－OM 2
2ON ·MN ＝
12＋16－42×23×4
＝3
2，
∴∠ONM ＝30°，即异面直线PA 与MN 所成角的大小为30°.故选A.
9．[2017·兰州诊断]若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π
4个
单位长度，平移后的图象关于点????π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在???
?－π2，π6上的最小值
是( )
A ．－12
B ．－3
2 答案 D
解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π
3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ????2????x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ( 2x ＋φ＋π3 )的图象．∵该图象关于点????π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ????2×π2＋φ＋π3＝2cos ????π＋φ＋π3＝0，
解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π
6，k ∈Z .
∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ???
?x ＋π6，
∵x ∈????－π2，π6，∴x ＋π6∈???
?－π3，π3，
∴cos ?
???x ＋π6∈?
??
?12，1，
则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在???
?－π2，π6上的最小值是12.故选D.
10．[2017·桂林联考]已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)
的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若|FB|＝2|FA|，则AB的长度为() B．2
答案C
解析依题意知P(－1,0)，F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FB|＝2|FA|，得x2＋1＝2(x1＋1)，即x2＝2x1＋1①，∵P(－1,0)，则AB的方程为y＝kx＋k，与y2＝4x联立，得k2x2
＋(2k2－4)x＋k2＝0，则Δ＝(2k2－4)2－4k4>0，即k2<1，x1x2＝1②，由①②得x1＝
1
2，则A?
?
?
?
1
2，2，∴k＝
2－0
1
2－－1
＝
22
3，∴x1＋x2＝
5
2，
|AB|＝?
?
?
?
1＋
8
9
[]
x1＋x22－4x1x2＝
17
2，选C.
11．[2017·南昌调研] 18世纪法国数学家蒲丰(George－Louis Leclerc de Buffon)做了一个著
名的求圆周率的实验，如图，在桌面内均匀画出相距为a的一簇平行直线，细针长度为l?
?
?
?
l≤
a
2，随机向桌面抛掷针的次数是n，其中针与平行线相交的次数是m，则圆周率π的估计值为()
答案B
解析设事件A为“针与平行直线相交”，如图，设针的中心到平行线的最小距离为Y，与平行线所成角为α，则所有事件构成的集合
Ω＝
??
?
??
a，Y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0≤α≤
π
2，
0≤Y≤
a
2
，
A＝
?
?
?
?
?
?
a，Y∈Ω|0≤Y≤
l
2sinα，则在平面直角坐标系内，集合Ω对应的区域面积SΩ＝
aπ
4，
集合A 对应的区域面积S A ＝???0
π2l 2sin αdα＝????－l 2cos α????
π20
＝l 2，所以P (A )＝S A S Ω
＝2l a π＝m n ，则π＝2nl
ma .
12．[2016·天津高考]已知函数f (x )＝?????
x 2＋4a －3x ＋3a ，x <0，
log a
x ＋1＋1，x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上
单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )
∪????
??
34 ∪????
??34 答案 C
解析 当x <0时，f (x )单调递减，必须满足－4a －32≥0，故0 4，此时函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需3a ≥1，即a ≥13，所以13≤a ≤3 4.结合函数图象，当x ≥0时，函数y ＝|f (x )|的图象和直线y ＝2－x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|＝2－x 只有一个实数解．因此，只需当x <0时，方程|f (x )|＝2－x 恰有一个实数解．根据已知条件可得，当x <0时，f (x )>0，即只需方程f (x )＝2－x 恰有一个实数解，即x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x ，即x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0在(－∞，0)上恰有唯一的实数解．判别式Δ＝4(2a －1)2－4(3a －2)＝4(4a 2－7a ＋3)＝4(a －1)(4a －3)，因为13≤a ≤34，所以Δ≥0.当3a －2<0，即a <2 3时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a －2＝0，即a ＝2 3时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0的一个根为0，一个根为－23，满足要求；当3a －2>0，即23 4时，方程x 2＋2(2a －1)x ＋3a －2＝0有两个相等的负实根，满足要求．综上可知，实数a 的取值范围是????13，23∪???? ?? 34. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．[2016·山东高考]执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________． 答案 3 解析 输入a ＝0，b ＝9，第一次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，i ＝1＋1＝2；第二次循环：a ＝1＋2＝3，b ＝8－2＝6，i ＝2＋1＝3；第三次循环：a ＝3＋3＝6，b ＝6－3＝3，a >b 成立，所以输出i 的值为3. 14．[2016·北京高考]双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________. 答案 2 解析 由OA 、OC 所在直线为渐近线，且OA ⊥OC ，知两条渐近线的夹角为90°，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x 2－y 2＝是正方形的对角线，且点B 是双曲线的焦点，则c ＝22，根据c 2＝2a 2可得a ＝2. 15．[2017·太原质检]已知向量AB →与AC →的夹角为120°，|CB →－CA →|＝2，|BC →－BA →|＝3，若向量AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC → ，则实数λ的值为________． 答案 127 解析 由条件可知|AB →|＝2，|AC →|＝3，于是AB →·AC →＝2×3×??? ?－12＝－3.由AP →⊥BC →，得AP →·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，所以|AC →|2＋(λ－1)AB →·AC →－λ|AB → |2＝0，即9＋(λ－1)×(－3)－4λ＝0，解得λ＝12 7. 16．[2017·杭州模拟]已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2sin B ＋(a 2 ＋b 2－c 2)sin A ＝0，tan A ＝ 2sin B ＋1 2cos B ＋1 ，则角A 等于________． 答案 7π36 解析 在△ABC 中，a 2sin B ＋(a 2＋b 2－c 2)sin A ＝0， ∴a 2sin B ＋2ab cos C sin A ＝0，a sin B ＋2b cos C sin A ＝0，sin A sin B ＋2sin B cos C sin A ＝0， 又sin A ≠0，sin B ≠0，∴cos C ＝－12，且0 3， 则A ＝π 3－B ，又tan A ＝2sin B ＋12cos B ＋1 ， ∴sin ????π3－B ·2cos B ＋sin ????π3－B ＝cos ????π3－B ·2sin B ＋cos ??? ?π3－B ， ∴2[ sin ????π3－B cos B －cos ??? ?π3－B sin B ] ＝cos ????π3－B －sin ??? ?π3－B ， 即2sin ????π3－2B ＝2sin ??? ?π4－π3＋B ， ∴π3－2B ＝B －π12或π3－2B －π12＋B ＝π，解得B ＝5π36或B ＝－3π4(舍去)，故A ＝π3－5π36＝7π 36. 三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．[2017·湖北联考](本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，a 1a 3＝4，且a 3 ＋1是a 2和a 4的等差中项，若b n ＝log 2a n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a n ＋1＋ 1 b 2n －1·b 2n ＋1 ，求数列{c n }的前n 项和． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0， 在等比数列{a n }中，由a n >0，a 1a 3＝4，得a 2＝2，① (2分) 又a 3＋1是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋1)＝a 2＋a 4，② 把①代入②，得2(2q ＋1)＝2＋2q 2，解得q ＝2或q ＝0(舍去)，(4分) 所以a n ＝a 2q n － 2＝2n － 1， 则b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n ＝n .(6分) (2)由(1)得，c n ＝a n ＋1＋1 b 2n －1·b 2n ＋1 ＝2n ＋ 1 2n －1 2n ＋1 ＝2n ＋12??? ?1 2n －1－12n ＋1，(8分) 所以数列{c n }的前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＋12[ ( 1－ 13 )＋????13－ 15＋…＋????12n －1－12n ＋1 ]＝ 21－2n 1－2＋12??? ?1－12n ＋1＝2n ＋ 1－2＋n 2n ＋1.(12分) 18．[2016·武汉调研](本小题满分12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下： 零件数x (个) 10 20 30 40 50 加工时间y (分钟) 62 68 75 81 89 (1)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程； (2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间． 附：b ＝∑n i ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i －n x 2，y －＝b x －＋a . 解 (1)设所求的回归直线方程为y ^ ＝bx ＋a . 列表： x i 10 20 30 40 50 y i 62 68 75 81 89 x i y i 620 1360 2250 3240 4450 ∴x －＝30，y －＝75，∑5i ＝1x 2i ＝5500，∑5i ＝1x i y i ＝11920,5x －y － ＝11250.(4分) ∴b ＝∑5 i ＝1 x i y i －5x －y － ∑5i ＝1x 2i －5x －2 ＝11920－112505500－5×302 ＝， a ＝y －－ b x － ＝75－×30＝， ∴回归直线方程为y ^ ＝＋.(8分) (2)由(1)所求回归直线方程知，x ＝70时， y ^ ＝×70＋＝(分钟)． ∴预测此车间加工这种零件70个时，所需要加工时间为分钟．(12分) 19．[2016·山东高考](本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线． (1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝1 2AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值． 解 (1)证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .(2分) 又EF ∥OB ，所以GI ∥OB . 因为OB ?平面GHI .所以OB ∥平面GHI .(3分) 在△CFB 中，因为H 是FB 的中点， 所以HI ∥BC .同理BC ∥平面GHI .(4分) 又OB ∩BC ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC .(5分) 因为GH ?平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC .(6分) (2)解法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC . 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .(7分) 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM 垂直OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．(9分) 故BC →＝(－23，－23，0)，BF → ＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量， 由????? m ·BC →＝0，m · BF →＝0，可得??? －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0. 可得平面BCF 的一个法向量m ＝? ?? ?? －1，1，33.(10分) 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝7 7.(11分) 所以二面角F －BC －A 的余弦值为7 7.(12分) 解法二：连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ， 则有FM ∥OO ′.(7分) 又OO ′⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC .(8分) 可得FM ＝FB 2－BM 2＝3. 过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN . 可得FN ⊥BC ， 从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径， 所以MN ＝BM sin45°＝6 2，(9分) 从而FN ＝422，可得cos ∠FNM ＝7 7.(10分) 所以二面角F －BC －A 的余弦值为7 7.(12分) 20．[2016·湖北八校联考](本小题满分12分)定义：在平面内，点P 到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P 到曲线Γ的距离．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝12及点A (－2，0)，动点P 到圆M 的距离与到A 点的距离相等，记P 点的轨迹为曲线W . (1)求曲线W 的方程； (2)过原点的直线l (l 不与坐标轴重合)与曲线W 交于不同的两点C ，D ，点E 在曲线W 上，且CE ⊥CD ，直线DE 与x 轴交于点F ，设直线DE ，CF 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1 k 2 . 解 (1)由题意知：点P 在圆内且不为圆心，故|PA |＋|PM |＝23>22＝|AM |，(2分) 所以P 点的轨迹为以A 、M 为焦点的椭圆， 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，则??? 2a ＝23，2 c ＝22???? a ＝3，c ＝2， 所以 b 2＝1，故曲线 W 的方程为x 23＋y 2 ＝1.(4分) (2)设C (x 1，y 1)(x 1y 1≠0)，E (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，则直线CD 的斜率为k CD ＝y 1 x 1 ，又CE ⊥CD ，所以直线CE 的斜率是k CE ＝－x 1y 1 ，记－x 1 y 1 ＝k ，设直线CE 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意 知k ≠0，m ≠0，由????? y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6mk 1＋3k 2，∴y 1 ＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝ 2m 1＋3k 2 ，(8分) 由题意知，x 1≠x 2，所以k 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－13k ＝y 1 3x 1 ， 所以直线DE 的方程为y ＋y 1＝y 1 3x 1 (x ＋x 1)，令y ＝0，得x ＝2x 1，即F (2x 1,0)． 可得k 2＝－y 1x 1 ，所以k 1＝－13k 2，即k 1k 2 ＝－1 3.(12分) 21．[2016·河南六市联考](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln 2x x . (1)求f (x )在[1，a ](a >1)上的最小值； (2)若关于x 的不等式f 2(x )＋mf (x )>0只有两个整数解，求实数m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝1－ln 2x x 2(x >0)， 令f ′(x )>0，得f (x )的单调递增区间为????0，e 2； 令f ′(x )<0，得f (x )的单调递减区间为??? ?e 2，＋∞.(1分) ∵x ∈[1，a ]， ∴当1 2时，f (x )在[1，a ]上为增函数， f (x )的最小值为f (1)＝ln 2；(3分) 当a >e 2时，f (x )在????1，e 2上为增函数，在??? ?e 2，a 上为减函数． 又f (2)＝ln 4 2＝ln 2＝f (1)， ∴若e a ，(5分) 综上，当12时，f (x )的最小值为f (a )＝ln 2a a .(6分) (2)由(1)知，f (x )的单调递增区间为????0，e 2，单调递减区间为????e 2，＋∞，且在??? ?e 2，＋∞上，ln 2x >ln e ＝1>0，又x >0，则f (x )>0.又f ??? ?12＝0， ∴当m >0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )>0或f (x )<－m ， 而f (x )>0的解集为????12，＋∞，整数解有无数多个，不合题意，f (x )<－m 无整数解；(8分) 当m ＝0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )≠0，解集为????0，12∪??? ?12，＋∞，整数解有 无数多个，不合题意；(9分) 当m <0时，由不等式f 2(x )＋mf (x )>0，得f (x )>－m 或f (x )<0，f (x )<0的解集为??? ?0，12，无 整数解，(10分) 若不等式f 2(x )＋mf (x )>0有两个整数解，则f (3)≤－m ?－ln 2，－13ln 6.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2016·黄冈质检](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为ρ＝sin θ cos 2θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过点P (0,2)作斜率为1的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求1|PA |＋1 |PB |的值． 解 (1)令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入C 的极坐标方程，得y ＝x 2.(5分) (2)设A ，B 两点对应参数为t 1，t 2，直线l 的参数方程为 ????? x ＝2 2t ，y ＝2＋22t (t 为参数)， 代入y ＝x 2，得t 2－2t －4＝0， 则t 1t 2＝－4，t 1＋t 2＝2，(8分) 1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝ t 1＋t 22－4t 1t 2|t 1t 2| ＝32 4.(10分) 23．[2016·广州综合测试](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥1 2的解集； (2)若对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，求实数b 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥12等价于|x ＋1|－|x |≥1 2. ①当x ≤－1时，不等式化为－x －1＋x ≥1 2，无解；(2分) ②当－1 2， 解得－1 4≤x <0；(3分) ③当x ≥0时，不等式化为x ＋1－x ≥1 2，解得x ≥0.(4分) 综上所述，不等式f (x )≥12的解集为??? ?－14，＋∞.(5分) (2)因为不等式f (x )≥b 的解集为空集，所以 b >[f (x )]max . 因为f (x )＝|x ＋a |－|x －1－a |≤|x ＋a －x ＋1－a |＝|a ＋1－a |＝a ＋1－a ， 当且仅当x ≥1－a 时取等号，所以[f (x )]max ＝a ＋1－a . 因为对任意a ∈[0,1]，不等式f (x )≥b 的解集为空集，所以b >[]a ＋1－a max .(8分) 以下给出两种思路求g (a )＝a ＋1－a 的最大值． 思路1：令g (a )＝a ＋1－a ，所以g 2(a )＝1＋2a 1－a ≤1＋(a )2＋(1－a )2＝2. 当且仅当a ＝1－a ，即a ＝1 2时等号成立． 所以[g (a )]max ＝2， 所以b 的取值范围为(2，＋∞)．(10分) 思路2：令g (a )＝a ＋1－a ，因为0≤a ≤1，所以可设a ＝cos 2θ??? ?0≤θ≤π2， 则g (a )＝a ＋1－a ＝cos θ＋sin θ ＝2sin ????θ＋π4≤2， 当且仅当θ＝π 4时等号成立， 所以b 的取值范围为(2，＋∞)．(10分) ； 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否 2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后 农村的经济收入构成比例。得到如下 饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图 上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直 角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3 2018年高考理科全国三卷 一．选择题 1、已知集合,则( ) A. B. C. D. 2、( ) A. B. C. D. 3、中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构建的突出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头,若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) A. B. C. D. 4、若,则( ) A. B. C. D. 5、的展开方式中的系数为( ) A.10 B.20 C.40 D.80 6、直线分别与轴,轴交于两点,点在圆上,则 面积的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、函数的图像大致为( ) A. B. C. D. 8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率为,各成员的支付方式相互独立,设为该群体的为成员中使用移动支付的人数,,则( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 9、的内角的对边分别为,若的面积为则=( ) A. B. C. D. 10、设是同一个半径为的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 11、设是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过作的一条逐渐近线的垂线,垂足为,若,则的离心率为( ) A. B.2 C. D. 12、设则( ) A. B. C. D. 13、已知向量,若,则 14、曲线在点处的切线的斜率为,则 15、函数在的零点个数为 16、已知点和抛物线,过的焦点且斜率为的直线与交于两点。若 ,则 三．解答题 17、等比数列中, 1.求的通项公式; 2.记为的前项和,若,求 18、某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时间(单位:)绘制了如下茎叶图: 1.根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; 2.求名工人完成生产任务所需时间的中位数,并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表: 超过不超过 第一种生产方 式 第二种生产方 式 3.根据中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附: 19、如图,边长为的正方形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直,是上异于的点 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设121i z i i -=++，则z =（ ） A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{}2|20A x x x =-->，则A =R e（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -≤≤ C ．{} {}|1|2x x x x <-> D ．{} {}|1|2x x x x -≤≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 AB AC + D ． 13 44 AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A ， 圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 8．设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?=（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数()0 ln 0x e x f x x x ?=?>? ，≤，，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范 围是（ ） A ．[)10-， B ．[)0+∞， C ．[)1-+∞， D ．[)1+∞， 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、填空题 1． 设121i z i i -=++，则z = A ． 0 B ．12 C ．1 D ．2 2．已知集合{}220A x x x =-->，则R A = A ． {}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．{}{}12x x x x <-> D ．{}{}12x x x x ≤-≥ 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后， 养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ． 12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32 ()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ． 2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ． 3144A B A C - B ．1344 AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表 面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在 左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路 径中，最短路径的长度为 A ． 217 B ．25 C ．3 D ．2 8．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点()2,0-且斜率为23 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?= A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数,0()ln ,0 x e x f x x x ?≤=?>? ，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ． [)1,0- B ．[)0,+∞ C ．[)1,-+∞ D ．[)1,+∞ 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC ，ABC ?的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为123,,p p p ，则 A ． 12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+ 11．已知双曲线2 2:13 x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ，N ，若OMN ?为直角三角形，则MN = A ． 32 B ．3 C ．23 D ．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所 成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值 为 2018年普通高等学校招生全国统一考试 全国Ⅰ卷 理科数学 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出得四个选项中, 只有一项就是符合题目要求得。 1、设,则 A 、0 B 、 C 、1 D 、 2、已知集合则 A 、 B 、 C 、 D 、 3、某地区经过一年得新农村建设,农村得经济收入增加了一倍,实现翻番、为更好地了解该地区农村得经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村得经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论不正确得就是 A 、新农村建设后,种植收入减少 B 、新农村建设后,其她收入增加了一倍以上 C 、新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D 、新农村建设后,养殖收入与第三产业收入得总与超过了经济收入得一半 4、记为等差数列得前项与、若则 A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数若为奇函数,则曲线在点处得切线方程为 A 、 B 、 C 、 D 、 6、在中,AD 为BC 边上得中线,E 为AD 得中点,则 A 、 B 、 C 、 D 、 7、某圆柱得高为2,底面周长为16,其三视图如右图、 圆柱表面上得点M 在正视图上得对应点为A,圆柱表 面上得点N 在左视图上得对应点为B,则在此圆柱侧 面上,从M 到N 得路径中,最短路径得长度为 A 、 B 、 C 、3 D 、2 8、设抛物线C:得焦点为F,过点且斜率为得直线与C 交于M,N 两点,则 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 9.已知函数若存在2个零点,则得取值范围就是 A 、 B 、 C 、 D 、 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究得几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆得直径分别为直角三角形ABC 得斜边BC,直角边AB,AC 、 得三边所围成得区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ、在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ得概率分别记为则 60% 30% 6% 4% 种植收入 第三产业收入 其她收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 37% 30% 28% 5% 种植收入 养殖收入 其她收入 第三产业收入 建设后经济收入构成比例 A B 2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{} 10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B { }1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 252()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C 2,32?? .D 22,32?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ） 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A 123 .B 183 .C 243 .D 543 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若16PF OP =，则C 的离心率为 （ ） .A 5 .B 2 .C 3 .D 2 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0ab a b <+< .C 0a b ab +<< .D 0ab a b <<+ 2018年河北省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设z=+2i，则|z|=（） A．0 B．C．1 D． 2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?R A=（） A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 姓名： 2018年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅰ卷) 理科数学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（） A．0 B．C．D． 2．已知集合，则（） A．B． C．D． 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记为等差数列的前项和．若，，则（） A．B．C．D．12 5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D． 6．在中，为边上的中线，为的中点，则（） A．B． C．D． 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为， 则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（） A．B．C．D．2 8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点， 则（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D． 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成 的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一 点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（） A．B．C．D． 11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（） A．B．3 C．D．4 12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） A．B．C．D． 2018年普通高等学招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。 1、设z=，则|z|= A、0 B、 C、1 D、 2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A= A、{x|-1 4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程 为： A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则= A、-- B、-- C、-+ D、- 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点 为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A、 B、 C、3 D、2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则 ·= A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直 径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则 ?p1=p2 ?p1=p3 ?p2=p3 ?p1=p2+p3 2018年高考试卷理科数学卷 本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。 第I 卷（共50分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题 纸上。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式： 球的表面积公式 棱柱的体积公式 球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 343V R π= 棱台的体积公式 其中R 表示球的半径 11221()3 V h S S S S =++ 棱锥的体积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积， 13 V Sh = h 表示棱台的高 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）设函数,0,(),0, x x f x x x ?≥?=?- 2018年普通高等学校招生全国统一考试（III卷） 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则 A．B．C．D． 2． A．B．C．D． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若，则 A．B．C．D． 5．的展开式中的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 6．直线分别与轴，轴交于、两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A．B．C．D． 7．函数的图像大致为 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．B．C．D． 9．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A．B．C．D． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A．B．C．D． 11．设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A．B．2 C．D． 12．设，，则 A．B．C．D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量，，．若，则________． 14．曲线在点处的切线的斜率为，则________． 15．函数在的零点个数为________． 16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若 ，则________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 等比数列中，． 绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷) 理科数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 1212i i +=-（ ） A ．4355 i -- B ．4355 i -+ C ．3455 i -- D ．3455 i -+ 2．已知集合(){} 2 23A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 x x e e f x x --=的图象大致为（ ） 4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y = 6．在ABC △中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB = A ． B C D ． 7．为计算11111 123499100 S =-+-++-L ，设计了右侧的程序框图， 则在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． 1 12 B ． 114 C ． 115 D ． 118 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC == ，1AA ，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ． π4 B ． π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =， 则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ．23 B ． 12 C ．13 D ． 14 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为 ． 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设 ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合{22>0}，则A =（ ） A 、{1 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列{}的前n项和，若3S3 = S2+ S4，a1 =2，则a5 =（） A、-12 B、-10 C、10 D、12 5、设函数f（x）3+（1）x2 .若f（x）为奇函数，则曲线f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） -2x 2x 6、在?中，为边上的中线，E为的中点，则=（） A. - B. - C. + D. + 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f（x）=g（x）（x），若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，. △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( ) A. p12 B. p13 C. p23 D. p123 11.已知双曲线C：- y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若△为直角三角形，则∣∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（） 2018年全国高考I I 卷理科数学试题及答案 https://www.wendangku.net/doc/c412252527.html,work Information Technology Company.2020YEAR 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设z=+2i，则|z|=（） A．0 B．C．1 D． 2．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则?R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2} 3．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）（2018?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（） A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12 5．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 6．（5分）（2018?新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 7．（5分）（2018?新课标Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A．2B．2 C．3 D．2 8．（5分）（2018?新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则?=（） A．5 B．6 C．7 D．8 9．（5分）（2018?新课标Ⅰ）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（） A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞） 10．（5分）（2018?新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）2018年高考理科数学试题及答案-全国卷2
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